平面一般力系的平衡方程
平面一般力系的平衡方程及其应用
MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。
平面一般力系的平衡和应用
由 mA (Fi ) 0
P2aNB 3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
解除约束
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
衡第 三
静节 定 和物 超体 静系 定的
平
三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知
P =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求铰链支座A和
B的约束反力.
P
1m
q
C
2m
A
2m
为载荷集度(单位为牛顿/米)，其左端的集度为零，右端集度为 q 。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束 力。
首先在 O 点建立坐标系
y
第二步作受力分析
q
Foy
q
• 主动力为分布载荷（忽略重
力），且为一平行力系
O Fox
• 约束反力：
x
dx
l
x
Aq
FA
O 为固定铰支座，A 为活动铰 支座。
和 物 RC = 7.07 kN
B XB
YB
2m
Q
C
RC
2m
超 体 整体分析
P
静系
Q
定的 平
A
XA
mA
YA 2m
B
C
RC
2m
2m 2m
衡第
P = 30kN, Q = 20kN, = 45o
三 静节 定
Xi = 0 Yi = 0
XA - 20 cos45o = 0 XA = 14.14 kN YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA = 37.07 kN
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意
平面一般力系的二力矩式平衡方程
平面一般力系的二力矩式平衡方程平面一般力系的二力矩式平衡方程引言在物理学和工程学中，力学的平衡是一个重要的概念。
力学的平衡可以分为平面力系的平衡和空间力系的平衡。
在本文中，我们将讨论平面力系的平衡，并重点关注二力矩式平衡方程。
平面力系的定义和特点平面力系是指作用在一个平面内的一组力。
平面力系具有以下特点：1. 所有的力和力矩都在一个平面内；2. 力系中的力可以同时作用在一个物体的不同点上；3. 力系中的力可能会产生力矩。
力矩的概念力矩是指力对旋转物体造成的影响。
它由两个因素确定：力的大小和作用点与旋转轴的距离。
力矩的大小可以通过以下公式计算：M = Fd其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示力的作用点与旋转轴之间的距离。
力矩的方向可以通过以下规则确定：1. 如果力的作用点在旋转轴上，力矩的大小为零；2. 如果力由旋转轴向外作用，力矩的方向为顺时针方向；3. 如果力由旋转轴向内作用，力矩的方向为逆时针方向。
二力矩式平衡方程的推导在平面力系中，如果力系处于平衡状态，那么力系的合力和合力矩都必须为零。
根据牛顿第一定律，合力为零意味着物体的加速度为零；根据牛顿第二定律，合力矩为零意味着物体的角加速度为零。
设平面力系中共有n个力，分别记为F1, F2, ..., Fn。
考虑到每个力都可以产生力矩，那么每个力产生的力矩之和为：M1 + M2 + ... + Mn = 0力矩的正负号要根据力矩的方向来确定，根据上述力矩的规则，如果力矩是顺时针方向的，那么取正号；如果力矩是逆时针方向的，那么取负号。
根据力矩的计算公式，将每个力的力矩带入上述方程，得到二力矩式平衡方程：F1d1 + F2d2 + ... + Fndn = 0这就是平面力系的二力矩式平衡方程。
应用实例下面通过一个实例来说明如何应用二力矩式平衡方程。
假设有一个悬臂梁，上面有一个重物挂着。
悬臂梁的长度为L，重物的质量为m，重物与悬臂梁的连接处距离悬臂梁固定点的距离为d。
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
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3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
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例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
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在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
平面一般力系的平衡方程的三种形式
平面一般力系的平衡方程的三种形式
平面一般力系的平衡方程有以下三种形式：
1. 矢量和式形式：若平面一般力系中作用力F1、F2、F3、...、Fn与参考点O的连线分别为r1、r2、r3、...、rn，且F1、F2、
F3、...、Fn的和为零，则平衡条件可以表示为F1 + F2 + F3 + ...
+ Fn = 0。
2. 分力和式形式：根据平面一般力系的平衡条件，可以将作用
在此力系上的力分解为水平分力和垂直分力。
平衡条件可以表示为水
平分力的和等于零，即∑Fx = 0；垂直分力的和等于零，即∑Fy = 0。
3. 正负向分式形式：根据平面一般力系的平衡条件，可以选择
合适的坐标系，将力的方向分为正向和负向。
若力Fi与坐标系确定的
正向相背离，则可表示为Fi > 0；若力Fi与坐标系确定的正向相同，则可表示为Fi < 0。
平衡条件可以表示为所有正向力的代数和等于所
有负向力的代数和，即ΣFi > 0 - ΣFi < 0 = 0。
以上是平面一般力系的平衡方程的三种形式。
3.平面一般力系
个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR，其作用 线离O点的距离为 d MO，/ F利R 用主矩的转向来 确定合力FR的作用线在简化中心的哪一侧。
FR′
FR
FR′
FR
Mo
O Mo O d O
O d
(2)若 FR 0，M，O 则 0原力系简化为一个力。在这种情 况下，附加力偶系平衡，主矢即为原力系的合力FR
必然为零。因此，FR 0，M O 0 就是平面一般力
系平衡的必要与充分条件。
由此可 得平面 一般力 系的平 衡方程 为：
Fx 0 Fy 0
M
O
(
F
)
0
例1：求图示梁支座
y
F
的约束反力。已知 ： Fy
F 2kN a 2m A
Fx
解:取梁为研究对象。
a
a
受力图如图示。建
F
FB
Bx
3.平面一般力系
定义：作用在物体上的各力的作用线都在同一
平面内，既不相交于一点又不完全平行，这样
的力系称为平面一般力系。如图起重机横梁。
FAy
FT
FAx
G
Q
平面一般力系的简化 1.力的平移定理
F′
= O d F A
F″
F′
OM d A
M F，F Fd M O F
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的 任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩 等于原力对平移点的力矩。
例3: 如图所示一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C
联接起来，通过铰链A、B与桥基联接。已知 G=40kN，P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约
束反力。
3m
解:取整体为研究对象 画出受力图，并建立 如图所示坐标系。列 平衡方程
平面一般力系
l FAyl P 2 Q(l a) 0
FAx l
tg
P
l 2
Qa
0
FAy 2.1KN
FAx 11.4KN
18
平面一般力系的平衡方程:
① 基本式（一矩式） ②二矩式
③三矩式
Fx 0
Fy 0
MO (Fi ) 0
Fx 0
MA(Fi ) 0
MB(Fi ) 0
MA(Fi ) 0
20
§3-4 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
y
F1
x1
FR'
Mo o
x2
xR xn
F2 FR
Fn
设有F1, F2 … Fn 为一平行力系，
向O点简化得：
主矢 FR Fi
主矩 MO MO(Fi ) Fi xi
合力作用线的位置为：
xR
MO FR
F 对新作用点B的矩。
[证]
'
M
M
力F
力系 F,F ,F
力 F 力偶（ F， F ）
4
说明： ①力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d ②力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶 ③力线平移定理的逆定理成立。力力+力偶 ❖力线平移定理是力系简化的理论基础。 ❖力线平移定理可将组合变形转化为基本变形进行研究。
A
B
②当Q=180kN时，求满载
时轨道A、B给起重机轮子的反
力？
分析：
Q过大，空载时有向左倾翻的趋势。
Q过小，满载时有向右倾翻的趋势。 24
解：⑴ ①首先考虑满载时，起
重机不向右翻倒的最小Q为：
第四章 平面力系简化平衡方程
工程实例：
厂房吊车梁实例：
平面任意力系：
本章任务：
（1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 （2）掌握平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）
一、平面一般力系向一点(简化中心O点)简化：
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；
（2）列平衡方程， 求解未知力。 ∑X=0，XA +qL =0 XA A
1.5L
q
B
NB
L
X
∑Y=0，YA +NB
=0
YA
∑ mA（Fi）=0 1.5LNB -0.5L×qL =0
XA =-qL(←)
NB =qL/3
YA = -qL/3(↓)
[例4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在 水平力P的作用下各支座的约束反力。
[例4-1] 在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有 F1、 F2 、 F3 、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N， F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。
解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7N R′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1N R′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4N cos=60.7/122.4 , =60.27°
1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态。
平衡
2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩。并且简化结 果与 简化中心位置无关。
3-2平面一般力系的平衡与应用
一、导入由上节课的简化结果可知：若平面一般力系平衡，则作用于简化中心的平面汇交力系和附加力偶也必须同时满足平衡条件。
由此可知，物体在平面一般力系的作用下，既不发生移动，也不发生转动的静力平衡条件为：力系中的所有各力在两个不同方向的X\Y轴上投影的代数和均为零，且力系中各力对平面内任意一点的力矩大代数和也等于零。
二、新授3-2平面一般力系的平衡与应用一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用平面一般力系平衡的充要条件是力系主矢F R/ 和力系对某一点的主矩m o都等于零。
即：F R/ =0，m o =0要使F R/ =0，必须满足：∑F x =0 ∑F y =0要使m o =0，必须满足：∑m o（F）=0于是，平面一般力系的平衡条件可表达为：∑F x =0基本形式∑F y =0∑m o（F）=0 力矩方程平面一般力系有三个独立方程。
例1：钢筋混凝土钢架的受力及支座情况如图。
已知F=10KN，m=15KN.m，钢架自重不计，求支座反力。
平面一般力系平衡必须同时满足三个平衡方程式，这三个方程彼此独立，可求解三个未知量。
因此，平面一般力系平衡的充要条件又可叙述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零，而且力系中所有各力对任一点力矩的代数和也等于零。
解：1、刚架为研究对象，画刚架的受力图， 建立坐标轴2、列平衡方程求解未知力 ∑F x =0 F －F BX ＝0 F BX ＝F ＝10KN∑m A （F ）=0 －F ×3－m ＋F BY ×3＝0 F BY ＝15KN （） ∑F y =0 F A ＋F BY ＝0 F A ＝－F BY ＝－15KN （） 二、平面一般力系平衡方程的其他形式 1、二力矩式平衡方程的基本形式并不是唯一的形式，还可以写成其他的形式,它与基本形式的平衡方程是等效的,但往往应用起来会方便一些。
形式：三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程00===∑∑∑xBA Fm m如果力系满足0=∑A m 的方程,简化结果就不可能是个合力偶,而只能是合力或平衡；若是合力则合力应通过A 点,同理,力系又满足0=∑B m ，则此合力还应通过B 点,也就是说,力系如果有合力则合力作用为AB 连线,又因为力系还满足=∑xF的方程，则进一步表明力系即使有合力,这合力也只是能与X 轴相垂直,但附加条件是AB 连线不与OX 轴垂直。
九平面一般力系平衡方程的其他形式
第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式,除了这种形式外,还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式;1．二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点A 、B 及X 轴,如图4－13所示,可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式,即⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000B A M M X 4－6 式中X 轴不与A 、B 两点的连线垂直;证明：首先将平面一般力系向A 点简化,一般可得到过A 点的一个力和一个力偶;若0A =M 成立,则力系只能简化为通过A 点的合力R 或成平衡状态;如果0B =∑M 又成立,说明R 必通过B;可见合力R 的作用线必为AB 连线;又因0=∑X 成立,则0X =∑=X R ,即合力R 在X 轴上的投影为零,因AB 连线不垂直X 轴,合力R 亦不垂直于X 轴,由0X =R 可推得0=R ;可见满足方程4－6的平面一般力系,若将其向A 点简化,其主矩和主矢都等于零,从而力系必为平衡力系;2．三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A 、B 、C,如图4－14所示,则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式,即⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000C B A M M M 4－7式中,A 、B 、C 三点不在同一直线上;同上面讨论一样,若0A =∑M 和0B =∑M 成立,则力系合成结果只能是通过A 、B 两点的一个力图4－14或者平衡;如果0C =∑M 也成立,则合力必然通过C 点,而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点,除非合力为零,0C =∑M 才能成立;因此,力系必然是平衡力系;综上所述,平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程,即式4－5、式4－6、式4－7,在解题时可以根据具体情况选取某一种形式;无论采用哪种形式,都只能写出三个独立的平衡方程,求解三个未知数;任何第四个方程都不是独立的,但可以利用这个方程来校核计算的结果;例4－7 某屋架如图4－15a 所示,设左屋架及盖瓦共重kN 31=P ,右屋架受到风力及荷载作用,其合力kN 72=P ,2P 与BC 夹角为︒80,试求A 、B 支座的反力;解 取整个屋架为研究对象,画其受力图,并选取坐标轴X 轴和Y 轴,如图4－15b 所示,列出三个平衡方程kN39.2342.0770cos 070cos 02A 2A =⨯=︒==︒-=∑P X P X X30tan 470cos 1270sin 416 0221B A =︒⨯⨯︒+⨯︒-⨯-⨯=∑P P P Y MkN34.516577.0342.07494.0712341630tan 70cos 470sin 124221B =⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯=︒⨯︒-︒+=P P P Y 030tan 470cos 470sin 12 16 0221A B =︒⨯⨯︒+⨯︒++-=∑P P P Y MkN24.41630tan 70cos 470sin 412221A =︒⨯︒+︒+=P P P Y校核94.07334.524.470sin 21B A =⨯--+=︒--+=∑P P Y Y Y 说明计算无误;例4－8 梁AC 用三根支座链杆连接,受一力kN 50=P 作用,如图4－16a 所示;不计梁及链杆的自重,试求每根支座链杆的反力;解 取AC 梁为研究对象,画其受力图,如图4－16b 所示;列平衡方程时,为避免解联立方程组,最好所列的方程中只有一个未知力,因此,取A R 和B R 的交点O １为矩心列平衡方程kN 2.376866.05045.0502660sin 460cos 2 0460sin 260cos 6 0C C O 1=⨯⨯+⨯⨯=︒+︒==⨯︒-⨯︒-⨯=∑P P R P P R M取B R 与C R 的交点O 2为矩心列平衡方程260sin 460cos 45cos 60A O 2=⨯︒-⨯︒+︒⨯-=∑P P R M kN99.216707.0)866.05025.0504(6)60sin 260cos 4(A =⨯⨯⨯+⨯⨯=︒+︒=P P R 取 060cos 45cos 45cos 0B A =︒-︒-︒=∑P R R XkN 37.13707.05.050707.099.2145cos 60cos 45cos A B -=⨯-⨯=︒︒-︒=P R R校核866.0502.37707.037.13707.099.2160sin 45sin 45sin C A =⨯-+⨯-⨯=︒-+︒+︒=∑P R R R Y B说明计算无误;3．平面力系的特殊情况平面一般力系是平面力系的一般情况;除前面讲的平面汇交力系,平面力偶系外,还有平面平行力系都可以看为平面一般力系的特殊情况,它们的平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到,现讨论如下;1平面汇交力系对于平面汇交力系,可取力系的汇交点作为坐标的原点,图4－17a 所示,因各力的作用线均通过坐标原点O,各力对O 点的矩必为零,即恒有0O =∑M ;因此,只剩下两个投影方程0 0=∑=∑Y X即为平面汇交力系的平衡方程;2平面力偶系平面力偶系如图4－17b 所示,因构成力偶的两个力在任何轴上的投影必为零,则恒有0=∑X 和0=∑Y ,只剩下第三个力矩方程,但因为力偶对某点的矩等于力偶矩,则力矩方程可改写为0O =∑m即平面力偶系的平衡方程;3平面平行力系平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互平行的力系,如图4－17Ｃ所示,选OY 轴与力系中的各力平行,则各力在X 轴上的投影恒为零,则平衡方程只剩下两个独立的方程⎭⎬⎫=∑=∑00O M Y 4－8若采用二力矩式4－6,可得⎭⎬⎫=∑=∑00B A M M 4－9式中A 、B 两点的连线不与各力作用线平行;平面平行力系只有两个独立的平衡方程,只能求解两个未知量;例4－9 图4－18所示为塔式起重机;已知轨距m 4=b ,机身重kN 260=G ,其作用线到右轨的距离m 5.1=e ,起重机平衡重kN 80=Q ,其作用线到左轨的距离m 6=a ,荷载P 的作用线到右轨的距离m 12=l ,1试证明空载时0=P 时起重机时否会向左倾倒2求出起重机不向右倾倒的最大荷载P ; 解 以起重机为研究对象,作用于起重机上的力有主动力G 、P 、Q 及约束力A N 和B N ,它们组成一个平行力系图4－18;（1）使起重机不向左倒的条件是0B ≥N ,当空载时,取0=P ,列平衡方程0)( 0B A =+-⋅+⋅=∑b e G b N a Q M[][]0kN 5.237680)45.1(26041)(1B >=⨯-+=⋅-+=a Qb e G b N 所以起重机不会向左倾倒（2） 使起重机不向右倾倒的条件是0A ≥N ,列平衡方程[]l P e G b a Q bN l P e G b N b a Q M ⋅-⋅-+==⋅-⋅-⋅-+=∑)(10)( 0A A B欲使0A ≥N ,则需0)(≥⋅-⋅-+l P e G b a Q[][]kN17.345.1260)46(80121)(1=⨯-+=⋅-+≤e G b a Q l P 当荷载kN 17.34≤P 时,起重机是稳定的;二、物体系统的平衡前面研究了平面力系单个物体的平衡问题;但是在工程结构中往往是由若干个物体通过一定的约束来组成一个系统;这种系统称为物体系统;例如,图示4－19a 所示的组合梁,就是由梁AC 和梁CD 通过铰C 连接,并支承在A 、B 、D 支座而组成的一个物体系统;在一个物体系统中,一个物体的受力与其他物体是紧密相关的；整体受力又与局部紧密相关的;物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系统的整体都处于平衡状态;在研究物体系统的平衡问题时,不仅要知道外界物体对这个系统的作用力,同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力;通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力,系统内各物体之间的相互作用力称为内力;例如图4－19b 的组合梁的受力图,荷载及A 、B 、D 支座的反力就是外力,而在铰C 处左右两段梁之间的互相作用的力就是内力;应当注意,外力和内力是相对的概念,是对一定的考察对象而言的,例如图4－19组合梁在铰C 处两段梁的相互作用力,对组合梁的整体来说,就是内力,而对左段梁或右段梁来说,就成为外力了;当物体系统平衡时,组成该系统的每个物体都处于平衡状态,因而,对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程;如果该物体系统有n 个物体,而每个物体又都在平面一般力系作用下,则就有n 3个独立的平衡方程,可以求出n 3个未知量;但是,如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平行力系的作用,则独立的平衡方程将相应减少,而所能求的未知量数目也相应减少;当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目,则未知量可由平衡方程全部求出,这样的问题称为静定问题;当未知量的数目超过了独立平衡方程数目,则未知量由平衡方程就不能全部求出,这样的问题,则称为超静定问题,在静力学中,我们不考虑超静定问题;在解答物体系统的平衡问题时,可以选取整个物体系统作为研究对象,也可以选取物体系统中某部分物体一个物体或几个物体组合作为研究对象,以建立平衡方程;由于物体系统的未知量较多,应尽量避免从总体的联立方程组中解出,通常可选取整个系统为研究对象,看能否从中解出一或两个未知量,然后再分析每个物体的受力情况,判断选取哪个物体为研究对象,使之建立的平衡方程中包含的未知量少,以简化计算;下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法; 例4－10 组合梁受荷载如图4－20a 所示;已知kN,161=P kN 202=P ,m kN 8⋅=m ,梁自重不计,求支座A 、C 的反力;解 组合梁由两段梁AB 和BC 组成,作用于每一个物体的力系都是平面一般力系,共有6个独立的平衡方程；而约束力的未知数也是6A 处有三个,B 处有两个,C 处有1个;首先取整个梁为研究对象,受力图如图4－20b 所示;kN1060cos 060cos 02A 2A =︒==︒-=∑P X P X X其余三个未知数A Y 、A m 和C R ,无论怎样选取投影轴和矩心,都无法求出其中任何一个,因此,必须将AB 梁和BC 梁分开考虑,现取BC 梁为研究对象,受力图如图4－20c 所示;kN1060cos 060cos 02B 2B =︒==︒-=∑P X P X XkN66.8260sin 0160sin 2 02C 2B =︒==⨯︒-=∑P R P R M C kN66.860sin 060sin 02C B 2B C =︒+-==︒-+=∑P R Y P Y R Y再回到受图4－20bkN98.655260sin 4 0260sin 45 0C 12A A 12C A =+-+︒==+-⨯-︒-=∑m R P P m m m P P R MkN66.2460sin 060sin 0C 21A 21C A =-︒+==︒--+=∑R P P Y P P R Y Y校核：对整个组合梁,列出866.82866.020111666.24398.65260sin 113-C 21A A B =-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-=-+︒⨯-⨯+=∑mR P P Y m M 可见计算无误;例4－11 钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图4－21a 所示,已知kN/m 16=q ,kN 24=P ,求支座A 、B 和铰C 的约束反力;解 三铰刚架由左右两半刚架组成,受到平面一般力系的作用,可以列出六个独立的平衡方程;分析整个三铰刚架和左、右两半刚架的受力,画出受力图,如图b 、c 、d 所示,可见,系统的未知量总计为六个,可用六个平衡方程求解出六个未知量;1取整个三铰刚架为研究对象,受力图如图4－21b 所示 ()kN471048161161048 0B B A =⨯+⨯⨯==⨯+⨯-⨯⨯-=∑P q Y Y P q M()kN1056128161166128 0A A B =⨯+⨯⨯==⨯-⨯+⨯⨯=∑P q Y Y P q M(a)0B A B A X X X X X ==-=∑2取左半刚架为研究对象,受力图如图4－21c 所示()kN41488818488 0A A A C =⨯⨯-==⨯-⨯⨯+⨯=∑q Y X Y q X M A kN 238 08 0A C C A =-⨯==⨯-+=∑Y q Y q Y Y YkN41 0X 0A C C A ===-=∑X X X X将A X 值代入a,可得kN 41A B ==X X校核：考虑右半刚架的平衡,受力图如图4－21d 所示04141B C =-=-'=∑X X X841847224882B B C =⨯-⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯-=∑X Y P M 0242347-C B =--=-'=∑P Y Y Y可见计算无误;4－12 图4－22a 所示,在支架上悬挂着重kN 4=P 的重物,B 、E 、D 为铰接,A 为固定端支座,滑轮直径为300mm,轴承C 是光滑的,其余尺寸如图示;各杆和滑轮、绳子重量不计,求A 、B 、C 、D 、E 各处的反力;解：本结构中,DE 为二力杆,因此D 、E 处铰链反力有1个未知量；A 为固定端支座有3个未知的约束反力；B 、C 处铰链反力各有2个未知量；滑轮两边的绳子拉力各有1个未知量；共10个未知量;考虑到AB 、BC 和滑轮三个构件处于平衡,其可写9个平衡方程；再加上重物在二力作用下处于平衡,可有1个平衡方程;平衡方程的数目恰好等于未知量的数目;取整个结构为研究对象,图4－22b 列平衡方程0 0==∑A X XkN4 0 0===-=∑P Y P Y Y A AkN6.815.24 015.2 0A A A =⨯==⨯-=∑m P m M考虑重物的平衡图4－22e 根据二力平衡公理知kN 41==P T考虑滑轮的平衡图4－22d,列平衡方程kN4 015.015.0 01212C ===⨯-⨯=∑T T T T M可见,在不计轴承摩擦的情况下,滑轮处于平衡时,其两边绳子的拉力相等;kN 83.245cos 045cos 02C 2C =︒==︒-=∑T X T X XkN83.645sin 045sin 021C 21C =︒+==︒--=∑T T Y T T Y Y再考虑BC 杆的平衡图4－22c,列平衡方程kN32.1945cos 2 0145cos 2 0CC B =︒==⨯︒⋅+⨯-=∑Y S S Y MkN 83.1045sin 045sin 0C B B -=︒-==-︒+=∑S X X X S X X CkN83.645cos 045cos 0C B B =-︒==-︒+-=∑Y S Y Y S Y Y C校核：取BC 杆平衡图4－22c,由于0707.032.19183.6245sin 12B C =⨯⨯-⨯=︒⋅-=∑S Y M可见计算无误;。
5-2 平面一般力系的平衡
FL
11
答案：
m
FA y
A
F Ax
A
AB梁:
Q 1 qL 2
Fx 0
B
F Ax 0
Fy 0
F Ay Q 0
1 F Ay 2 qL
mA 0
mA
Q
L 3
0
mA
qL2 6
12
其他例题
P92-94例5-2，例5-3，例5-5 。
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梁的自重不计
求：A、B支座反力。 解：取简支梁AB为研究对象
Q
1 2
qc
L 2
3kN
AD 2 L L 2m 32 3
yQ F
F L/3 L
x
αF
mA 0
F B cos 300 L m Q AD 0
F B 1.54kN （ ）
FX 0
α
F Ax F B sin 300 0
e G1
由(4)、(5)式 得：
G3
G1(b a
e)
6
A
B
FN A
b
FN B
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致
翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：
G2L G1e ab
G3
G1(b a
e)
8
例4.匀质刚杆ABC
θ
FA
P
θ θ
θ 2P
已知: BC=2AB=2L
mA 0
求：当刚杆ABC平衡时 BC与水平面的倾角θ? 解：取刚杆ABC为研究
2P
L
cos
L
cos(900
)
P
L 2
cos(900
平面一般力
平面一般力平面一般力系：平面一般力系：指的是力系中各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面一般力系。
又称为平面任意力系。
平面一般力系通常可以简化为一个力和一个力偶共同作用的情况。
平面一般力系的平衡条件是;平面一般力系中，所有各力在力系作用的平面内，两个互相垂直的坐标轴上投影的代数和分别等于零。
即平面一般力系平衡的充分必要条件：主矢量和主矩都为零。
其平衡方程为：ΣFx=0ΣFy=0ΣMo（F）=0即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零；力系中所有各力对于任一点的力矩的代数和等于零2.平衡方程的应用平衡方程虽然有三种形式，但不论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程。
因此，应用平面一般力系的平衡方程，只能求解三个未知量。
应用平面一般力系平衡方程解题的步骤如下：①确定研究对象。
根据题意，取能反映出未知量和已知量关系的物体为研究对象。
②画受力图。
在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。
约束反力根据约束类型来画。
约束反力的方向未定时，一般可用两个相互垂直的分反力表示；当约束反力的指向未定时，必须先假设其指向。
如计算结果为正，则表示假设的指向正确；如果计算结果为负，则表示真实的指向与假设的相反。
③建立坐标系，列平衡方程。
选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心。
选取哪种形式的平衡方程，完全取决于计算的方便与否。
通常力求在一个平衡方程中只包含一个未知量，以免求解联立方程。
在应用投影方程时，投影轴应尽可能选取与较多的未知力的作用线垂直；应用力矩方程时，矩心应选取在两个未知力的交点。
计算力矩时，要善于运用合力矩定理，以便使计算简单。
④解平衡方程，求得未知量。
⑤校核。
列出非独立的平衡方程，以检查解题的正确与否。
平面力系的平衡方程及应用
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即 110()0i n R i n O O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式：11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足()0O M F ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yF F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：1、电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并确定其数值。
解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2Q P P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
平面一般力系平衡方程的其他形式
第九讲内容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。
1．二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点A、B及X轴，如图4 —13所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即X0M A 0 (4 —6)M B 0式中X轴不与A B两点的连线垂直。
证明：首先将平面一般力系向A点简化，一般可得到过A点的一个力和一个力偶。
若M A 0成立，则力系只能简化为通过A点的合力R或成平衡状态。
如果M B 0又成立，说明R必通过B。
可见合力R的作用线必为AB连线。
又因X 0成立，则R x X 0，即合力R在X轴上的投影为零，因AB连线不垂直X轴，合力R亦不垂直于X轴，由R X 0可推得R 0。
可见满足方程(4 - 6)的平面一般力系，若将其向A点简化，其主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。
2．三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即M A 0M B 0M C 0式中，A B、C三点不在同一直线上。
A B C,如图4—14所4—7)同上面讨论一样，若M A 0和M B 0成立，则力系合成结果只能是通过A、B两点的一个力（图 4 —14）或者平衡。
如果M C 0也成立，则合力必然通过C点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，除非合力为零，M e 0才能成立。
因此，力系必然是平衡力系。
综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（4 - 5）、式（4 —6）、式（4—7）,在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。
无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。
任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。
【例4 —7】某屋架如图 4 —15 （a）所示，设左屋架及盖瓦共重P 3kN，右屋架受到风力及荷载作用，其合力P2 7kN , P2与BC夹角为80，试求A、B支座的反力。
平面力系的平衡方程
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
解：取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
FE' 12.5kN
取右边刚架,画受力图. M C 0 6FBy 10FBx 4P FE 0 解得
M
A
0 MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得： FAx 316.4kN FAy 300kN
MA 1188kN m
已知： P kN, P2 200kN, 尺寸如图； 1 700 求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3；
解得
FDB
3 2 ( 拉) P 8
求:
力偶矩M 的大小，轴承O处 的约束力，连杆AB受力，冲 头给导轨的侧压力。 取冲头B,画受力图. Fiy 0 F FB cos 0
解:
F
ix
0 FN FB sin 0
FN F tan FR l 2 R2
F Fl 解得： FB cos l 2 R2
三矩式
A, B, C
三个取矩点，不得共线
§3-2
平面平行力系的平衡方程
0 0 0 0 Fx 0 反例力偶 F F F 0 F 0 1 2 3 y Fx 0 F1 cos F2 cos F3 cos 0
取轮,画受力图：
F
ix
0
Fox FA sin 0
Fox
第四章平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程分解
2）列平衡方程，求解未知量
m 0
FRA 4 cos 450 m 0
解得：
FRA
FRB
m 4 cos450
3.5kN
Fx 0 FP FRBx 0
Fy 0
FRA FRBy q 3 0
mB (F) 0
FP
3
FRA
3
q
3
3 2
0
解得：
FRBx 5kN
FRA 28kN
FRBy 38kN
2.平衡方程的二矩式
Fx 0 mA(F)
0
（A与B两点的连线不垂直于x轴）
mB
(F
)
0
3.平衡方程的三矩式
第四章 平面一般力系的简化及平衡方程
§4.1 平面一般力系的简化 §4.2 平面一般力系的平衡方程及其应用 §4.3 物体系的平衡问题
§ 4-2 平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和力
系对于任一点的矩都等于零，即： FR' 0, M0 0
由此平衡条件可导出不同形式的平衡方程。
1.平面汇交力系的平衡方程
1）平面汇交力系平衡的必要与充分 的解析条件是：各力在两个坐标轴 上投影的代数和分别等于零
Fx 0
Fy
0
2）平面汇交力系平衡的必要与充分 的几何条件是：力多边形自行封闭
利用几何法求解平面汇交力系的平衡 问题时，画出自行封闭的力多边形 ， 然后按比例尺从力多边形中直接量出 未知力的大小即可。
16 0.8
2
20
12(kN)
FRAy P qa FRB 20 20 0.8 12 24(kN)
[例]如图所示一钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平
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．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．
线
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．
分配记
20
∑Fy＝0
∑MO(F)＝0
不难看出，平面平行力系的二矩式平衡方程为
∑MＡ(F) ＝0
∑MＢ(F) ＝0
其中A、B两点的连线不能与各力平行。
平面平行力系只有两个独立的方程，因而最多能解出两个未知量。
三.应用平面一般力系平衡方程的解题步骤如下：
(1) 根据题意，选取适当的研究对象。
(2) 受力分析并画受力图。
(3) 选取坐标轴。
坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。
(4) 列平衡方程，求解未知量。
列力矩方程时，通常选未知力较多的交点为矩心。
(5) 校核结果。
应当注意：若由平衡方程解出的未知量为负，说明受力图上原假定的该未知量的方向与其实际方向相反。
而不要去改动受力图中原假设的方向。
例4-2 已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力。
解(1) 画受力图，并建坐标系
(2) 列方程求解
图4-8
分配记
20例4-3 如图3-9所示外伸梁上作用有集中力FC＝20kN，力偶矩M＝10kN.m ，载荷集度为q＝10kN/m的均布载荷。
求支座A、B处的反力。
图4-9
解取水平梁AB为研究对象, 画受力图如图4-9(b)所示。
列平衡方程并求解
分配记
结果均为正，说明图示方向与实际方向一致。
例3-4 塔式起重机如图4-10所示。
设机架自重为G，重心在C点，与右轨
距离为e，载重W，吊臂最远端距右轨为l，平衡锤重Q，离左轨的距离为a，
轨距为b。
试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。
图4-10
解取塔式起重机为研究对象，作用在起重机上的力有重物W、机架重G、
平衡锤的重力Q及钢轨的约束反力NA和NB，这些力构成了平面平行力系，起
重机在该平面平行力系作用下平衡。
(1)满载时W＝Wmax，Q＝Qmin，机架可能绕B点右翻，在临界平衡状
态，A处悬空，NA＝0，受力图如图3-10b所示。
则
分配记
(2)空载时W＝0，Q＝Qmax，机架可能绕A点左翻，在临界平衡状态，
B处悬空，NB＝0，受力图如图3-10c所示。
则
故平衡锤的范围应满足不等式
例4-5 一简易起重机如图4-11所示。
横梁AB的A端为固定铰支座，B端用
拉杆BC与立柱相连。
已知梁的重力G1＝4kN,载荷G2＝12kN，横梁长L＝6m，
α＝30°，求当载荷距A端距离x＝4m时，拉杆BC的受力和铰支座A的约束
反力。
图4-11
分配记解取横梁AB为研究对象，画受力图如图4-11(b)所示。
列平衡方程并求解
小结对于平面任意力系的三种形式的方程组，都可以求解平面任意力系的平衡问题。
但对于单个刚体来说，只能列出三个独立的方程，求解三个未知量。
在具体解题时，要通过合理选取矩心和投影轴，合理的选用方程组的形式，尽量避免联立解方程组的麻烦。
另外，平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。
复习思考题、作业题1、思考平面汇交力系的平衡方程中，可否取两个力矩方程，或
一个力矩方程和一个投影方程？这时，其矩心和投影轴的选择有什么限制？
2、课本习题4-7、4-6。
下次课预习要点物体系的平衡
静定和超静定问题
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