高级宏观经济学第四版中文罗默课后题答案(2020年九月整理).doc
宏观经济学第四版课后习题答案
宏观经济学第四版课后习题答案第12章国民收入核算1.下列项目是否计入GDP，为什么？（1）政府转移支付；（2）购买一辆用过的卡车；（3）购买普通股票；（4）购买一块地产。
答：（1）不计入。
因为政府转移支付只是简单地通过税收把收入从一个人或一个组织转移到另一个人或另一个组织手中，并没有相应的物品或劳务的交换发生。
（2）不计入。
不是该期的实际生产活动。
（3）不计入。
经济学上所讲的投资是增加或替换资本资产的支出，即购买新厂房、设备和存货的行为，而人们购买债券和股票只是一种交易活动，并不是实际的生产经营活动。
（4）不计入。
同（3）。
2.在统计中，社会保险税增加对GDP、NDP、NI、PI和DPI这五个总量中哪个总量有影响？为什么？答：社会保险税实质上是企业和职工为得到社会保障而支付的保险金，它由政府相关部门按一定比率以税收形式征收。
社会保险税是从NI中扣除的，因此，社会保险税的增加并不影响GDP、NDP和NI，但影响个人收入PI。
3.如果甲乙两国并成一个国家，对GDP总和会有什么影响（假定两国产出不变）？答：有影响。
因为合并前的对外贸易变成合并后的国内贸易。
例如合并前，甲国对乙国有出口200亿，对乙国有进口100亿，顺差100亿。
假定他们分别都没有其他贸易伙伴。
对甲国而言，顺差的100亿为GDP加项；对乙国而言，逆差的100亿为GDP减项，两国GDP的总和中的对外贸易部分因此而抵消，为零。
合并后，甲地生产的产品200亿，乙地生产的产品100亿，对合并后的新国家而言，新增的GDP为300亿，总和增加了。
4.某年发生了以下活动（a）一银矿公司支付7.5万美元给矿工开采了50千克银卖给一银器制造商，售价10万美元；（b）银器制造商支付5万美元工资给工人造了一批项链卖给消费者，售价40万美元。
（1）用最终产品生产法计算GDP；（2）每个生产阶段生产多少价值？用增值法计算GDP。
（3）在生产活动中赚得的工资和利润各共为多少？用收入法计算GDP。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(跨国收入差距)【圣才出品】
g)
即：
1 e(r g )(T E ) (r g )
方程（12）两边同时乘以 / r g 得：
(r
g)
1
e(r g )(T E )
1
（11） （12） （13）
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方程（13）的左边等价于：
0 的情形？是否存在该值等于 T 的情形？
（b）假设内点解，描述 E 的黄金律水平[即（a）小题中你找到的 E 值]如何受下述变化
的影响（如果有影响的话）。
（i）T 增加。
（ii）n 下降。
答：（a）在均衡增长路径上假设 G E eE ，则人均产出为：
Y N
bgp
y A(t)eE
enE enT 1 enT
在时期 t 所得的工资为 begt eE 。考虑出生于时期 0 的工人，他在生命中的最初 E 年接受
学校教育，并在余下的 T－E 年参加工作。假设利率固定不变且等于 r 。 （a）把该工人终生收入的现值表示为 E、T、b、 r 、φ和 g 的函数。
（b）找出使（a）小题中表达式最大化的 E 值的一阶条件。用 E*表示这个 E 值。（假设 内点解。）
0
（18）
因此， dE* / d r g 0 ，即利率 r 的增加降低了教育的最优选择，增长率 g 的上升
增加了教育的最优选择。
4.3 假设国家 i 的产出由 Yi AiQieEi Li 给定。这里 Ei 表示各工人的受教育年限，
Y
E
r
b g
eE(r g )T
(r
g)
e (r g )E 0
（4） （5）
方程（5）可整理为：
高级宏观经济学 第四版 中文 罗默课后题答案
第二章无限期模型与世代交叠模型高级宏观经济学_第四版—中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，Y = F K, AL，或者采用紧凑形式。
假设。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数:求一阶导数：得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于丫第二章无限期模型与世代交叠模型上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,贝U N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k, k的决定独立于丫的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程(2.43)给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少？(b)两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为(2.43)式，是则与之间的替代弹性为。
答：(a)这是一个效用最大化的优化问题。
---- ------------ (1)(2)求解约束条件：(3)将方程(3)代入(1)中，可得：---- ---------------------------- (4) 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解
目录分析
第2章无限期模型 与世代交叠模型
第1章索洛增长模 型
第3章内生增长
第4章跨国收入差距
第5章实际经济周期 理论
第6章名义刚性
第7章动态随机一般 均衡周期模型
1
第8章消费
2
第9章投资
3
第10章失业
4
第11章通货膨 胀与货币政策
5
第12章预算赤 字与财政政策
作者介绍
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罗默《高级宏观经济学》（第 4版）课后习题详解
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目录
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内容摘要
本书是罗默《高级宏观经济学》教材的配套电子书，参考大量相关资料对罗默《高级宏观经济学》（第4版） 教材每章的课后习题进行了详细的解答，并对个别知识点进行了扩展，特别适合应试作答和临考冲刺。
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罗默《高级宏观经济学》章节题库(投资)【圣才出品】
第9章投资1．存货投资的加速数模型与资本积累的可变加速数模型之间是什么关系？答：（1）存货投资的加速数模型与资本积累的可变加速数模型的含义①存货投资的加速数模型是描述收入变动或消费需求的变动引起存货投资变动的模型。
加速数模型表明投资支出与产出变动成比例，而不受资本成本的影响。
I＝a（Y－Y－1）该模型的含义包括：第一，投资并不是产量（或收入）的绝对量的函数，而是产量变动的函数。
即投资变动取决于产量的变动，若产量的增加逐期保持不变（产量变动率为零），则投资总额也不变；第二，投资率变动的幅度大于产量（或收入）的变动率，产量的微小变化会引起投资率较大幅度的变化；第三，若要保持增长率不至于下降，产量必须持续按一定比率增长。
因为一旦产量的增长率变缓，投资增长率就会停止或下降。
即使产量未绝对地下降，而只是相对地放缓了增长速度，也可能引起投资缩减；第四，加速数与乘数一样都从两个方向发生作用。
即当产量增加时，投资的增长是加速的，当产量停止增长或减少时，投资的减少也是加速的；第五，要使加速原理发挥正常作用，只有在不存在过剩生产能力时才能实现。
存货投资水平与产出变动的联系，是增加经济整体易变性的重要渠道。
②可变加速数模型是用来解释企业如何计划其调整资本存量速度的。
资本存量K是预期产出Y、劳动力的实际工资率w和资本租金成本rc（实际利率＋折旧率）的函数。
它背后的基本观点是，现有资本存量与合意资本存量之间的差距越大，企业投资速度就越快。
根据可变加速数模型，企业在每一时期都打算填补合意资本存量与实际资本存量之间λ部分的差距。
上期结束时的资本存量表示为K－1，合意资本存量与实际资本存量之间的差距则表示为（K*－K－1）。
企业打算在上期资本存量K－1上增加差距（K*－K－1）的一部分，即λ（K*－K－1），以便使得当前时期结束时的实际资本存量K为：K＝K－1＋λ×（K*－K－1）（i）方程（i）表明了要将资本存量从K－1增加到K的水平，企业必须实现净投资量，I＝K －K－1，因此，可以写出净投资：I＝K－K－1＝λ（K*－K－1）（ii）它是净投资逐渐调整的表达式。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低Hale Waihona Puke 费。，同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问
题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
因为 k 保持不变，即 知：
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为： （3）
对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于 由
决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：
，从而求出 为：
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
宏观经济学(第四版)课后习题答案
第十二章国民收入核算1：政府转移支付不计入GDP，因为政府转移支付只是简单地通过税收（包括社会保障税）和社会保险及社会救济等把收入从一个人或一个组织转移到另一个人或另一个组织手中，并没有相应的货物或劳务的交换发生。
例如，政府给残疾人发放救济金，并不是因为残疾人创造了收入；相反，倒是因为他丧失了创造收入的能力从而失去生活来源才给予救济。
购买一辆用过的卡车不计入GDP，因为在生产时已经计入过。
购买普通股票不计入GDP，因为经济学上所讲的投资是增加或替换资本资产的支出，即购买新厂房、设备和存货的行为，而人们购买股票和债券只是一种证券交易活动，并不是实际的生产经营活动。
购买一块地产也不计入GDP，因为购买地产只是一种所有权的转移活动，不属于经济学意义的投资活动，故不计入GDP。
2：社会保险税实质上是企业和职工为得到社会保障而支付的保险金，它由政府有关部门（一般是社会保险局）按一定比率以税收形式征收。
社会保险税是从国民收入中扣除的，因此，社会保险税的增加并不影响GDP、NDP和NI，但影响个人收入PI。
社会保险税的增加并不直接影响可支配收入，因为一旦个人收入决定以后，只有个人所得税的变动才会影响个人可支配收入DPI。
3：如果甲乙两国合并一个国家，对GDP总和会有影响。
因为甲乙两国未合并成一个国家时，双方可能有贸易往来，但这种贸易只会影响甲国或乙国的GDP，对两国GDP总和不会有影响。
举例说，甲国向乙国出口10台机器，价值10万美元，乙国向甲国出口800套服装，价值8万美元，从甲国看，计入GDP的有净出口2万美元，计入乙国的GDP有净出口－2万美元；从两国GDP总和看，计入GDP的价值为零。
如果这两个国家并成一个国家，两国贸易变成两地区间的贸易。
甲地区出售给乙地区10台机器，从收入看，甲地区增加10万美元；从支出看，乙地区增加10万美元。
相反，乙地区出售给甲地区800套服装，从收入看，乙地区增加8万美元；从支出看，甲地区增加8万美元。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(无限期模型与世代交叠模型)【圣才出品】
i 1
i 1
i 1
其中， L 是总的雇佣人数。
单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果
单一厂商拥有 L 的劳动人数，则它也会生产 Y AL f k 的产量。这恰好是 N 个厂商成本
最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函
C2
1 (1
W P2 )1 (P2
P1 )(1 )
将方程（6）代入（5）中，则有：
（5） （6）
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C1
(1 )1 ( P2 P1)1 (W P2) 1 (1 )1 ( P2 P1)(1 )
这一变化有一效用成本 u c前 c ，在（t0＋ε）会有一收益 ertngt c ，财富
的 回 报 率 为 r （ t ）， 不 过 ， 此 刻 有 一 半 的 财 富 会 被 没 收 。 此 时 的 效 用 收 益 为
（b）假设事先知道在某一时刻 t0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数 量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻 t0 发生突然变化？为 什么？（如果会，请说明时刻 t0 前后消费之间的关系。）
解：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 t 内，从（t0－ε）到（t0＋ε）。 考虑家庭在（t0－ε）时期减少每单位有效劳动的消费为 c 。然后他在（t0＋ε）投资并 消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没 有影响。
数由方程（2.43）给定。
Ut
C1 1t
1
1 1
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解-第4~6章【圣才出品】
第4章 跨国收入差距4.1 黄金律的教育水平。
考虑第4.1节中的模型，假设G （E ）的形式为。
（a ）找出最大化平衡增长路径上人均产出水平的E 值的表达式。
是否存在这个值等于0的情形？是否存在该值等于T 的情形？（b ）假设内点解，描述E 的黄金律水平[即（a ）小题中你找到的E 值]如何受下述变化的影响（如果有影响的话）。
（i ）T 增加。
（ii ）n 下降。
答：（a ）在均衡增长路径上假设，则人均产出为：（1）其中，则在均衡增长路径上每单位有效劳动的产出关于E 最大化的自然对数为（注意y *和A （t ）不是E 的函数）：（2）一阶条件是：（3） 或者：（4）化简可得：（5）(E)e E G φ=()E GE e φ=()1bgpnE nT EnTY e e y A t eN e φ--*--⎛⎫= ⎪-⎝⎭()**y f k =()/bgpY N ln ln ln ()ln ln 1bgpnE nT nTY y A t E e e e N φ*---⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++--- ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()ln 1()0bgpnEnE nTY N e n Ee eφ---∂=+-=∂-()nE nT nE e e ne φ----=()nE nT n e e φφ---=方程（5）化简得：（6）方程（6）两边取自然对数得：（7）在（7）两边乘以－1/n ，得到教育的黄金律水平：（8）（b ）（i ）求E *关于T 的导数：（9） 因此，生命期限的增加一比一的提高了教育的黄金律水平。
（ii ）n 下降会提高教育的黄金律水平。
由方程（6）可知：（10）或者：（11）在（11）两边同时乘以φ/n 得：（12）方程（12）的左边等价于：nE nT e e nφφ--=-()ln ln nE n nT φφ-=---⎡⎤⎣⎦1ln E T n n φφ*⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦1E T*∂=∂()n T E n eφφ*---=()1n T E neφ*---=()11n T E e nφ*--⎡⎤-=⎣⎦（13）对方程（12）进行微分，即：（14） 求解方程（14）可得：（15）由于因此，dE */dn ＜0，即下降会提高教育的黄金律水平。
罗默《高级宏观经济学》章节题库(索洛增长模型)【圣才出品】
第1章索洛增长模型1．在Solow模型中，假设一个经济体在初始时候处于稳定状态。
现在一场自然灾害夺去了一部分人的生命，但资本总量却在灾害中没有损失。
请问人均资本、人均产出在短期和长期的变化趋势。
答：（1）索洛增长模型的总量生产函数是Y＝F（K，L），或者以人均形式来表示为y ＝f（k）。
在短期，如果自然灾害夺取了部分人的生命，L下降，使k＝K/L上升了。
由总量形式的生产函数可知，劳动力减少，则总产出下降。
但是，由于人均资本存量水平上升了，工人人均产出将会增加。
（2）劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前，而灾害前的经济处于稳定状态，所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。
如图1-1所示，灾害发生后的人均资本存量位于k*右边的某一个位置k1。
但是k1不是稳定状态，这时人均储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态过渡。
因此，在长期中，人均资本存量下降到k*，经济重新达到稳定状态。
在这个过程中，由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。
在稳定状态，技术进步决定人均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。
因此这和灾害发生前是一样的。
图1-1 资本存量恢复稳态水平2．某经济体的生产函数为：Y t＝（A t L t）αK t1－α，其中A t L t为效率劳动单位，如参数A t上升，则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。
在每一期，消费者将s比例的产出投资于新资本，即I t＝sY t，资本运动方程为：K t＋1＝（1－δ）K t＋I t，其中δ为折旧率。
设劳动力与劳动生产率均以固定比率增长：L t＋1＝（1＋l）L t，A t＋1＝（1＋μ）A t。
试回答以下问题：（其中前4问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实）（1）设代表性竞争企业分别按实质工资W t和实质利息R t雇佣劳动和资本，写出企业的最优化问题，证明劳动和资本分配份额W t L t/Y t和R t K t/Y t在该经济中均为常数。
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解-第7~9章【圣才出品】
第7章 动态随机一般均衡周期模型7.1 价格制定失衡时的费希尔模型。
假设经济由第7.2节中的模型所刻画，只是每个时期会有一半的厂商制定价格，其中比例为f 的厂商在奇数期制定价格，比例为1－f 的厂商在偶数期制定价格。
因此当t 为偶数时，价格水平为，当t 为奇数时，价格水平为。
推导每一期关于p t 和y t 的类似于（7.27）式和（7.28）式的表达式。
解：由题意知，当t 为偶数时，价格水平为：（1）其中，表示比例为f 的厂商在t －1期设定的t 期价格，表示比例为1－f 的厂商在t －2期设定的t 期价格。
等于t －1期对的期望，即有：（2）将方程（1）代入（2），并利用如下事实：在设定的时候，就已经确定，因此不存在不确定性。
得：（3） 解得：（4）等于t －2期对的期望，有：（5）将方程（1）代入（5）得：（6） ()121t t fp f p +-()121t t f p fp -+()121t t t p fp f p =+-1t p 2t p 1t p *it p ()1*111t t it t t t p E p E p m φφ--+-==⎡⎤⎣⎦1t p 2t p ()()111211t t t tt m f E f p p p φφ-+-+-⎡⎤=⎣⎦()()()()121111111t t tt pE f m ff p φφφφ-=------+2t p *it p ()2*221t t it t t t p E p E p m φφ--+-==⎡⎤⎣⎦()()2221211t t tt t t m fE p p f E p φφ--+--=+⎡⎤⎣⎦由于方程（4）左右两边相等，因此在t －2期对两边求期望也必定相等。
因此：（7）运用重复映射法则，将方程（7）代入（6）得：（8）求解方程（8）得：（9）化简得：（10）（11） （12）所以，t －2期设定的t 期价格水平为：（13）将方程（13）代入（4）得：（14）即：()()()()1222111111t t t t t f m p E E fp fφφφφ----+---=-212t t t t t m E m E E ---=()()()()()()2222211111111t t t tt t t f f f m E m p f p f f p E φφφφφφ----+-+⎡⎤=⎢⎥⎣+----⎦-()()()()()()()()()()222111111111111t tt t f f p E m f f f f f p f f φφφφφφφφφφ-⎡⎤--+----+----+-=⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦-()()()()222111111t t t t p E f m ffp φφφφ-=------+()()()()()2211111111t tt f f p m E f f φφφφφ-⎡⎤-----=⎢--⎥--⎣⎦()()221111t t t p m fE fφφφφ---=--22t t t p E m -=()()()()121111111t t tt t pE f f m E m fφφφφ----+=----（15）又所以，方程（15）又可以写成：（16）为了得到总价格水平的表达式，将方程（16）和（13）代入方程（1）得：（17）化简得：（18）为了求解t 期的产出，将方程（18）代入总需求的表达式y t ＝m t －p t ，得：（19）即：（20）又且，所以，方程（20）又可以写成：（21）()()()()()221111111111tt t t t t t f f E p E f m m E m f φφφφφ---⎡⎤---+-++⎢⎥-⎦=⎣---()()()()()()11111111f ff fφφφφφφ---+-=--+--+-=-()()211211t t t t t t t p E fE m m E m φφ---=--+-()()()1222111t t t t t t t t t p f E m m E m m E f E f φφ----⎡⎤=+-⎢⎥--⎣⎦+-()()21211t t t t t t t fp m E m E fE m φφ---=--+-()()22111t t t t t t t t fE m m E m y m E fφφ---=-----()()()()11211111111t t t t t t t t E m E f f f f y m E f fm m φφφφφφ---⎡⎤⎡⎤-+----=-⎢⎥⎢++⎥----⎣⎦⎣⎦()()111f f f φφ-+-=--()()111f f f φφ---=-()()()()121111t t t t t t t t f y E m E mfm m E φ---+-=----方程（18）和（21）给出了偶数期的均衡价格和均衡产量。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(内生增长)【圣才出品】
考虑两个由 Yi
t
Ki
t
和
Ki
t
siYi
t
刻画的经济（其中
i＝1，2，θ
＞1）。假定两个经济具有相同的初始 K 值，但 s1＞s2。证明 Y1/Y2 会持续增加。
证明：将产出函数 Yi
t
Ki
t
代入资本累积方程
K
t
siYi
t
得：
Ki
t
si Ki
t
,
1
（1）
在方程（1）两边同时除以 Ki（t）以求出资本增长率的表达式，即：
空间所处的位置。
（a）n 增加。
（b）aK 增加。
（c）θ增加。
答：（a）n 增加
g A 0 线和 g K 0 线由下式给出：
gK 0 gK gA n
gA
0
gK
1 gA
n
（1） （2）
资本和知识的增长率公式为：
gK (t) cK A(t)L(t) K (t) 1 , cK s(1 aK ) (1 aL )1
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罗默《高级宏观经济学》第 4 版课后习题详解 第 3 章 内生增长
3.1 考虑 3.2 节中θ＜1 时的模型。
（a）在平衡增长路径上，
A
g
A
A
t
，其中
g
A
是平衡增长路径上的
gA
值。利用
这一事实以及方程（3.6）
A
t
（b）aK 增加
由于 aK 并没有出现在方程（1）和（2）中，因此 g A 0 线和 g K 0 线随着 aK 的增
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(索洛增长模型)【圣才出品】
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
Z&(t) d ln Z (t) d ln[X (t)Y (t)]
Z (t) dt
dt
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：
Z&(t) d[ln X (t) ln Y (t)] d ln X (t) d ln Y (t)
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因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
Z&(t) d[ln X (t) lnY (t)] d ln X (t) d lnY (t)
Z (t)
dt
dt
dt
再简化为下面的结果： 则得到（b）的结果。
Z (t)
dt
dt
dt
再简化为下面的结果：
Z&(t) X&(t) Y&(t) Z (t) X (t) Y (t)
则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
Z&(t) d ln Z(t) d ln[X (t) Y (t)]
Z(t) dt
dt
1 / 38
k
存量水平从 k*上升到 NEW 。
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图 1-3 折旧率下降的影响
（b）技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为（n＋g＋δ），当技术进步率 g 上升后，会使持平投资线的斜
率变大，持平投资线向左旋转，而实际投资线则不受影响。从图 1-4 可以看出，平衡增长
sk 投资线为 sf（k），而 f（k）＝kα，因此
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题问题详解
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
罗默《高级宏观经济学》(第4版)配套题库【章节题库】第10章~第12章 【圣才出品】
第10章失业1．结合相关理论和模型回答有关经济周期的问题：（1）以下各变量的周期性（顺周期、反周期、无周期）是怎样的？a．消费b．投资c．就业人数d．失业率e．就职率f．离职率g．职位空缺率h．净出口i．资本利用率（2）消费、投资与总产出的波动性有怎样的关系？造成此现象的可能原因有？（3）什么是保留工资？它是如何受到失业保障金水平影响的？（4）技术进步对就职率的影响是不是确定的？有哪些可能影响？（5）贝弗里奇曲线指哪两个变量的关系？如何解释这一关系？（6）资本利用率是如何决定的？如何受到技术进步冲击的影响？答：（1）顺周期性指变量按与实际GDP相同的方向波动；反周期性，又称逆周期性，指变量按与实际GDP相反的方向波动；无周期性，又称非周期性，指变量在经济周期期间不按特定方向波动。
题中给出的各变量的周期性分别如下：a．消费，是顺周期性的。
b．投资，是顺周期性的。
c．就业人数，是顺周期性的。
d．失业率，是反周期性的。
e．就职率，是顺周期性的。
f．离职率，是无周期性的。
g．职位空缺率，是顺周期性的。
h．净出口，是反周期性的。
i．资本利用率，是顺周期性的。
（2）实际消费支出一般按与实际总产出（实际GDP）相同的方向波动，但变化幅度小于总产出的变化幅度。
实际总投资也按与实际总产出（实际GDP）相同的方向波动，但在比例上要比总产出的波动大得多。
造成此现象的可能原因如下：当劳动市场和资本服务市场出清时，可以得到一个简化的家庭预算约束公式：消费＋实际储蓄（投资）＝实际收入。
家庭会将实际收入在消费和投资之间进行划分。
但是投资是为了增加未来的消费，所以实际收入的划分是对现期消费还是今后消费做出选择。
收入的增加会带来两种效应：收入效应和跨时期替代效应。
若收入增加是暂时性的，则此时只有跨时期替代效应而没有收入效应，表明现期的消费不变，收入的增加全部用来投资。
此时边际消费倾向为0，边际储蓄倾向为1；若收入增加是永久性的，则此时只有收入效应而无跨时替代效应，现期消费会增加，而投资不变。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(消费)【圣才出品】
（c）作为 t 的函数，该个体的财富路径是什么？
答：（a）对于这个人而言，他终生消费的现值必须小于或等于终生收入的现值（个人并
没有原始财富），从而有：
T C tdt T Y t dt
t0
t0
（1）
由于此人的收入为 Y（t）＝Y0＋gt（0≤t≤R），Y（t）＝0（R≤t≤T），所以他收入的现
值为：
T Y t dt t0
R
Y t 0 0
gt
dt
Y0t
1 2
gt
2
R t0
RY0
1 2
gR2
因此，这个人的终生预算约束为：
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T t0
C
t
dt
RY0
1 2
gR2
（2）
（b）因为 u＂（·）＜0，且利率和贴现率都为零，所以效用最大化问题简化为要求消
财富增加，因为收入高于消费；财富在退休时刻达到最大值 T R C 。在退休之后，财富
以不变的比例下降直至生命结束时降为零。给定财富函数的形状，生命周期中这种财富积累 形式称为驼峰型储蓄。
8.2 农民的平均收入低于非农民的平均收入，但前者在各年之间的波动更大。根据这
一点，永久收入假说在估计农民与非农民的消费函数时有何不同？
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图 8-1 生命周期中的消费、收入和财富 图 8-1（a）描述了收入和消费作为时间的函数，假定在 0 时刻收入超过了不变的消费 水平。加粗的线条表示消费在退休之前为 Y0＋gt，而退休之后就一直为 0。消费始终为 C 。 图 8-1（b）描述了财富作为时间的函数图像。财富曲线的斜率等于储蓄。在工作期间
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
页脚
.
.
增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不 变，令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、 W 和效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.1
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
2.2 （1）
（2） W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得： 得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（3） （4）
页脚
.
（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？
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高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
因此，如果单一厂商拥有L̅的劳动人数，则它也会生产Y =AL̅f (k )的产量。
这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令P 1和P 2分别表示消费品在这两期中的价格，W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：P 1C 1+P 2C 2=W（a ）已知P 1和P 2和W ，则此人效用最大化的C 1和C 2是多少？（b ）两期消费之间的替代弹性为−[(P 1P 2⁄)(C 1C 2⁄)⁄][ð(C 1C 2⁄)ð(P 1P 2⁄)⁄]，或−ðln (C 1C 2⁄)ðln (P 1P 2⁄)⁄。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则C 1与C 2之间的替代弹性为1θ⁄。
答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。
max U =C 11−θ1−θ+11+ρC 21−θ1−θ （1）s.t.P 1C 1+P 2C 2=W （2） 求解约束条件：C 2=W P 2⁄−C 1P 1P 2⁄（3）将方程（3）代入（1）中，可得：U =C 11−θ1−θ+11+ρ[W P 2⁄−C 1P 1P 2⁄]1−θ1−θ （4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对C 1求一阶条件可得：ðU ðC 1⁄=C 1−θ+11+ρC 2−θ(−P 1P 2⁄)=0 解得： C 1=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄C 2（5） 将方程（5）代入（3），则有：C 2=W P 2⁄−(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄C 2P 1P 2⁄解得：C 2=W P 2⁄1+(1+ρ)⁄(P 2P 1⁄)()⁄ （6）将方程（6）代入（5）中，则有：C 1=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄(W P 2⁄)1+(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)(1−θ)θ⁄ （7）（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：C 1C 2⁄=(1+ρ)1θ⁄(P 2P 1⁄)1θ⁄（8） 对方程（8）两边取对数可得：ln (C 1C 2⁄)=(1θ⁄)ln (1+ρ)+(1θ⁄)ln (P 2P 1⁄)（9）则消费的跨期替代弹性为：−ð(C 1C 2⁄)ð(P 2P 1⁄)P 2P 1⁄C 1C 2⁄=ðln (C 1C 2⁄)ðln (P 2P 1⁄)=1θ因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a ）假设事先知道在某一时刻t 0，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。
那么，消费是否会在时刻t 0发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻t 0前后消费之间的关系。
）（b ）假设事先知道，在某一时刻t 0，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。
那么，消费是否会在时刻t 0发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻t 0前后消费之间的关系。
)答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期△t 内，从(t 0−ε)到(t 0+ε)。
考虑家庭在(t 0−ε)时期减少每单位有效劳动的消费为△c 。
然后他在(t 0+ε)投资并消费这一部分财富。
如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本u ′(c 前)△c ，在(t 0+ε)会有一收益e [r (t )−n−g ]△t △c ，财富的回报率为r (t )，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为(12⁄)u ′(c 后)e [r (t )−n−g ]△t △c 。
总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：u ′(c 前)△c =12u ′(c 后)e [r (t )−n−g ]△t △c 在△c ≠0时，有下式：u ′(c 前)=12u ′(c 后) 因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。
征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。
家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数u (C )为ln(C )。
考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。
请把每一时刻的C 表示为初始财富加上劳动收入现值、r (t )以及效用函数各参数的函数。
答：U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))L(t)H dt 2.1 ∫e −R (t )∞t=0C (t )L(t)H dt ≤K (0)H +∫e −R (t )∞t=0W (t )L(t)H dt 2.6 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
max U =∫e −ρt ∞t=0lnC (t )L (t )H dt （1）s.t.∫e −R (t )∞t=0C (t )L(t)H dt =K (0)H +∫e −R (t )∞t=0A (t )w (t )L(t)H dt （2） 令W =K (0)H +∫e −R (t )∞t=0A (t )w (t )L(t)H dt建立拉格朗日方程：L =∫e−ρt ∞t=0lnC (t )L (t )H dt +λ[W −∫e −R (t )∞t=0C (t )L(t)H dt] 求一阶条件：ðL ()=e −ρt C (t )−1L(t)−λe −R (t )L (t )=0 抵消L (t )H 项得：e −ρt C (t )−1=λe −R (t ) （3） 可以推出：C (t )=e −ρt λ−1e R (t )（4） 将其代入预算约束方程，得：∫e −R (t )∞t=0[e −ρt λ−1e R (t )]L(t)H dt =W （5）将L (t )=e nt L (0)代入上式，得：λ−1L(0)H ∫e −(ρ−n )t ∞t=0dt =W（6） 只要ρ−n >0，则积分项收敛，为1(ρ−n )⁄，则：λ−1=W L(0)H ⁄(ρ−n ) （7） 将方程（7）代入（4）：C (t )=e R(t)−ρt [W L(0)H ⁄(ρ−n )] （8） 因此，初始消费为：C (0)=W L(0)H ⁄(ρ−n ) （9） 个人的初始财富为W L(0)H ⁄，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。
(ρ−n )为个人的财富边际消费倾向。
可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡增长路径上是独立于利率的。
对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。
假设实际利率不变，令W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。
已知r 、W 和效用函数中的各参数，求C 的效用最大化路径。
U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))L(t)H dt 2.1 u(C (t ))=C (t )1−θ1−θ2.2 答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：max U =∫e −ρt ∞t=0u(C (t ))L(t)H dt （1） s.t.∫e −rt ∞t=0C (t )L(t)H dt =W（2）W代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r是常数。
建立拉格朗日方程如下：L=∫e−ρt∞t=0C(t)1−θ1−θL(t)Hdt+λ[W−∫e−rt∞t=0C(t)L(t)Hdt]求一阶条件，可得：ðL ()=e−ρt C(t)−θL(t)−λe−rtL(t)=0抵消L(t)/H，得：e−ρt C(t)−θ=λe−rt（3）两边对时间t求导，可得：e−ρt[−θC(t)−θ−1C(t)]−ρe−ρt C(t)−θ+rλe−rt=0得到下面的方程：−θC(t)C(t)e−ρt C(t)−θ−ρe−ρt C(t)−θ+rλe−rt=0（4）将方程（3）代入（4），可得：−θC(t)C(t)λe−rt−ρλe−rt+rλe−rt=0抵消λe−rt然后求消费的增长率C(t)C(t)，可得：C(t) C(t)=r−ρθ（5）由于利率r是常数，所以消费的增长率为常数。
如果r>ρ，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r<ρ，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。