4-3 二次型及其标准形
二次型及其标准型
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
二次型及标准型
§5 二次型及其标准形在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax（4）的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧+=-=,cos 'sin ',sin 'cos 'θθθθy x y y x x把方程化成标准形.1''22=+ny mx（4）式的左边是一个二次奇次多项式，从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次奇次多项式，使它只含有平方项。
这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。
现在我们把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次奇次多项式的化简问题。
定义 8 含有n 个变量nx x x ,,,21的二次奇次函数nn nn nnnnxx a x x a x x a xa x a x a x x x f 1,13113211222222211121222),,,(--+++++++=称为二次型。
取ijjia a +，则ij ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，于是（5）式可写成.1,2221122222212211121122111jinj i ijnnnnn nn nnnnx x a xa x x a x x a xx a x a x x a xx a x x a x a f ∑==++++++++++++= （6）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nyc y c y c x y c y c y c x y c y c y c x nnn n nnnnn22112222112212121111,, 使二次型只含平方项，也就是用（7）式代入（5），能使.2222211nny k y k y k f +++=这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）.如果标准型的系数nkk k ,,,21只在1，-1,0三个数中取值，也就是用（7）代入（5）能使则称上式为二次型的规范形。
二次型及其标准形(精)
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
第五节 二次型及其标准型
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
线性代数二次形及其标准型
5 4 2 A4 5 2
2 2 2
A的特征多项式 5 4
2
I A 4 5 2 ( 1)2( 10)
2 2 2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
f xT Ax (Qy)T A(Qy) yT (QT AQ) y yT y
1
y2 1
2
y2 2
n
y2 n
线性代数 第五章
111
例4
通 过 正 交 变 换化 二 次 型
f 5 x12 5 x22 2 x32 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
成 标 准 形.
解 二次型矩阵
nn
f ( x) aij xi x j
x cy
i1 j1
x cy
f xT Ax
f
(
y)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
.
f yT By
因为有 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：B CT AC.
写 成 矩 阵 形 式.
解
f
(
x1 ,
x2
,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
0½
½
2
½ x1
32 x2
½ 32
0
x3
注
aij
a ji (i
j
)为
交
叉
项xi
x
的
j
系
数
的
一
半
，
aii为 平 方 项xi2的 系 数,
二次型及其标准形
使
PT AP P 1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
1
PT AP
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP ) y 1 y12 n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理 设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使 P 1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
f ( x) y12 3 y22
例4 化二次型 f ( x) 2 x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6 x32 4 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 为 y 的标准形.
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
二次型及其标准型
f xTAx x1
x2
L
xn
a21 a22 L M M
a2nx2 M M
一 二
an1 an2 L annxn 次
称实矩阵 A 为二次型 f 的矩阵。
型
f 与 A可建立一一对应的关系,即给了二次
有
型 fx1,x2,L,xn，就可以得到实对称矩阵 A;
关
反之，给出了一个实对称矩阵 A，就可写出一个二 次型 f 。
念
2 a 1 2 x 1 x 2 L 2 a n 1 ,n x n 1 x n 二次型的标准型
f z 1 2 L z 2 p z 2 p 1 L z r 2 规范型
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
f x1,x2,L,xn a11x12a22x22Lannxn2
一
2a12x1x2 L2an1,nxn1xn
相似矩阵及二次型 内
1 向量的内积、长度及正交性
2 方阵的特征值与特征向量
容
3
相似矩阵
概
4
对称矩阵的对角化
5 二次型及其标准型
要
6
正定二次型
第五章 相似矩阵及二次型
5.5
教学要求
二
1. 掌握二次型及其有关概念
次
型
及
2. 掌握化二次型为标准型的两种方法
其
正交变换法、配方法
标
准
型
第五章 相似矩阵及二次型
aijxixj
i1
1ijn
概 念
n
a ij x i x j
i, j1
称为 n 元二次型。
5.5 二 次 型 及 其 标 准 型
主要
寻找可逆的线性变换
二次型
二次型及其标准型
含有n个变量x1, x2 , , xn的二次齐次多项式
f (x1, x2, , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn
a22 x22 2a23x2x3 2a2n x2xn
a33x32 2a3n x3xn
阵B CT AC且r(A) r(B).
正交变换化二次型为标准形：
d1
问题1：标准形的矩阵 = ？
dn
问题2：将二次型化为标准形实际上是什么问题？
找可逆阵 C, 使CT AC 为对角阵.
问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。
x y
x,
y
2 0
0 8
x y
2x2 8y2
启示
1. 二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是 平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半 ；
2. 通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标 准形.
二次型（quadratic form ）的定义
例 求一个正交变换x =Qy，， 化二次型为标准形
f x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
解 二次型的矩阵
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
特征多项式
1 2
2
A E 2 2 4 ( 7)( 2)2
2 4 5
单位化
2
2 2
1 5
2 1 0
3
二次型及其标准型
其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意 二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1， ，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
二次型的标准型和规范型
可逆的线性变换 x Cy T 二次型 f ( x ) x Ax T T 2 2 2 标准形 : g ( y ) y ( C AC ) y d y d y d y . 1 1 2 2 n n
2 2 2 将其化为标准形 g(y1, y2, , yn ) n yn ,其中 1y 1 2 y2
, n为 A的 n个特征值 . 1, 2,
2 2 2 例 1将二次型 f (x1, x2, x3) x1 2x1x2 2x1x3 2x2 8x2x3 5x3
作线性变换 x Cy ,则可将二次型 f (x) xT Ax 化为标准形
T g(y) yT (C AC )y .
2 2 2 例 4 将二次型 f ( x , x , x ) x 2 x x 4 x x 4 x x 4 x x 化为 . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
化为标准形 . 例 2将二次型 f (x x x x2x3化为标准形 . 1, x 2, x 3) 2 1x 2 2 1x 3 6 注 :无平方项 (仅含交叉项 )时 ,令 ... Th 5.3 ( 1 )任一 (实 )二次型都可经有限次可 逆的线性变换化为标准 形 . (2) 实对称矩阵 A , 可逆矩阵 P ,使 PT AP 为对角矩阵 .
例 5 将二次型 f ( x , x , x ) 2 x x 2 x x 6 x x 化为标准 . 1 2 3 1 2 1 3 2 3
命题1 二次型的标准形不唯一.
命题2 任一二次型都可经可逆的线性变换化为规范形：
2 2 2 2 g ( y , y , , y ) d y d y d y d y , 1 2 n 1 1 p p p 1 p 1 r r
第四讲：二次型及其标准型
f x1, x2, x3 x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 x1 x2 x3 2 2x22
故二次型 的正惯性指数为2。
例3、若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4
其中 λ1, λ 2, …, λ n是二次型f 的矩阵的特征值. 将二次型f(x1, x2,…, x n )=xTAx 化为标准型的方法 （1）写出二次型的矩阵 A （对称矩阵）；
（2）将矩阵A 正交相似于对角阵，求出正交矩阵P ，使得 P-1AP=PTAP=Λ， Λ中的对角元为矩阵A 的特征值；
（3）作正交变换 x=Py ，此时 f 1 y12 2 y22 n yn2.
2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型 为标准形； 3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
三、例题精讲
例1、已知二次型 f
x1, x2, x3
xTAx
x12
5x
2 2
x
2 3
2ax1x2
2x1x3
2bx2x3
的秩为2，
且(2,1,2)T是矩阵A 的特征向量，那么在正交变换下该二次型的标准形是
第四讲：二次型及其标准形
主讲人：同济大学 殷俊锋
相似矩阵以及二次型是线性代数的重要组成部分
包含正交矩阵、矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、 二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的标 准形和规范形、正定矩阵等基本概念.
也包含矩阵可相似对角化的充分必要条件、实对称矩 阵的特征值、特征向量的性质、惯性定理、用正交变换化 二次型为标准型等基本定理.
二次型及其标准形式
二次型及其标准形式二次型是高等数学中一个重要的概念，它与矩阵有着密切的关系。
在本文中，我将介绍什么是二次型，以及如何将二次型化为标准形式。
什么是二次型？二次型是指二次齐次多项式，也就是形如：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中 $a_{ij}$ 是实数。
可以看出，二次型与关于 $n$ 个变量的二次方程非常相似，但它们有一个显著的不同点：二次型中的系数 $a_{ij}$ 不一定是已知的数值，它们可以是函数或变量，也可以是其他复杂的表达式。
如何将二次型化为标准形式？将二次型化为标准形式可以帮助我们更好地研究它的性质。
标准形式指的是经过某种变换后，二次型可以写成以下形式：$$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + ... + \lambda_ny_n^2$$其中 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ 是非负实数，$y_i$ 是 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的线性组合，即 $y_i = a_{i1}x_1 +a_{i2}x_2 + ... + a_{in}x_n$。
那么，如何将二次型化为标准形式呢？我们可以用矩阵的方法来处理。
首先，我们用一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $A=(a_{ij})$ 来表示二次型。
我们可以将$A$ 矩阵分解为两个矩阵的乘积：$A=QQ^T$，其中 $Q$ 是一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵，且 $Q$ 的列向量构成一个标准正交基。
我们在 $Q$ 的基础上引入新的变量 $y_1, y_2, ..., y_n$，它们的值分别为 $y_i = q_{i1}x_1 + q_{i2}x_2 + ... + q_{in}x_n$，其中$q_{ij}$ 是$Q$ 矩阵的元素。
二次型标准型规范型
二次型标准型规范型二次型是数学中一个重要的概念，它在代数、几何和物理等领域都有着广泛的应用。
在矩阵和向量的理论中，二次型的标准型和规范型是非常重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解和处理二次型的性质和特征。
本文将对二次型的标准型和规范型进行详细的介绍和解释。
首先，我们来看一下二次型的标准型。
对于一个二次型，通过合适的线性变换，我们可以将其化为标准型。
具体来说，对于一个n元二次型。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\]我们可以找到一个非奇异矩阵P，使得通过线性变换。
\[y = Px\]原二次型可以化为标准型。
\[g(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots +\lambda_ny_n^2\]其中$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$为二次型的特征值。
这个标准型的形式简单明了，能够直观地展现二次型的特征。
接下来，我们来讨论二次型的规范型。
对于一个实二次型，通过合适的正交变换，我们可以将其化为规范型。
具体来说，对于一个n元实二次型。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\]我们可以找到一个正交矩阵Q，使得通过正交变换。
\[y = Qx\]原二次型可以化为规范型。
\[h(y_1, y_2, \cdots, y_n) = \varepsilon_1y_1^2 + \varepsilon_2y_2^2 + \cdots +\varepsilon_r y_r^2\]其中$r$为二次型的秩，$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_r$为二次型的非零特征值。
线性代数第6章二次型及其标准形
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
[ x1, x2 , x3 ]3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
1 E A 2 4 2 2 4 2 52 4
4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1
2对1
2
5, 解5E
AX
0, 得基础解系为:1
1
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
二次型及其标准形
例 5.1 判别下列各式是否为二次型
（1） f x12 2x22 4x1x2 x1 （2） f 4x12 x22 3x33 6x1 x2 5x2 x3 （3） f x12 2x22 5x32 4x1x2 x1x3
解 根据二次型的定义，由于（1）式中含有变量 x1 的 一次项，所以 f x12 2x22 4x1x2 x1 不是二次型。
形式，并求其秩。
1 2 0 解 二次型的矩阵为 A 2 0 1
0 1 3
那么
1
f x1, x2 , x3 2
2 0
0 x1 1 x2
0 1 3 x3
又由于 A 13 0 ，即矩阵 A 满秩，故所求二次型的秩为 3.
1.2 二次型的标准形
定义5.2
只含有平方项的二次型
（5.2）
当所有的 aij 均为实数时，上述二次型称为实二次型
为便于讨论，我们将二次型写成矩阵形式，
f (x1 , x2 ,, xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1x1 an2 x2 ann xn )
因此，二次型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ，经过可逆的线性变换 x Cy
后，所得的新二次型的矩阵与原二次型的矩阵具有合同关系，且二次 型的秩不变。
实用线性代数
f
y1, y2 ,, yn
d1 y12
d
2
y
2 2
d
n
y
2 n
d1
y1
y1 y2 yn
d2
y2
dn yn
yT y
称为二次型的标准形
二次型及其标准形
第五节 二次型及其标准形定义 8 n 个变量 x1 , x2 , ……, x n 的二次齐次函数f (x1 , x2 , ……, xn ) =222222111nnn x a x a x a +++ )1(2221,131132112nn n n x x a x x a x x a --++++称为二次型.,ij ji a a =若取i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2则于是（1）式可写成f (x1 , x2 , ……, xn ) )2(1,∑==nj i jiij xx a对二次型 (1) ，记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x 21 则二次型 (1) 又表示为f (x 1 , x 2 , ……, x n )= x A x T其中 A 为对称矩阵，叫做二次型 f (x 1 , x 2 , ……, x n ) 的矩阵，也把 f (x 1 , x 2 , ……, x n ) 叫做对称矩阵 A 的二次型.对称矩阵 A 的秩， 叫做二次型 f (x 1 , x 2 , ……, x n ) = x T A x 的秩.二次型 f (x 1 , x 2 , ……, x n )经过可逆的线性变换)3(22112222121212121111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x即用(3) 代入 (1) ，还是变成二次型.那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵 A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作x = C y , ).(ij c C =其中矩阵 把可逆的线性变换 x = C y 代入二次型 f = x T A x , 得二次型f = x T A x = (C y )T A (C y ) = y T (C T AC ) y就是说，若原二次型的矩阵为 A ，那么新二次型的矩阵为C T AC , 其中 C 是所用可逆线性变换的矩阵．f (x 1 , x 2 , ……, x n )g (y 1 , y 2 , ……, y n )x = C y 可逆线性变换( A T = ) AB ( = B T )C T AC =定理 9 设有可逆矩阵 C ,使 B = C T AC ,如果 A 为对称矩阵，则B 也为对称矩阵，且R (A ) = R (B ) .证 因为 A 是对称矩阵,即 A T = A ，所以B T = (C T AC )T = C T A T (C T )T = C T A T C = B ,即 B 为对称矩阵.因为 B = C T AC ，所以R (B ) ≤R (AC ) ≤R (A ) . 因为A =( C T )–1BC –1， 所以 R (A ) ≤R ( BC -1) ≤R (B ) , 故得 R (A ) = R (B ). 主要问题：求可逆的线性变换)3(22112222121212121111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x将二次型 (1) 化为只含平方项，即用(3) 代入 (1) ，能使f (x 1 , x 2 , ……, x n ) )4(2222211nn y k y k y k +++=称（4）为二次型的标准形.（二次型的标准型不唯一）也就是说，已知对称矩阵A ，求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理 9 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使Λ==-AP P P A P T 1Λ其中是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 定理 10 ),(1,ji ij nj i ji ij a a x x a f ==∑=任意二次型总有正交变换 x = Py ，使 f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ，.)(,,,21的特征值的矩阵是其中ij n a A f =λλλ 例 1 用矩阵记号表示二次型23322121242x x x x x x f +-+-= 解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---220201011那么()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=321321220201011,,x x x x x x f 例 2 求一个正交变换 x = Py ，把二次型233222212225x x x x x f +++=化为标准形.解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210120005A它的特征多项式为),5)(3)(1(21120005λλλλλλλ---=---=-E A .531321===λλλ，，的特征值为于是A ,0)(11=-=x E A 时，解方程组当λ,110321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 解得基础解系.212101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p 单位化得,0)3(32=-=E A 时，解方程组当λ,110321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 解得基础解系.212102⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p 单位化得 ,0)553=-=x E A 时，解方程组（当λ,001321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 解得基础解系.0013⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 单位化得于是正交变换为,0212102121100321321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y y y x x x .53232221y y y f ++=且有例 3 求一个正交变换 x = Py ，把二次型233222312121221221x x x x x x x x x f -+++-=化为标准形. 解 二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11112/12/112/12/1A 它的特征多项式为)2()1(11112121121212λλλλλλ+-=------=-E A.2,1321-===λλλ故得特征值,0),121=-==x E A 解齐次线性方程组（时当λλ,102,01121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b b 解得基础解系正交化： 取,01111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==b q⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=11101122102],[],[1112121112122q b b b b b q b b b b b q T T再单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=313131,0212121p p,0)2(23=+-=x E A 时，解方程组当λ,211321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x 解得基础解系.6261613⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p 单位化得于是正交变换为,62310613121613121321321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y y y x x x .2232221y y y f -+=且有例4 已知在直角坐标系 o x 1 x 2中, 二次曲线的方程为123222121=+-x x x x 试确定其形状．解 先将曲线方程化为标准方程，也就是用正交变换把二次型22212123x x x x f +-=化为标准形． 二次型 f 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22/32/31AA 的特征多项式为,4/532+-=-λλλE A 于是 A 的特征值为.2/1,2/521==λλ可求得对应的特征向量为.13,3121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q q将它们单位化得.2/12/3,2/32/121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212/12/32/32/1y y x x 就有.21252221y y f +=故在新坐标系o y1 y2中该曲线的方程为.121252221=+y y这是一个椭圆．其短、长半轴长分别为.21,510121==λλ。
二次型的标准型和规范型
小结: 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P 1 A P为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q 1 A Q为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
பைடு நூலகம்
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
方法： A 对等的初等行、列变换 对角矩阵
E 同样 的初等列变换 C CT AC为对角矩阵 . 作线性变换 x Cy,则可将二次型 f (x) xT Ax化为标准形 g( y) yT (CT AC) y.
例4 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3化为标准形. 例5 将二次型f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 6x2 x3化为标准形.
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
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令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
3 x3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
2 y2 y3
y3
x3 y3
就将所给二次型化成标准形
f ( x) y12 3 y22
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铃
例4 化二次型 f ( x) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
• 记 n 阶对称阵 A (aij), x (x1, , xn)T, 则有表示式 f ( x) xT Ax
• 称对称阵 A 为二次型 f (x) 的矩阵. • 称二次型 f (x) 为对称阵 A 的二次型. • 称秩 R(A) 为二次型 f (x) 的秩.
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二、二次型的标准形
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
2( x)2 ( y)2 (z)2 1
此方程表示一旋转双叶双曲面.
因为正交变换保持几何形状不变, 所以二次曲面
2xy 2xz 2 yz 1
也是一旋转双叶双曲面.
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四、用配方法化二次型为标准形
用正交变换化二次型为标准形, 具有保持几何形状不 变的优点, 但正交变换的算法较繁琐.
含 y1, , yn 的平方项的形式:
f ( x) xT Ax (Cy)T A(Cy)
yT(C T AC ) y k1 y12 L kn yn2 • 称 y 的表达式为二次型 f (x)关于 y 的一个标准形.
• 如果 k1, , kn 只在 1, 1, 0 三个数中取值, 则称规范形.
1
PT AP O
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP) y 1 y12 L n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理
设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使
P1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
6
2
6
使
PT AP P1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
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铃
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准方程
x
y
1 x 3 1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
在解析几何中, 为了便于研究二次曲线 ax2 bxy cy2 1
的几何性质, 可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin
y
x sin
y cos
把方程化为标准形
m( x)2 n( y)2 1
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二、二次型的标准形
❖ 化二次型为标准形 寻求一个可逆线性变换 x Cy, 使二次型 f (x) 化为只
0 1 1 0 0 1
1 3 0.3 C 0 1 0.1
0 0 1
r2 3r1
1 0
c2
3c1
0
0 10 1
0 1 1
1 3 0
0 1 0
0
0
1
将所给二次型化成标准形
f ( x) y12 10 y22 1.1 y32
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三、用正交变换化二次型为标准形
设二次型 f (x) xTAx, 则存在正交阵 P, 使
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为
B C T AC
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❖ 对称阵合同对角化的初等变换解法 ( A, E) 行变换 (C T A, C T ) 相应列变换 (C T AC, C T )
例1 求一可逆线性变换 xCy, 化如下二次型为 y 的标准形.
§4.3 二次型及其标准形
一、二次型及其对称矩阵 二、二次型的标准形 三、用正交变换化二次型为标准形 四、用配方法化二次形为标准形
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一、二次型及其对称矩阵
❖ 二次型 f ( x) a11 x12 L ann xn2 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 L 2an1,n xn1 xn
就将所给二次型化成标准形 f ( x) 2z12 0.5z22 2z32
所用可逆线性变换为 x C z, 其中
1 0 0 1 0.5 1 1 0.5 1
C 1 1 00 1
0
0
1
0
0
0 1 0.5 1
1
0
0
1
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习题4-3
作业
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例2 求一个正交变换 x Py, 化二次型
f ( x) 2 x1 x2 2 x1x3 2x2 x3
为 y 的标准形.
0 1 1
解 二次型 f (x) 的矩阵为 A 1 0 1 .
由§4.2节例1, 求得正交阵
1 1 0
1
P
3 1
3
1
3
1 2
1 2
0
1
6 1
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
令
z1 z2
y1 y2
0.5 y2
y3
z3 y3
即
y1 y2
z1 0.5z2 z2
z3
y3 z3
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例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6x32 4x1x2 6x1x3 6x2 x3 为 y 的标准形.
解
f ( x) ( x1 2x2 3x3 )2 3x22 6x2 x3 3x32
( x1 2x2 3x3 )2 3( x2 x3 )2
f ( x) x12 x22 x32 6x1x2 2x2 x3
解 二次型 f (x) 的矩阵为
1 3 0 A 3 1 1
0 1 1
r3
0.1r2
1 0
0 10
0 0
1 3
0 1
0 0
r3 0.1r2 0 0 1.1 0.3 0.1 1
所以可逆线性变换 x Cy, 其中
1 3 0 1 0 0 ( A, E) 3 1 1 0 1 0
如果只考虑二次型的代数特点, 我们可以更一般地讨 论, 用可逆线性变换化二次型为标准形.
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
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❖ 合同矩阵
设 A, B 为两个 n 阶矩阵, 若存在可逆矩阵 C, 使
B C T AC 则称矩阵 A 与 B 合同.
• 矩阵的合同具有反身性、对称性和传递性. • 合同变换不改变矩阵的秩. • 对称阵的合同阵也为对称阵. • 可逆线性变换不改变二次型的秩. • 二次型的标准化问题, 也即对称阵的合同对角化问题. • 二次型的标准形中含有的项数, 就是二次型的秩.