几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换

2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
中的参数rm
y
x
z
k1
k2
f
k3
例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线
对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其
焦距
fx
f
cos
R cos
2
对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线
（弧矢光线），其焦距
fy
f
cos
R
2 cos
高斯光束通过光学元件的变换
高斯函数
r2
e w2 (z)
二、高斯光束通过光学元件的变换－ABCD公式
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rm a x,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin
n sinn 1
1.自由空间
球面波
R1 z1, R2 z2
R2 R1 z2 z1 R2 L
R2 R1 L
高斯光束
q1 q0 z1 两式相减 q2 q0 z2
q2 q1 L
2.薄透镜(透镜焦距为F）
球面波
R1 R2 S1
S2 1 1 1 l1 l2 F
l1
l2
物距 像距 焦距
近轴情况 R1 l1, R2 l2 发散(+) 会聚(-)
1
rs
0
不稳定 rmax
往返周 期单位
S-4 S-3 S-2 S-1 S
稳定
S+1 S+2 S+3
设 rs r0 e j s r0e js
rs2
2(
A
2
D
)rs1
rs
0
r0e
js
e
j 2
2
A
2
D
e
j
1
0
e j
A D 2
j 1
A
D
2
1
2
2
rs
C1r0e js
C2r0*e js
、
ax
课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往的返传播矩阵:
Tn
A C
Bn D
1
sin
A
s
in
n
C
sinn
sin n
1
rnn T n r11
D
sin
B sin n
n sinn
1
其中 arccos1 A D
2
可求得rn,n
总结： 1、反射镜R符号规定： •凹面向着腔内， R>0，相当于凸薄透镜 f>0； •凸面向着腔内时，R<0，相当于凹薄透镜 f<0。 2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标（r0,0） 无关； 3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。
1 11 R2 R1 F
高斯光束
R1 R2
q1 q2
1 q2
1 R2
i w22
1 11 R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
3. 光学系统－传输矩阵为
A C
B D
的光学系统
1
2
R2
R1
r22
A C
B D
r11
球面波
r2 Ar1 B1 2 Cr1 D1
近轴光 ,
r2 R22 r1 R11
R2
r2
2
AR1 B CR1 D
•高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同
2 r 2 r
R
R
1
TR
2
R
0 1
1 1
f
0 1
f R 2
薄透镜与球面反射镜等效
6. ABCD矩阵的应用 － 球面镜腔
球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
r0 ,0 1 2
r1,1 3
r11 TR1TLTR2TL r00
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T
r00
A C
B D
r00
薄透镜与球面反射镜等效
C sin n
其中
arccos
1 2
A
D
D
sin
B sin n
n sinn
1
可求得rn,n
例： L 3
R2 4
g1
1
L R1
1;
g2
1
L R2
1 4
g1g2
1 4
1
r0
p
f
R
L p 1
2
T1
1
L f 1 f
L
2
L f
,
1 L f
A D 1 L
2
f
T2
1
2L
f 1
2L ,
1
A D 1 L
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
r0 ,0
A
B
r,
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
>0 < 0 <0
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
r0
n2
n1 n2
0
1 0 Tn1n2 0 n1 n2
4. 薄透镜传输矩阵
r, r,
r r r l r l
r 1 1 r 1
l
l
l l f
f
r r
1 0
1 r f
Tf
1
f
1
5.球面镜反射矩阵
r,
r r
r,
2
R
r CA DB r
f2
f1 1 f2
f1
f2
f1
f2
f1
r0 ,0
2
r1,13
L
往返周 期单位
f1
R1 2
f2
R2 2
r11
1
1 f1
0 1
1 0
L 1
1 1
f2
T
A C
B D
1
1 f1
0 1
1 0
A 1 L f2
0 1
1 0
L 1
r00
A C
B D
r00
T
r00
L
1
1 1
f2
0 1
1 0
L
1
B L 2
如果为实数，则能保证rs为有限值
要求1
A
D
2
0
1 cos A D 1
2
2
将A, D表示式代入:
A D 2 4
1 4
1
L f2
L f1
1
L f2
1
L f1
2
共轴球面腔的 稳定性条件
1
L 2 f1
L 2 f2
L2 4 f1 f2
1
L 2 f1
1
L 2 f2
g1 g 2
0 g1g2 1