计算机图形学网格简化

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计算机图形学
局部判别准则
• 基于相邻面片和边界的局部平坦性原则
Schroeder 92
• 采用等距面来限定简化模型顶点的变化范围
Cohen 96
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Schroeder的局部判别准则
该判别准则分两种情况：
1） 对网格内部顶点
v ，记其周围相邻面片集为 S ，则该
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几何实现的概念
• 为此我们记 φV = φ|K | ，称为 M 在 R3 中的几何实现 (geometric realization)。 • 若φV (| K |) 不自交，则 φV 为1-1映射。此时，φV 为一嵌入映 射，即对 ∀p ∈ φV (| K |) ，存在唯一m维向量 b ∈| K | ，使 得 p = φV (b) 。我们将 b 称为 p 关于单纯复形的重心坐标 向量(barycentric coordinate vector)。事实上，b可表示为:
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胡事民 计算机科学与技术系
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第六讲
数字几何处理 之
层次细节简化技术
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主要内容
• 层次细节简化的背景和定义 • 网格简化的基本操作 • 长方体滤波 • 顶点删除技术 • 渐进的网格简化技术 • 基于二次误差度量的几何简化技术 • 专题：基于面片收缩操作的有效网格化简方法
E ( M ) = Edist ( M ) + E spring ( M ) + E scalar ( M ) + Edisc ( M )
(6.3)
= { x1,⋅⋅⋅, xn }
其中 E ( M )为 M 的距离能量，定义为点集 X 网格 M 的距离平方：
dist
到
Edist ( M ) = ∑ d 2 ( xi , φV ( K ))
•
对 P 上每个与三角形 Δv1v2v3 不相邻的三角面片 Δ j ，判 别 Δ j 是否与 Δv1v2v3 的基本柱体相交。可计算得到 q j 到
Δv1v2 v3 的距离 δ j 。
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Cohen的点删除流程
• 采用贪婪搜索策略，将原表面P的所有顶点列 入待处理的顶点队列。
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拓扑实现的概念
• 值得注意的是，单纯复形 K 并不包含点集 {i = 1, 2,L, m} 的所有子集，它仅包含了构造网格 M 所有面、边、顶 点的子集。为在结构上刻划单纯复形，我们引进拓扑 实现(topological realization) | K |的概念。
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网格化简的基本操作（3）
3. 面片收缩操作：网格上的一个面片收缩为一个顶点， 该三角形本身和与其相邻的三个三角形都退化
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基于长方体滤波的多面体简化
• 1993年，Rossignac和Borrel提出一个实用的、 能实时建立LOD模型的多面体简化算法。
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Cohen 的局部判别准则
• 多面体的包络（envelope）的概念。
多边形网格表面 P 可看作一张分片线性参数曲面。
r (u, v ) = ( rx (u, v ), ry (u, v ), rz (u, v ))
其单位法向量为
n(u, v ) = ( n x (u, v ), n y (u, v ), nz (u, v ))
• 对当前待处理顶点队列中的一顶点，算法尝试从P 上删除该顶点及与该顶点直接相邻的三角面片， 并试图用如下页所述的三角剖分方法来填补顶点 删除后在表面P上形成的空洞。
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• 若空洞位于P的包络内且能成功地被填补，则从当前队 列中删除该顶点，简化表面P的模型并重构原来与该顶 点相连接的各顶点的拓扑关系。否则，该顶点从当前 待处理队列中退出，表面P保持不变。上述过程直到待 处理顶点队列变空为止。 • 填补空洞: 方正率，位于P的包络内。
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背景: 图形学转折期的新方向
• 真实感的实时绘制问题变的日益突出，因为做实 时绘制，而开始了模型简化。今天从“场景简化技 术加速真实感画面生成”角度来讲简化。 • 92年开始，面片简化、压缩、信号处理、纹理合 成成为SIGGRAPH会议的一个热门话题；如今网 格模型的处理，如拓扑修复、细节建模、模型的 动画变形仍然是研究焦点；从而演化为数字几何 处理这一研究方向（下次课讲DGP的背景）
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• 该技术对一个原始多面体模型建立几个不同逼 近程度的几何模型。
– 从近处观察物体时，采用精细的模型， – 从远处观察物体时，采用较粗糙的模型。 – 当视点连续变化时，在两个不同层次的模型之间 存在一个明显的跳跃，有必要在相邻层次的模型 之间形成光滑的视觉过渡，即：几何形状过渡 (geomorphs)。
V = {vi ∈ R 3 | i = 1, 2,L , m} 是 M 的顶点位置向量集，它定义
^
了网格 M 在 R 3 中的形状。
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• 单纯复形 K 由顶点集 {i = 1, 2,L , m} 及其称之为单形的非空 子集组成 0-单形 {i} ∈ K 即为顶点，1-单形 {i, j} ∈ K 为一条边，而2单形 {i, j, k} ∈ K 为一个面。
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参考文献
• Cohen J, Varshney A, Manocha D, and Turner D, Simplification Evvelopes, Computer Graphics, 1996, 119128.
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渐进的网格简化技术
b =
∑
m
i =1
bi ei
φv ( K )上的任一点的 容易知道，当 M 为一三角片网格时， 重心坐标向量 b 中至多只有三个分量非零。
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显示能量函数度量
• 有了上述定义，Hoppe采用显式能量函数 E ( M ) 来度量 简化网格与原始网格的逼近度([HOPP96])：
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层次细节简化的研究方向
• 总之，层次细节简化技术的研究主要集中在： ① 建立不同层次细节的模型。对任意给定的复杂多边 形网格 M ，由精细至粗糙建立一模型序列：M 0 , M 1 ,L, M n 其中 M 0 = M 。 ② 建立相邻层次的多边形网格 M i , M i +1 (0 ≤ i < n ) 之间的几 ψ : M i → M i +1 。 何形状过渡：
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长方体滤波的缺点
• 方法的主要缺点是顶点的合并导致了一些重要 高频细节的丢失。
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参考文献
• Rossignac J, Borrel P, Mutli-Resolution 3D approximations for rendering complex scences, in Modeling in Computer Graphics, edit by B Falcidieno and T L Kunii, spring-Verleg, 1993, pp 455-465.
vi+ = vi + ε ni
r ε ( u , v ) = r ( u , v ) + ε n( u , v )
vi− = vi − ε ni
n i+ = n i− = n i
上述方法生成的 P( ±ε ) 可能出现自交现象。
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• 我们用解析法计算 ε 。 现来考察 P 上的任一 三角形 Δv1v2v3 。
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层次细节简化的应用
• 层次细节简化(LOD：Level of Details)技术主要 应用在： 简化采样密集的多面体网格 激光扫描测距系统扫描真实三维物体 三维场景的存储/传输/及绘制
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层次细节简化的定义
• 层次细节简化技术就是在不影响画面视觉效果 的条件下，通过逐次简化景物的表面细节来减 少场景的几何复杂性，从而提高绘制算法的效 率。
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网格化简的基本操作（1）
•
1.
三种不同的基本化简操作：
顶点删除操作：删除网格中的一个顶点，然后对它的 相邻三角形形成的空洞作三角剖分
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网格化简的基本操作（2）
2. 边压缩操作：网格上的一条边压缩为一个顶点，与该 边相邻的两个三角形的退化
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顶点删除技术
• 想法: 设法减少景物表面的采样点数目。
• 假设景物表面已离散为一系列三角形，顶点删除 算法首先从原始模型的顶点集中删除一些不重要 的顶点，同时从其面片集中删除与这些顶点相连 的所有面片。经上述操作后在原景物表面上留下 了一些空洞，算法再对这些空洞进行局部三角剖 分。
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长方体滤波的步骤（2）
• 最后属于同一类的顶点被合并为一代表点，而这 些代表顶点为原多面体所示景物的重新采样。基 于原多面体的拓扑结构和这些这些采样点可重新 产生一多面体。所得到的多面体即为保持一定层 次细节的模型。原多面体的包围盒剖分生成的子 空间越小，所得到的层次模型就越逼近于原多面 体。
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v2 ， 2） 对边界顶点 v ，记与它相邻的两个边界顶为 v1 ， 则其平坦性标准定义为 v 到 v1 与 v2 连线的距离。
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参考文献
• Schroeder W, Zarge J A, and Lorensen W E, Decimation of triangle meshes, Computer Graphics, 1992, 26-2, 65-70.
• 渐进网格算法中，任一网格 M 均可表示为一粗网格 M 0 ^ i 及n个逐步细化网格 M (i = 1, 2,L, n) 的变换，且有 M = M n • 一张网格 M 可定义为1个二元组 ( K ,V )。 其中 K 是一个单纯复形(simplicial complex)，它表示了M 的顶点、边和面的邻接关系；
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长方体滤波的步骤（1）
• 给定一个多面体 M ，记 K 为其拓扑，假设 M 已三角 化。算法首先建立 M 的长方体包围盒，并将该包围盒 所包围的空间均匀剖分成一系列的小长方体子空间， 然后采用各长方体子空间对景物顶点进行聚类合并， 位于同一长方体空间的顶点被归于同一类(Cluster)。
i =1
n
(6.4)
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• （6.3）式中 的弹性能量，这相当于在 M 的每条边上均放 置一条弹性系数为 k 的弹簧，即
(6.1)
f ∈S
点的平坦性标准由下述的距离来描述：
d = N ⋅ (v − C )
f ∈S
∑ n( f ) A( f ) ∑ c( f ) A( f ) C= 其中 N 为向量 的单位向量， ， ( ) A f A f ( ) ∑ ∑
f ∈S
f ∈S
c( f ) ， n( f ) 分别为三角面片的面积、中心和 这里A( f ) ， 法向量。
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• 若将顶点{i}(i = 1, 2,L , m )看成为R 中的基向量 ei = {0,L,0, i,0,L,0} 则定义在 R m 中的集合 | K |为 K 的拓扑实现：
| K |=
s∈ K
m
U
|s |
m
| s | 为s在 R 空间中的顶点的凸 其中s为 K 的一个单形， 包。
(6.2)
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P 的三维 ε 等距面定义为 • 对给定的 ε > 0 ，
近似地定义原始多边形网格 P 沿其正、负法向的 ε 等 距面 P ( +ε ) 和 P ( −ε ) 。 − + P ( + ε ) v P ( − ε ) v ε 等距面 和 上对应顶点 i ， i 及其法向 量可分别表示为