配方实验设计

配方试验设计

配方试验设计

配方配比问题是工业生产及科学试验中经常遇到的一类问题，在化工、医药、食品、材料等工业领域，许多产品都是由多种组分按一定比例混合起来加工而成，这类产品的质量指标只与各组分的百分比有关，而与混料总量无关。为了提高产品质量，试验者要通过试验得出各种成分比例与指标的关系，以确定最佳的产品配方。

配方试验设计又称混料试验设计，其目的就是合理地选择少量的试验点，通过一些不同配比的试验，得到试验指标与成分百分比之间的回归方程，并进一步探讨组成与试验指标之间的内在规律。配方设计的方法主要有：单纯形格子点的设计，单纯形重心设计，配方均匀设计。

1 配方试验设计的约束条件

在配方试验或混料试验中，如果用y 表示试验指标，X 1,X 2,...,X m 表示配方中m 中组分各占的百分比，显然每个组分的比例必须都是非负的，而且它们的总和必须为1，所以混料约束条件可以表示为

()1...,,...,2,1021=+++=≥m j x x x m j x （1-1）

如果产品含有三种成分，其比例分别为x 1、x 2、x 3，则试验指标y 与x 1、x 2、x 3之间的三元二次回归方程可以表示为：

2333222221113223311321123322110ˆx b x b x b x x b x x b x x b x b x b x b b y +++++++++= （1-2） 由于

()()()()2132

331222

32121321001,1,1,x x x x x x x x x x x x x x x b b --=--=--=++= 整理可得

322331132112332211ˆx x b x x b x x b x b x b x b y

+++++= （1-3） 回归方程没有了常数项和二次项，只有一次项和交互项。 又由于 2131x x x --= ，所以上述回归方程还可以表示如下

22222111211222110ˆx b x b x x b x b x b b y

+++++= （1-4）

可见，在配方试验中，试验因素为各组分的百分比，而且是无印次的，这些因素一般是不独立的，所以往往不能直接使用前面介绍的用于独立变量的试验设方法。

2 单纯形配方设计

2.1 单纯形的概念

单纯形是指在一定空间中最简单的图形，它是n维空间中n+1个点的集合所形成的最简单封闭几何图形，如二维空间的单纯形为一个正三角形，三维空间的单纯形是一个正四面体，n维空间的单纯形有n+1个顶点。

若单纯形中任意两个顶点的距离都相等，则称这种单纯形为正规单纯形。例如组分数m=3的配方试验，各组分百分比x j (j=1,2,3)只能取在二维正规单纯形——等边三角形上：

图2-1 等边三角形

等边三角形的高为1，三角形内任一点F到三边的距离之和为1。

三角形的三个顶点分别代表单一组分的混料，三条边上的点表示对应两顶点纯组分的二元混合物，FA′代表F点的x1，FB′和FC′分别代表F点的x2、x3。

2.2 单纯形配方设计的回归模型

m种组分的d次多项式回归模型如下：

①一次式（d ＝1）

∑==m

j j j x b y

1

ˆ

②二次式（d ＝2）

∑∑<=+=j

k j k kj m

j j j x x b x b y

1

ˆ

2.3 单纯形格子点设计

单纯形格子点设计是Scheffe 于1958年提出的，它是混合配方设计中最早出现和最基本的一种设计方案。 1）单纯形格子点的表示

如果将图（2-2）中高为1的等边三角形三个边各二等分，如图（2-3）所示，则次三角形的三个顶点与三个边中点的总体成为二阶格子点数，记为{3,2}单纯形格子点设计，其中3表示正规单纯形的顶点个数，即组分数m=3，2表示每个边的等分数，即阶数d=2。