(优选)计算方法最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式.

x, Tn1(x).
(2.11)
Tn(x)的最高次幂x n的系数为2 n1, (n 1).
证明：记θ arccosx, 则
Tn1 (x) cos[(n 1)θ] cos[(nθ θ)] cos(nθ)cosθ sin(nθ)sinθ
cos(n 1)θ cos(nθ)cos θ sin(nθ)sin θ
20
当m=n≠0
π cos(mθ)cos(nθ)dθ 1 π [cos(2nθ) 1]dθ π
0
20
2
当m=n=0
π cos(mθ)cos (nθ)dθ π 0
（3）奇偶性
Tn(x)当n为奇数时为奇函数，且只含x的奇次幂; 当n为偶数时为偶函数，且只含x的偶次幂.
利用数学归纳法证明： 1）当n 0和n 1时，T0(x) 1x0, T1(x) x，结论成立。
0,1,2,… , n)
轮流取得最大值1和最小值 1，{xk }称为交错点组。
- 1 x4
x 3
x2 0
x 1
x0 1
证： 将xk
cos
kπ n
,
(k
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos
kπ )] n
cos[kπ]
(1)k
1
T2(x) T1(x)
切比雪夫多项式的(简单)定义： 表达式：对 1 x 1
Tn(x) cos(narccosx), n 0,1,2, … 称为切比雪夫多项式。 由三角表达式定 (2.10)
义的多项式
切比雪夫多项式的表达式
若令x cosθ，则 Tn(x) cos(nθ), 0 θ π.
切比雪夫多项式的前几项：
22
22
22
22
xk
cos (2k 1)π , (k 22
1,2,… ,11)
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直
线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆
弧的等距的点的集合。
（5）切比雪夫多项式的极值点
Tn(x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
x k
cos kπ , (k n
0 cos(mθ)cos(nθ)dcosθ
π
1 cos2θ
π cos(mθ)cos(nθ)dθ 0
根据积化和差公式：
cos(mθ)cos(nθ)
1 [cos(m 2
n)θ
cos(m
n)θ]
当m≠n:
π cos(mθ)cos (nθ)dθ 0
1 π [cos(m n)θ cos(m n)θ]dθ 0
f(x)
收敛到f(x)较慢， 不常用。
在[0,1]上一致成立。该证明于1912年给出。
ε的数值
y
y=L (x)
一致逼近的几何意义
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切比雪夫多项式
切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。 • 切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
一致逼近性质的插值多项式。
cos[(2k
1)π] 2
0 (k
1,2, … , n)
图为T11(x)的零点，一共有11个
x11 x10 x 9 x 8
cosπ
cos 15π 22
x7
cos 13π 22
x6
cos π 2
x5
cos 9π 22
x4 x3 x2 x1
co s 7 π co s 5 π cos 3π cos π
实际应用需要使用简单Fra Baidu bibliotek数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题：对于函数类A中给定的函数
f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(x), 使p(x)与f(x)的误差在某
种度量意义下达到最小.
定理 1(Weierstrass)若 f(x) C[a, b], 则ε 0, 多项式p(x), 使得
Tn1 (x) 2cos(nθ)co sθ cos(n 1)θ 2xTn (x) - Tn1 (x)
（2）正交性
0, m n,
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
π/2, m n 0,
π,
m n 0.
(2.12)
证：令x cosθ，则
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
-1
1
T3(x) T4(x)
-1
T3(x)有3个0值点，4个极值点
总结： Tn(x)具有很好的性质。
y
x
Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有 界[-1, 1]； T1(x), T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数，
计算方法最佳一致逼近多项式 切比雪夫多项式
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
函数逼近的基本概念
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
2）假设当n 2为奇(偶)数时，T n(x)只含x的奇(偶 )次方，
3）则对n 1的情况，由递推公式 Tn1(x) 2xTn(x) Tn1(x)
得知：情况a）如果n为奇数，则2xTn(x)只含n的偶次方， Tn1(x)只含x的偶数次方，从而左端Tn1(x)只含x的偶次方； 情况b）如果n为偶数，则2xTn(x)只含x的奇次方，Tn1(x) 只含x的奇次方，从而左端Tn1(x)只含x的奇次方
| f(x) p(x) | ε, 对于一切a x b成立
证明：伯恩斯坦的构造性证明：Bernstein多项式
Bn(f, x)
k
n 0
f
k n
Pk
(x)
(1.3)
其中Pk (x)
n k
xk
(1
a. 定理1具有重要
x)nk , 使得 的理论意义；
b. Bernstan多项式
lim
n
Bn(f,
x)
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
TT0n(x1()x)
1, T1(x) 2xTn(x)
（4）切比雪夫多项式的零点
Tn(x)在[1,1]上有n个不同的零点
xk
cos (2k 1)π , 2n
(k
1,2, … , n)
证：将xk
cos (2k 1)π , (k 2n
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos (2k 1)π)] 2n