通信原理 确定信号分析 傅里叶级数与变换
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n 1
三角函数形式
指数形式： f ( t )
n
cn e jn0 t
T0 / 2 T0 / 2
1 Cn T0
f ( t )e jn0t dt , n=0, 1, 2
⑴ f (t)是由直流分量及各次谐波分量组成，n＝1时,为一次谐波 (基波分量)。
⑵ 对于正弦信号 cos 0 t 或 sin 0 t ， 我们称为单频信号或单 音信号，通常使用的 cos 0 t ，称为正弦信号。 ⑶ 除正弦信号外,其它信号的频谱都不是单一的频谱成分。 ⑷ 根据滤波器的截至频率不同，可以得到不同频率的信号。
周期信号的平均功率: 周期信号必是功率信号，但功率信号并不定都是周期信号。
2.帕什瓦尔定理
①如果 f (t ) 是能量信号，且有 f ( t ) F (ω) ，则下式成立:
E
1 2 f ( t )dt F (ω) dω 2π
2
信号的总能量等于各个频率分量单独贡献能量之和，而与各信号 的相位无关，即在时域或频域中，计算信号的能量是相等的。 证明：
1 cos 20 t cos 0 t 2 若LPF(低通)的截至频率小于2 0，经LPF后，我们仅得到直流
如:
2
分量, 若BPF(带通)的中心频率在 2 0 ，带宽 0，我们仅得 到2次谐波分量。
例：确定周期性矩形脉冲的傅立叶级数
1 Cn T1
T1 / 2 T1 / 2
所以：
n
2
δ(ω nω0 )dω
n
Cn
2
1 C n ( n0 )d 2
2
Pf ( )d
即： Pf ( ) 2
n
C n ( n 0 )
2
注意：以上定义的是双边谱，如果是单边谱（定义在正频率
1 T /2 2 平均功率： P lim f ( t )dt T / 2 T T 单位：瓦特 ，T为观察时间，即信号电压在单位电阻上所消耗
的平均功率或者说电流通过单位电阻所消耗的平均功率。
1 T0 / 2 2 P T0 / 2 f (t )dt T0 根据能量信号和功率信号的定义可知，因为 1 T /2 2 (T , lim f ( t )dt 0) T T T / 2 结论：能量信号的平均功率为 0 ，研究其功率无实际价值， 功率信号的能量为无穷大，研究其能量也无意义。
第一个零点: 这是因为信号的能量主要集中在第一个零点以内。 特别需要指出：信号的带宽仅指信号频谱的正频率部分； 负频率部分是数学分析带来的，实际并不存在。
2
注意带宽的定义！?
显然当 T1 , 1 0 ， 得到单个矩形脉冲的傅立叶变换：G ( t ) Sa( ) 2 结论：周期信号的频谱时离散的，非周期信号的频谱时连续的。 非周期信号的傅立叶变换：
P Cn
2
100 100 50瓦 4 4
3. 能量来自百度文库和功率谱
设 E f (ω) 和 Pf ( ) 是信号的能量谱和功率谱，那么 信号的能量和功率分别为：
1 E 2 1 P 2
E f ( )d Pf ( )d
显然，能量谱和功率谱分别表示了信号能量或信号功率在 频域内的分布情况，其单位分别为焦耳/赫兹(能量赫兹)和瓦
PT ( t )e
jn1t
1 dt T1
/2
/2
e jn1t dt
n1 1 e jn1t 2 | T Sa( 2 ) T1 jn1 2 1
1 频谱间隔: 2 1 (或 B ) 也称主瓣带宽 因此定义信号的零点带宽 B
一角度说，从信号的能量及其谱密度那里，只能获得关于信号
的振幅信息，而得不到信号的任何的相位信息。
例1
求 f (t ) Acos (0 t ) 的功率谱
解： ( t ) A [e j (0t ) e j (0t ) ] A [e j0t e j e j0t e j ] f
二、信号的能量谱与功率谱
1.能量信号和功率信号
电子学中，把信号归一化的能量定义为由电压 f (t ) 加于单位 电阻(1Ω)上所消耗的能量，或者说由电流 f (t ) 通过单位电阻 所消耗的能量： 单位：焦耳 E f 2 ( t )dt
显然：信号能量的概念只有在上式所给出的积分值为有限时 才有意义，所以说能量有限的信号称为能量信号，一般来说对于 持续时间受限的波形都具有能量的意义；而对持续时间无限的信 号，能量的概念是无意义的，这类信号称为功率信号。
特/赫兹(功率单位为瓦特)。
①对于能量信号f (t) :
1 1 2 E F (ω) dω 2π E f (ω)dω 2π
则能量谱为：E f (ω) F (ω) 2 可见，信号的能量谱密度也只与信号的频谱幅度有关， 而与相位无关，另外，由于 F (ω) 2 F ( ω) 2，可见能量谱密 度是一个非负的实偶函数。
解：
1 P T
T / 2
T /2
T /2
1 f ( t )dt T
2
T / 2
T /2
102 sin 2 500tdt
1 T
1 cos 1000t dt 50瓦 T / 2 100 2
jnωt
s( t )
n
C ne
10 j 500t 10 j 500t (e e )，c1 c1 2j 2j
0
T0 / 2
jnωt
dt
1 故： T0
n
T / 2
0
T0 / 2
* f ( t )e jnωt dt C n
1 所以： P T0
T / 2 f
0
T0 / 2
2
( t )dt
Cn
2
例：分别用时域和频域的方法，计算信号 s( t ) 10sin 500t
的平均功率。
则：
1 1 E E f (ω)dω π 0 E f (ω)dω 2π
②对于功率信号
1 若直接从 P lim T T
T/2
T / 2
1 f (t )dt 2
2
Pf ( )d 来求比较困难
通常采用下面的处理方法：
对 f (t )，首先截取
f (t ) fT ( t ) 0
1 f ( t )dt f ( t )[ F (ω)e jnωt dω]dt 2π 变换积分 1 F (ω)[ f ( t )e jωt dt ]dω 次 序 2π 2 1 1 * F (ω)F (ω)dω 2π F (ω) dω 2π
2
② 若 f (t ) 是周期性功率信号，且有 f ( t )
1 则有： P T0
n
C ne jnω0t，ω0
2
2π T0
T / 2
0
T0 / 2
f 2 ( t )dt
n
Cn
结论：信号的平均功率等于各次谐波分量单独贡献的功率 之和，与各次谐波的相位无关。 证明： P 1 T0
1 2
Pf ( )d
1 2 FT ( ) 所以： Pf ( ) lim T T
同样可以看出功率谱密度也只保留了幅度信息，它与相位 无关,它也是一个非负的实偶函数。
1 即： P 2
Pf ( )d
1
0
Pf ( )d
如果 f (t ) 是周期信号，其功率谱比较容易得到：
m(t ) f (t ) cos 0 t
0 f
解： (t ) f (t ) cos t 1 [F ( ) F ( )] M ( ) mT T 0 0 T 0 T 2 T 1 1 2 PM lim [FT ( 0 ) FT ( 0 )] 4 T T
第 二 章 确定信号分析
确定信号: 信号仅是一个随时间变化，且其它参数都 是确知的，则这类信号称之为确定信号。 随机信号: 信号的全部或部分参量是不确定的或者 是随机的，则这类信号称之为随机信号。 分析方法：
对于确定信号常采用傅立叶变换分析信号的时域和频域表示；
对于随机信号常采用概率论和随机过程理论。 本章研究确定信号及其通过系统传输的特性。
T0 / 2
T0 / 2
1 f (t )dt T0
2
T0 / 2
T0 / 2
f ( t )[ C ne jn t ]dt
n
1 Cn[ T0 n
T / 2
0
T0 / 2
f ( t )e jnω0 t dt ]
因：C n 1 T0
T / 2 f (t )e
1 P T0
T / 2 f
0
T0 / 2
2
( t )dt
n
Cn
2
1 2π
f
(ω)dω
根据冲击函数的抽样性：
f ( t )δ( t t 0 )dt f ( t 0 )
2 且 Cn 是频率在 n0 处的功率值，有：
nC n
部分），为了使两者计算出来的能量或功率相等，单边谱的
幅度是双边谱在正频率的2倍。单边谱与双边谱的区别！
结
论
能量谱和功率谱反映了各频率分量上的能量或功率分配情况； 无论是能量谱还是功率谱，他们仅与 F ( ) 或 FTT(ω))的模值有关， F ( (ω) 而与什么样的相位频谱特性无关；凡是具有相同振幅频谱特性 的信号，不管相位特性如何，都具有相同的谱密度函数；从另
2
2
A2 A2 Pf ( ) 2 Cn n0 2 [ 0 0 ] 4 4 n A2 e j 1, e j 1 R( t ) cos 0 t 2
2
例2
已知 f (t ) 为功率信号且 Pf ( ), 求 的功率谱密度
号，其频谱一定时无限的，同样，一个频域受限的信号，其时 域也将是无限的。 (2) 一个在时域锐截止的信号，其频域是无限且能量发散，即频 谱在第一个零点以外衰减相对较慢。一个在时域缓慢过渡的 信号，其频谱是无限的，但能量相对集中。
同样，一个在频域锐截止的信号，其时域是无限的，即拖尾 很长，振幅较大。一个在频域缓慢过渡为零的信号，其时域是无 限的，但拖尾振幅较小。 以时域或频域门函数和三角函数加以说明： 2 T ( t ) Sa ( ) G ( t ) Sa( ) 2 2
F (ω) f ( t )e jnωt dt 1 F (ω)e jnωt dω f (t ) 2π
信号 f (t ) 与其频谱 F (ω) 之间是一一对应的：
f ( t ) F (ω)
它们分别描述了信号在时间域和频率域的分布情况
傅立叶理论告诉我们： (1) 一个信号不可能在时域和频域同时受限，一个时域受限的信
T 2 T t 2 t
且 fT (t ) FT (ω)
只要T为有限值，则 fT (t ) 为能量信号，即有：
E
fT2 ( t )dt
1 2 FT (ω) dω 2π
所以，对于f (t) 的平均功率为：
1 T /2 2 1 2 P lim lim T / 2 f (t )dt T T fT (t )dt T T 1 1 1 1 2 2 lim FT ( ) d 2 Tlim T FT ( ) d T T 2
§2.1 信号的频谱分析
一、 傅立叶级数和傅立叶变换
对于周期信号 f (t )，其三角函数和指数形式的傅立叶级数为：
a0 2 nt 2 nt f ( t ) [an cos( ) bn sin( )] 2 n 1 T0 T0 A0 An cos( n0 t n )
三角函数形式
指数形式： f ( t )
n
cn e jn0 t
T0 / 2 T0 / 2
1 Cn T0
f ( t )e jn0t dt , n=0, 1, 2
⑴ f (t)是由直流分量及各次谐波分量组成，n＝1时,为一次谐波 (基波分量)。
⑵ 对于正弦信号 cos 0 t 或 sin 0 t ， 我们称为单频信号或单 音信号，通常使用的 cos 0 t ，称为正弦信号。 ⑶ 除正弦信号外,其它信号的频谱都不是单一的频谱成分。 ⑷ 根据滤波器的截至频率不同，可以得到不同频率的信号。
周期信号的平均功率: 周期信号必是功率信号，但功率信号并不定都是周期信号。
2.帕什瓦尔定理
①如果 f (t ) 是能量信号，且有 f ( t ) F (ω) ，则下式成立:
E
1 2 f ( t )dt F (ω) dω 2π
2
信号的总能量等于各个频率分量单独贡献能量之和，而与各信号 的相位无关，即在时域或频域中，计算信号的能量是相等的。 证明：
1 cos 20 t cos 0 t 2 若LPF(低通)的截至频率小于2 0，经LPF后，我们仅得到直流
如:
2
分量, 若BPF(带通)的中心频率在 2 0 ，带宽 0，我们仅得 到2次谐波分量。
例：确定周期性矩形脉冲的傅立叶级数
1 Cn T1
T1 / 2 T1 / 2
所以：
n
2
δ(ω nω0 )dω
n
Cn
2
1 C n ( n0 )d 2
2
Pf ( )d
即： Pf ( ) 2
n
C n ( n 0 )
2
注意：以上定义的是双边谱，如果是单边谱（定义在正频率
1 T /2 2 平均功率： P lim f ( t )dt T / 2 T T 单位：瓦特 ，T为观察时间，即信号电压在单位电阻上所消耗
的平均功率或者说电流通过单位电阻所消耗的平均功率。
1 T0 / 2 2 P T0 / 2 f (t )dt T0 根据能量信号和功率信号的定义可知，因为 1 T /2 2 (T , lim f ( t )dt 0) T T T / 2 结论：能量信号的平均功率为 0 ，研究其功率无实际价值， 功率信号的能量为无穷大，研究其能量也无意义。
第一个零点: 这是因为信号的能量主要集中在第一个零点以内。 特别需要指出：信号的带宽仅指信号频谱的正频率部分； 负频率部分是数学分析带来的，实际并不存在。
2
注意带宽的定义！?
显然当 T1 , 1 0 ， 得到单个矩形脉冲的傅立叶变换：G ( t ) Sa( ) 2 结论：周期信号的频谱时离散的，非周期信号的频谱时连续的。 非周期信号的傅立叶变换：
P Cn
2
100 100 50瓦 4 4
3. 能量来自百度文库和功率谱
设 E f (ω) 和 Pf ( ) 是信号的能量谱和功率谱，那么 信号的能量和功率分别为：
1 E 2 1 P 2
E f ( )d Pf ( )d
显然，能量谱和功率谱分别表示了信号能量或信号功率在 频域内的分布情况，其单位分别为焦耳/赫兹(能量赫兹)和瓦
PT ( t )e
jn1t
1 dt T1
/2
/2
e jn1t dt
n1 1 e jn1t 2 | T Sa( 2 ) T1 jn1 2 1
1 频谱间隔: 2 1 (或 B ) 也称主瓣带宽 因此定义信号的零点带宽 B
一角度说，从信号的能量及其谱密度那里，只能获得关于信号
的振幅信息，而得不到信号的任何的相位信息。
例1
求 f (t ) Acos (0 t ) 的功率谱
解： ( t ) A [e j (0t ) e j (0t ) ] A [e j0t e j e j0t e j ] f
二、信号的能量谱与功率谱
1.能量信号和功率信号
电子学中，把信号归一化的能量定义为由电压 f (t ) 加于单位 电阻(1Ω)上所消耗的能量，或者说由电流 f (t ) 通过单位电阻 所消耗的能量： 单位：焦耳 E f 2 ( t )dt
显然：信号能量的概念只有在上式所给出的积分值为有限时 才有意义，所以说能量有限的信号称为能量信号，一般来说对于 持续时间受限的波形都具有能量的意义；而对持续时间无限的信 号，能量的概念是无意义的，这类信号称为功率信号。
特/赫兹(功率单位为瓦特)。
①对于能量信号f (t) :
1 1 2 E F (ω) dω 2π E f (ω)dω 2π
则能量谱为：E f (ω) F (ω) 2 可见，信号的能量谱密度也只与信号的频谱幅度有关， 而与相位无关，另外，由于 F (ω) 2 F ( ω) 2，可见能量谱密 度是一个非负的实偶函数。
解：
1 P T
T / 2
T /2
T /2
1 f ( t )dt T
2
T / 2
T /2
102 sin 2 500tdt
1 T
1 cos 1000t dt 50瓦 T / 2 100 2
jnωt
s( t )
n
C ne
10 j 500t 10 j 500t (e e )，c1 c1 2j 2j
0
T0 / 2
jnωt
dt
1 故： T0
n
T / 2
0
T0 / 2
* f ( t )e jnωt dt C n
1 所以： P T0
T / 2 f
0
T0 / 2
2
( t )dt
Cn
2
例：分别用时域和频域的方法，计算信号 s( t ) 10sin 500t
的平均功率。
则：
1 1 E E f (ω)dω π 0 E f (ω)dω 2π
②对于功率信号
1 若直接从 P lim T T
T/2
T / 2
1 f (t )dt 2
2
Pf ( )d 来求比较困难
通常采用下面的处理方法：
对 f (t )，首先截取
f (t ) fT ( t ) 0
1 f ( t )dt f ( t )[ F (ω)e jnωt dω]dt 2π 变换积分 1 F (ω)[ f ( t )e jωt dt ]dω 次 序 2π 2 1 1 * F (ω)F (ω)dω 2π F (ω) dω 2π
2
② 若 f (t ) 是周期性功率信号，且有 f ( t )
1 则有： P T0
n
C ne jnω0t，ω0
2
2π T0
T / 2
0
T0 / 2
f 2 ( t )dt
n
Cn
结论：信号的平均功率等于各次谐波分量单独贡献的功率 之和，与各次谐波的相位无关。 证明： P 1 T0
1 2
Pf ( )d
1 2 FT ( ) 所以： Pf ( ) lim T T
同样可以看出功率谱密度也只保留了幅度信息，它与相位 无关,它也是一个非负的实偶函数。
1 即： P 2
Pf ( )d
1
0
Pf ( )d
如果 f (t ) 是周期信号，其功率谱比较容易得到：
m(t ) f (t ) cos 0 t
0 f
解： (t ) f (t ) cos t 1 [F ( ) F ( )] M ( ) mT T 0 0 T 0 T 2 T 1 1 2 PM lim [FT ( 0 ) FT ( 0 )] 4 T T
第 二 章 确定信号分析
确定信号: 信号仅是一个随时间变化，且其它参数都 是确知的，则这类信号称之为确定信号。 随机信号: 信号的全部或部分参量是不确定的或者 是随机的，则这类信号称之为随机信号。 分析方法：
对于确定信号常采用傅立叶变换分析信号的时域和频域表示；
对于随机信号常采用概率论和随机过程理论。 本章研究确定信号及其通过系统传输的特性。
T0 / 2
T0 / 2
1 f (t )dt T0
2
T0 / 2
T0 / 2
f ( t )[ C ne jn t ]dt
n
1 Cn[ T0 n
T / 2
0
T0 / 2
f ( t )e jnω0 t dt ]
因：C n 1 T0
T / 2 f (t )e
1 P T0
T / 2 f
0
T0 / 2
2
( t )dt
n
Cn
2
1 2π
f
(ω)dω
根据冲击函数的抽样性：
f ( t )δ( t t 0 )dt f ( t 0 )
2 且 Cn 是频率在 n0 处的功率值，有：
nC n
部分），为了使两者计算出来的能量或功率相等，单边谱的
幅度是双边谱在正频率的2倍。单边谱与双边谱的区别！
结
论
能量谱和功率谱反映了各频率分量上的能量或功率分配情况； 无论是能量谱还是功率谱，他们仅与 F ( ) 或 FTT(ω))的模值有关， F ( (ω) 而与什么样的相位频谱特性无关；凡是具有相同振幅频谱特性 的信号，不管相位特性如何，都具有相同的谱密度函数；从另
2
2
A2 A2 Pf ( ) 2 Cn n0 2 [ 0 0 ] 4 4 n A2 e j 1, e j 1 R( t ) cos 0 t 2
2
例2
已知 f (t ) 为功率信号且 Pf ( ), 求 的功率谱密度
号，其频谱一定时无限的，同样，一个频域受限的信号，其时 域也将是无限的。 (2) 一个在时域锐截止的信号，其频域是无限且能量发散，即频 谱在第一个零点以外衰减相对较慢。一个在时域缓慢过渡的 信号，其频谱是无限的，但能量相对集中。
同样，一个在频域锐截止的信号，其时域是无限的，即拖尾 很长，振幅较大。一个在频域缓慢过渡为零的信号，其时域是无 限的，但拖尾振幅较小。 以时域或频域门函数和三角函数加以说明： 2 T ( t ) Sa ( ) G ( t ) Sa( ) 2 2
F (ω) f ( t )e jnωt dt 1 F (ω)e jnωt dω f (t ) 2π
信号 f (t ) 与其频谱 F (ω) 之间是一一对应的：
f ( t ) F (ω)
它们分别描述了信号在时间域和频率域的分布情况
傅立叶理论告诉我们： (1) 一个信号不可能在时域和频域同时受限，一个时域受限的信
T 2 T t 2 t
且 fT (t ) FT (ω)
只要T为有限值，则 fT (t ) 为能量信号，即有：
E
fT2 ( t )dt
1 2 FT (ω) dω 2π
所以，对于f (t) 的平均功率为：
1 T /2 2 1 2 P lim lim T / 2 f (t )dt T T fT (t )dt T T 1 1 1 1 2 2 lim FT ( ) d 2 Tlim T FT ( ) d T T 2
§2.1 信号的频谱分析
一、 傅立叶级数和傅立叶变换
对于周期信号 f (t )，其三角函数和指数形式的傅立叶级数为：
a0 2 nt 2 nt f ( t ) [an cos( ) bn sin( )] 2 n 1 T0 T0 A0 An cos( n0 t n )