大物理论课实验6新4-5有效数字及数据处理
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乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算 各数中有效数字位数最少的为准。
– – – 例 5 3.21 6.5 = – 21 3.21 – 6.5 ————— –– ––
– ————— 结果为 21 –– ––
1605 – 1926
20.865
3.乘方与开方 结果的有效数字与其底或被开 运算规则：
②.小数点前面的“0” 和紧接 小数点后面的“0”不算作有效 数字
如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m 均是3位有效数字。
注意：在十进制单位中，进行 单位换算时，有效数字的位数 不变。
（二）数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104 又如数据为0.0000325 m，使用科学记数 法写成3.2510-5 m
f (H Z ) f S (H Z )
25.0 26.1 1.1
f ( H Z )
（二）作图规则
① 决定作图参量、选取坐标纸。
测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图 纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误 差位在小格之间估计。
坐标原点不一定与变量的零点一致。如果曲线上某一 段相对于x或y基本不变化，也可以省略这一部分（用 图线省略标记“∫∫”表示，如省略了一段的横线表示为 “—∫∫—”），以把有限的图幅用于其它部分。
U (V)
至此一张图才算完成
电阻伏安特性曲线
3. 校正曲线
举例：用电势差计校准量程为1mV的毫伏表， 测量数据如下（表中单位均为mV）。在如 图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并 对毫伏表定级别。
毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 0.100 0.1050 0.005 0.600 0.6030 0.003 0.200 0.2150 0.015 0.700 0.6970 -0.003 0.300 0.3130 0.013 0.800 0.7850 -0.015 0.400 0.4070 0.007 0.900 0.8920 -0.008 0.500 0.5100 0.010 1.000 1.0070 0.007
利用校正曲线可以提高仪器的准确度。
一信号源的输出频率有较大的误 差，可利用高精度的信号源对它 进行校正，校正结果如下：
次数 低精度信号源 高精度信号源 修正值 1 2 50.0 48.0 -2.0 3 75.0 77.0 2.0 4 100.0 100.0 0.0 5 125.0 124.0 -1.0
3.标实验点：
实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标 出（同一坐标系下不同曲 线用不同的符号）。
4. 连成图线：
2.00
用直尺、曲线板等把 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 U (V) 点连成直线、光滑曲线。 一般不强求直线或曲线通 过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图 线正穿过实验点时可以在点处断开。
2 2 2 2 2 2
2 65
2 N 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
（二）通过有效数字的运算法则确定 1.加减法 运算规则：
加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例3
应适当地选择比例和坐标原点，使曲线比较对称地充 满整个图纸，不要偏于一角或一边
I／mA
V／V
（c）省略不变化的部分（x轴−2.5 V − 0V之间）图线的I −V曲线 −2.5 − 0V之间省略
②标明坐标轴 和图名
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
0
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
U (V)
电阻伏安特性曲线
③标点
④连线
（三）常用的图表类型及应用
1．平滑曲线
图1 某气体在20℃时的p −V曲线系图
2. 拟合直线和拟合曲线
作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。
●
作图步骤：实验数据列表如下.
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
四、间接测量量有效数字的确定
(一）用不确定度来确定
A 62.5 0.1cm 2 N A B C 其中：
解：
B 1.234 0.003cm , C 5.43 0.06cm 试确定N的有效数字，写出其结果。
表1：伏安法测电阻实验数据
0.74 2.00 1.52 4.01 2.33 6.22 3.08 8.20 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01
U (V ) I (mA)
1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小
方数的有效数字位数相同。
如：
49 = 7.0
100=10.0
2=100102 100
4.02=16
2=16.0 4.0
正确
49 = 7
错误
4、对数 lgx的尾数与x的位数相同
例7
lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.297 lg 1983 = 3.29732714 3.2973
例如指针式电流表的仪器误差为1mA，零差为12mA是两位有效数字，修正值 −12mA也是两位有效数字。
2.偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对 不确定度等，所有位数都是可疑的，没有可靠 位数，只有可疑位数，都是一位有效数字。
为了减少计算误差，一般用两位可疑数字数字表示，但有效位数仍是一位。 u 例如 uA N = 0.053cm， 卷尺 = 0.29mm， g 0.14m/ s2 ， T 0.70% 都是一位
T
2 2 有效数字；g (9.9 0.1)m/s 中g是两位有效数字，g (9.87 0.14)m/s 中g也 是两位有效数字。
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
如果误差不知道时，读至仪器最小分度的下一位
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
（三）有效数字与仪器的关系
有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字） 20分度游标卡尺 L=2.数
1.已定的系统误差（比如零差）及相应的相对
误差、修正值具有若干位可靠数字和一位可疑 数字，即有多位有效数字。
根据表１数据U 轴可选1mm对应于0.10V，I 轴可选1mm对应于 0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约 为130mm×130mm。
2. 标明坐标轴：
用粗实线画坐标轴， 用箭头标轴方向，标坐标 轴的名称或符号、单位, 再按顺序标出坐标轴整分 格上的量值。
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00
T (C )
RT ()
二、作图法
（一）作用与优、缺点 A.图线是依据许多
。 。 。 。 。
。
数据点描出的平滑 曲线，因而具有取 平均的效果，从图 线我们可以看出偶 然误差的大小以及 判断是否存在系统 误差。
B.直接得到经验公式(求斜率与截距）
直线方程为 y=ax+b
斜率为 a=
x x
第三节
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念 例：用米尺测量物体的长度
L1= 3.4 5 L2= 3.4 6
一、有效数字的概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
L＝34.5mm或34.6mm，如此米尺的仪器误差
是 米尺 0.15mm ，有效数字的最后一位是误差的 第一位。
电阻（RT） 温度（T）关系 ~
次数 1 5.0 10.32 2 10.0 10.51 3 15.0 10.64 4 20.0 10.79 5 25.0 10.94 6 30.3 11.08
(样品：铜 )
7 35.0 11.22 8 40.0 11.36 9 45.0 11.53 10 50.0 11.66
62 . 5 + 1. 234 = – 63 . 7 62.5 – + ————— 1.234 – – 63.7 – 结果为 63.7 34
–
–
–
例4
63 . 7 - 5. 43 = 58 – 63. 7 – 5. ————— 43 – – 58. 27 – 结果为 58.3
–
–
–
2.乘除法
运算规则:
当物体长度在24㎜与25㎜之间时， 读数为24.*㎜
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
小结
一.有效数字的概念 二.直接测量时有效数字的确定
三间接测量有效数字的运算规则
第四节
数 据 处 理
一、列表法
要求： 要把原始数据和必要的
运算过程中的中间结果 引入表中。 必须标明每个符号所代表 的物理量的意义，并写 明单位。 表中的数据要正确地反 映测量结果的有效数字。
通过测量温度T和在温度T下铜的电阻RT 来测量铜的电阻温度系数，得到T与RT的 数据列表如下：
2
N都是三位有效数字
N AB / C
其中：
A 3.21 0.01cm , B 6.5 0.2cm , C 21.843 0.004 cm
试确定N的有效数字。
解：
（1）先计算N
3.21 6.5 N 0.957 cm 21 .8
（2）计算不确定度 N
N
0.01 0.2 0.004 A B C N A B C 3.21 6.5 21.843
5.自然数与常量
自然数和常数、g、e等不是测量值，不存在 误差，故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位。
在运算中其位数可与参加运算的量中有效数字位 数最少的位数相同或多取一位。
例9
L=2R 其中R=2.3510-2m 就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
6.标出图名：
在图线下方或空白位 置写出图线的名称及某些 必要的说明。
由图上A、B两点可得被测电阻R为： U U A 7.00 1.00 R B 0.379( k) I B I A 18.58 2.76
A(1.00,2.76)
0
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
2 1
y2 y1
截距为
b=y3
y2 y1 x3 x2 x1
C.内插与外推
从图线可得到非测量点的数据。如图所示： *当数据在测量范围内时为内插（X1,Y1） *当数据在测量范围外时为外推（X2,Y2）
利用内插或外推使 测量范围得到了扩 展，并且方便快捷、 避免了复杂的计算。
D.校正曲线
2
2
（1）求出N的不确定度 N
N
2 A 2 B
2 2
2 C
2 A
2
2 C
(0.1) (0.06 ) 0.12 cm
（2）
N 62.5 1.234 5.43 58.304(cm )
2
（3）用不确定度决定结果的有效数字
N (58.30 0.12)cm 2 或 N (58.3 0.1)cm
5.标出图线特征：
在图上空白位置标明 实验条件或从图上得出的 某些参数。如利用所绘直 线可给出被测电阻R大 小：从所绘直线上读取两 点 A、B 的坐标就可求出 R 值。
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
B(7.00,18.58)
二、注意与说明
（一）关于“0”的有效问题 ①.当“0”在数字中间或末尾时有效 2 12 如： .04 cm 、20.50m 、1.000 A 等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0” 数学上： .85 2.850 2.8500 2
2 物理上： .85cm 2.850 cm 2.8500 cm
– – – 例 5 3.21 6.5 = – 21 3.21 – 6.5 ————— –– ––
– ————— 结果为 21 –– ––
1605 – 1926
20.865
3.乘方与开方 结果的有效数字与其底或被开 运算规则：
②.小数点前面的“0” 和紧接 小数点后面的“0”不算作有效 数字
如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m 均是3位有效数字。
注意：在十进制单位中，进行 单位换算时，有效数字的位数 不变。
（二）数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104 又如数据为0.0000325 m，使用科学记数 法写成3.2510-5 m
f (H Z ) f S (H Z )
25.0 26.1 1.1
f ( H Z )
（二）作图规则
① 决定作图参量、选取坐标纸。
测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图 纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误 差位在小格之间估计。
坐标原点不一定与变量的零点一致。如果曲线上某一 段相对于x或y基本不变化，也可以省略这一部分（用 图线省略标记“∫∫”表示，如省略了一段的横线表示为 “—∫∫—”），以把有限的图幅用于其它部分。
U (V)
至此一张图才算完成
电阻伏安特性曲线
3. 校正曲线
举例：用电势差计校准量程为1mV的毫伏表， 测量数据如下（表中单位均为mV）。在如 图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并 对毫伏表定级别。
毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 0.100 0.1050 0.005 0.600 0.6030 0.003 0.200 0.2150 0.015 0.700 0.6970 -0.003 0.300 0.3130 0.013 0.800 0.7850 -0.015 0.400 0.4070 0.007 0.900 0.8920 -0.008 0.500 0.5100 0.010 1.000 1.0070 0.007
利用校正曲线可以提高仪器的准确度。
一信号源的输出频率有较大的误 差，可利用高精度的信号源对它 进行校正，校正结果如下：
次数 低精度信号源 高精度信号源 修正值 1 2 50.0 48.0 -2.0 3 75.0 77.0 2.0 4 100.0 100.0 0.0 5 125.0 124.0 -1.0
3.标实验点：
实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标 出（同一坐标系下不同曲 线用不同的符号）。
4. 连成图线：
2.00
用直尺、曲线板等把 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 U (V) 点连成直线、光滑曲线。 一般不强求直线或曲线通 过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图 线正穿过实验点时可以在点处断开。
2 2 2 2 2 2
2 65
2 N 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
（二）通过有效数字的运算法则确定 1.加减法 运算规则：
加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例3
应适当地选择比例和坐标原点，使曲线比较对称地充 满整个图纸，不要偏于一角或一边
I／mA
V／V
（c）省略不变化的部分（x轴−2.5 V − 0V之间）图线的I −V曲线 −2.5 − 0V之间省略
②标明坐标轴 和图名
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
0
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
U (V)
电阻伏安特性曲线
③标点
④连线
（三）常用的图表类型及应用
1．平滑曲线
图1 某气体在20℃时的p −V曲线系图
2. 拟合直线和拟合曲线
作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。
●
作图步骤：实验数据列表如下.
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
四、间接测量量有效数字的确定
(一）用不确定度来确定
A 62.5 0.1cm 2 N A B C 其中：
解：
B 1.234 0.003cm , C 5.43 0.06cm 试确定N的有效数字，写出其结果。
表1：伏安法测电阻实验数据
0.74 2.00 1.52 4.01 2.33 6.22 3.08 8.20 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01
U (V ) I (mA)
1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小
方数的有效数字位数相同。
如：
49 = 7.0
100=10.0
2=100102 100
4.02=16
2=16.0 4.0
正确
49 = 7
错误
4、对数 lgx的尾数与x的位数相同
例7
lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.297 lg 1983 = 3.29732714 3.2973
例如指针式电流表的仪器误差为1mA，零差为12mA是两位有效数字，修正值 −12mA也是两位有效数字。
2.偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对 不确定度等，所有位数都是可疑的，没有可靠 位数，只有可疑位数，都是一位有效数字。
为了减少计算误差，一般用两位可疑数字数字表示，但有效位数仍是一位。 u 例如 uA N = 0.053cm， 卷尺 = 0.29mm， g 0.14m/ s2 ， T 0.70% 都是一位
T
2 2 有效数字；g (9.9 0.1)m/s 中g是两位有效数字，g (9.87 0.14)m/s 中g也 是两位有效数字。
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
如果误差不知道时，读至仪器最小分度的下一位
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
（三）有效数字与仪器的关系
有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字） 20分度游标卡尺 L=2.数
1.已定的系统误差（比如零差）及相应的相对
误差、修正值具有若干位可靠数字和一位可疑 数字，即有多位有效数字。
根据表１数据U 轴可选1mm对应于0.10V，I 轴可选1mm对应于 0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约 为130mm×130mm。
2. 标明坐标轴：
用粗实线画坐标轴， 用箭头标轴方向，标坐标 轴的名称或符号、单位, 再按顺序标出坐标轴整分 格上的量值。
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00
T (C )
RT ()
二、作图法
（一）作用与优、缺点 A.图线是依据许多
。 。 。 。 。
。
数据点描出的平滑 曲线，因而具有取 平均的效果，从图 线我们可以看出偶 然误差的大小以及 判断是否存在系统 误差。
B.直接得到经验公式(求斜率与截距）
直线方程为 y=ax+b
斜率为 a=
x x
第三节
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念 例：用米尺测量物体的长度
L1= 3.4 5 L2= 3.4 6
一、有效数字的概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
L＝34.5mm或34.6mm，如此米尺的仪器误差
是 米尺 0.15mm ，有效数字的最后一位是误差的 第一位。
电阻（RT） 温度（T）关系 ~
次数 1 5.0 10.32 2 10.0 10.51 3 15.0 10.64 4 20.0 10.79 5 25.0 10.94 6 30.3 11.08
(样品：铜 )
7 35.0 11.22 8 40.0 11.36 9 45.0 11.53 10 50.0 11.66
62 . 5 + 1. 234 = – 63 . 7 62.5 – + ————— 1.234 – – 63.7 – 结果为 63.7 34
–
–
–
例4
63 . 7 - 5. 43 = 58 – 63. 7 – 5. ————— 43 – – 58. 27 – 结果为 58.3
–
–
–
2.乘除法
运算规则:
当物体长度在24㎜与25㎜之间时， 读数为24.*㎜
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
小结
一.有效数字的概念 二.直接测量时有效数字的确定
三间接测量有效数字的运算规则
第四节
数 据 处 理
一、列表法
要求： 要把原始数据和必要的
运算过程中的中间结果 引入表中。 必须标明每个符号所代表 的物理量的意义，并写 明单位。 表中的数据要正确地反 映测量结果的有效数字。
通过测量温度T和在温度T下铜的电阻RT 来测量铜的电阻温度系数，得到T与RT的 数据列表如下：
2
N都是三位有效数字
N AB / C
其中：
A 3.21 0.01cm , B 6.5 0.2cm , C 21.843 0.004 cm
试确定N的有效数字。
解：
（1）先计算N
3.21 6.5 N 0.957 cm 21 .8
（2）计算不确定度 N
N
0.01 0.2 0.004 A B C N A B C 3.21 6.5 21.843
5.自然数与常量
自然数和常数、g、e等不是测量值，不存在 误差，故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位。
在运算中其位数可与参加运算的量中有效数字位 数最少的位数相同或多取一位。
例9
L=2R 其中R=2.3510-2m 就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
6.标出图名：
在图线下方或空白位 置写出图线的名称及某些 必要的说明。
由图上A、B两点可得被测电阻R为： U U A 7.00 1.00 R B 0.379( k) I B I A 18.58 2.76
A(1.00,2.76)
0
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
2 1
y2 y1
截距为
b=y3
y2 y1 x3 x2 x1
C.内插与外推
从图线可得到非测量点的数据。如图所示： *当数据在测量范围内时为内插（X1,Y1） *当数据在测量范围外时为外推（X2,Y2）
利用内插或外推使 测量范围得到了扩 展，并且方便快捷、 避免了复杂的计算。
D.校正曲线
2
2
（1）求出N的不确定度 N
N
2 A 2 B
2 2
2 C
2 A
2
2 C
(0.1) (0.06 ) 0.12 cm
（2）
N 62.5 1.234 5.43 58.304(cm )
2
（3）用不确定度决定结果的有效数字
N (58.30 0.12)cm 2 或 N (58.3 0.1)cm
5.标出图线特征：
在图上空白位置标明 实验条件或从图上得出的 某些参数。如利用所绘直 线可给出被测电阻R大 小：从所绘直线上读取两 点 A、B 的坐标就可求出 R 值。
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
B(7.00,18.58)
二、注意与说明
（一）关于“0”的有效问题 ①.当“0”在数字中间或末尾时有效 2 12 如： .04 cm 、20.50m 、1.000 A 等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0” 数学上： .85 2.850 2.8500 2
2 物理上： .85cm 2.850 cm 2.8500 cm