基于马尔科夫过程的电力系统可靠性预测

马尔科夫模型的建立
为了尽量使评估模 型全面、真实地反映 变压器的使用状态 ,将 变压器的非运行状态 进行分类, 作为独立的 状态变量予以考虑。 变压器自投入系统运 行后,就作为统计对象 进入使用状态,使用状 态分为可用状态和不 可用状态, 其状态分类 如图:
马尔科夫模型的建立
设变压器处于正常 运行状态的概率为 p0 , 处于各不可用状态的 概率为 pk(k =1,2,„,10),且该状态 下的故障率和修复率 分别为λk 和μk (k=1,2,„,10)。根据变 压器全态模型, 运用马 尔科夫过程原理 ,可得 到状态转移图

平均持续时间 ti 是指变压器停留在状态 i 的平均持续时间。 处在状态 i 的持续时间：
可靠性模型的建立

在变压器全态模型中, 变压器是一个整体的系统,其中的 每个状态相当于 1 个组成部件,每 1 种故障状态的发生都将 导致变压器无法正常运行, 处于不可用的状态( 设 n 为总故 障状态数)。因此可以用串连等值的方法对整个变压器系统 进行分析 。 现用一个等效元件来替换 这一串联系统 , 故障率和维修 率分别为 λs 和 μ s ,并设 ri =1/μi 。那么系统的可用率 As , 不可用率 U s 和故障频率 ν s 由串联等值的原理可以得 到
应用马尔科夫模型 评估电力变压器可靠性
双控（1）班 2111503049 温峰
绪论
关于可靠性
可靠性是一门新兴学科,它包括可靠性数学、可靠性物理(失 效物理)及可靠性工程。 系统的可靠性,一般是指系统的功能在时间上具有稳定性的程 度或性质,具体的可用可靠度来衡量;而可靠度是指系统在规定的 时间内,并在一定的条件下,维持规定功能的概率。

可修系统在使用过程中, 一般是从正常工作状态转移到 失效状态 ,然后经过维修回复到正常状态 ,如此往复循环下 去, 这 2 种状态相互转移的过程,可以用概率方法来描述。
故障
正常
失效
维修
1 2
目录
马尔可夫过程 串联可维修系统
3 4
马尔科夫模型的建立
可靠性模型的建立
5 模型对比
第 1 章
马尔可夫过程
Hale Waihona Puke Baidu
模型的对比

解得变压器各个状态的平稳状态的概率 变压器所发生的 非计划停运的故障部 位主要集中在绕组故 障上, 状态概率为 0 . 02 %。绕组故障是造 成非计划停运的主要 原因, 其发生的概率 非常高 。所以在实际 运行策略中,就应该加 强对绕组的监测, 经 常检查其运行情况,尽 量降低其故障概率。

令
由全概率公式可得：
P (t )[a t o(t )]
i j i ij
t 0
Pj (t )
离开j状态 进入j状态
'
马尔可夫过程

写成矩阵形式为
P0 ' (t ) ' 1 (t ) P ' PN (t )


这样 ,在给定起始状态概率的条件下,从式( 3) 可以解出P0( t), P1( t), …, PN( t)。 在实际问题中, 可以判定哪些是工作状态,哪些是失效状态 。 假定其中 Pi( t) ( i =0 , 1 , 2 , …, k) 是系统工作状态的概率, 而 Pi( t) ( i =k +1 , …,N) 是系统失效状态的概率,可得系统的瞬时 可用度为
i
修复率 i 21.8699
铁心
套管 冷却系统
0.037
1.822 0.692
23.2153
439.5604 491.8032
分接头装置
绝缘介质 其他 预防性试验 大修 小修
0.335
0.363 1.553 0.2866 0.0819 0.5733
140.8451
87.3362 36.6300 285.2678 19.7557 118.3391
模型的对比
模型的对比

对比两张表可见, 变压器处在 10 种不可用状态对应的平均 持续时间和平均故障修复时间相等 。这正反映了这些可靠 性指标的物理意义 : 以绕组故障为例, 变压器发生该故障的 期望次数为 0 .0044 次/a 。一旦处于绕组故障状态, 变压器 要想恢复到正常运行状态就必须将绕组进行修复或更换 ,其 花费的修复时间恰好就是变压器处于绕组故障的时间 。因 此,变压器各种不可用状态的平均持续时间与平均故障修复 时间是相等的。
马尔可夫过程


设 X( t) 表示系统状态的随机变量, 或者说系统状态是 t 的随机函数, 随机变量 X( t) 可能取值的全体范围称为状态 空间 ,当状态有限时,常用 S ={ 0 , 1 , . . . , N} 表示 。 系统状态 X( t) 对任意时间集合{ t 1 <t2 <. . . <tn} 和 n 个 未知数{ x1 , x2 , . . . , xn} ( n <N) 有下列关系
马尔可夫过程

现用一个极小的时间间隔 Δt ，并假定在 Δt 时间内状态转 移概率为 aij为常数，表示系统从i状态转移到j状态的速率; o(Δt) 为 Δt 的高阶无穷小量，表示Δt 期间内两次以上转移 的概率。


Pii (t ) 1 [aij t o(t )]
i j
马尔可夫过程
P0 ' (t ) ' 1 (t ) P ' PN (t )
串联可维修系统


在实际工程应用中, 一般只需求出稳态解即可。 令 t 则，

系统稳态可用度为
第 3 章
马尔科夫模型的建立
变压器是一个可修复系统 。系统发生故障后,一般要寻找故障部 位, 对其进行修理或更换,直到恢复到正常工作状态 ,该工作过程即为 修复过程。变压器的老化过程是一个随机过程, 一般是从正常工作 状态转移到故障状态 , 然后经过修复回到正常状态 ,如此往复循环下 去 。这种由一种状态转移到另一种状态的“状态转移”完全是随机 的 。在马尔科夫过程中 ,考察的系统根据一定的概率分布在各个状 态间转移,未来某个时间的状态是不确定的,这与变压器的老化过程 很相似 , 故马尔科夫过程适用于变压器可靠性分析中 。
串联可维修系统
多部件串联的可修系统是常见的控制系统。 假定每个部件的失效率和维修率分别为 λ i , μ i( i =1 , 2 , …, n) 都是常数，且各部件故障后修复如新 假定各部件状态相互独立, 且不会有两个或多个部件同时失 效 则系统状态空间为

串联可维修系统

系统从 t到 t +Δ t 时刻的转移概率为
式中 x1 , x2 , . . . , xn ∈ S 这种随机过程 X( t) 为连续时间 、有限状态空间的马尔可夫 过程。 在可修系统中, 系统状态的转移概率只与现时刻所处的 状态有关, 而与以前或有限次以前所处的状态无关,这符合 马尔可夫过程的条件。
P{X(t)=x|X(tn)=xn}=P{X(t)=x} =P{X(t)=x|X(t1)=x1,X(t2)=x2,…,X(tn)=xn}
马尔科夫过程是一种基于概率统计的特殊随机过程,它能很好地 描述可修复系统在投入使用后处于某种状态的概率 ,分析系统可靠 性 。作为可靠性工程中非常重要的理论工具 ,马尔科夫过程现已广 泛应用于金融、地产 、网络 、电力电子等多个领域, 其中在电力系 统中 ,主要用于输电线路、配电系统及继电保护装置的可靠性研究。
马尔科夫模型的建立
求解以下方程组

由此计算出变压器可能所处的各个状态概率。
第 4 章
可靠性模型的建立
可靠性模型的建立



变压器在状态 i 的频率 f i 是指变压器在平稳状态下,每单 位时间里停留在状态 i( 或进入 、或离开) 的期望次数 。频 率的概念是与描述变压器的长期行为相联系的。 在平稳状态下, 从其它状态进入状态i 的频率之和等于 离开状态 i 到其它状态的频率之和,这就是频率平衡的概念。 根据定义 ,处在状态 i 的频率应等于所有转移频率之和，即
马尔可夫过程

在工程问题中, 人们特别感兴趣的是稳态解, 也就是在
时 下
的稳态解。令 Pj' (t ) 0 。
( j =0 , 1 , …, N)；在稳态
Pj t 0
'
同时约束条件为 解上述线性方程组, 则可得稳态解 Pj ,于是系统的稳态可 用度为
第 2 章
串联可维修系统
多部件串联的可修系统是常见的控制系统 ,它有 2 种情况 ,一是 多个相同部件组成的串联系统, 二是多个不同部件组成的串联系统。 由于前一系统是后一系统的特殊形式 ,因此只讨论多个不同部件组 成的串联系统。
模型的对比

根据相关电力规程，大修周期一般为5 ～ 10 a ,小修为 1 a , 预防性试验大致在 1 ～ 3 a。此处做近似处理 ,取大修周期 为7 a ,小修 1 a, 预防性试验 2 a( 即 3 种状态的故障率比例为 1/7 : 1 : 1/2)，但是大修和小修的状态概率相差不大 。因为 虽然小修的故障率( 发生率) 要比大修高很多 ,但是一旦大 修 , 其花费的时间将比小修多数倍,所以综合计算下来,变压 器处于大修的状态概率和处于小修的状态概率基本相同。 这些反映出 , 变压器所处状态的概率是由故障率 λ和平均故 障修复时间 共同决定的。
可靠性模型的建立

若变压器的平均无故障时间和平均修复时间分别为t fs 和 trs , 则
第 5 章
模型的对比
模型的对比

根据中国电力企业联合会在电力可靠性指标发布会中的资 料 1999 ～ 2002年全国 220 kV 变压器停运的相关数据，可 以获得。 次/（台。年）
故障部位 绕组 故障率 0.443
马尔可夫过程

如果 X( t) 在起始时刻 t0 处于状态 i ,在 t 0 +t 时刻转移至状 态 j 的转移概率与 t0 无关 ,即
其中 这种仅与终止时刻和起始时间之差有关的状态转移过程是齐 次马尔可夫过程。 在可修系统中, 如果失效率 λ和修复率 μ都是常数,我们就 假设系统寿命和修复都是指数分布, 其状态转移过程是齐次 马尔可夫过程 。