第9讲 因式分解(三)
2024七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解课件新版苏科版
感悟新知
知4－讲
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个 数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须 用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解. 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最 简的.
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知4－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平
方差公式逆用的形式.
D 选项中，括号内最后一项漏掉了，应该是a2b＋
5ab－b=b(a2＋5a－1)，故错误.
答案：B
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知识点 4 运用平方差公式分解因式
知4－讲
1. 平方差公式法 用字母表示：a2－b2=(a＋b)(a－b). 文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积.
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知4－讲
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(3) 116a2－ 12ab＋b2 ；
知5－练
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
完全平方公式分解因式.
解：原式=( 14a)2－2×14a·b＋b2 = (14a－b)2.
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知5－练
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
公因式中的字母，各字母的指数取其中次数最低的．
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3. 注意
知2－讲
若多项式各部分中含有相同的多项式因式，则应将其看
成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
如3x(x－y)＋x2(x－y)的公因式是x(x－y).
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知2－讲
特别解读 1. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式. 2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可
人教版 八年级数学 因式分解讲义 (含解析)
第9讲因式分解知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。
在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。
中学代数主要做好3件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟课前回顾整式的乘法回顾：（1）单项式×单项式（2）单项式×多项式a（b+c）=ab+ac（3）多项式×多项式（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd乘法公式回顾:1、平方差公式：（a+b）·（a-b）=a²-b²2、完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²幂的计算回顾：(m,n都是整数)(m,n都是整数)()n n nab a b=⋅(n是整数)m n m na a a-÷=（m、n都是整数且a≠0）nmnm aaa+=⋅mnnm aa=)(上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.先来做一个简单的复习吧三、十字相乘法：要点：一拆（拆常数项），二乘（十字相乘），三验（验证十字相乘后的和是否等于一次项）举例：x²+x-6x -2x 3 (-2x)+3x=x对于一般地：四、分组分解法：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式.例如：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）因式分解过程的一般步骤和注意点：1、一般步骤：先提公因式，再运用公式法或者十字相乘法，后分组分解，最后是重新整理再分解.2、注意点：在分解因式的时候要注意各个因式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.课堂精讲精练【例题1】分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）= ．【答案】（2﹣m）（n﹣2）【解析】直接提取公因式（n﹣2）进而分解因式即可．解：原式=2（n﹣2）﹣m（n﹣2）=（2﹣m）（n﹣2）．故答案为：（2﹣m）（n﹣2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】因式分解：3x2﹣18x= ．【答案】3x（x﹣6）【解析】直接找出公因式进而提取得出答案．解：3x2﹣18x=3x（x﹣6）．故答案为：3x（x﹣6）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】分解因式8x2y﹣2y= ．【答案】2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）=2y（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】因式分解：m²-n²= .9x2﹣4= ．【答案】(m+n)(m-n) (3x﹣2)(3x+2)【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．解：m²-n²=(m+n)(m-n).9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】分解因式：x2﹣9y2【答案】（x+3y）（x﹣3y）【解析】直接利用平方差公式分解因式即可．解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】因式分解：9﹣p2= ．【答案】（3﹣p）（3+p）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：9﹣p2=（3﹣p）（3+p）．故答案为：（3﹣p）（3+p）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】分解因式：x2﹣x+1= ．【答案】（x﹣1）2【解析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．解：原式=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】因式分解：﹣x2﹣y2+2xy= ．【答案】﹣（x﹣y）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式=﹣（x2+y2﹣2xy）=﹣（x﹣y）2．故答案为：﹣（x﹣y）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】分解因式：m2+2mn+n2= ．【答案】（m+n）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：m2+2mn+n2=（m+n）2．故答案为：（m+n）2．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：直接套用完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】因式分解：x2﹣4x+3= ．【答案】（x﹣1）（x﹣3）【解析】把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．教学建议：学会画十字相乘法图示.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25=（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．解：a2﹣2ab+b2﹣1，=（a﹣b）2﹣1，=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16（4）a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）（2）﹣2a（a﹣3）2 （3）（x﹣2）2；（4）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）.【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式（3）先展开，然后利用完全平方公式（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式．解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）讲解用时：3分钟解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【答案】（1）4x（2x﹣y）；（2）3x2（x+y）2；（3）（a﹣b）（a+c）．【解析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【答案】﹣6【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．解：∵xy=﹣3，x+y=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知ab=﹣2，a﹣b=3，求a3b﹣2a2b2+ab3的值.【答案】﹣18【解析】本题要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，故答案为：﹣18.讲解用时：3分钟解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】分解因式：2m2﹣m= ．【答案】m（2m﹣1）【解析】直接把公因式m提出来即可．解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．讲解用时：1分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】因式分解（1）m2﹣4n2（2）2a2﹣4a+2．【答案】（1）（m+2n）（m﹣2n）；（2）2（a﹣1）2【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）（2）原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．【答案】（1）（x﹣y）（3a+5b）；（2）x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（x﹣y）（3a+5b）（2）=x2（x4﹣y4）=x2（x2﹣y2）（x2+y2）=x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值．【答案】4【解析】首先提公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵a+b=2，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×2=4．讲解用时：2分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.【解析】（1）根据正方形面积求出即可；（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），（2）如图所示：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
【北师大版初三数学】第9讲：因式分解法解一元二次方程-教案
知识讲解：1.因式分解x 2-5x ；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y 2-16； x 2+12x+36；4x 2+4x+1分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.2.若ab=0,则可以得到什么结论？分析：由积为0，得到a 或b 为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.3.试求下列方程的根 ：x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.4. 试求下列方程的根○14x 2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0 ○225y 2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2 ○3x 2+10x+25=0; 9x 2-24x+16=0; ○45x 2-2x-41= x 2-2x+43; 2x 2+12x+18=0; 分析：观察○1○2○3三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.○4中的方程结构较复杂，需要先整理. 5.选用合适方法解方程x 2+x+41=0；x 2+x-2=0；(x-2)2 =2-x ；2x 2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.课堂练习：考点一：用提公因式法解一元二次方程【例题】 1、用因式分解法解一元二次方程0)1(2)1(=---x x x ，正确的步骤是（ ）A ．0)2)(1(=++x xB ．0)2)(1(=-+x xC ．0)2)(1(=--x xD ．0)2)(1(=+-x x2、一元二次方程x 2=3x 的解是：【答案】1、D【解析】根据题意，可将方程化为x(x-1)+2(x-1)=0，提公因式（x-1）,有（x-1）（x+2）=0.试题分析：因式分解的一般步骤是：第一，看能不能用提公因式法；第二，公式法，平方差公式和完全平方公式；第三步，对于二次三项式，看能不能用十字相乘法.考点：因式分解.2、x 1=0，x 2=3．【解析】试题分析：利用因式分解法解方程．试题解析：x 2=3x ，x 2-3x=0，x （x-3）=0，x 1=0，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法．【练习】1、方程x(x-2)=2-x 的根是（ ）A ．x=-1B ．x=2C ．120,2x x == D ．121,2x x =-=2、解方程2(2)3(2)x x +=+【答案】1、D 2、122,1x x =-=考点二：用乘法公式解一元二次方程【例题】1、一元二次方程(2x －1)2＝(3－x)2的解是_______________________．2、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。
因式分解的12种方法精讲
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3 -2x 2-xx，~x=x(x^_2x_ 1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式。
，把它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解:m2 +5n・mn・5m= m 2-5m-mn+5n =(m2 -5m )+(-mn+5n)4.十字相乘法对于mx2 ^px^-q形式的多项式，如果a^b=m, c^d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7, 2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)=・19解：7x2-19x-6=f7x+2；(x-3；5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5.分解因式+6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 )2 =[(x+3)+7][(x+3) —7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6.分解因式bc(b^c)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a^-b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)-^bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
2022八年级数学上册第一章因式分解3公式法1ppt教学课件鲁教版五四制
(2)解：3 x3 12 x
3 x( x2 4)
3x( x2 22 ) 3x( x 2)( x 2)
通过做第(2)小题你总结出什么经验 来了吗?
分解因式时,通常先考虑是否能提公因式, 然后再考虑能否进一步分解因式.
通过做第(2)小题你总结出什 么经验来了吗?
3
3 解因式
例2 :把下列各式分解因式
(1)4(m n)2 (m n)2
(2)3x3 12 x
(3)a4-b4
(1)解：4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)
判断下列各式能否用平方 差公式分解因式：
(1) a2+4b2
(
)
(2) -x2-4y2
(
)
(3) x-4y2
(
)
(4) -4+0.09m2 ( )
具备什么特征的多项式是平方差式?
答：一个多项式如果是由两项组成，两部 分是两个式子(或数)的平方，并且这两项 的符号为异号.
运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区 分a、b?
a
角，各剪去一个边长为
bcm的正方形，求剩余
部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?
(1) 1 a2 4b2c4; 16
(2)• 4 m2 0.01n2 9
(3) 4(x-y)2-1;
(4) 9(m+n)2-4(m-n)2.
(5) 2x3-8x;
（4）9(m+n)2－(m-n)2
串讲03 因式分解(9个常考点 5种重难点题型 2个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
请你选择一种方法因式分解：
mx － my ＋ nx － ny ；
【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny )
＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ).
(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.4×10＝2 024.
(2)36.8×
＋20.2×
【解】 原式＝
＝
×55＝13.
－2×来自.×(36.8＋20.2－2)
题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
考点2 公因式的定义
4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为
2a
5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是( D
A. xmyn
B. xmyn－1
C. 4 xmyn
D. 4 xmyn－1
2x3–2x2y+8y–8x
解
6k2+9km – 6mn–4kn
=2(x3–x2y+4y–4x)
=(6k2+9km) – (6mn+4kn)
=2[(x3–x2y) +(4y–4x)]
=3k(2k+3m) –2n (3m+2k)
=2[x2(x-y)-4(x-y)]
第9讲因式分解四大方法预习班讲义
因式分解的四种方法（讲义）一、知识点睛1.叫做把这个多项式分解因式．2.提公因式法要注意：①，②，③．3.运用公式法要注意：①，②．4.分解因式是有顺序的，记住口诀：“”；分解因式是有范围的，目前我们是在范围分解因式．二、精讲精练1.下列由左到右的变形，是分解因式的是．①-3x2y2=-3·x2·y2②(a+3)(a-3) =a2-9③m2-4=(m+2)(m-2)④a2-b2+1=(a+b)(a-b) +1⑤2mR+2mr=2m(R+r)⑥y2-4y+4=(y-2)22.分解因式（提公因式法）：（1）-a2+a；（2）8a2b+2ab；（3）12a2b-24ab2+6ab；（4）2a(b+c)-(b+c)；（5）(a-b)(m+1) -(b-a)(n-1)；（6）a(m-2) +b(2-m)；（7）x(x-y)2-y(y-x)2；（8）x m+x m-1．3.分解因式（公式法）：（1）4x2-9；（2）16x2+24x+9；（3）-x2+4xy-4y2；（4）9(m+n)2-(m-n)2；（5）x4-y4；（6）4a2-16；（7）2ab3-2ab；（8）x2(2x-5)+4(5-2x)；（9）(m+n)2-6(m+n)+9；（10）4-12(x-y)+9(x-y)2；（11）(x+3y)2-2(x+3y)(4x-3y) +(4x-3y)2；（12）-8ax2+16axy-8ay2；（13）(a2+b2)2-4a2b2；（14）a4-2a2+1．4.分解因式（十字相乘法）：（1）x2-x-2；（2）x2+4x+3；（3）x2+x-6；（4）x2+3x-4；（5）x2-3x-10；（6）2x2+x-1；（7）3x2-5x+2；（8）3x2-x-10；（9）2x2+15x+7；（10）3x2+xy-2y2；（11）2x2+13xy+15y2；（12）x3-2x2-8x；（13）x4-7x2+12；（14）x4-6x2-27．5.分解因式（分组分解法）：（1）a2-ab+ac-bc；（2）2ax-10ay+5by-bx；（3）m2-5m-mn+5n；（4）3ax+4by+4ay+3bx；（5）1-4a2-4ab-b2；（6）a2+6a+9-9b2；（7）9ax2+9bx2-a-b；（8）a2-2a+4b-4b2．6.用适当的方法分解因式：（1）a2-8ab+16b2-c2；（2）4xy2-4x2y-y3；（3）2(a-1)2-12(a-1)+16；（4）(x+1)(x+2)-12；（5）(2a-b)2+8ab；（6）x2-2xy+y2-2x+2y+1．【参考答案】：一、知识点睛1.把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式．2.提公因式法要注意：①公因式要提尽，②首项为负时，先提负号，③提公因式后项数不变．3.运用公式法要注意：①能提公因式先提公因式，②找准公式中的a和b．4.分解因式是有顺序的，记住口诀：“一提二套三分四查”；分解因式是有范围的，目前我们是在有理数范围分解因式．二、精讲精练1．③⑤⑥2．（1）-a(a-1) （2）2ab(4a+1)（3）6ab (2a -4b +1)（4）(b +c )(2a -1) （5）(a -b )(m +n )（6）(m -2)(a -b ) （7）3()x y -（8）1(1)m x x -+ 3．（1）(2x -3)(2x +3)（2）2(43)x + （3）2(2)x y --（4）4(m +2n )(2m +n ) （5）22()()()x y x y x y -++（6）4(a -2)(a +2) （7）2ab (b -1)(b +1)（8）(2x -5)(x -2)(x +2) （9）2(3)m n +-（10）2(332)x y -- （11）29(2)x y -（12）28()a x y -- （13）22()()a b a b -+（14）22(1)(1)a a -+ 4．（1）(x -2)(x +1)（2）(x +1)(x +3) （3）(x -2)(x +3)（4）(x +4)(x -1) （5）(x -5)(x +2)（6）(x +1)(2x -1) （7）(3x -2)(x -1)（8）(3x +5)(x -2) （9）(2x +1)(x +7)（10）(3x -2y )(x +y ) （11）(2x +3y )(x +5y )（12）x (x -4)(x +2) （13）2(3)(2)(2)x x x --+（14）2(3)(3)(3)x x x ++-5．（1）(a +c )(a -b )（2）(2a -b )(x -5y ) （3）(m -n )(m -5)（4）(a +b )(3x +4y ) （5）(1-2a -b )(1+2a +b )（6）(a +3b +3)(a -3b +3) （7）(a +b )(3x -1)(3x +1)（8）(a -2b )(a +2b -2) 6．（1）(a -4b -c )(a -4b +c )（2）2(2)y y x -- （3）2(a -3)(a -5)（4）(x -2)(x +5) （5）2(2)a b +（6）2(1)x y --因式分解的四种方法（随堂测试）1. 下列分解因式正确的是（ ）A ．-a +a 3=-a (1+a 2)B ．2a -4b +2=2(a -2b )C ．a 2-4=(a -2)2D ．a 2-2a +1=(a -1)2 2. 下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）A ．x 2+1B ．x 2+2x -1C ．x 2+x +1D ．x 2+4x +4 3. 分解因式:（1）2x 2-4x +2；（2）x 2+3x +2；（3）x 2-2xy +y 2+x -y ；（4）a (a +3)-3(a +3)；（5）x 2y -y ；（6）a 2-2ab +b 2-4c 2．【参考答案】1．D ．2．D ．3．（1）22(1)x -（2）(x +1)(x +2) （3）(x -y )(x -y +1)（4）(a +3)(a -3) （5）y (x -1)(x +1)（6）(a -b -2c )(a -b +2c )．因式分解的四种方法（作业）1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的（）A．(a+3)(a-3)=x2-9 B．x2+x-5=(x-2)(x+3) +1C．a2b+ab2=ab(a+b) D．x2+1=1 () x xx+2.把代数式3x3-6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（）A．x(3x+y)(x-3y) B．3x(x2-2xy+y2)C．x(3x-y) D．3x(x-y)23.分解因式：（1）3a2b+6ab2-3ab；（2）y(x-y) -(y-x)；（3）4a2-4a+1；（4）x2-5x+6；（5）16-8(x-y)+(x-y)2；（6）x4-1；（7）(a2+1)2-4a2；（8）2a2+7a+3；（9）8(x2-2y2) -x(7x+y)+xy；（10）ab-5bc-2a2+10ac；（11）3m(2x-y)2-3mn2；（12）x2-6xy+8y2；（13）ab-ac+bc-b2；（14）a2-b2+2a+2b；（15）a 2-b 2+a -b ；（16）(x +2)(x +4)+x 2-4；（17）a (a +b )2+b (a +b )2； （18）a 3+a 2-a -1；（19）a 2-4a +4-b 2；（20）a 2+2ab +b 2-2a -2b +1；（21）x 3-4x 2-12x ；（22）x 2-2x -8；（23）a 2-ab -6b 2；（24）2x 2-3x +1；（25）(x +y )2+(x +y )-2；（26）x 4-5x 2+4；（27）3x 2-5xy -2y 2；（28）(x -1)(x -2) -20．【参考答案】1．C ．2．D ．3．（1）3ab (a +2b -1)（2）(x -y )(y +1) （3）2(21)a -（4）(x -2)(x -3)（5）2(4)x y --（6）2(1)(1)(1)x x x -++ （7）22(1)(1)a a -+（8）(2a +1)(a +3) （9）(x -4y )(x +4y )（10）(b -2a )(a -5c ) （11）3m (2x -y -n )(2x -y +n ) （12）(x -2y )(x -4y )（13）(b -c )(a -b )（14）(a +b )(a -b +2) （15）(a -b )(a +b +1)（16）2(x +1)(x +2) （17）3()a b +（18）2(1)(1)a a +- （19）(a -2-b )(a -2+b )（20）2(1)a b +- （21）x (x -6)(x +2)（22）(x -4)(x +2) （23）(a -3b )(a +2b )（24）(2x -1)(x -1) （25）(x +y -1)(x +y +2)（26）(x -2)(x +2)(x -1)(x +1) （27）(3x +y )(x -2y )（28）(x -6)(x +3)．。
因式分解的四种方法(讲义及答案)
3. 因2式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是 有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．
精讲精练
1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．
（5） xm xm1 ． 解：原式=
3. 因式分解（公式法）： （1） 4x2 9 ； 解：原式=
（2）16x2 24x 9 ； 解：原式=
（3） 4x2 4xy y2 ； 解：原式=
（4） 9(m n)2 (m n)2 ；
解：原式=
（5） (x 3y)2 2(x 3y)(4x 3y) (4x 3y)2 ； 解：原式=
（6） x (2x 5) 4(5 2x) ；
2
解：原式=
（7） 8ax2 16axy 8ay2 ； 解：原式=
（8） x4 y4 解：原式= ；
（9） a4 2a2 1 ； 解：原式=
（10） (a b ) 4a b
2
22
解：原式=
22
．
4. 因式分解（分组分解法）： （1） 2ax 10ay 5by bx ； 解：原式=
91=__________；
102=__________．
3. 探索新知： （1） 993 99能被 100 整除吗？ 小明是这样做的：
993 99 99 99 2 991 99 (99 2 1) 99 (99 1)(99 1) 99 9 800 99 98100
① 3x2 y2 3 x2 y2 ；
人教九年级数学上册《因式分解法》课件
5．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4＝0；
解：x1＝2，x2＝－2 (2)x2－2 3x＝0；
解：x1＝0，x2＝2 3
(3)(3－x)2－9＝0；
解：x1＝0，x2＝6 (4)x2－4x＋4＝(3－2x)2. 解：x1＝1，x2＝53
知识点2：用适当的方法解一元二次方程
6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0时，我们可以将x＋1看成一个整
8．方程x(x－1)＝－x＋1的解为( D )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x1＝0，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝－1
9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )
A．(2x＋2)(3x＋4)＝0化为2x＋2＝0或3x＋4＝0
B．(x－3)(x＋1)＝1化为x－3＝1或x＋1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
2．解一元二次方程，首先看能否用___直__接__开__平__方__法______；再看 能否用____因__式__分__解__法______；否则就用____公__式__法_____；若二次项 系数为1，一次项系数为偶数可先用__配__方__法_____．
知识点1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( C )
解：x1＝x2＝2
(2)(x－3)2＝3(x－3)．
解：x1＝3，x2＝6
15．用适当的方法解下列方程：
(1)4(x－1)2＝2；
解：x1＝
22＋2，x2＝－
2＋2 2
(2)x2－6x＋4＝0；
解：x1＝3＋ 5，x2＝3－ 5
(3)x2－4＝3x－6；
解：x1＝1，x2＝2 (4)(x＋5)2＋x2＝25.
第9课 因式分解(2)
第9课 因式分解(2)【知识要点】因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、因式定理分解等有关内容和方法。
【例题选讲】1.添项.拆项分组法添项、拆项的目的是把某些在乘法过程中被合并的项复原，以便在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式。
十字相乘法其实是一种拆项法，配方法其实是一种添项法。
例1、分解因式(1) 4323-+x x (2) 444b a + (3)4224y y x x ++例2、分解因式(1)2426923+++x x x (2)abc c b a 3333-++例3、已知a 、b 、c 都是非零整数，且a 2+b 2+c 2=1,3)11()11()11(-=+++++ba c a cbc b a ,求a+b+c 的值。
2.待定系数法若两多项式f (x )=g (x )，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决.例4、分解因式3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4分析：观察该式子的前3项，发现3x 2+5xy -2y 2＝(x +2y )(3x -y ),因此想到设3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4=( x +2y +a )( 3x-y+b ),两边算出来以后，比较两边的系数即可得到a 、b .例5、已知多项式x 3+bx 2+cx +d 的系数都是整数,若bd+cd 是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.3、换元法把式子中的某些比较复杂的部分看作一个整体，并用一个字母暂时代替，称为换元法，换元以后能使得整个式子得到简化，各项之间的关系更加清晰。
如何换元，则需要仔细观察。
例6、分解因式 (x 2+x +1)(x 2+x +2)-12例7、证明: 若a 为整数a (a +1)(a +2)(a +3)+1必为完全平方数。
初中数学因式分解方法三
初中数学因式分解方法三稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊初中数学里超级有趣的因式分解方法三。
你知道吗，因式分解就像是解开一个神秘的谜题，而这第三种方法，就是我们的秘密武器之一。
先来说说这个方法叫啥，它叫“十字相乘法”。
听名字是不是有点酷？那怎么用呢？比如说一个二次三项式x² + 5x + 6 。
我们要把中间的 5x 拆分成两个数相加，这两个数相乘还得等于 6 。
这时候就得开动我们聪明的小脑袋瓜啦！2 和 3 相乘等于 6 ，2 加 3 又等于 5 ，所以就可以写成 (x + 2)(x + 3) 。
哎呀，是不是感觉有点神奇？多练几次你就会发现，这其实不难。
还有哦，有时候可能一次没找对那两个数，别着急，重新试试就行。
比如说x² 7x + 10 ，我们找 2 和 5 ，相乘得 10 ，相加得7 ，那就可以写成 (x 2)(x 5) 。
学会了这个方法，做数学题的时候那可真是如虎添翼呀！怎么样，小伙伴们，有没有觉得十字相乘法挺好玩的？赶紧多练练吧！稿子二哈喽呀，同学们！今天接着给大家讲讲初中数学因式分解的方法三。
这个方法可厉害了，能帮咱们轻松解决好多难题。
它叫“分组分解法”，听起来有点复杂，其实很简单的。
比如说有个式子a² ab + ac bc 。
咱们可以把它分成两组，(a² ab) 和 (ac bc) 。
然后分别提取公因式，第一组提出 a ，就变成 a(a b) ；第二组提出 c ，变成 c(a b) 。
你看，这时候它们都有 (a b) ，那就能写成 (a b)(a + c) 啦。
再举个例子，比如 2ax + 2ay 3bx 3 ，我们可以分成 (2ax + 2ay) 和 ( 3bx 3) 。
第一组提 2a ，变成 2a(x + y) ；第二组提 3b ，变成 3b(x + y) 。
最后就得到 (2a 3b)(x + y) 。
是不是发现只要找对分组的方法，就能很快分解出来啦？不过有时候分组可能不太容易一下子想出来，别灰心，多试试不同的组合。
多项式的因式分解(第3课时)(课件)-七年级数学下册课件(苏科版)
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
运用公式法
完全平方公式 : a2±2ab＋b2＝(a±b)2
公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式.
课堂检测
1.下列各式能用完全平方公式分解因式的是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
2．若关于x的多项式x2＋mx＋1可分解成(x＋n)2，则n等于( A )
④a2－8a+( 16 ) =a2－2∙( a )∙( 4 )+( 4 )2=( a－4 ) 2
例题讲解
练一练：
2.将下列各式分解因式.
(1)a2－18a+81
(2)4a 2 +9b 2 +12ab
解：原式＝a2－2·a·9＋92
原式＝4a2+12ab+9b2
＝(a－9)2
加法交换律
＝(2a)2+2·2a·3b＋(3b)2
第九章 · 整式乘法与因式分解
9.5
多项式的因式分解
第3课时 用完全平方公式分解因式
学习目标
1．进一步理解完全平方公式的形式和特征，会
运用完全平方公式分解因式；
2．通过对比乘法公式和公式法因式分解的联系，
进一步ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ展逆向思维．
知识回顾
我们已经学过哪些分解因式的方法？
提公因式法： ab+ac+ad = a (b+c+d)
20232－4046×2022＋20222
解：原式＝20232－2×2023×2022＋20222
＝(2023－2022)2
＝1
新知巩固
初中数学一元二次方程的解法(三)因式分解法(学生版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第04课 一元二次方程的解法（三）--因式分解法课程标准课标解读1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。
掌握一元二次方程的简便算法；知识点01 因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理为：如果0a b ，那么0a或0b；推广到一元二次方程中：若一元二次方程()()0ax b mx n ，那么或，解得两个实数根。
1.c 特殊因式分解法解一元二次方程： 我们已知20(0)axbx c a 中，c=0时，方程必有一根为0：因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。
2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 提公因式法 2()()0ax b ax b 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式； 完全平方公式法2222()a abb ab使用场景：等号一侧为完全平方式（即计算△=0） 平方差公式法22()()a b a b a b使用场景：平方减平方形式：例如22()-()0axb mx n十字相乘法2121212()=()()x x x x x x x x x x使用场景：前两种方法都不能用时；【知识拓展】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的知识精讲目标导航积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程20axbx c有两个实数根12,x x ，那么可以将一元二次方程写成：12()()0xx x x ，化简得21212()0x x x xx x ；有对应相等得：22221212121200()0()0b c x x ax bx c a axx x xx x x x x x x x可得：当二次项系数为1时，一次项系数b 为两实数根和的相反数；常数项c 为两实数根的积； 对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。
初中数学经典课件：因式分解(人教版)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
多项式的因式分解-第3课时(课件)七年级数学下册(苏科版)
（2）(x-y)2-1=________(x_-_y_+_1_)_(_x_-_y_-1__) ___________.
01 知问识题精引讲入
Q2：下列四项式能否因式分解
（1）ax+bx+ay+by；
（2）x2-2xy+y2-1.
提公因式？ 运用公式？
× 【结论】不能因式分解？
没有公因式！ (灬ꈍ ꈍ灬)
或者 第一步：分组提公因式 （选择x、y作为公因式） 原式=(ax-bx)+(ay-by) =x(a-b)+y(a-b) 第二步：提公因式(a-b) =(a-b)(x+y)
02 知识精讲
【1】因式分解——二二分组： （2）ac2+bd2-ad2-bc2
【解答】
第一步：分组提公因式
第三步：运用平方差公式
平方差公式——两项 完全平方公式——三项 but now——四项
01 知问识题精引讲入
Q3：完成下列表格 因式分解 (a+b)(x+y)
(x-y+1)(x-y-1)
原式 x(a+b)+y(a+b)
(x-y)2-1
(完整版)因式分解常用方法(目前最牛最全教案)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学识题的有力工具．因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，比如：（ 1） (a+b)(a- b) = a 2222-b) ；-b ---------a-b =(a+b)(a(2) (a± b) 2 = a2± 2ab+b2——— a 2±2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a 22333322；-ab+b ) =a+b ------ a+b =(a+b)(a-ab+b )(4) (a-b)(a 2+ab+b2 ) = a3-b3 ------a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) ．下边再增补两个常用的公式：2222(5)a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；(6)a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)(a2 +b2+c2-ab-bc-ca) ；例 .已知a，b，c是ABC 的三边，且a2b2c2ab bc ca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形C等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2b2c2ab bc ca2a22b22c22ab2bc 2ca ( a b)2(b c) 2(c a)20 a b c三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn剖析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不可以运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有b，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，而后再考虑两组之间的联系。
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9【因式分解（三）】
【知识目标】
模块－换元法
知识导航
换元法：任分解结构比较复杂的多项式时，将其中某些相同部分看作－个整体，用新字母代替（即换元）后再运用提公因式法、公式法、＋字相乘法等方法和技巧继续进行因式分解的方法．
换元法能大大降低多项式结构复杂程度，使问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式的次数等方方面有独到的作用．
换元法通过等量代换引入新字母，故需在换元分解完全后再换回来，换回来仍要继续分解完全，即换元后勿忘还元，还元后继续分解完全．
【例】（x2＋x＋1）（x2＋x＋2）－12
【思路分析】
通过观察多项式容易发现x2＋x＋1与x2＋x＋2接近相同，且区别明显，相差1，故可以通过换元令x2＋x＋1=A，x2＋x＋2 =A＋1将原多项式简化为A（A＋1）－12，实现减项、降次，使问题简单化．
【解】令x2＋x＋1=A，则x2＋x＋2 =A＋1→等量代换换元
原式= A（A＋1）－12→换元化简
= A2＋A－12→展开按降幂排列
=（A＋4）（A－3）→＋字相乘法分解完全
=（x2＋x＋5）（x2＋x－2）→－等量代换还元
=（x2＋x＋5）（x＋2）（x－1）→＋字相乘法继续分解完全
通过上例过程可知，换元法分解因式的过裎可以归纳两个阶段：换元因式分解阶段和还元继续分解阶段，需要非常注意的是换元阶段和还元阶段都要分解彻底，
换元法体现了整体思想在因式分解中的运用，需要多练习来强化整体思想．
分解因式：（x2＋4x＋8）2＋3x（x2＋4x＋8）＋2x2
练习
分解因式：（x2＋5x＋7）2 ＋8x（x2 ＋5x＋ 7）＋15x2
例2
分解因式：
（1）（x2＋5x＋3）（x2＋5x＋5）＋1 （2）（x2－x－3）（x2–x－5）－3
例3
分解因式：
（1）（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）＋15 （2）（x2＋6x＋8）（x2＋14x＋48）＋1
练习
分解因式：（x－1）（x－2）（x－3）（x－6）＋x2
例4
分解因式：
（1）（6x－1）（4x－1）（3x－1）（x－1）＋9x4
（2）（x＋1）（2x＋1）（3x＋1）（4x＋1）＋x4
拓展
（1）因式分解：16（6x－1）（2x－1）（3x＋1）（x－1）＋25．
（2）若x、y是整数，求证：（x＋y）（x＋2y）（x＋3y）（x＋4y）＋y4是－个完全平方数，
模块二拆添项法
知识导航
拆项：把多项式中的某－项拆成两项或多项的代数和，叫做拆项．
添项：在多项式中添上两个只有符号不同的项，叫做添项．
1．为了便于分组分解，常常采用拆添项的方法，使得分成拆添项后分成的每－组都有公因式可以提或者应用公式．例如：
x4＋x3＋4x2＋ 3x＋3=x4＋x3＋（x2＋3x2）＋3x＋3= （x4＋x3＋x2）＋（3x2＋3x＋3）
2．对于－些按某某－字母降幂排列的三项式，拆开中项最常见.
例如：x3－9x＋8=x3－（x＋ 8x）＋8=（x3－x）－（8x－8）
3．对于－些次数相差比较大的题型，往往可以把所缺的次数－－补'齐．
例如：x3－9x＋8= x3－x2＋x2－x－8x＋8=（x3－x2）＋（x2－x）－（8x－8）
4．实际上，“配方法”就是－种特殊的拆添项法，在使用配方法时，注意选取中间项的符号，以便于进－步的平方差分解．
例如x4＋4 =x4＋（4x2－ 4x2）＋4=（x4＋4x2＋4）－4x2
题型－拆添项分组构造公因式
例5
分解因式：
（1）x3－28x＋27 （2）a4－4a＋3
（3）x3 ＋6x＋11x＋6 （4）x4＋x3－3x2－4x－4
练习
分解因式：
（1）x3＋3x2－4 （2）2a3＋5a2＋5a＋6
题型二拆添项分组构造公式
例6
分解因式：
（1）x4＋4 （2）x4＋x2y2＋y4
（3）x8＋x4＋1 （4）x4－7x2y2＋81y4
练习
分解因式：
（1）x4＋4y4（2）x4－3x2＋1
拓展
分解因式：（x＋1）4＋（x2－1）2＋（x－1）4
例7
分解因式：
（1）a4＋2a3b＋3a2b2＋2ab3＋b4（2）x4＋2x3＋3x2＋2x＋1
（1）a3＋3a2＋3a＋2 （2）a3＋3a2＋3a＋b3＋3b2＋3b＋2
第9讲因式分解（三）
A基础巩固
1.分解因式．
（1）（x2＋5x＋2）（x2＋5x＋3）－12 （2）（a－1）（a－2）（a－3）（a－4）－24 （3）（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋6）＋x2（4）（6x－1）（2x－1）（3x－1）（x－1）＋x2（5）（a2＋1）＋（a2＋ 5）2－4（a2＋3）2（6）（x2＋xy＋y2）2－ 4xy（x2＋y2）
B综合训练
2.分解因式
（1）x3－3x2＋4 （2）x3－6x2＋11x－6
（3）x4－7x2＋1 （4）x4－51x2＋1
（5）x 4＋2x 3－9x 2－2x ＋8 （6）x 4 ＋x 2＋2ax ＋1－a 2
课外阅读
多项式有理根的性质
对于多项式1211210n n n n n n a x a x a x a x a ----+++⋅⋅⋅+，若存在有理根x=c （即存在一个因式x －c ），
则c =p q
的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数 待定系数法：
如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等。
即：
如果1211210n n n n n n a x a x a x a x a ----+++⋅⋅⋅+=1211210n n n n n n b x b x b x b x b ----+++⋅⋅⋅+恒成立，那么
n n a b =，11n n a b --=，···，11a b =，00a b =。
待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解。
例题剖析
【例】分解因式：432
23x x x x ++-+
【思路分析】
根据多项式有理根的性质可知，原式的有理根只可能为1,3±±，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有对应的一次因式，所以此题用因式定理行不通。
确定了因式分解的结果不含一次因式，即确定了分解结果只可能为两个整系数的二次因式的乘积。
由于原式（降幂排列）首项系数为1，故两个二次因式首项系数也为1.故可设 4322223()()x x x x x ax b x cx d ++-+=++++，将右侧相乘因式展开后，令对应系数相等，解方程即可。
【解】设432
23x x x x ++-+
=432
()()()x a c x b d ac x ad bc x bd ++++++++ 对比等式左右32,,x x x 的系数及常数项，得： 1213
a c
b d a
c a
d bc bd +=⎧⎪++=⎪⎨+=-⎪⎪=⎩ （1） 故bd=3 (b,d 都是整数）得13b d =⎧⎨=⎩ 或 13
b d =-⎧⎨=-⎩ ①当13b d =⎧⎨=⎩
时，代入（1）得a=-1,b=1,c=2,d=3, 故原式=22(1)(23)x x x x -+++
②当13
b d =-⎧⎨=-⎩时，代入（1）得方程组无解。
综上：43223x x x x ++-+=22(1)(23)x x x x -+++
【练】 用待定系数法分解因式
（1）51x x ++ （2）54
1x x ++。