几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
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高斯光束q参数的变换规律
真空电子技术
Klystron,
TWT, BWO…
0.2 ~ 2.0 0.1
< 100 uW 10-9 ~ 10-12
Joule
目前应用较多的 THz 源； 用于成像系统， 功率低。
1~100 mW 随频率提高， 输出功率显著下 降；最高频率小 于 1 THz。
THz 技术在国防上的重要作用。
● THz 雷达可成为未来高精度雷达的发展方向:
其中：
Rz
z1
f z
2
z
1
w02 z
2
w2 (z)
w02
1
z f
2
w02
1
z w02
2
经整理后可得： qz i w02 z if z q(0) z
高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2,q的规律为 ：
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
2 0
w02
1
w2
w2 R
÷÷2
B 4 (A D)2 2 (1 AD)
利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数
高斯光束的匹配
若使一个稳定腔所产生的高斯光束与另一个稳定腔产生 的高斯相匹配，需在合适的位置放置一个焦距适当的透镜， 使两束高斯光束互为物象共轭光束。该透镜称为模匹配透镜。
高斯光束的ABCD定律
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵
M1
A1 C1
B1
D
1
M2
A2 C2
B2 • • • • • •
D2
Mn
An Cn
Bn
Dn
总矩阵元M：
A M C
B D
An Cn
Klystron,
TWT, BWO…
0.2 ~ 2.0 0.1
< 100 uW 10-9 ~ 10-12
Joule
目前应用较多的 THz 源； 用于成像系统， 功率低。
1~100 mW 随频率提高， 输出功率显著下 降；最高频率小 于 1 THz。
THz 技术在国防上的重要作用。
● THz 雷达可成为未来高精度雷达的发展方向:
其中：
Rz
z1
f z
2
z
1
w02 z
2
w2 (z)
w02
1
z f
2
w02
1
z w02
2
经整理后可得： qz i w02 z if z q(0) z
高斯光束在自由空间由z1经距离L传播到z2,q的规律为 ：
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
2 0
w02
1
w2
w2 R
÷÷2
B 4 (A D)2 2 (1 AD)
利用ABCD矩阵很容易求出复杂光学谐振腔的基模参数
高斯光束的匹配
若使一个稳定腔所产生的高斯光束与另一个稳定腔产生 的高斯相匹配，需在合适的位置放置一个焦距适当的透镜， 使两束高斯光束互为物象共轭光束。该透镜称为模匹配透镜。
高斯光束的ABCD定律
如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵
M1
A1 C1
B1
D
1
M2
A2 C2
B2 • • • • • •
D2
Mn
An Cn
Bn
Dn
总矩阵元M：
A M C
B D
An Cn
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
g1g2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rmax,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin n sinn 1
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B
r0 ,0
r,
A
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
L
1
B
L 2
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A
2
D
)rs
1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
A处 qA = q0+ l
C处 qc= qB+ lc
第16讲 高斯光束的传输和变换
O
L
z1
z2
z
q2 q(z2 ) z2 if
q2 q1 L
16.2 高斯光束传输的基本规律
M1
w0
w1 w2
M2 w0
R1
R2
l
l
16.2 高斯光束传输的基本规律
1 11 R2 R1 F 由于透镜很薄，紧贴透镜的两侧等相位面上的光斑大小和
光强分布相同；
w2 w1
第16讲 高斯光束的传输和变换
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过长度为L的自由空间
R1 R(z1) z1 R2 R(z2 ) z2 R1 L
R( z1 )
O
z1
z2
z
R(z2 )
L
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过焦距为F的薄透镜
R
O
f1
w02
3.14 3104 632.8109
2
0.45 m
q0 if1
q1 q0 l1 0.1 0.45i m
q2
Fq1 F q 0.1 0.45i
0.18 0.085i
0
1
1.5 0.35
M
M3M2M1
5
0.5
输出光束的q参数为：
q4
1.5q1 0.35 5q1 0.5
(0.32
0.085i)
m
因此：
R1
1
r2
2
A C
B r1
D
第二讲 光线的传播与高斯光束
2 dn dr d r n 2 n dz dz d z
在二次折射率介质（或类透镜介质）中，折射率没有轴向 分布，仅有径向分布
K 2 n0 d 2r n n n xi yj n 2 n i j k d z x y x K 0
1.通过厚度为L的均匀介质
' rout rin Lrin ' ' rout rin
rout 1 L rin ' r 0 1 r ' in out
2.通过不同介质的介面（平面）
' ' n1 sin rin n2 sin rout ' ' n1rin n2 rout
rs rmax sins rmax
讨论： （1） b 稳定的 （2）
，
cos1 b
C1
2 C12 C2
, sin
1，
为实角，光线在该透镜序列中传播时是
b 1
，光线在该透镜序列中传播时是不稳定的
三、相同透镜波导（ f1＝f2） ：
1 d b ( A D) 1 2 2f
rout rin r
' out
n1 ' rin n2 0 r n1 in r ' n2 in
rout 1 ' r 0 out
3.通过焦距为f的薄透镜
rout rin
' rout ' frin rout f
激光原理 激光原理
第二章 光线的传播与高斯光束
a
L
L a
高斯光束的几何光学原理及应用
高斯光束的几何光学原理及应用1. 引言高斯光束是一种特殊的光束，其在光学领域中具有广泛的应用。
本文将介绍高斯光束的几何光学原理及其在光学系统设计、激光技术和通信领域的应用。
2. 高斯光束的几何光学原理高斯光束是由高斯函数描述的一种特殊的光束。
它的空间分布可以用横向和纵向的高斯函数表示。
在几何光学中，我们可以近似地将光束看作是无限细的光线束。
以下是高斯光束的几何光学原理：•高斯光束的光线在其传播方向上保持自由传播的特性。
•高斯光束的横向光线束具有自聚焦的特性。
这意味着光束会在聚焦处形成一个较小的光斑，然后再扩散开来。
•高斯光束的纵向光线束在传播过程中保持自由传播的特性，不会发生散焦或聚焦现象。
3. 高斯光束在光学系统设计中的应用高斯光束在光学系统设计中有着重要的应用。
以下是一些常见的应用领域：•折射光学系统设计：在折射光学系统设计中，我们可以使用高斯光束来近似描述折射面上的光线传播。
这有助于优化系统的光学性能、减小畸变等。
•成像系统设计：高斯光束在成像系统设计中起着重要的作用。
我们可以利用高斯光束的自聚焦特性，设计出更小的光斑和更高的分辨率。
•光束整形和变换：高斯光束可以通过光束整形和变换技术进行调整和优化。
例如，我们可以利用透镜和光栅器件对光束进行整形，以达到特定的光学目标。
4. 高斯光束在激光技术中的应用高斯光束在激光技术中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：•医疗激光：高斯光束在医疗激光中被广泛应用于手术切割、激光疗法等方面。
通过调整高斯光束的参数，可以实现精确的组织切割和凝固。
•材料加工激光：高斯光束在材料加工激光中被用于精细切割、钻孔、打标等方面。
由于高斯光束具有自聚焦特性，可以实现更精确和高效的加工过程。
•光通信激光器：高斯光束在光通信激光器中被广泛应用。
高斯光束的自聚焦特性可以实现更高的通信速率和更长的传输距离。
5. 结论高斯光束是一种具有重要应用的光束。
本文简要介绍了高斯光束的几何光学原理以及其在光学系统设计、激光技术和通信领域的应用。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换解读
若ω0→0或z →∞，则R(z) →z、 ω(z) →∞。 当光斑尺寸趋于无穷大时，波阵面上的光强分布 趋于均匀，这正是普通球面波波阵面上的均匀分布 情况，此时，高斯光束可看成是普通球面波。
一、高斯光束在空间的传输规律
定义：
1 1 i 2 q( z ) R( z ) ( z )
称q(z)为q参数，或称为高斯光束的复曲率半径。 定义q参数的好处是： ① z处R(z)与ω(z)两个参数可用一个参数q(z)表示，
即：
1 1 1 q1 q2 F
这与几何光学成像公式在形式上是相同的。
例题
例题1： 某高斯光束波长为3.14微米，束腰半径 为1mm。 求：距离束腰右方50cm处的 （1）q参数； （2）光斑半径和等相位面曲率半径。
例题
例题2： 某高斯光束波长为3.14微米，在某处光 斑半径为1mm，等相位面曲率半径0.5m。 求：此高斯光束 （1）在该处的q参数； （2）束腰半径及位置。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换
一、高斯光束在空间的传输规律
1. 普通球面波
R( z1 ) z1 R ( z2 ) z2
即球面波的波前曲率半径R等于传输距离Z。
R( z2 ) R( z1 ) ( z2 z1 )
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
2 f2 1 0 R( z1 ) z z ( )2 z z z 2 2 2 ( z ) 0 1 ( ) 0 1 z ( 2 ) f 0
区别：如果将入射光束的腰看作物点。 按照几何光学成像规律，如l=u=F，则l’=v=∞； 按照高斯光束成像规律，如l=F，则l’=F。
二、高斯光束通过薄透镜的变换
第二章 高斯光束
3
2.1光线的传播
• 坐标系及方向的规定
1
2
X
Z O
Y
ri'
ro'
ro ri
Z
• 光线在光轴上方，r>0；反之，r<0;
• 光线指向光轴上方，r’>0；反之，r’<0；
ri 0; ri ' 0 ro 0; ro ' 0
4
2.1光线的传播
2.1.1光线矩阵 1.通过厚度为d的均匀介质
ro ri dri'
rs rs'
12
2.1光线的传播
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
rS rS'
1 1
1 1
f1
0 1
1 0
d 1
1 1
f2
0 1
1 0
d 1
rS rS'
A C
B D
rS rS'
A 1 d f2
B d(2 d ) f2
C [ 1 1 (1 d )]
f1 f2
f2
d
dd
D [ (1 )(1 )]
'
ri R
ro '
2 ' 1
ro'
2 1 2R
ri
1 2
ri'
ro ro'
1
2 1 2R
0
1 2
ri ri'
ri’
ri
R
1
'
ro’ ro
2
8
2.1光线的传播
5.球面反射镜
ro ri
ro'
2 R
2.1光线的传播
• 坐标系及方向的规定
1
2
X
Z O
Y
ri'
ro'
ro ri
Z
• 光线在光轴上方，r>0；反之，r<0;
• 光线指向光轴上方，r’>0；反之，r’<0；
ri 0; ri ' 0 ro 0; ro ' 0
4
2.1光线的传播
2.1.1光线矩阵 1.通过厚度为d的均匀介质
ro ri dri'
rs rs'
12
2.1光线的传播
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
rS rS'
1 1
1 1
f1
0 1
1 0
d 1
1 1
f2
0 1
1 0
d 1
rS rS'
A C
B D
rS rS'
A 1 d f2
B d(2 d ) f2
C [ 1 1 (1 d )]
f1 f2
f2
d
dd
D [ (1 )(1 )]
'
ri R
ro '
2 ' 1
ro'
2 1 2R
ri
1 2
ri'
ro ro'
1
2 1 2R
0
1 2
ri ri'
ri’
ri
R
1
'
ro’ ro
2
8
2.1光线的传播
5.球面反射镜
ro ri
ro'
2 R
第6讲-高斯光束的传输变换 (1)
6.1 高斯光束的ABCD法则
• 前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形
式：
q0 cos
q(z)
k2 k
z
k k2
sin
k2 k
z
q0
k2 k
sin
k2 k
z
cos
k2 k
z
• q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到 的光线矩阵比较：
A
C
B
D
2
1
6.1 高斯光束的ABCD法则
•
3、用q参数表示 1
– 由q参数的定义：q(z)
1 R(z)
i
2( z )
可知q参数将R(z)和ω(z)联系在
一起了，可以求得：
1 R(z)
Re
1 q(z)
1 2( z )
Im
1 q(z)
–
令q0=q(0)，则：
1 q0
1 R(0)
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
• 透过薄透镜传播的高斯光束q参 数变换
0
M1
1(l )
M2
2(l) 0 '
• 由薄透镜性质可知，在紧靠薄透
镜的M1和M2两个面上的光斑大小
和强度分布是一样的，即：
R1
R2
1(l) 2(l) (1)
l
l'
• 可以证明经过薄透镜变换后在像 Z=0
方继续传输的光束仍为高斯光束。 1 1 1
R2(z) R1(z) (z2 z1) R1(z) L
0
1
R1( z ) o
• 当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
• 前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形
式：
q0 cos
q(z)
k2 k
z
k k2
sin
k2 k
z
q0
k2 k
sin
k2 k
z
cos
k2 k
z
• q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到 的光线矩阵比较：
A
C
B
D
2
1
6.1 高斯光束的ABCD法则
•
3、用q参数表示 1
– 由q参数的定义：q(z)
1 R(z)
i
2( z )
可知q参数将R(z)和ω(z)联系在
一起了，可以求得：
1 R(z)
Re
1 q(z)
1 2( z )
Im
1 q(z)
–
令q0=q(0)，则：
1 q0
1 R(0)
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
• 透过薄透镜传播的高斯光束q参 数变换
0
M1
1(l )
M2
2(l) 0 '
• 由薄透镜性质可知，在紧靠薄透
镜的M1和M2两个面上的光斑大小
和强度分布是一样的，即：
R1
R2
1(l) 2(l) (1)
l
l'
• 可以证明经过薄透镜变换后在像 Z=0
方继续传输的光束仍为高斯光束。 1 1 1
R2(z) R1(z) (z2 z1) R1(z) L
0
1
R1( z ) o
• 当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
高斯光束的传输变换学习笔记
0
1
R1( z ) o
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前
z1
R2(z)
z2 z
曲率半径满足：
L
1 1 1 R2(z) R1(z) F
R2(z)
R1 R1 / F
1
1
1/
F
0
1
F
将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面
波的传播规律：
R2(
z)
AR1( z ) CR1( z )
B D
R1(z)
R2
i
2 1
R2为等相位面曲率半径，由球面 波球率半径的变换公式可得：
1 R1
1 F
i
2 1
1 q1( z )
1 F
高斯光束通过薄透镜的传输
通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，
可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的 变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R 相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半 径；
高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用
光线矩阵表示出来：
q2(
z)
Aq1( z ) Cq1( z )
B D
由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的
具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述
一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将
主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。
2
1
高斯光束的ABCD法则
3、用q参数表示
1 由q参数的定义： q(z)
1 R(z)
i
2(可z ) 知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，
第四章高斯光束光学
是z的缓变函数，
第二部分近似是球面波对于平面波的修正, 第三项
φ ( z)
是高斯光束的进一步修正。
z λz φ = arctan = arctan z0 πW02
z = ± z0 φ ( z ) = ±π / 4
z → ±∞
φ ( z ) → ±π / 2
高斯光束参数间的关系
光束尺寸
z 2 1/ 2 λ z 2 1/ 2 W ( z ) = W0 [1 + ( ) ] = W0 [1 + ( ) ] 2 z0 πW0
θ
都趋于0的极限情形就是光线。
Δx 为信号的空间宽度
θ / λ 为信号的空间谱宽度
根据测不准原理
2Δxi 2Δxi 2θ
2θ
λ
≥
4
π
λ
又称信号的空间带宽积
当光束的直径和发散角不大时，就称为旁轴光波或近轴光波。 高斯信号具有最小的空间带宽积
2Δxi
2θ
λ
=
4
π
.
2. 波动方程的近轴解和高斯光束的特性
W (0) = W0
r2 U (r ,0) = A0 exp(− 2 ) W0
2r 2 I (r , 0) = I 0 exp(− 2 ) w0
称该平面为高斯光束的光腰，在光腰附近，高斯光束接近平面波。 当z足够大时，高斯光束趋近于球面波。z<0 的分布与z>0的分布关 于z=0对称。
发散度
光斑尺寸W(z)随z的增大而增大，表示光束是发散的，定义 发散角（半角）为
根据几何光学关于透镜的焦距公式：
f = (n − 1)(
得到，
1 1
ρ1
+
1
第三章 高斯光束的传输与变换
2.9.4 高阶高斯光束 （1）厄米特—高斯光束 高阶高斯光束横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项式的 乘积来描述。 沿z方向传输的厄米卢高斯光束
mn(x ,y ,z ) C mn
C mn 1
1
H m(
2
2
x )H n(
2
y) e
r2 2
e
r2 z i k(z )( m n 1)arctg 2R f
激光物理
第三章
高斯光束的传输与变换
回顾
方形镜共焦腔的行波场
（厄米-高斯光束） 当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦 腔中的行波场可以表示为：
2 2 0 Emn( x, y, z ) AmnE 0 Hm x Hn y e ( z) ( z) ( z)
1 1 令q0=q(0)，则： Nhomakorabeai 2 q 0 R(0) (0)
20 R(0) , (0) 0 q 0 i if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据 实际问题来灵活选择使用哪种参数。
2 2 2 2
可见,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以 ω(z)=ω0,达到极小值（束腰）。
（2)基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 z 00(x ,y ,z ) k(z ) arctg 2R f
表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面
2 2 0 R(z ) z 1 z
式中ω0和ω(z)分别为基模光腰半径和z处光斑半径。在z方向和y 方向的远场发散角 2 ( z ) 2 m lim m 2m 1 2m 1 0 z z 0 2n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0
几何光学中的光线传输矩阵
1
r3
3
2 R2
0
1
r2
2
TR2
r2
2
当光线再从镜M2行进到镜M1面上时
r4
4
1 0
L
1
r3
3
TL
r3
3
然后又在M1上发生反射
• Ray optics and geometrical optics in fact contain exactly the same physical content, expressed in different fashion.
• Ray matrices or “ABCD matrices” are widely used to describe the propagation of geometrical optical rays through paraxial optical elements, such lenses, curved mirrors, and “ducts”. These ray matrices also turn out to be very useful for describing a large number of other optical beam and resonator problems, including even problems that involve the diffractive nature of light.
1 0 1 0
TR
2 R
1
1 f
1
球面镜对傍轴光线的反射变换与焦距为f=R/2的 薄透镜对同一光线的透射变换是等效的。
用一个列矩阵描述任一光线的坐标，用一个二 阶方阵描述入射光线和出射光线的坐标变换。
第三章 高斯光束的光学变换
, ,
, ,
1 , 0 ,
Ln1 1 , n2 M7 n1 0 , n3 特例：当 n1 n3 1, n2 n时
1 , 0 1 , L x2 x2 0 , n2 0 , 1 2 2 n3 0 1 , 0 1 , L x1 n2 0 , n1 0 , 1 n3 n2 1 Ln1 1 , L 1 , 0 n2 x1 x1 n2 n1 0 , n1 1 n3 n2 2 0 , n3
1, x2 即 n2 n1 2 n R , 2
1, 即M 5 n2 n1 , n2 R
0 n1 n2
0 n1 n2
x1 1
（3 8）
（六）光线通过不同介质的平面折射 作为球面的特例，令式（3-8）中R→∝
（4）由公式：
（3 15 ）
求通过透镜变换后的高斯光束的W0和束腰位置d2。 （5）令 z dc d2 ，由步骤（1）
求dc处高斯束的参数WC和RC
第二种方法：高斯光束的q参数变换法
图3-12
方法一 步骤：
1．求输入高斯光束束腰的q参数： q(0) q0 i W02 /
则 2 ( 1 ) 2 1 x1 以 代入上式得： 2x R 2 1 1 R
x2 x1 则有 2 x1 2 R 1
1, x2 2 , 2 R
第二章 光线的传播及高斯光束
rs 2 2brs 1 rs 0 b 1 2 ( A D) 1 d f1 d f2 d
2
2 f1 f 2
2.1光线的传播
rs 2 2brs 1 rs 0 2 1 d d d b ( A D) 1 2 f1 f 2 2 f1 f 2
0 0
k2 k0 k2 k0
x0 y 0
d 2r dz
2
d y dz
2
k2 k0
r 0
2.1光线的传播
– （1）k2>0
k2 k2 r ( z ) c 1 co s z c 2 sin z k k 若考虑光线入射初始条件 微分方程的解为 0 0 r0 k2 为 ，因此微分方程的解可以写成： ，则可以求出 c 1 r 0 ; c 2 r0' r 0 ' k0
2 2 x y i 2 2 z z – x,y都是独立变量，因此有： 为了简化讨论，取y-z平面上的光线 讨论，并以r代替y，得到近轴光线的 微分方程
k2 j 0 x i yj 0 k0
d x dz
2 2 2
( x , y ) 0 (T 0 )
( x 2 y 2)
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。
2.1光线的传播
• 2. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
– 由费马定理，可得到光线方程：
d dr ds ds
Y
a
第二章 光线的传播及高斯光束
2.1光线的传播
• 光线？
• 几个前提
第二章光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
z2
实际稳定腔
L
等价共焦腔
L( R2 − L) z1 = ( L − R1 ) + ( L − R2 ) − L( R1 − L) z2 = ( L − R1 ) + ( L − R2 ) f 2 = L( R2 − L)( R1 − L)( R1 + R2 − L) [( L − R1 ) + ( L − R2 )]2
(z B ) = q0 + l1
B-C （透镜变换）
1 1 1 = − q ( zC ) q ( zB ) f
C-D （自由空间传输） q
(z D ) = qC + l2
D（束腰）
2 πω 20 q( z D ) = i λ
变换公式的应用
πω 2 πω l1 ( f − l1 ) − f λ λ +i q ( z D ) = l2 + f 2 2 2 2 πω 0 πω 0 2 2 ( f − l1 ) + ( f − l1 ) + λ λ
q( z2 ) = q0 + z2
q( z 2 ) = q( z1 ) + z 2 − z1 = q( z1 ) + L
高斯光束的特征参数变换规律
2、薄透镜变换 、
可得薄透镜对傍轴光 线的变换矩阵为
0 1 Tf = 1 − f 1
高斯光束的特征参数变化规律
可以产出q参数经过薄透镜变换时，光束宽度项不变， 可以产出 参数经过薄透镜变换时，光束宽度项不变， 参数经过薄透镜变换时 等相位面项发生变化， 只是等相位面项发生变化 所以： 只是等相位面项发生变化，所以：
高斯光束的传输变换
另外，还可引用高斯光束的复曲率半径-q 参数来描述高斯光束。将（2.7.11）式中与 r 有关的因子放在一起
U 00 (x, y, z)
=
c
−ik r 2 [ 1 −i λ ]
e e 2 R( z) πw2 ( z) −i(kz+Φ)
w( z )
（2.7.15）
定义一个新的复参数 q(z)
1 = 1 −i λ q(z) R(z) πw2 (z)
任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离 r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变 换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离 L 均匀空间的变换
我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L的传输，如图 2-22 所示，假定光线从入射参考 面P1出发，其初始坐标参数为r1和θ1，传输到参考面P2时，光束参数变为r2和θ2，由几何光 学的直进原理可知
图 2-26 高斯光束的聚焦 由前面介绍，光线从入射光束束腰处传输到出射光束束腰处的传输矩阵
⎜⎜⎝⎛ CA
DB ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛10
1l'⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
F
10⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 0
1l ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛1−−1l/' /FF
l
+ 1
l'−ll' / −l/F
F
⎟⎟⎠⎞
（2.7.26）
w0 ' ≈ w0π
λF
= λF ， l'≈ F
1 + (λl / πw02 )2 πw(l)
（2.7.32）
U 00 (x, y, z)
=
c
−ik r 2 [ 1 −i λ ]
e e 2 R( z) πw2 ( z) −i(kz+Φ)
w( z )
（2.7.15）
定义一个新的复参数 q(z)
1 = 1 −i λ q(z) R(z) πw2 (z)
任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离 r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变 换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离 L 均匀空间的变换
我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L的传输，如图 2-22 所示，假定光线从入射参考 面P1出发，其初始坐标参数为r1和θ1，传输到参考面P2时，光束参数变为r2和θ2，由几何光 学的直进原理可知
图 2-26 高斯光束的聚焦 由前面介绍，光线从入射光束束腰处传输到出射光束束腰处的传输矩阵
⎜⎜⎝⎛ CA
DB ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛10
1l'⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
−
1 1/
F
10⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 0
1l ⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛1−−1l/' /FF
l
+ 1
l'−ll' / −l/F
F
⎟⎟⎠⎞
（2.7.26）
w0 ' ≈ w0π
λF
= λF ， l'≈ F
1 + (λl / πw02 )2 πw(l)
（2.7.32）
第三章 高斯光束的光学变换.
2
求z=d1时的R1（d1）和W1（d1）
（3 14）
*这样就得到了高斯光束通过薄透镜变换后的q参数表达式。
2．光学系统对q参数矩阵变换（A、B、C、D定律） 如图（3-11）所示：
图3-11
x1 R1(z) 1，x2 [R2 (z)] [ 2 ] R2 (z) 2
代入x22
Ax1 Cx1
B1 D1
R2
(
z)
2 2
AR1(z) 1 B1 CR1(z) 1 D1
R1 (z) R2 (z)
1 i 1 i 1 q2 (z) W22 (z) q1 (z) W12 (z) f
考虑薄透镜时，W1(z) W2 (z)
则上式变为
1 1 1 q2 (z) q1(z) f
（3 12）
上式与 1
R2 (z)
1 R1 (z)
1 f
径”。
相似，称q参数为高斯光束的“复半
则2 ( 1) 2 1
以 x1
R
则有x22
代入上式得： 2
x1
2x1 R
1
2 x1 R
1
x22
1,
2 R
,
0 1
x11
1, 0
M3
2
,
1
R
（3 3）
图3-4
（四）光线入射到平面镜反射
可令球面反射光线短阵中的R→∝
则有：M4 10 01
（3 4）
图3-5
符号法则：从z=+∝处看波阵面：
凸形（发散）R（z）为“+”，
凹形（会聚）R（z）为“一”。
图3-9
二、高斯光束q参数的透镜（薄透镜）变换规律
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>0 < 0 <0
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
中的参数rm
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
r0 ,0
A
B
r,
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
、
ax
课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往的返传播矩阵:
Tn
A C
Bn D
1
sin
A
s
in
n
C
sinn
sin n
1
rnn T n r11
D
sin
B sin n
n sinn
1
其中 arccos1 A D
2
可求得rn,n
总结： 1、反射镜R符号规定： •凹面向着腔内， R>0，相当于凸薄透镜 f>0； •凸面向着腔内时，R<0，相当于凹薄透镜 f<0。 2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标（r0,0） 无关； 3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。
1 11 R2 R1 F
高斯光束
R1 R2
q1 q2
1 q2
1 R2
i w22
1 11 R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
3. 光学系统－传输矩阵为
A C
B D
的光学系统
1
2
R2
R1
r22
A C
B D
r11
球面波
r2 Ar1 B1 2 Cr1 D1
近轴光 ,
如果为实数，则能保证rs为有限值
要求1
A
D
2
0
1 cos A D 1
2
2
将A, D表示式代入:
A D 2 4
1 4
1
L f2
L f1
1
L f2
1
L f1
2
共轴球面腔的 稳定性条件
1
L 2 f1
L 2 f2
L2 4 f1 f2
1
L 2 f1
1
L 2 f2
g1 g 2
0 g1g2 1
2 r 2 r
R
R
1
TR
2
R
0 1
1 1
f
0 1
f R 2
薄透镜与球面反射镜等效
6. ABCD矩阵的应用 － 球面镜腔
球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
r0 ,0 1 2
r1,1 3
r11 TR1TLTR2TL r00
T
r00
A C
B D
r00
薄透镜与球面反射镜等效
f2
f1 1 f2
f1
f2
f1
f2
f1
r0 ,0
2
r1,13
L
往返周 期单位
f1
R1 2
f2
R2 2
r11
1
1 f1
0 1
1 0
L 1
1 1
f2
T
A C
B D
1
1 f1
0 1
1 0
A 1 L f2
0 1
1 0
L 1
r00
A C
B D
r00
T
r00
L
1
1 1
f2
0 1
1 0
L
1
B L 2
1
rs
0
不稳定 rmax
往返周 期单位
S-4 S-3 S-2 S-1 S
稳定
S+1 S+2 S+3
设 rs r0 e j s r0e js
rs2
2(
A
2
D
)rs1
rs
0
r0e
js
e
j 2
2
A
2
D
e
j
1
0
e j
A D 2
j 1
A
D
2
1
2
2
rs
C1r0e js
C2r0*e js
r0
n2
n1 n2
0
1 0 Tn1n2 0 n1 n2
4. 薄透镜传输矩阵
r, r,
r r r l r l
r 1 1 r 1
l
l
l l f
f
r r
1 0
1 r f
Tf
1
f
1
5.球面镜反射矩阵
r,
r r
r,
2
R
r CA DB r
1.自由空间
球面波
R1 z1, R2 z2
R2 R1 z2 z1 R2 L
R2 R1 L
高斯光束
q1 q0 z1 两式相减 q2 q0 z2
q2 q1 L
2.薄透镜(透镜焦距为F）
球面波
R1 R2 S1
S2 1 1 1 l1 l2 F
l1
l2
物距 像距 焦距
近轴情况 R1 l1, R2 l2 发散(+) 会聚(-)
y
x
z
k1
k2
f
k3
例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线
对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其
焦距
fx
f
cos
R cos
2
对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线
（弧矢光线），其焦距
fy
f
cos
R
2 cos
高斯光束通过光学元件的变换Fra bibliotek高斯函数
r2
e w2 (z)
二、高斯光束通过光学元件的变换－ABCD公式
r2 R22 r1 R11
R2
r2
2
AR1 B CR1 D
•高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rm a x,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin
n sinn 1
C sin n
其中
arccos
1 2
A
D
D
sin
B sin n
n sinn
1
可求得rn,n
例： L 3
R2 4
g1
1
L R1
1;
g2
1
L R2
1 4
g1g2
1 4
1
r0
p
f
R
L p 1
2
T1
1
L f 1 f
L
2
L f
,
1 L f
A D 1 L
2
f
T2
1
2L
f 1
2L ,
1
A D 1 L
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
中的参数rm
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
r0 ,0
A
B
r,
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
、
ax
课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往的返传播矩阵:
Tn
A C
Bn D
1
sin
A
s
in
n
C
sinn
sin n
1
rnn T n r11
D
sin
B sin n
n sinn
1
其中 arccos1 A D
2
可求得rn,n
总结： 1、反射镜R符号规定： •凹面向着腔内， R>0，相当于凸薄透镜 f>0； •凸面向着腔内时，R<0，相当于凹薄透镜 f<0。 2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标（r0,0） 无关； 3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。
1 11 R2 R1 F
高斯光束
R1 R2
q1 q2
1 q2
1 R2
i w22
1 11 R2 R1 F
w2 w1
（薄透镜）
1 11 q2 q1 F
3. 光学系统－传输矩阵为
A C
B D
的光学系统
1
2
R2
R1
r22
A C
B D
r11
球面波
r2 Ar1 B1 2 Cr1 D1
近轴光 ,
如果为实数，则能保证rs为有限值
要求1
A
D
2
0
1 cos A D 1
2
2
将A, D表示式代入:
A D 2 4
1 4
1
L f2
L f1
1
L f2
1
L f1
2
共轴球面腔的 稳定性条件
1
L 2 f1
L 2 f2
L2 4 f1 f2
1
L 2 f1
1
L 2 f2
g1 g 2
0 g1g2 1
2 r 2 r
R
R
1
TR
2
R
0 1
1 1
f
0 1
f R 2
薄透镜与球面反射镜等效
6. ABCD矩阵的应用 － 球面镜腔
球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
r0 ,0 1 2
r1,1 3
r11 TR1TLTR2TL r00
T
r00
A C
B D
r00
薄透镜与球面反射镜等效
f2
f1 1 f2
f1
f2
f1
f2
f1
r0 ,0
2
r1,13
L
往返周 期单位
f1
R1 2
f2
R2 2
r11
1
1 f1
0 1
1 0
L 1
1 1
f2
T
A C
B D
1
1 f1
0 1
1 0
A 1 L f2
0 1
1 0
L 1
r00
A C
B D
r00
T
r00
L
1
1 1
f2
0 1
1 0
L
1
B L 2
1
rs
0
不稳定 rmax
往返周 期单位
S-4 S-3 S-2 S-1 S
稳定
S+1 S+2 S+3
设 rs r0 e j s r0e js
rs2
2(
A
2
D
)rs1
rs
0
r0e
js
e
j 2
2
A
2
D
e
j
1
0
e j
A D 2
j 1
A
D
2
1
2
2
rs
C1r0e js
C2r0*e js
r0
n2
n1 n2
0
1 0 Tn1n2 0 n1 n2
4. 薄透镜传输矩阵
r, r,
r r r l r l
r 1 1 r 1
l
l
l l f
f
r r
1 0
1 r f
Tf
1
f
1
5.球面镜反射矩阵
r,
r r
r,
2
R
r CA DB r
1.自由空间
球面波
R1 z1, R2 z2
R2 R1 z2 z1 R2 L
R2 R1 L
高斯光束
q1 q0 z1 两式相减 q2 q0 z2
q2 q1 L
2.薄透镜(透镜焦距为F）
球面波
R1 R2 S1
S2 1 1 1 l1 l2 F
l1
l2
物距 像距 焦距
近轴情况 R1 l1, R2 l2 发散(+) 会聚(-)
y
x
z
k1
k2
f
k3
例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线
对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其
焦距
fx
f
cos
R cos
2
对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线
（弧矢光线），其焦距
fy
f
cos
R
2 cos
高斯光束通过光学元件的变换Fra bibliotek高斯函数
r2
e w2 (z)
二、高斯光束通过光学元件的变换－ABCD公式
r2 R22 r1 R11
R2
r2
2
AR1 B CR1 D
•高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rm a x,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin
n sinn 1
C sin n
其中
arccos
1 2
A
D
D
sin
B sin n
n sinn
1
可求得rn,n
例： L 3
R2 4
g1
1
L R1
1;
g2
1
L R2
1 4
g1g2
1 4
1
r0
p
f
R
L p 1
2
T1
1
L f 1 f
L
2
L f
,
1 L f
A D 1 L
2
f
T2
1
2L
f 1
2L ,
1
A D 1 L