高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案(2020年九月整理).doc

高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
第2章无限期模型与世代交叠模型
2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。

假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。

假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。

（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。

证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。

（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。

证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。

这是一个典型的最优化问题。

min wAL +rK
s.t.Y =ALf (k )
构造拉格朗日函数：
F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]
求一阶导数：
ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL
=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：
r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )
w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]
r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )
上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。

很明显，k 的选择独立于Y 。

上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，
这便是成本最小化条件。

（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：
∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i N
i=1
=AL
̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，
k 的决定独立于Y 的选择。

因此，如果单一厂商拥有L
̅的劳动人数，则它也会生产Y =AL
̅f (k )的产量。

这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。

2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。

设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。

令P 1和P 2分别表示消费品在这两期中的价格，W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：P 1C 1+P 2C 2=W
（a ）已知P 1和P 2和W ，则此人效用最大化的C 1和C 2是多少？
（b ）两期消费之间的替代弹性为
−[(P 1P 2⁄)(C 1C 2⁄)⁄][ð(C 1C 2⁄)ð(P 1P 2⁄)⁄]，或−ðln (C 1C 2⁄)ðln (P 1P 2⁄)⁄。

证明，若效用函数为（2.43）式，是则C 1与C 2之间的替代弹性为1θ⁄。

答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。

max U =C 11−θ1−θ+11+ρC 21−θ1−θ （1）
s.t.P 1C 1+P 2C 2=W （2） 求解约束条件：
C 2=W P 2⁄−C 1P 1P 2⁄
（3）
将方程（3）代入（1）中，可得：
U =C 11−θ1−θ+11+ρ[W P 2⁄−C 1P 1P 2⁄]1−θ1−θ （4）
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。

在方程（4）两边对C 1求一阶条件可得：
ðU ðC 1⁄=C 1−θ+11+ρ
C 2−θ(−P 1P 2⁄)=0 解得： C 1=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄C 2
（5） 将方程（5）代入（3），则有：
C 2=W P 2⁄−(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄C 2P 1P 2⁄
解得：
C 2=W P 2
⁄1+(1+ρ)⁄(P 2P 1⁄)()⁄ （6）
将方程（6）代入（5）中，则有：
C 1=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄(W P 2⁄)1+(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)(1−θ)θ⁄ （7）
（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
C 1C 2⁄=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄
（8） 对方程（8）两边取对数可得：
ln (C 1C 2⁄)=(1θ⁄)ln (1+ρ)+(1θ⁄)ln (P 2P 1⁄)
（9）
则消费的跨期替代弹性为：
−ð(C 1C 2⁄)ð(P 2P 1⁄)P 2P 1⁄C 1C 2⁄=ðln (C 1C 2⁄)ðln (P 2P 1⁄)=1θ
因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3 （a ）假设事先知道在某一时刻t 0，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。

那么，消费是否会在时刻t 0发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻t 0前后消费之间的关系。

）
（b ）假设事先知道，在某一时刻t 0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。

那么，消费是否会在时刻t 0发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻t 0前后消费之间的关系。

)
答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期△t 内，从(t 0−ε)到(t 0+ε)。

考虑家庭在(t 0−ε)时期减少每单位有效劳动的消费为△c 。

然后他在(t 0+ε)投资并消费这一部分财富。

如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本u ′(c 前)△c ，在(t 0+ε)会有一收益e [r (t )−n−g ]△t △c ，财富的回报率为r (t )，不过，此刻有一半的财富会被没收。

此时的效用收益为(12⁄)u ′(c 后)e [r (t )−n−g ]△t △c 。

总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满
足下列条件：
u ′(c 前)△c =
12
u ′(c 后)e [r (t )−n−g ]△t △c 在△c ≠0时，有下式：
u ′(c 前)=12u ′(c 后) 因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。

征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。

（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。

家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。

2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数u (C )为ln
(C )。

考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。

请把每一时刻的C 表示为初始财富加上劳动收入现值、r (t )以及效用函数各参数的函数。

答：
U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))L(t)H dt 2.1 ∫e −R (t )∞t=0C (t )L(t)H dt ≤K (0)H +∫e −R (t )∞
t=0W (t )L(t)H dt 2.6 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。

max U =∫e −ρt ∞t=0lnC (t )L (t )H dt （1）
s.t.∫e −R (t )∞t=0C (t )L(t)H dt =K (0)H +∫e −R (t )∞t=0A (t )w (t )L(t)H dt （2） 令W =K (0)H +∫e −R (t )∞t=0A (t )w (t )L(t)H dt
建立拉格朗日方程：
L =∫e
−ρt ∞
t=0lnC (t )L (t )H dt +λ[W −∫e −R (t )∞t=0
C (t )L(t)H dt] 求一阶条件：
ðL ()=e −ρt C (t )−1L(t)−λe −R (t )L (t )=0 抵消L (t )H 项得：
e −ρt C (t )−1=λe −R (t ) （3） 可以推出：
C (t )=e −ρt λ−1e R (t )
（4） 将其代入预算约束方程，得：
∫e −R (t )∞t=0[e −ρt λ−1e R (t )]L(t)H dt =W （5）
将L (t )=e nt L (0)代入上式，得：
λ−1L(0)H ∫e −(ρ−n )t ∞t=0dt =W
（6） 只要ρ−n >0，则积分项收敛，为1(ρ−n )⁄，则：
λ−1=W L(0)H ⁄(ρ−n ) （7） 将方程（7）代入（4）：
C (t )=e R(t)−ρt [W L(0)H ⁄(ρ−n )] （8） 因此，初始消费为：
C (0)=W L(0)H ⁄(ρ−n ) （9） 个人的初始财富为W L(0)H ⁄，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。

(ρ−n )为个人的财富边际消费倾向。

可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡增长路径上是独立于利率的。

对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。

2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。

假设实际利率不变，令W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。

已知r 、W 和效用函数中的各参数，求C 的效用最大化路径。

U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))L(t)H dt 2.1 u(C (t ))=C (t )1−θ1−θ
2.2 答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
max U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))L(t)H dt （1） s.t.∫e −rt ∞t=0C (t )
L(t)H dt =W
（2）
W代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r是常数。

建立拉格朗日方程如下：
L=∫e−ρt
∞
t=0C(t)1−θ
1−θ
L(t)
H
dt+λ[W−∫e−rt
∞
t=0
C(t)
L(t)
H
dt]
求一阶条件，可得：
ðL ()=e−ρt C(t)−θ
L(t)
−λe−rt
L(t)
=0
抵消L(t)/H，得：
e−ρt C(t)−θ=λe−rt（3）两边对时间t求导，可得：
e−ρt[−θC(t)−θ−1C(t)]−ρe−ρt C(t)−θ+rλe−rt=0
得到下面的方程：
−θC(t)
C(t)
e−ρt C(t)−θ−ρe−ρt C(t)−θ+rλe−rt=0（4）将方程（3）代入（4），可得：
−θC(t)
C(t)
λe−rt−ρλe−rt+rλe−rt=0
抵消λe−rt然后求消费的增长率C(t)
C(t)
，可得：
C(t) C(t)=r−ρ
θ
（5）
由于利率r是常数，所以消费的增长率为常数。

如果r>ρ，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r<ρ，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。

如果r>ρ，则θ决定了消费增长的幅度。

θ值越低，也就是替代弹性越高，1θ
⁄越高，即消费增长的越快。

重写方程（5），得：
ðlnC(t)
ðt =r−ρ
θ
（6）
对方程（6）积分，积分区间是从时间τ=0到时间τ=t，可得：
lnC(t)−lnC(0)=r−ρ
θτ|τ=0τ=t
上式可以简化为：
ln C(t)C(0)=
⁄(r−ρ)/θt（7）
对方程（7）两边取指数，可得：C (t )C (0)=⁄e [(r−ρ)/θ]t ，整理得：
C (t )=C (0)e [(r−ρ)/θ]t （8） 下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：
∫e
−rt ∞
t=0C (0)e [(r−ρ)/θ]t L(t)H
dt =W 将L (t )=e nt L (0)代入上式，可得：
C (0)L(0)H ∫e −[ρ−r+θ(r−n )]t/θ∞t=0dt =W （9）
只要[ρ−r +θ(r −n )]/θ>0，从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得： ∫e −[ρ−r+θ(r−n )]t/θ∞t=0dt =θρ−r+θ(r−n ) （10） 将方程（10）代入（9）中，求解C (0)：
C (0)=W L (0)H ⁄[(ρ−r )θ+(r −n )] （11）
将方程（11）代入（8），求解C (t )：
C (t )=e [(r−ρ)/θ]t
W L (0)H ⁄[(ρ−r )θ+(r −n )] （12）
上式便是C 的效用最大化路径。

2.6 生产力增长减速与储蓄。

设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞—卡斯—库普曼期模型，假设g 永久性下降。

（a ）k =0曲线会如何变化（如果有影响）？
（b ）ċ=0曲线会如何变化（如果有影响）？
（c ）当g 下降时，c 如何变化？
（d ）用一个式子表示g 的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。

能否判断此表达式的正负？
（e ）设生产函数是柯布—道格拉斯函数f (k )=k α，请用ρ、n 、g 、θ和α重新表示（d ）中的结果。

（提示：利用等式f ′(k ∗)=ρ+θg 。

）
答：（a ）关于资本的欧拉方程为：
k (t )=f(k (t ))−c (t )−(n +g )k (t ) （1） 该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，
是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。

图2-1 拉姆塞模型
在平衡增长路径上，k=0，由此可以推出：c=f(k)−(n+g)k。

在该方程中，当g永久性地下降时，会导致消费c上升以保持方程的均衡。

因而在图形上k=0曲线向上移动。

同时，保持k不变，g永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。

由于持平投资(n+g)下降的幅度更大，因而在更高的k水平上，k=0向上移动得更大。

图2-1是该模型的图示。

（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：
ċ(t) c(t)=f′(k(t))−ρ−θg
θ
（2）
该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。

在平衡增长路径上，要求ċ=0，即f′(k)=ρ+θg，在g永久性地下降时，为保持ċ=0，f′(k)必须下降。

由于f′′(k)<0，因而f′(k)下降必然导致k上升。

因此，ċ=0必须上升，在图形上表现为ċ=0向右移动，如图2-1所示。

（c）在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。

它仍然保持在平衡增长路径k∗处。

与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g永久性地下降而迅速变化。

为使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，每单位有效劳动的消费c必将发生变化。

不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c是上升还是下降。

存在一种特殊情况，即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c 甚至可能保持不变。

因此，c和k逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。

（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
[f(k)∗−c∗]f(k∗)
⁄
因为k保持不变，即k=0，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：
f(k)∗−c∗=(n+g)k∗
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：
s=[(n+g)k∗]f(k∗)
⁄（3）对方程（3）两边关于g求导数，可得：
ðs ðg =
f(k∗)[(n+g)ðk∗ðg
⁄+k∗]−(n+g)k∗f′(k∗)ðk∗ðg
⁄
[f(k∗)]2
可以再简化为：
ðs ðg =(n+g)[f(k∗)−k∗f′(k∗)](ðk∗ðg
⁄)+f(k∗)k∗
[f(k)]
（4）
由于k∗由f′(k)=ρ+θg决定，对该式两边关于g求导数，可得：f′′(k∗)(k∗g⁄)=θ，从而求出k∗g⁄为：
k∗g⁄=θf′′(k∗)
⁄<0（5）将方程（5）代入（4）中，可得：
ðs ðg =(n+g)[f(k∗)−k∗f′(k∗)]θ+f(k∗)k∗f′′(k∗)
[f(k∗)]2f′′(k∗)
（6）
在方程（6）中，分母[f(k∗)]2f′′(k∗)为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。

因此，无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使s上升还是下降。

（e）将柯布—道格拉斯生产函数f(k)=kα，f′(k)=αkα−1和f′′(k)=α(α−1)kα−2代入方程（6）中，可得：
ðs ðg =
(n+g)[k∗α−k∗αk∗α−1]θ+k∗αk∗α(α−1)k∗α−2
k∗αk∗αα(α−1)k∗α−2
简化为：
ðs ðg =
(n+g)k∗α(1−α)θ−(1−α)k∗ααk∗α−1
[−(1−α)k∗α(αk∗α−1)(αk∗α−1)α⁄]
从上式可以推出：
ðs ðg =−α
(n+g)θ−(ρ+θg)
(ρ+θg)2
最终有下面的结果：
ðs ðg =−α
(nθ−ρ)
(ρ+θg)2
=α
(ρ−nθ)
(ρ+θg)2
2.7 说明下列变化如何影响图2.5中的ċ=0线和k=0线，并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和k值。

（a）θ上升
（b）生产函数向下移动。

（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。

图2-2 鞍点路径
答：（a）关于c与k的欧拉方程为：
ċ(t) c(t)=f′(k(t))−ρ−θg
θ
（1）
k(t)=f(k(t))−c(t)−(n+g)k(t)（2）θ的上升即消费的跨期替代弹性1/θ下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。

这种情况使家庭更偏好于即期消费。

由于θ没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受θ的上升的
影响。

在消费的动态方程中，在平衡增长路径上ċ=0，从而f ′(k )=ρ−θg ，由于θ的上升，因而f ′(k )必须上升，又因为f ′′(k )<0，所以为使ċ=0，k 必须下降。

此时ċ=0向左移动，消费移动到新的鞍点路径A 点上，此刻家庭消费得更
多了，经济最终移动到新的稳定点E new ，此时c new ∗和k new ∗低于原先的值。

如图
2-3所示。

图2-3 θ上升的影响
（b ）由于生产函数的向下移动，因而f (k )和f ′(k )都变小了，如图2-4所示。

图2-4 生产函数向下移动
根据资本的欧拉方程：k (t )=f(k (t ))−c (t )−(n +g )k (t )，在平衡增长路径上k =0，因而有c =(n +g )k 。

由于f (k )变小，因此k =0这条曲线会向下移动，如图2-5所示。

根据消费的欧拉方程：ċ(t )c (t )=f ′(k (t ))−ρ−θg θ，在平衡增长路径上ċ=0，从而
f ′(k )=ρ+θ
g ，由于f ′(k )变小，为保持ċ=0，必须使k 下降，从而使f ′(k )保持不变。

因此ċ=0向左移动，如图2-5所示。

经济最终将收敛到新的均衡点E new
点，此刻c new ∗和k new ∗低于原先的值。

图2-5 生产函数向下移动的影响
（c）由于折旧率δ由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：
k(t)=f(k(t))−c(t)−(n+g+δ)k(t)（3）由于折旧率δ由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，如图2-6所示。

图2-6 持平投资线向左移动
这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。

由于持平投资变大，因此k=0会向下移动，如图2-7所示。

图2-7 折旧率由0变为正数的影响
资本的回报也下降为：f′(k)−δ，从而消费的欧拉方程变为：
ċ(t) c(t)=f′(k(t))−δ−ρ−θg
θ
（4）
在平衡增长路径上，ċ=0要求f′(k)=δ+ρ+θg。

与折旧率δ由0变为正数之前相比较，f′(k)必须变大，从而k必须变小。

由于k必须变小，这便要求ċ=0曲线向左移动，如图2-7所示。

经济最终将收敛到新的均衡点E new点，此刻c new
∗和k new
∗低于原先的值。

2.8 请在折旧率为正的情形下推导类似于（2.39）的表达式。

答：教材中方程（2.39）中折旧率为0的情形为：
μ1=1
2
{β−(β2+
4
θ
1−α
α
(ρ+θg)[ρ+θg−α(n+g)])
12⁄
}
当考虑到折旧率δ>0的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：
ċ(t) c(t)=f′(k(t))−δ−ρ−θg
θ
（1）
k(t)=f(k(t))−c(t)−(n+g+δ)k(t)（2）对方程（1）和（2）分别在c=c∗和k=k∗处进行一阶泰勒展开，可得：
ċ=ðċ
ðk [k−k∗]+ðċ
ðc
[c−c∗]（3）
k=ðk
ðk [k−k∗]+ðk
ðc
[c−c∗]（4）
定义c̃=c−c∗和k̃=k−k∗，因为c∗和k∗为常数，所以ċ=c̃且k=k̃，将（3）和（4）重写为：
c̃=ðċ
ðk k̃+ðċ
ðc
c̃（5）
k̃=ðk
ðk k̃+ðk
ðc
c̃（6）
对方程（1）和（2）计算偏导数：
ðċðk |
bgp
=f′′(k∗)c∗
θ
（7）
ðċðc |
bgp
=f′(k∗)−δ−ρ−θg
θ
（8）
ðk ðk |
bgp
=f′(k∗)−(n+g+δ)（9）
ðk ðc |
bgp
=−1（10）
将方程（7）和（8）代入（5），将方程（9）和（10）代入（6），可得：
c̃=f′′(k∗)c∗
θ
k̃（11）
k̃=[f′(k∗)−(n+g+δ)]k̃−c̃
=[(δ+ρ+θg)−(n+g+δ)]k̃−c̃
=βk̃−c̃（12）方程（12）的第二步用到了f′(k∗)=(δ+ρ+θg)，第三步用到了定义β=ρ−n−(1−θ)g。

对方程（11）除以c̃以求c̃的增长率，对方程（12）除以k̃以求k̃的增长率：
c̃c̃=f′′(k∗)c∗
θ
k̃
c̃
（13）
k̃
k̃
=β−c̃
k̃
（14）
可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，也就是说折旧率的存在对增长率没有影响。

因此，经济在向平衡增长路径移动时的c̃和k̃的不变增长率μ与教材中的结果应该一致。

令μ=c̃
c̃
方程（13）可以推出：
c̃k̃=f′′(k∗)c∗
θ
1
μ
（15）
由方程（15），令（13）和（14）相等，可得：μ=β−f ′′(k∗)c∗
θ
1
μ
，求解可得：
μ=β±[β2−4f′′(k∗)c∗θ⁄]12⁄
2
如果μ为正，则经济会偏离稳定点，所以μ必为负：
μ1=
β−[β2−4f′′(k∗)c∗θ⁄]12⁄
现在考虑柯布—道格拉斯生产函数f(k)=kα，分别求其一阶导和二阶导：
f′(k∗)=αk∗α−1=r∗+δ（16）
f′′(k∗)=αk∗α−1=α(α−1)k∗α−2（17）将方程（16）两边同时平方：(r∗+δ)2=α2k∗2α−2，将其代入（17）式：
f ′′(k ∗)=
(r ∗+δ)2(α−1)
αk ∗α=(α−1)α(r ∗+δ)2f (k ∗) 定义平衡增长路径上的储蓄率为s ∗，则平衡增长路径上的消费为：
c ∗=(1−s ∗)f (k ∗) （18） 将方程（17）和（18）代入（15）：
μ1=
β−
√β2−4(α−1)α(r +δ)f (k ∗)θ(1−s ∗)f (k ∗)2 化简为：
μ1=β−√β2+4θ(1−α)α(r ∗+δ)2(1−s ∗)2
（19）
在平衡增长路径上，ċ=0意味着r ∗=ρ+θg ，即：
r ∗+δ=ρ+θg +δ （20） 另外，实际投资等于持平投资：s ∗f (k ∗)=(n +g +δ)k ∗，可以推出： s ∗=(n+g+δ)k ∗
f (k ∗)=α(n+g+δ)
k ∗α−1 （21）
上步用到了r ∗+δ=αk ∗α−1，由（21）可以推出：
1−s ∗=r ∗+δ−α(n+g+δ)
r +δ （22）
将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：
μ1=β−√β2+4θ(1−α)α(ρ+θg+δ)[ρ+θg+δ−α(n+g+δ)]2
上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将α=13⁄，ρ=4%，n =2%，g =1%，θ=1，δ=3%代入上式，得到μ1=−8.8%）要快于不存在折旧时的调整速度。

2.9 拉姆塞模型的解析解[来自于史密斯(Smith,2006)。

]考虑生产函数柯布-道格拉斯函数的拉姆塞模型，y (t )=k(t)α的情形，假设相对风险规避系数θ与资本份额α相等。

（a ）平衡增长路径上的k 值（即k ∗）为多少？
（b ）平衡增长路径上的c 值（即c ∗）为多少？
（c ）令z(t)表示资本产出比k(t)y(t)⁄，x(t)表示消费资本比c(t)k(t)⁄。

请
用z 、x 和模型参数表示ż(t )和x (t )x(t)⁄。

（d ）暂且猜测x 在鞍点路径上是常数，根据这一猜想：
（i ）给定初始值z(0)，求z 的路径。

（ii ）给定初始值k(0),求y 的路径。

经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛的速度是否是常数？
（e ）上述猜测的解是否满足c 与k 的运动方程(2.24)与(2.25)？
答：（a ）已知
y (t )=k(t)α
（1） 从正文可知，在ċ=0时，存在f ′(k )=ρ+θg 。

利用方程（1）计算得到 k ∗=(αρ+θg )11−α （2）
（b ）与(a)题类似，根据正文可知，在k =0时，存在c ∗=f (k )−(n +g )k 。

利用方程（1）计算得到：
c ∗=(αρ+θg )α1−α−(n +g )(αρ+θg )11−α （3）
（c ）设z (t )=k(t)y(t)⁄和x (t )=c(t)k(t)⁄。

将方程（1）代入z (t )的定义得到：
k =z 1(1−α)⁄ k 1−α=z （4） 将方程（4）代入x (t )的定义，得到：
ck −α=xz （5） 使用方程（4），考虑z (t )=k(t)y(t)⁄的时间导数，得到：
ż=(1−α)k −αk （6）
从正文的方程（2.25）知道，k =k α−c −(n +g )k ，方程（6）可表示成：
ż=(1−α)k −α[k α−c −(n +g )k ] （7） 为简化上式，将方程（4）和方程（5）代入上式，得到：
ż=(1−α)[1−xz −(n +g )z ] （8） 现在，对数化x (t )=c(t)k(t)⁄，考虑其时间导数，得到:
ẋx =ċc −k k （9）
根据正文的方程（2.24）和方程（2.25），上式可表示成：
ẋx =αkα−1−ρ−θg
θ
+−kα+c+(n+g)k
k
（10）
将方程（4）和方程（5）代入上式，再利用α=θ得到：
ẋ
x
=x+n−ρα⁄（11）（d）（i）根据x为常量的假设，方程（8）可表示成
ż=(1−α)[1−(n+g+x∗)z]（12）为确定z的变化路径，考虑方程（12）方程（12）为线性非齐次常微分方程。

该方程的解包括通解z c和z p。

简单地设λ=(1−α)(n+g+x∗)。

为求通解，考虑相应的齐次方程ż+λz=0，A1是积分常数，求解ż
z
的微分方程得到通解:
z c=A1e−λt（13）为求特解，考虑非齐次方程ż+λz=1−α，A2是积分常数，利用积分因子得到特解：
z p=(1−α)λ⁄+A2e−λt（14）因此，方程（12）的z c解表示成
z=z c+z p=(1−α)λ⁄+(A1+A2)e−λt（15）利用初始条件，z(0)替换A1+A2，得到：
z=(1−α)λ⁄+(z(0)−(1−α)λ⁄)e−λt（16）为简化(1−α)λ
⁄，使用方程（2）和（3）消去x∗，利用方程（4）得到：
z=z∗+e−λt(z(0)−z∗)（17）(ii) 可将方程（4）代入方程（1），求解y的路径。

由于已经得到z的路径，将z的路径代入方程（17），得到：
y=[z∗+e−λt(z(0)−z∗)]
α
1−α（18）
使用k表示z的方程（4），上式可表示成：
y=[k∗1−α+e−λt(k(0)1−α−k∗1−α)]
α
1−α（19）
现在，分析经济趋向平衡增长路径的收敛速度是否不变。

方程（19）两端同
减方程（2）确定的平衡增长路径y∗=k∗α=(α
ρ+θg )
α
1−α，再取对数求导：
ln(y−y∗)=ln[z
α
1−α−(
α
ρ+θg
)
α
1−α]（20）
考虑上式的时间导数，得到：
ðln(y−y∗)
ðt =
α
1−α
z
α
1−α−1ż
z
α
1−α−(α
ρ+θg
)
α
1−α
（21）
上式显然不是常数，收敛速度也不是常数。

（e）需要知道正文的方程（2.24）和方程（2.25）,或ċc
⁄=(αkα−1−ρ−θgθ⁄)和k=kα−c−(n+g)是否成立。

使用方程（2.24）和方程（2.25）求解x/x，x/x 成立的充要条件是方程（2.24）和方程（2.25）成立。

已经方程（2.25）成立，
以前使用该方程求解ż。

因此ẋ
x =0的充分必要条件是ċc⁄=0。

假设ẋ
x
=0，根据
方程（11）可得：
x∗=ρα⁄−n（22）根据（a）题和（b）题，在平衡增长路径上，x∗等于(ρ+αg)g
⁄−(n+g)，方程（22）可表示成：
x∗=ρα⁄−n（23）上式等同于方程（11），方程（2.24）和方程（2.25）得以成立。

2.10拉姆塞-卡斯-库普曼斯模型中的资本税。

考虑处于平衡增长路径上的拉姆塞-卡斯-库普曼斯经济。

假设在某一时刻（我们称作0时），政府采取了一项对投资所得按税率征税的政策，因此家庭面临的实际利率变为r(t)= (1−τ)f′(k(t))。

假设政府将税收收入以一次性转移支付的形式返还给家庭。

最后，假设税收政策是意料之外的。

（a）该税收政策如何影响ċ=0和k=0线?
（b）经济在0时会对该税收政策作出何种反应？0时之后的动态学又是如何？
（c）c和k在新旧两种平衡增长路径上的值有何不同？
（d）[本小题基于巴罗、曼昆和萨拉伊马丁Barro, Mankiv, and Sala-i-Martin,1995]假设存在许多与本题相同的国家，各国工人们的偏好相同，但各国间的投资收入税率可以不同。

假设各国都处于其平衡增长路径。

(i)证明平衡增长路径上的储蓄率(y∗−c∗)y∗
⁄关于τ是递减的。

(ii)低τ、高k∗、高储蓄率国家的居民是否有动机向低储蓄率国家投资？为什么？
（e）(c)小题中的答案是否说明补贴投资（即让τ<0）并通过一次性税收为补贴筹资的政策可以提高福利？为什么？
（f）如果政府并不返还税收收入，而是将其用于政府购买，（a）小题和（b）小题中的答案会如何变化？
答：（a）由于资本的税后报酬变为：r(t)=(1−τ)f′(k(t))，家庭将改变每单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即：
ċ(t) c(t)=(1−τ)f′(k(t))−ρ−θg
θ
（1）
在平衡增长路径上，ċ=0要求(1−τ)f′(k(t))=ρ+θg，即税后报酬率为ρ+θg。

为保持ċ=0，f′(k(t))必须上升，又因为f′′(k)，所以资本存量必须下降。

因此，ċ=0这条曲线将会左移，如图2-8所示。

图2-8 对投资增税的影响
家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：
k(t)=f(k(t))−c(t)−(n+g)k(t)（2）由于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭，所以家庭投资决策不受影响，因而k=0的轨迹不变。

（b）在0时刻，由于资本的存量由历史上的投资决策所决定，因而资本不会发生非连续的变化。

资本仍然保持在原来的平衡增长路径上的k∗处。

在0时刻，与每单位有效劳动的资本相反，每单位有效劳动的消费会由于征税而立刻发生变化。

由于税收政策的这种变化是非预期性的并且是毫无准备的，因此消费的变化是非连续的。

由于政府的这种税收征集，储蓄和资本积累的回报会比以前低，家庭会转而减少储蓄，增加消费，在图2-8上表现为c向上移动到A点，然后沿着新的均衡路径移动。

经济沿着新的鞍点均衡路径缓慢移动，最终移动到新的均衡点E new。

（c）由图2-8可知，由于税收扭曲了经济刺激，因此税后处在新的平衡增长路径上的c与k的值将变小。

（d）（i）由上述的分析可以看出，税率τ越高，在平衡增长路径上的k∗越小，而且ċ=0曲线向左移动得越多，因而有ðk∗ðτ
⁄<0。

在平衡增长路径上，储蓄率可以表示为：[f(k)∗−c∗f(k∗)
⁄]，同时，k=0时，由k(t)=f(k(t))−c(t)−(n+g)k(t)可以推出f(k∗)−c∗=(n+g)k∗，由此可以将储蓄率表示为：
s=[(n+g)k∗]f(k∗)
⁄（3）对方程（3）两边求关于税率τ的导数：
ðs
=(n+g)(ðk∗ðτ
⁄)f(k∗)−(n+g)k∗f′(k∗)(ðk∗ðτ
⁄)
(∗)2
可以简化为：
ðs ðτ=
(n+g)
f(k∗)
ðk∗
ðτ
−
(n+g)
f(k∗)
k∗f′(k∗)
f(k∗)
ðk∗
ðτ
=
(n+g)
f(k∗)
ðk∗
ðτ
[1−
k∗f′(k∗)
f(k∗)
]
由于资本的收入份额为k ∗f′(k∗)
f(k∗)
=αK(k∗)，以及ðk∗
ðτ
<0，可以改写上式为：
ðs
ðτ
=(n+g)
f(k∗)
ðk∗
ðτ
[1−αK(k∗)]<0（4）
以上便证明了平衡增长路径上的储蓄率(y∗−c∗)y∗
⁄关于τ是递减的。

（ii）在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。

由（a）可知，在平衡增长路径上ċ=0，可以推出(1−τ)f′(k(t))=ρ+θg，即税后的资本回报为ρ+θg，假定在国家之间偏好与技术特征是相同的。

因而在低储蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。

因此，在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。

（e）补贴投资不会增加福利。

原先的市场结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了，它给予了家庭最高可能的终生效用水平。

从初始的E点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到A点，但最终经济会沿着新的平衡增长路径达到更大的消费水平E new点。

可以发现短期的效用损失会超过长期的效用收益（都用现值形式表示），如图2-9所示。

图2-9 对投资补贴不会增加福利
（f）假定政府未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。

令G(t)为每单位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变化的欧拉方程仍为：
k(t)=f(k(t))−c(t)−G(t)−(n+g)k(t)（5）政府购买被视为是政府的消费而不是投资，这将不会增加资本存量。

由（5）可得，k=0曲线将向下移动。

如图2-10所示。

∗，在新的由（a）可知，由于政府征税，ċ=0曲线向左移动，k∗移动到k new
平衡增长路径上，每单位有效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。

如图2-10所示。

图2-10 税收全部用于政府购买对经济的影响
2.11应用相图分析预期变化的影响。

考虑习题2.10中提到的政策，假设政府并不是在0时宣布并执行该政策，而是在0时宣布将在以后某一时刻t1对投资收入按照税率τ征税。

（a）用相图画出t1之后c和k的动态学。

（b）c在t1时刻的变化是否连续？为什么？
（c）用相图画出t1之前c和k的动态学。

（d）根据（a）、（b）和（c）的答案，c在0时应如何变化？
（e）总结上述4个小问题，并把c和k的路径描绘为时间的函数。

答：（a）-（c）在开始征税的时间t1之前，描述经济动态变化的方程为：
ċ(t) c(t)=f′(k(t))−ρ−θg
θ
（1）
k(t)=f(k(t))−c(t)−(n+g)k(t)（2）对于方程（1），在平衡增长路径上，ċ=0可以推出f′(k)=ρ+θg。

由于政府返还总量税，资本积累方程不受影响。

在t1时刻征税之后，c的欧拉方程为：
ċ(t) c(t)=(1−τ)f′(k(t))−ρ−θg
θ
（3）
在平衡增长路径上，ċ=0可以推出(1−τ)f′(k(t))=ρ+θg，即税后的回报为ρ+θg。

因此，税前的资本回报f′(k(t))高于税后的资本回报。

为保持ċ=0，f′(k(t))必须上升，从而k必须下降。

因此，在t1时刻，ċ=0曲线必须向左移动。

如图2-11所示。

图2-11 t1时刻征税使得ċ=0向左移动
不过值得注意的是，资本的动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。

在t1时刻征税之后，消费c不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先知道了将要征税的消息，家庭希望平滑消费。

（d）在t1时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到新的平衡增长路径。

在0时刻宣布并施行征税后，c会立即由原先的均衡点E移动到平衡增长路径上的A点，如图2-12所示。

图2-12 征税对ċ=0曲线的影响
在A点，由于消费c太高，从而不足以将资本维持在原先的资本水平k∗上，因此k开始下降。

从0时刻到t1时刻，动态系统仍由原先的ċ=0的欧拉方程决定。

消费在鞍点路径之左，因此消费开始上升。

在t1时刻经济恰好移动到新的鞍点路径，此时税收开始执行，并且动态系统仍由新的ċ=0的欧拉方程决定。

因此，c开始下降，经济最终移动到新的鞍点E new。

（e）每单位有效劳动的消费与每单位有效劳动的资本如图2-13所示。

(1)每单位有效劳动的消费的图示(2)每单位有效劳动的资本的图示
图2-13 每单位有效劳动的消费、有效劳动的资本图示
2.12应用相图分析暂时性变化的影响。

考虑习题2.11的如下两种变形：
（a）在0时刻，政府宣布将对0时到其后某一时刻t1间的投资收入按照税率τ征税，而此后投资收入仍将免税。

（b）在0时，政府宣布将对t1时其后某一时刻t2间的投资收入按照税率τ征税，而t1之前和t2之后的投资收入仍将免税。

答：（a）第一问是分析预期到的税收将在t1时刻结束，因而消费在t1时刻将不会发生非连续的变化。

原因在于家庭的跨期消费最优化要求家庭平滑消费。

因此，在经济返回到旧的鞍点路径时，消费必须在t1时刻位于旧的鞍点路径上。

在征税之前，即到0时刻，和在结束征税之后，即t1时刻之后，经济动态变化由下面两个欧拉方程决定：
ċ(t) c(t)=f′(k(t))−ρ−θg
θ
（1）
k(t)=f(k(t))−c(t)−(n+g)k(t)（2）资本积累的动态方程k=0不会受到征税的影响，但是，消费的动态方程ċ= 0则会受到征税的影响。

在0时刻到t1时刻，资本的税后回报为(1−τ)f′(k(t))=ρ+θg，为了保证ċ=0成立，f′(k(t))必须上升，由于f′′(k)<0，所以k必须下降，从而ċ=00
c 必须左移。

在0时刻，开始征税，k=0保持不变，但经济位于原鞍点路径的右边，因而c开始下降。

此时经济在k=0的下边，因而k开始上升，经济会偏离到E点的东南，离开了原来的鞍点路径。

如图2-14所示，在0时刻，经济上升到A点，k和c开始下降，最终经济会降到k=0曲线的下方，因而k开始上升。

这是因为家庭预测到税收将被取消，因而开始增加投资。

在t1时刻，税收被取消，经济将位于动态系统的右边，即B 点。

在t1时刻之后，动态方程ċ=0再次支配动态系统。

此刻经济再次返回原先的鞍点路径，最终返回到原先的稳定点E。