分组与分配问题(整理他人所得)
归类解析排列组合分组分配问题
归类解析分组、分配问题四川省仪陇中学新政校区 魏登昆高中数学排列组合中元素的分组、分配问题在高考中常出现，有一定的难度。
学生在学习中对这类问题的处理主要错误表现在审题不清、归类不明，现笔者就这类问题归类解析： Ⅰ、 不同元素分组问题1、非平均分组无归属问题，即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分成任意12,mn n n 件无记号的m 堆且这m 堆的个数互不等，其分法数为N=121nnm n n p p n m C C C -∙∙∙2、平均分组无归属问题, 即将相异的P(P= m n ∙)个物件分成无记号的m 堆，其分法数为N=2nnnnp p n n nmmC C C C A -∙∙3、部分平均分组无归属问题，即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分成任意12,m n n n 件无记号的m 堆，且12,m n n n 这m 个数中分别有a,b,c 个相等，其分法数为N=2nnnnp p n n nabca b c C C C C A A A -∙∙∙∙例1:现有12件不同礼品①平均分成三堆;②分成件数为2,4,6三堆;③分成件数为2,2,2,3,3五堆，其方法数分别为多少?(答: 4441284133C C C N A =; 246212106N C C C = ; 22233121086333232C C C C C N A A =)Ⅱ、 不同元素分配问题1、无限定分配有归属问题即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分配给m 个人,物件分完,分别得12,m n n n 件求其分法数.它的处理方法是:第一步将这p 件物件按Ⅰ类中相应类别分成m 堆,第二步将这m 堆对应m 个人进行全排列.例2: :现有12件不同礼品①平均分给三个人;②分给三个人其中一人得2件, 一人得4件, 一人得6件;③分给五个人其中三人各得2件,其中二人各得3件,其方法数分别为多少?(答: 3113M N A =∙ : 3223M N A =∙ ; 5335M N A =∙ 其中123,,N N N 为例1的结果 ) 例3:(09重庆) 将4名大学生分配到3个乡镇当村官,每个乡镇至少一人,有不同的分配方法有多少种?分析:先把4人按1,1,2分三组再对应三个岗位进行全排列即有:1123432322C C C A A ∙=36种方法.例4: 集合}{{}1,2,3,4,5,,,,:A B a b c f A B ==→且B 中每一个元素都有原像,这样的映射有多少个?分析:先把A 中元素分成个数为1,1,3和1,2,2的三堆有1131225435422222C C C C C C A A +=25种,再用这三堆和B 中三个进行全排列,所以最后为25*33A =150个这样的映射.2 、限定分配有归属问题即将相异的P （P=12m n n n +++ ）个物件分配给甲,乙，丙….等m 个人,物件分完,其中甲得1n 件,乙得2n 件, 丙得3n 件 求其分法数是多少?. 它的处理方法是：无论1,2,m n n n 中的m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有N=121nnm n n p p n m C C C -例5: :现有12件不同礼品①分给甲,乙,丙三个人每人4件;②分给三个人其中甲得2件, 乙得4件, 丙得6件;③分给五个人其中甲,乙,丙三人各得2件,其余二人各得3件,其方法数分别为多少?(答: 444246222331128421210631210863,,N C C C N C C C N C C C C C ===)Ⅲ 、相同元素分组问题这类问题的模型即把n 个相同的小球装入m 个相同的盒子，不允许空盒（允许空盒），有多少装法,只须将n 分解成m 个正整数（自然数）的和且不考察顺序的分解个数一一枚举出来即可.如：6个相同的小球装入3个相同的盒子,每盒子不空,有多少装法?因为6只有1+1+4,1+2+3,2+2+2这三种求和分解式,所以只有三种装法.Ⅳ 、相同元素分配问题(隔板法)即把n 个相同的元素(如名额、指标)分配给m 个不同的单位.这种类型可建立如下模型，即把n 个相同的小球装入m 个不相同的盒子有多少装法?①不允许出现空盒,现假设这n 个小球排成一条线用隔板把它们隔成m 段,每一种隔法就对应一种装法,只须在中间n-1个空隙插入m-1个隔板即11m n C --种隔法;②允许出现空盒, 它的处理方法是(借马分马),即借m 个这样的小球先每个盒子装一个,这样就转化成了m+n 个相同的小球装入m 个不相同的盒子(每盒不空)有多少装法?所以应有11m m n C -+-种装法.例6:将12个学生干部的培训指标分配给9个不同的班级,每个班级至少分得1个名额,共有多少分配方法?(答:共有811C =165种分配方法)例7:①不定方程*12(,)m X X X n m n N +++=∈ 的正整数解有11m n C --个②不定方程*12(,)m X X X n m n N +++=∈ 的自然数解有11m m n C -+-个③不定方程*12(,)m X X X n m n N +++=∈ 满足条件()*,1,2i X k k N i m ≥∈= 的正整数解有11m n m k m C --+-总之,这类问题一定要认真审题分清是相同元素还是不同元素, 是分组还是分配,然后就可以归入以上类别,迎刃而解了. 巩固提高训练 1、①7个相同的小球任意放入4个相同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？②7个相同的小球任意放入4个不同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？ ③7个不同的小球任意放入4个相同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？ ④7个不同的小球任意放入4个不同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？⑤7个相同的小球任意放入4个不同的盒子里，允许出现空盒子的不同放法有多少种？ ⑥7个不同的小球任意放入4个不同的盒子里，允许出现空盒子的不同放法有多少种？ 2、（09湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法数为：（ ）A 、18 B 、24 C 、30 D 、36 3、10个相同的小球放入4个不同的盒子，要求一个盒子有1个球，一个盒子有2个球，一个盒子有3个球，一个盒子有4个球，不同的放法数有（ ）A24 B10 C30 D12600 4、（06天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的盒子里，使得放入每个盒子的小球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A10 B20 C36 D52 参考答案：1：3、20、350、8400、120、16384 ， 2：C ， 3：A ， 4：A 。
(组合四)分组分配问题
C
mk mk
A
即分步挑选，除以均分组数的阶乘。
分配问题
• 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几 种分法？ ① 甲得一本，乙得两本，丙得三本； ② 平均分给甲、乙、丙三人； ③ 一人得一本，一人得两本，一人得三本； ④ 分给三人每人至少一本。
分配问题
• 将n个不同元素按照一定要求分给m个人（担 任不同职务，有顺序的位置等）称为分配问 题。解决方法是先分组再分配。 • 1确定分配，每人所得个数确定，直接分布 挑选。 • 2每组个数确定，但每人所得个数不确定， 先分组再分配 • 3，每组个数不确定，每人所得个数也不确 定，常常是先分类，在分组，最后分配。
课堂讨论：先用相关知识解答，后 用穷举法检验。
两个不同的小球平均分成两组，每组1个， 多少种方法？ 四个不同的小球平均分成两组，每组2个， 多少种方法？ 四个不同的小球分成两组，一组1个另一组3个， 多少种 方法？ 四个不同的小球分成三组，一组2个，另两组各1个， 多 少种方法？
分组问题
• 六个不同的小球平均分成两组，每组三个， 多少种方法？ • 六个不同的小球分成三组，每组两个， 多 少种方法？ • 六个不同的小球分成三组，一组1个，一组 2个，一组3个， 多少种方法？ • 六个不同的小球分成四组，两组各1个， 另 两组各2个，有多少种分法？
C C
m km
m ( k 1) m k k
C
m m
A
即分步挑选后，除以均分组数的阶乘。
分组问题
• 3. 部分平均分组问题一般说来n个元素分成 k组,每组分别有m1， m2， m3… mk个，且 m1， m2， m3… mk有且仅有i个相等，则分 组方法有
C C
m1 n
m2 n m1
排列组合题型全归纳 专题14 分组与分配问题(解析版)
专题14分组与分配问题【方法技巧与总结】分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n 堆（组）必须除以nn A ；如果有m 堆（组）元素个数相同，必须除以m m A .【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】D【解析】选项A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有22264290C C C =种分配方法，故该选项错误；选项B ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有411362132290C C C A A =种分配方法，故该选项错误；选项C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法，其余分给丙丁每人各1本，有22A 种方法，所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故该选项错误；选项D ，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有221146421422221080C C C C A A A =种方法，故该选项正确.故选：D.例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A ．240种B ．360种C ．450种D ．540种【答案】D 【解析】由题知，6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2，共有1142221236546426532323C C C C C C C C C 90A A ++=种分法，再分配给3所学校，可得3390A 540⨯=种.故选：D.例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（）A ．450种B ．72种C ．90种D ．360种【答案】A【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：人数为123--的三组，共有12336533C C C A 360⋅=种；第二种：人数为222--的三组，共有2223642333C C C A 90A ⋅=种.所以不同的安排方法共有36090450+=种，故选：A .例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A ，B 两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A ．36种B ．14种C ．22种D ．8种【答案】B【解析】将4名工人，安排到两个车间：分为其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人和两个车间都安排两名工人，两种情况.其中一个车间安排1名工人，另一车间安排3名工人的方案有：3412238C C A ⋅⋅=；两个车间都安排两名工人的方案有：422222226C C A A ⋅⋅=.所以，不同的安排方案有8614+=.故选：B.例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（）A ．540种B ．300种C ．210种D ．150种【答案】D【解析】先将每天读书的本数分组，有1,2,2和3,1,1两种分组方案，当按1,2,2分组时，有22353322C C A 90A =种方法，当按按3,1,1分组时，有3353C A 60=种方法，所以不同的选择方式有9060150+=种.故选：D.例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A ，B ，C 三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B 企业，乙不去C 企业，则不同的派遣方案共有（）A ．42种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】D【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B 企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有22242222C C A 6A ⨯=种；若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有1143C C 种，第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B 企业，乙不去C 企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有1143C C 112⨯=种；所以不同的派遣方案共有61218+=种，故选：D .例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5名大学生分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有44A 24=种情况，则有1024240⨯=种分配方案；故选：C ．例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）A ．36B ．81C ．120D ．180【答案】D【解析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有15C 5=种不同的选派方案，再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有2343C A 6636=⨯=种不同的选派方案，所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有123543C C A 536180=⨯=种.故选：D .例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．340【答案】C【解析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A ．1880种B ．2940种C ．3740种D ．5640种【答案】B【解析】5名女老师分配到三个社区，分配的方案有1:1:3型与1:2:2型，对于1:1:3型，女老师的分配情况有3353C A 60=，其中只有一个社区女老师的人数超过2，则5名男老师只能分配去这个村，即总分配情况为60；对于1:2:2型，女老师的分配情况有2213531322C C C A 90A =，其中有两个社区女老师的人数为2，则将5名男老师分配去两个社区，则分配方案有0:5型、1:4型与2:3型，则分配情况有242232252532A +C A C C A 32+=，即总分配情况为32902880⨯=；综上所述，2880602940+=.故选：B.例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A ．96种B ．124种C ．150种D ．130种【答案】C【解析】根据题意：分2步进行：①5人在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；当按照1,1,3来分时共有35C 10=种分组方法；当按照1,2,2来分时共有225322C C15A =种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有33A 6=种对应方法；则安排方法共有256150⨯=种，故选：C .例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A ．540种B ．180种C ．360种D ．630种【答案】A【解析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，第一类：6名志愿者分成123++，共有12336533C C C A 360=（种）选派方案，第二类：6名志愿者分成114++，共有1143654322C C C A 90A =（种）选派方案，第三类：6名志愿者分成222++，共有2223642333C C C A 90A =（种）选派方案，所以共3609090540++=（种）选派方案，故选：A.例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A ．240B ．180C ．690D ．150【答案】A【解析】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人，有322632C C A 120=种，第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，222642C C C 90=种，第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有4262C A 30=种，所以不同的分配方法种数是1209030240++=.故选：A例14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A ．28种B ．32种C ．36种D ．42种【答案】C【解析】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A ．72B ．108C ．216D ．432【答案】C【解析】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.故选：C.例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A ．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有15种分法；B ．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C ．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；D ．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；【答案】BD【解析】对于A ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，每人各2本，共有226415690C C =⨯=种分法，A 错误；对于B ，6本不同的书分给甲､乙､丙三人，一人4本，另两人各1本，共有1136532215690C C A A ⋅=⨯=种分法，B正确；对于C ，6本不同的书分给甲乙每人各2本，丙丁每人各1本，共有221642180C C C =种分法，C 错误；对于D ，6本不同的书，分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，共有22146424222245241080C C C A A A ⋅=⨯=种分法，D 正确；故选：BD.例17．（多选题）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A ．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B ．九本书内容都不一样，分给三位同学有9319683=种不同的分法C ．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D ．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有63729=种不同的分法【答案】ABC【解析】对于A ，9本相同的书分给三位同学，每人至少一本，利用挡板法分析，在9本书之间的8个空位中任选2个，插入挡板即可，有28C 28=种不同的分法，故A 正确；对于B ，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有9319683=种不同的分法，故B 正确；对于C ，由9本书内容完全一样，则将这9本书和2个挡板排成一排，利用挡板将9本书分为3组，对应3位同学即可，则有211C 55=种不同的分法，故C 正确；对于D ，可以分11类情况：①“1，2，6型”有126986C C C 41008⨯=；②“1，3，5型”135985C C C 42016⨯=；③“1，4，4型”144984C C C 21260⨯=；④“1，7，1型”171981C C C 72=；⑤“1，8，0型”1898C C 9=；⑥“2，2，5型”225975C C C 32268⨯=；⑦“2，3，4型”234974C C C 67560⨯=；⑧“2，7，0型”2797C C 272⨯=；⑨“3，3，3型”333963C C C 1680=；⑩“3，6，0型”3696C C 2168⨯=；⑪“4，5，0型”4595C C 2252⨯=，所以有1008+2016+1260+72+9+2268+7560+72+1680+168+252=16365种不同的分法，故D 错误．故选：ABC ．例18．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．【答案】150【解析】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，所以共有6090150+=种分配方法.故答案为：150.例19．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.【答案】684【解析】根据题意，分3步完成：第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有23441C C 72+=种分组方法；若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有234C 12=种分组方法；则护士有71219+=种分组方法；第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法；第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有3333A A 6636=⨯=种安排方法；根据分步乘法计数原理得19136684⨯⨯=种分配方法.故答案为：684.例20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.【答案】315【解析】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为2222864244C C C C A ，即105种安排方法，第二轮比赛的安排方法数为224222C C A ，即3种安排方法，第三轮比赛的安排方法数为1，由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315；故答案为：315.例21．（2023·全国·高三专题练习）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.【答案】432【解析】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，所以分以下两类情况：①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有24C 种分法，再将四组老师分到4个班级共有44A 种分法；即甲乙同队共又2444C A 144=种；②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有44A 种分法，再将甲、乙分别分到两个不同的班级共有24A 种分法；即甲、乙不同队共有4244A A 288=；综上可知，不同的带队方案共有144288432+=种.故答案为：432例22．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．【答案】150【解析】当分成三组，分别为1，1，3时有31152122C C C P ⋅⋅种；当分成三组，分别为2，2，1时有22153122C C C P ⋅⋅种再将分好的三组对应到三所学校共有311221352153132222C C C C C C P 150P P ⎛⎫⋅⋅⋅⋅+⋅= ⎪⎝⎭故答案为：150.例23．（2023·全国·高三专题练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．【答案】60【解析】由题知，①将5名大学生分成1,2,2的三组，有22153122C C C 15P =种分组方法，②甲同学所在的组不去观看冰球比赛，有2种情况，剩下的2组任意选择，有222P 4=种情况，所以有15460⨯=种方案．故答案为：60例24．（2023·全国·高三专题练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．【答案】130【解析】当恰好有2只能配成一双有：12115422C C C C 120⨯⨯⨯=；当恰好有4只能配成两双有：25C 10=；故共有12010130+=种不同的取法.故答案为：130例25．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【答案】36【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例26．（2023·全国·高三专题练习）A 、B 、C 、D 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A 和B 不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】30【解析】根据题意，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有2343C A 36=种情况，若A B C D 、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A 和B 参加同一科的有2323C A 6=种情况；所以，满足题意的情况共有23234323C A C A 30-=种.故答案为：30.例27．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．【答案】210【解析】先从6个班级中选择2个班级去黄山，则有26C 种情况，接下来4个班级可分为两种情况：第一种情况，2个班级去九华山，2个班级选择取天柱山，则有2242C C 种情况，第二种情况，3个班级去九华山或天柱山，剩余的1个班去另一个山，则有342C 种情况，综上：恰好有2个班级选择黄山的方案有()22236424C C C 2C 210+=．故答案为：210例28．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【解析】（1）根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=，所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；（3）先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)．例29．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选1本有16C 种选法;再从余下的5本中选2本有25C 种选法;最后余下的3本全选有33C 种选法.故共有12365360C C C =(种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有12336533360C C C A =.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是222642C C C 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,若第一步取了AB ,第二步取了CD ,第三步取了EF ,记该种分法为(AB ,CD ,EF ),则222642C C C 种分法中还有(AB ,EF ,CD ),(CD ,AB ,EF ),(CD ,EF ,AB ),(EF ,CD ,AB ),(EF ,AB ,CD ),共有33A 种情况,而这33A 种情况仅是AB ,CD ,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有2226423315C C C A =.（4）有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式222364233390C C C A A ⋅=(种).（5）无序部分均匀分组问题.共有4116212215C C C A =(种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在5题的基础上再分配给3个人,共有分配方式411362132290C C C A A ⋅=(种).（7）直接分配问题.甲选1本有16C 种选法,乙从余下5本中选1本有15C 种选法,余下4本留给丙有44C 种选法,共有11465430C C C =(种)选法.例30．（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．【解析】除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：①4个名额全部分给某一个班，有16C 种分法；②4个名额分给两个班，每班2个，有26C 种分法；③4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有26A 种分法；④4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有1265C C ⋅种分法；⑤4个名额分给四个班，每班1个，共有46C 种分法．故共有122124666656C C A C C C 126+++⋅+=（种）分配方法．例31．（2023·全国·高三专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为44A 24=（种）；（2）先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为2344C A 144=（种）；（3）考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为248⨯=（种）；（4）按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为234C 12=（种）.例32．（2023·全国·高二专题练习）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？【解析】（1）首先选定两个不同的球，作为一组，选法有25C 10=种，再将4组排到4个盒子，有45A 120=种投放法．∴共计101201200⨯=种方法；（2）没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有55A 种，而球的编号与盒子编号全相同只有1种，所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有55A 1119-=种．（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种；第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种；第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：25C 10=种；第四类，两个球的编号与盒子编号相同的放法：252C 20=种．所以满足条件的放法数为：1102031++=种．。
排列组合中的分组分配问题
精心整理排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数例了6，2)(3，4)(5，6)即除以(2)(3)以实际分法是41162122C C CA=15(种)。
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。
三、基本的分配的问题(一)定向分配问题例2六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有222642C C C =90(种)，615233C C C =60(种)，411621C C C =30(种)。
(二)例 (1) (2)(3)甲、乙种)，615233C C C例(3)32种)。
再考虑排列，即再乘以33A 。
所以一共有540种不同的分法。
四、分配问题的变形问题例5四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。
实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有11243222C C C A (种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有11243222C C C A 34A =144(种)。
排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)(1)
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)(1)
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合中的分组、分配问题
学习目标：体会分组、分配问题地联系与区别体会算两次思想在平均分组问题中地应用学习过程:例：把本不同地书平均分给个人，有几种分法？把本不同地书平均分成堆，有几种分法？分析：（）从人地角度：第人有24C 种，第人有22C 种，根据分步乘法原理得分法数2224C C N ⋅=从书地角度：先把书平均分成堆，再把书进行排队，把书平均分成堆有种223A N ⋅=把书平均分成堆有种，注意：不是24C ，而是2224A C 例：（）把本不同地书平均分给个人，有几种分法？（）把本不同地书平均分成堆，有几种分法？（）把本不同地书分给个人，其中一人本，一人本，一人本，有几种分法？（）把本不同地书分成堆，其中一堆本，一堆本，一堆本，有几种分法？分析：地本质是平均分配问题地本质是平均分组地本质是不平均分配地本质是不平均分组从人地角度去分析（）：第人有26C 种，第人有24C 种，第人有22C 种，根据分步乘法原理得分法数222426C C C N ⋅⋅=从书地角度：先把书平均分成堆，再把书进行排队，把书平均分成堆地方法数可用列举法，但数字大时要找好方法.现设把本书平均分成堆得方法数为x ，把堆书排队地方法数为33A .根据算两次得到结果一致得：22242633C C C A x ⋅⋅=⋅文档收集自网络，仅用于个人学习33222426A C C C x ⋅⋅= “平均分组”对学生来说是难点.练习：现有本不同地书，求下列情况下各有多少种不同地分法？分成组，一组本，一组本，一组本（）分给个人，一人本，一人本，一人本（）平均分成组（）练习个不同地球，个不同地盒子，把球全部放入盒内恰有个盒子不放球，共有几种方法？恰有一个盒子放球，共有几种方法？恰有个盒子不放球，共有几种方法？。
分组分配问题 ppt课件
m m
分组分配问题
（2）先分成3组，分别有1、2、3本书，再分配各三个 人，则有
分组分配问题
2、非平均分配问题
包括两种：
（1）定向的非平均分配与非平均分组的分法种数一样
（2）非定向的非平均分配的分法种数
分组分配问题
三、部分平均分组与分配问题
分组分配问题
1
分组分配问题
应用：
k个元素，则分组的方法:
例1.有两本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？ 有三本不同的书，平均分成三组有几种不同分法？ 有四本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？ 有六本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
10二非平均分组与分配问题11二非平均分组与分配问题1非平均分组问题122先分成3组分别有123本书再分配各三个人则有132非平均分配问题包括两种
分组分配问题
引言
分组分配问题
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
分组分配问题
Amm
2、平均分配问题：n个不同元素平均分给m个不同对
象，每个对象k个元素，则分配的方法:
结论：n个不同元素平均分给m个不同对 象，每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2kCkk
分组分配问题
结论
1、平均分组问题：
n个不同元素平均分成m组，每组k个元 素，则分组的方法为: CnkCnkkCnk2k Ckk
分组分配问题26374PPT课件
C
2 5
.
11
练习3:9件不同的玩具，按下列方案有几种分法？ 1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法？ 2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种 分法？ 3.每人3件，有多少种分法？ 4.平均分成三堆，有多少种分法？ 5.分为2、2、2、3四堆，有多少种分法？
解：① ③ ⑤
C92C73C44 1260 ②
分组分配问题
平均分组与不平均分组
.
1
1、将四个小球分成两组，每组两个，有多
少分法？
3种
.
2
2、将四个小球分给两人，每人两个，
有多少分法？ 6种
甲 乙甲 乙
.
3
3、将四个小球分成两组，一组三个，一组
一个，有多少分法？ 4种
.
4
4、将四个小球分给两人，一人三个，
一人一个，有多少分法？ 8种
甲 乙甲 乙
C93C63C33 1680 ④
C62C42C22 A33
C33
1260
C92C73C44A337560
C
93C
3 6
C
3 3
280
A33
.
12
练习4：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份 4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有 多少种分法?
mk mk
种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
.
10
练习1:将12个人分成2，2，2，3，3的5个 组，则分组的种数是多少？
C122
•C120 A33
排列组合中的分组分配问题之欧阳家百创编
排列组合中的分组分配问题欧阳家百（2021.03.07）分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例 1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A ，所以分法是22264233C C C A =15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是41162122C C C A =15(种)。
组合中的分组分配问题(应用)
排列组合中的分组分配问题一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以A(m,m)，即m!，其中m 表示组数。
例如 把abcd 分成平均两组有_____多少种分法？例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？C 4 2 C 22 A 2 2 3ab cd ac bd ad bccdbd bc ad ac ab这两个在分组时只能算一个①每组两本.22264233C C CA②一组一本，一组二本，一组三本.615233CCC③一组四本，另外两组各一本.41162122C C CA=15(种)定向分配④乙两本、丙两本.222642C C C=90(种⑤甲一本、乙两本、丙三本.615233CCC=60(种)⑥甲四本、乙一本、丙一本.411621C C C=30(种不定项分配⑦每人两本.22264233C C CA33A=90(种)⑧一人一本、一人两本、一人三本. 615233CCC33A=360⑨一人四本、一人一本、一人一本.41162122C C CA33A=90⑩6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本。
540本不定向分配题的一般原则：先分组后排列11结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。
(完整版)高二数学分组与分配问题专题
超越文化培训高二数学寒假专题讲座探讨排列组合中分组与分配问题2017.3分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。
如何把有关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。
从而能掌握该节内容。
下面就分组与分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：一、分组与分配的相关概念：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
二、分组与分配模型的分类：①均匀分组；②非均匀分组；③均匀分组与分配；④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（k n<）个不同的对象，每个对象至少分配1个元素。
四、例题精选:(一)分组与分配问题的基本模型：例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?（1）平均分成三堆；-----------均匀分组问题（2）平均分给甲、乙、丙3人；-----------均匀分组分配问题（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本；-----------非均匀分组问题（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本；-----------非均匀分组定向分配（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本；--------非均匀分组不定向分配分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有22264233C C CA种。
注意：不同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；（2）6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。
可先对6本书进行分组，共有分组方法数22264233C C CA种；然后再把三堆书分别分给甲、乙、丙3人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙3人的方法数共有2223642333C C CAA•种，即222642C C C种。
分组分配问题课件
分组与分配的结合策略
先分组后分配策略
总结词
先对任务进行分组，再对每组任务进行分配。
详细描述
先根据任务的相似性、紧急性、重要性等因素将任务分成若干组， 然后对每组任务进行分配，确保每组任务都能得到合适的处理。
适用场景
适用于任务数量较多、需要精细化管理的情况。
先分配后分组策略
总结词
总结词
资源分配公平性
详细描述
资源分配公平性是资源分配问题的一个重要 原则。公平性意味着每个成员都应该得到相 对平等和公正的资源分配，这样可以保证成 员的权益和积极性。在实践中，可以根据成 员的能力和贡献来确定资源的分配方式，以
确保资源的针对性和有效性。
实例三：资源分配Βιβλιοθήκη 题要点一总结词资源优先级划分
分配策略
最小化最大组间差异
01
02
03
目标
将对象分配到不同的组中， 使得各组之间的差异最小 化。
方法
计算各组之间的差异，并 选择能够最小化最大组间 差异的分配方案。
应用场景
当需要平衡不同组之间的 差异时，例如在资源分配、 任务分配等场景中。
最大化组内一致性
目标
将对象分配到不同的组中， 使得每个组内的对象尽可 能一致。
问题的应用场景
任务调度
计划安排
在生产、物流、服务等领域中，需要 对任务进行合理调度，以满足时间、 成本和质量等要求，分组分配问题可 以应用于任务调度中。
在项目管理、会议组织等领域中，需 要对活动进行合理安排，以满足参与 者的需求和目标，分组分配问题可以 应用于计划安排中。
资源分配
在军事、医疗、教育等领域中，需要 对资源进行合理分配，以满足不同需 求和目标，分组分配问题可以应用于 资源分配中。
分组分配
分组与分配将n 个不同元素按要求分成m 组，称为分组问题，而将n 个不同元素按要求分给m 个人，称为分配问题。
前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因分配对象不同是可区分的。
由于两者之间容易混淆出错，故要区分好以下三个方面：一、非平均分组与分配例 1.某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师，⑴若将9位评委老师分成三组进行打分，使一组2人、一组3人、一组4人的不同分法共有多少种？⑵若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处2人、一处3人、一处4人的不同分法共有多少种？⑶若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边2人、南边3人、西边4人的不同分法共有多少种？分析：第⑴问属于非平均分组,应分步进行；第⑵问由于没指明哪一个处具体有多少人, 所以属于不定向的非平均分配问题，故分组后要排列；⑶与⑵不同的是具体指明了分配到哪一处有多少人,所以属于定向的非平均分配问题，故与⑴一样.解:⑴先从9本中取2本得29C 种,再从余下得7本中取3本得37C 种,最后剩下得4本为一组有44C 种,根据乘法原理,不同的分法有29C 37C 44C =1260种.⑵在⑴的基础上再到不同位置,故不同分法有29C 37C 44C 33A =7560种⑶和第⑴问一样,不同分法有29C 37C 44C =1260种点评: 若n 个不同元素分成m 组，1m ，2m ，…，mm 分别为各组的元素个数，且各不相等，则非平均分组的方法种数N =1m nC 21m n m C -321)(m m m n C +-…121(...)mm m n m m m C --+++；不定向的非平均分配的分法种数M =N ·m mA (m 为组数)；定向的非平均分配问题与非平均分组一样.二、均匀分组与分配例2. 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师，⑴若将9位评委老师平均分成三组进行打分，共有多少种不同分法？⑵若将9位评委老师平均分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，共有多少种不同分法？分析: 第⑴问由于平均分组在分步取的过程中含排列问题,而实际分组方法中又不含排列问题,故要除以组数的全排列数；第⑵问是平均分组后再分配到具体位置,所以属于均匀分配问题，故和按要求分步来取一样.解: ⑴不同的分组方法有33333639AC C C =280种.⑵不同的分组方法有33333639A C C C ·33A =39C 36C 33C =1680种点评:若n 个不同元素平均分成p 组,每组含有m 个元素,则不同的分组方法为2...m m m m n n m n m mp pC C C C A --种,而平均分配给p 个不同对象的方法则有2...m m m m n n m n m mC C CC --种.三、部分均匀分组与分配例3. 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师，⑴若将9位评委老师分成四组，一组3人，其余每组均为2人，其不同分法共有多少种？⑵若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西、北四个位置进行打分，一处3人,其余各处均为2人，其不同分法共有多少种？⑶若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西、北四个位置进行打分，使东边3人，其余各处均为2人，其不同分法共有多少种？分析:第⑴问属于部分均匀分组，应分步进行,先选3人为一组,而由于剩下的6人又属于平均分为3组,故要除以组数3的全排列；第⑵问要求分到四个位置,由于未指明哪个位置为3人,所以属于不定向的部分均匀分配问题，故分组后再分配到四个位置，最后要乘以所有组数4的全排列； ⑶与⑵不同的是具体指明了哪个位置为3人,所以属于定向的部分均匀分配问题，故按要求分步来选即可.解:⑴不同的分法有3322242639A C C C C =1260种；⑵不同的分法有3322242639A C C C C ·44A =30240种；⑶不同的分法有22242639C C C C =7560种点评：部分均匀分组问题先按“非均匀分组”列式后再除以等分组的组数的阶乘；部分均匀分配问题要遵循先分组后排列的原则.。
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征：（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。
二．基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；三．基本的分配问题（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一．分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
《分组分配问题》课件
分组分配问题的解决步骤
1
定义问题
明确问题的对象、约束条件等。
2
数学建模
构造合适的数学模型，并确定适当的求解算法。
3
实现算法
代码实现算法的求解与具体问题联系。
4
验证解法
通过实际数据对算法的效果进行检验。
总结和展望
总结
展望
• 分组分配问题是多个领域公认的重要问题。
• 分组分配问题被证明可以通过多种方法 求解。
• 分组分配问题的求解方法和实际应用都 有不以提高分组分配问题 的求解效率和精度。
分组分配问题的解决方法
1
聚类分析法
通过比对对象之间的相似度，将其分配到最相近的组中。可通过K-means等算法 实现。
2
贪心算法
通过贪心思想，选择每次的最优子问题解，进行解决。
3
模拟退火算法
模拟自然界中物体能量变化趋势的方法，逐步求解最优解。
常见的分组分配问题
文件分类
配对问题
尽可能相似的项目归为同一组， 如按类别整理图书馆的书籍。
将尽可能相似的项目配对，例 如匹配袜子、拆卸模型中的零 件。
彩票中奖
将彩票中奖号码与统计数据做 比对，尽可能将中奖号码均匀 地分配到 diferentes。
分组分配问题的应用领域
生产制造
如何有效地将生产线上的工人、机器、设备 分配到不同的任务中，以获得最好的生产效 率。
运输物流
如何快速合理地将多件物品分配到相应的运 输方式和运输货物中。
分组分配问题
欢迎来到本次PPT课件，本课件将介绍关于分组分配问题的定义、方法、应 用、挑战以及解决步骤。让我们开始吧！
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分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是4116212215C C C A ⨯⨯= (种)，或1146542215C C C A ⨯⨯= (种)。
小结：分组问题属于组合问题，一般与顺序无关，常见的分组问题有：（1）完全均分的分组：每组元素个数相等，不管它们的顺序如何，都是一种情况，应该除序，即除以相等组数的阶乘；一般地，k m 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不同的分法种数为：(1)m m m km k m mk k C C C A -⨯⨯⋅⋅⋅⨯（2）全非均分的分组：各组元素个数均不等，无需考虑重复现象；一般地， 把n 个不同元素分成k 组，每组分别有123,,,k m m m m ⋅⋅⋅个，且123,,,k m m m m ⋅⋅⋅互不相等，123k m m m m n +++⋅⋅⋅+=，则不同分法种数为：312112()k k m m m m n n m n m m m C C C C --+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯（3）部分均分的分组：部分组元素个数相等，应除以部分相等组数的阶乘；一般地，把n 个不同元素分成k 组，每组分别有123,,,k m m m m ⋅⋅⋅个，且123k m m m m n +++⋅⋅⋅+=，如果123,,,k m m m m ⋅⋅⋅中有且仅有i 个相等，则不同的分法种数为：312112()k k m m m m n n m n m m m i i C C C C A --+⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯三、分配问题 １、定向分配问题例2、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 甲2本、乙2本、丙2本；(2) 甲1本、乙2本、丙3本；(3) 甲4本、乙1本、丙1本；分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，这是分配问题中的定向分配问题，由分步计数原理不难解出：（１）22264290C C C ⋅⋅=(种)（２）12365360C C C ⋅⋅=(种)，或231641C C C ⋅⋅或312632C C C ⋅⋅或321631C C C ⋅⋅（３）41162130C C C ⋅⋅=(种)，或114654C C C ⋅⋅或141651C C C ⋅⋅小结：定向分配问题可用分步计数原理计算。
２、不定向分配问题例3、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 每人2本；(2) 一人1本，一人2本，一人3本；(3) 一人4本、一人1本、一人1本；分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是分配问题中比较困难的问题。
由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以33A 即可。
（33A 可理解为三人分别有3种、2种、1种选择法）（１）222364233390C C C A A ⨯⨯⨯=(种) （２）12336533360C C C A ⨯⨯⨯=(种)，或23136413C C C A ⨯⨯⨯或31236323C C C A ⨯⨯⨯或32136313C C C A ⨯⨯⨯（３）411362132290C C C A A ⨯⨯⨯=(种)，或1143654322C C C A A ⨯⨯⨯或1413651322C C C A A ⨯⨯⨯ 小结：不定向分配问题的解决办法是先分组后分配。
例4、12支笔按3：3：2：2：2分给A 、B 、C 、D 、E 五个人有多少种不同的分法？分析：问题可转化为先分组后分配。
先分组：分组法数有332221296422323C C C C C A A ⨯⨯⨯⨯⨯ 后分配：将这五组(即五个不同元素)分配给五个人(不同对象)，分配方法数有55A 。
根据分步计数原理共有33222512964252323C C C C C A A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯种不同的分法。
例5、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。
于是问题可转化为先分组后分配。
先分组：四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法数有11243222C C C A ⨯⨯。
后分配：将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)，分配方法数有34A 。
根据分步计数原理共有1123432422144C C C A A ⨯⨯⨯= 例6、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中4人承担这三项任务，不同的选派法有多少种？分析：问题可转化为先分组后分配。
先分组：第一步从10人中选4人，选法有410C ，第二步分为三组，其中两组各1人，另一组2人，分组方法数有11243222C C C A ⨯⨯，共有11244321022C C C C A ⨯⨯⨯； 后分配：第一步分配甲任务，分配法只有1种，第二步分配乙、丙任务，分配法有22A 。
根据分步计数原理共有11242432102222520C C C C A A ⨯⨯⨯⨯=种不同的选派法。
例7、设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A 为定义域，B 为值域，则从集合A 到集合B 的不同的函数有多少个？分析：由于集合A 为定义域，B 为值域，即集合A 、B 中的每个元素都有“归宿”，而集合B 的每个元素接受集合A 中对应的元素的数目不限，所以问题可转化为先分组后分配。
先分组：集合A 中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有11243222C C C A ⨯⨯种。
后分配：将这三组(看作三个不同元素)分配给B 中的三个不同元素，分配方法数有33A 种。
根据分步计数原理共有112343232236C C C A A ⨯⨯⨯=个不同的函数。
例8、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？ 分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。
因此，先分组，后分配。
先分组：六本书怎么分为三组呢？有三类分法：每组2本，有22264233C C C A ⨯⨯＝15种；三组分别有1本、2本、3本，有123653C C C ⨯⨯＝60种；两组各1本，另一组4本，有4116212215C C C A ⨯⨯=种。
所以根据加法原理，分组法有15+60+15=90种。
后分配：将这三组(即三个不同元素)分配给三个人(不同对象)，分配方法数有336A =(种)。
根据分步计数原理共有906540⨯=种不同的分法。
四、元素相同问题的等效转化——隔板分割法例9、5本相同的书全部分给3个人，每人至少1本，有多少种分法？分析：5本相同的书没有差别，可把它们排成一排，相邻两书之间形成4个空隙，在4个空隙中选2个空隙，每个空隙插入1个隔板，可把5本相同的书分成3部分，对应地分给3个人，每一种插板方法对应一种分法。
因为两个隔板无顺序，所以共有24C 种分法。
例10、5本相同的书分给3个人，有多少种分法?分析1：把5本相同的书排成一排，相邻两书之间有4个空隙及两端有2个空隙，在这6个空隙位置插2个隔板，这样第2个人至少能分到1本，为了让第2个人可能分到0本，我们在这6个空隙位置上再增加一个位置，形成7个位置2个隔板进行分割，所以共有27C 种分法。
分析2：以第2个人为标准，问题可分为两类，第一类：第2人至少分到1本，相当于在4个空隙位置及两端共6个空隙位置插2个隔板，有26C 种插种法；第一类：第2个人分到0本，在上述的6个空隙位置同时插2个隔板，有16C 种插法；于是共有26C +16C 种。
下列问题用隔板分割法如何解释？有待高人帮助。
例11、3本相同的书全部分给5个人，每人至多1本，有多少种分法？分析：从5人中选3人来分书，因为分给的书相同，所以无顺序，有35C 种分法。
例12、3本相同的书全部分给5个人，有多少种分法？分析：问题可分为三类，第一类：把3本相同的书分给1人，可从5人中选1人，有15C 种；第二类：3本相同的书分给2人，可从5人中选2人，有2252C A 种（先选人，后分配）；第三类：3本相同的书分给3人，可从5人中选3人，有35C 种；共有1223552535C C A C ++=。
最后，相同元素分配给相同对象的问题很简单，这里不再赘述。
如5个相同的小球放入2个相同的盒子里，有0+5，1+4，2+3三种分法。