从“1”做起培养学生的转换思想
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解 ：因 为 １ ８ ｉ １ （ ｏ ２ ） 所 以 １ ８ 。 １ ９４ ２ｒ ｄ９ ， ｏ ９４ ２
１ ８ — ９ ３ ９ １ 如 果 它 们 的 指 数 相 同 ， 么 整 除 关 系 ９４ ９＋ ９ ， 那
显然 ， 因此 把 ９ ３ 表 示 为 ９ ３ （ ＋９ ３ 一 １ ． ９ 。 ９ １ ９ 。 ） 证 明 ：令 Ａ ： ９ ３。＋ ９ １ ９ ３ （ ＋ ９ ３ ９ ０。 ９ ” 一 ９ 。 １ ９ 一 １ ）
一
分 析 ： 用 １ ｉ。 十 Ｃ ５ 口转 化 ， 子 分 母 同 时 应 一ｓｎ ｄ Ｏ 。 分 除 以 ＣＳ 口 得 到 关 于 ｔｎ Ｏ。 ， ａａ的 多项 式 ， 据 已 知 条 件 可 根
算 出 ｔｎ ， 后 带 回 多 项 式 即得 结 果 ． ａ 然
解：
２ ｔｎ ＇ ａ — Ｌ１
例 ４ 求 １ ８ 。 ？ （ ｄ ９ ． ９４ ； ｍｏ ２ ）
分 析 ：这是 一 道 关 于 整 除 的 问 题 ， 常 是 把 １ ８ 通 ９４ 分解成 若 干 因子 ， 后 证 明各 因 子 均 整 除 ９３。 然 ９ ＋ ９ １ ， 是 在 这 一 道 题 目 中 显 然 是 不 可 取 的 ． 且 ９ 但 并
２ 积化 １
积 化 １ 因式 分 解 中 应用 广 泛 ， 于 １ 具 有 其 他 在 由 所 正 整数 所 不 具 有 的 特 殊性 质 １＝ １ ∈Ｎ） 在 配方 法 中 （ ， 运 用很 多． 如 ＋ １ 一 １在 进 行 ｌ 一 １ ∈Ｎ） 化 后 ｍ （ 转
进 行 因式 分 解 ， ａ在 加 １再 减 １ 可 形 成 一 个 完 全 ａ ＋２ 后 平 方式 ． 多 时候 在 解 题 过 程 中 正需 要 这 样 的 结 果 ． 很
１ （ “＋ １ （ ＋ １ （ ＋ １ 一 （ ～ １ （ ＋ １ （ ＋ １ ）２ ）２ ）２ ） ２ ）２ ）２ ） （ １ （ ”４ １ （ 。 ＋ １ （ “ ＋ １ 一 ２ 一 １ ２ ＋ ） ２ － ） ２ ）２ ）
等一 号
４ 模化 １
模 化 １是 解 决 初 等 数 论 中 同 余 问 题 最 关 键 步 骤 ． 在 日常生 活 中 ， 们 有 时 所 要 注 意 的 是 用 一 个 固 定 整 我 数 去 除某 些 数 所 得 的 余 数 ， 比如 说 用 ７除 一 个 总 的 天
／ 一
、
个 十分 奇特 的数 ， 然 简 单 ， 容 却 丰 富 ， 解 答 数 学 题 虽 内 在 目 中有 许多 妙 用 ． 于 １ 转 换 在 高 考 和 数 学 竞 赛 中倍 关 的 受 亲 睐 ． “” 常 用 转 换 有 如 下 几 种 形 式 ： 一 （ ＋１ 数 １的 １ Ｎ ）
于 此 ， 往需 要 对 两 个 相 减 的 量 Ｎ＋ １ 对 Ｎ 进 行 更 进 往 ， 步 转 化 ， 差 化 １的 转 化 过 程 中 转 化 思 想 运 用 灵 活 在 巧妙 ， 人寻味． 耐 例 １ 计 算 （ １ （ 。 １ （ １ （ 。 １ （ ＋ ２ ＋ ）２ ＋ ） ２ 十 ） ２ ＋ ） ２
一
Ｎ ； 一 １； 一 ｓｎ２ － 。ｓ ； ＝ １（ ｏ ）； １ １ ｉ “４ ｃ ２ ｏ ｒ ｄｍ １一
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、
ｌ 口 ｃｕ ｌｌ
１
ｆ Ｕ
例 ３ 已知 ｔ （ 十ａ 一２ 求 ＿—— ａ ÷ ｎ ） ， — ．
１ 差化 １
差 化 １ 解 决 竞 赛 数 学 题 目中 最 常 用 的 技 巧 ， 一 是 ｌ （ 十 １ 一Ｎ ， 然 易 得 ， 不 易 知． 化 １往 往 是 走 入 Ｎ ） 虽 但 差 题 目的 第 一 步 ， 没 有 关 系 的 量 经 过 一 步 差 化 拉 上 关 将 系 ， 望 而 生 畏 的 难 题 一 击 命 中． 且 差 化 １并 不 局 限 把 而
＋ ９ ｌ － ９ ３ 十 ９ １ 十 ９ ３ （ ９ ～ １ ９ 二 ９ ” ９ ９” ９ ３ ）一 ９ ３ ＋ ９
（ ｄ ９ ； 欧 拉 公 式 可 知 ： （ ９ 一 ２ ， 以 １。 ｍｏ ２ ） 由 ∞ ２） ８所 ２
（ ｄ ９） ｍｏ ２ ，从源自文库而 １ ８ 。三 ２ 。； １ ９４ 三 三１ 。 ２
（ ｄ ９ ， １ ８ 。 三 １ ｍｏ ２ ） ｍｏ ２ ） 即 ９ ４ 三 （ ｄ９． 三
［ 责任 编校
钱 骁 勇］
３ 三角化 １
三 角化 １即 １ ｓ ｚ ＋ ＣＳ 一 ｉ 口 Ｏ ｎ ｄ是 三 角 函 数 题 目 中最
一
一
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又 知ｔ （ 一 ， 得ｔ 了 代入 已 ａ 詈＋） ２可 ａ 一１故 ｎ ｎ
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１ （ ＋ １ （ ＋ １ 的 结 果 ． ）２ ）２ ） 分 析 ：在不 使用 计 算 器 或 者 计 算 机 的 情 况 下 ， 们 我 无 法 进 行 计 算 ． 题 采 用 巧 乘 １且 １ １ 把 它 写 在 本 ， ：２ 一 ， 已 知 式 里 作 为第 一 个 因式 ， 反 复 逆 用 平 方 差 公 式 ： ａ 再 （ ＋ ６ （ 一６ 一口 一６直 奔 目标 ． ）ｎ ） 。 解 ：原 式 一 （ １ （ ＋ １ （ ＋ １ （ ＋ １ （ ＋ ２一 ）２ ）２ ）２ ）２
分 析 ： 这 种 同余 问 题 中 我 们 最 希 望 得 到 的 结 果 在 是 同余 ０ 即 整 除 ， 时 已 不 需 要 继 续 讨 论 ） 者 同 余 １ （ 此 或 或 一 １ 这 样 可 以将 大 数 化 为 小 数 ， ， 化繁 为简． 题关键 就是找 出与 ２ 本 ９同余 １的 较 小 的 数 ． 一
２１ ０ ０年 第 １ 期
数 学 教 育 研 究
・ ３ １ ・
从 “ ’ 起 培 养 学 生 的转 换 思 想 １做 ’
甘 宗 怀 田 敏 郑 彪 （ 重庆师范大学数学与计算机科学学院 ４１３） ０３１
小 学 一 年级 的 学 生 也 知 道 ３ ２ １ 可 反 过 来 求 １ — — ， 一？却 给我 们 留下 了广 阔 的空 间 ， 分 困难 ． “ ” 一 ， 十 数 １是 常用 的转 化 方 法 ， ｓ ￣ ｏａ （ ｉ ＋ ｃｓ ） 如 ｉ ｃｓ；ｓ ｎ ｍ ｏａ 知 其 一 就 可 以求 出另 一 个 ． 一 ｓ 十 ＣＳ １ ｉ ａ Ｏ ａ作 为 一 恒 等 式 在 解 决 一个 方 程 的时 候 就 添 加 了一 个 已 知 的 简 单 二 次 方 程 ， 不再 为 方 程 的个 数 少 于 未 知数 个 数 而 困扰 ， ｏ ｎ １ｏ ６ 如 ≤ ≤ ，≤ ≤ １ａ ：１时 我 们 常 常 采 用 ａ ｓ ２， 一ＣＳａ转 换 ， ，＋６ — ｉ ａ ６ Ｏ ｎ 未 知 量 由两 个 变 成 一 个 ， 有 利 于 问题 的 决 ． 更
（ ｄ ９）， ｍｏ ２ 又 １ 。： １ ４— ２ × ５— １ ２ ４ ９
１
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９ ｌ ＋ ９ ３ （ ９ ＋ １ ９。 ９ ９ ３ ）× （ ９ — １ 根 据 １ ８ ９ ３ ９３ ）， ９ ４｛ ９ ＋ ９ １ 且 １８ （ ９ ９ ９ ４ｆ ９ ３＋ １ ）× （ ９ ９ ３— １ 即 得 ： ９ 。 ） ９ ３ ＋ ９ １ 能被 １８ ９ ９ ４整 除 ．
例 ２ 证 明 ９ ３ ＋ ９ １ 能 被 １ ８ ９ 。 ９ ” ９ ４整 除 ．
数 得 到这 天是 星 期 几 ， 就 是 初 等 数 论 中 同余 所 研 究 这
的 问题 ， 名 的欧 拉 （ ｕ ｅ ） 理 和 费 马 （ ｅｍａ ） 理 著 Ｅ ｌｒ 定 Ｆ ｒ ｔ定 是 基 于 同余 问 题 提 出 的 ． 化 １是 解 决 初 等 数 论 中 同 模 余 问题 的 最 理 想 步 骤 和 最 关 键 步 骤 ．
１ ８ — ９ ３ ９ １ 如 果 它 们 的 指 数 相 同 ， 么 整 除 关 系 ９４ ９＋ ９ ， 那
显然 ， 因此 把 ９ ３ 表 示 为 ９ ３ （ ＋９ ３ 一 １ ． ９ 。 ９ １ ９ 。 ） 证 明 ：令 Ａ ： ９ ３。＋ ９ １ ９ ３ （ ＋ ９ ３ ９ ０。 ９ ” 一 ９ 。 １ ９ 一 １ ）
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分 析 ： 用 １ ｉ。 十 Ｃ ５ 口转 化 ， 子 分 母 同 时 应 一ｓｎ ｄ Ｏ 。 分 除 以 ＣＳ 口 得 到 关 于 ｔｎ Ｏ。 ， ａａ的 多项 式 ， 据 已 知 条 件 可 根
算 出 ｔｎ ， 后 带 回 多 项 式 即得 结 果 ． ａ 然
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例 ４ 求 １ ８ 。 ？ （ ｄ ９ ． ９４ ； ｍｏ ２ ）
分 析 ：这是 一 道 关 于 整 除 的 问 题 ， 常 是 把 １ ８ 通 ９４ 分解成 若 干 因子 ， 后 证 明各 因 子 均 整 除 ９３。 然 ９ ＋ ９ １ ， 是 在 这 一 道 题 目 中 显 然 是 不 可 取 的 ． 且 ９ 但 并
２ 积化 １
积 化 １ 因式 分 解 中 应用 广 泛 ， 于 １ 具 有 其 他 在 由 所 正 整数 所 不 具 有 的 特 殊性 质 １＝ １ ∈Ｎ） 在 配方 法 中 （ ， 运 用很 多． 如 ＋ １ 一 １在 进 行 ｌ 一 １ ∈Ｎ） 化 后 ｍ （ 转
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于 此 ， 往需 要 对 两 个 相 减 的 量 Ｎ＋ １ 对 Ｎ 进 行 更 进 往 ， 步 转 化 ， 差 化 １的 转 化 过 程 中 转 化 思 想 运 用 灵 活 在 巧妙 ， 人寻味． 耐 例 １ 计 算 （ １ （ 。 １ （ １ （ 。 １ （ ＋ ２ ＋ ）２ ＋ ） ２ 十 ） ２ ＋ ） ２
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１ （ ＋ １ （ ＋ １ 的 结 果 ． ）２ ）２ ） 分 析 ：在不 使用 计 算 器 或 者 计 算 机 的 情 况 下 ， 们 我 无 法 进 行 计 算 ． 题 采 用 巧 乘 １且 １ １ 把 它 写 在 本 ， ：２ 一 ， 已 知 式 里 作 为第 一 个 因式 ， 反 复 逆 用 平 方 差 公 式 ： ａ 再 （ ＋ ６ （ 一６ 一口 一６直 奔 目标 ． ）ｎ ） 。 解 ：原 式 一 （ １ （ ＋ １ （ ＋ １ （ ＋ １ （ ＋ ２一 ）２ ）２ ）２ ）２
分 析 ： 这 种 同余 问 题 中 我 们 最 希 望 得 到 的 结 果 在 是 同余 ０ 即 整 除 ， 时 已 不 需 要 继 续 讨 论 ） 者 同 余 １ （ 此 或 或 一 １ 这 样 可 以将 大 数 化 为 小 数 ， ， 化繁 为简． 题关键 就是找 出与 ２ 本 ９同余 １的 较 小 的 数 ． 一
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甘 宗 怀 田 敏 郑 彪 （ 重庆师范大学数学与计算机科学学院 ４１３） ０３１
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（ ２ ； （一 １ （ ｄ ９ １ ） ） ｍｏ ２ ）一 １
９ ｌ ＋ ９ ３ （ ９ ＋ １ ９。 ９ ９ ３ ）× （ ９ — １ 根 据 １ ８ ９ ３ ９３ ）， ９ ４｛ ９ ＋ ９ １ 且 １８ （ ９ ９ ９ ４ｆ ９ ３＋ １ ）× （ ９ ９ ３— １ 即 得 ： ９ 。 ） ９ ３ ＋ ９ １ 能被 １８ ９ ９ ４整 除 ．
例 ２ 证 明 ９ ３ ＋ ９ １ 能 被 １ ８ ９ 。 ９ ” ９ ４整 除 ．
数 得 到这 天是 星 期 几 ， 就 是 初 等 数 论 中 同余 所 研 究 这
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