车灯线光源的优化设计 数学建模全国赛优秀论文
全国一等奖
(轩辕杨杰整理)
车灯线光源的优化设计
电子科技大学
指导老师：杜鸿飞
参赛队员：吕骥
余白敏
肖世尧
2002年9月23日
摘要本文在满足给定设计规范的条件下，以线光源功率最小为优化目标，运用微元法对车灯线光源长度的设计问题进行了讨论。
首先将线光源分为若干段（微元），视每一段为一个点光源。引进两个物理量：照度和发光效率，分别用来度量光强和建立光源功率与辐射光能的联系。搜索每个点光源发出的光线有多少条经反射后能照到给定的B、C两点，进而建立起光源功率与B、C点照度之间的联系。再以设计规范中要求的B、C点的照度与额定值之间的关系为约束条件，以线光源功率最小为目标建立优化模型。
代入距光源25米处照度的额定值和线光源的功率线密度等参数，得出相应线光源的最优长度。以高压毛细汞灯（发光效率50流明/瓦、功率线密度30瓦/毫米）为例，算出它的优化长度为4.2毫米，并绘出测试屏上反射光的亮区图。
从实际、安全、经济等多角度出发，讨论了该设计规范的合理性。
最后考虑到实际的光源辐射有衰减、灯具反射面的污染等因素，建议引进照度补偿系数，使模型的实用性更强。
一、问题的提出
汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，其对称轴水平地指向正前方，并已知其开口半径为36毫米，深度为21.6毫米。经过车灯的焦点F，在与对称轴相垂直的水平方向上，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范可简单描述如下：
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
我们需要解决的是：
（1）满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
二、问题的分析
2.1 首先我们来明确几个概念
线光源——宽度与其长度相比小得多的发光体。
光通量——光源在单位时间内辐射出的光能，用国际规定的眼（对光适应的眼）的灵敏度来估定。
发光效率——光源每消耗1瓦特功率可辐射出的光通量，又叫光效。
照度——单位面积所接受的光通量，单位为勒克斯。
2.2 分析问题
首先解决本问题的一个难点：由于问题讨论的主要对象是线光源，而线光源处理起来不太容易，因此想到用微元法将线光源划分为若干小段（微元l ），每一段可视为一个点光源。这样就将线光源的问题转化为了点光源的叠加问题。
由于该线光源照射到测试屏上，有两种途径：直射和反射。因此我们在考虑某点的光强时，必须同时考虑两种情况。
现在我们还需解决的几个关键问题是如何度量光强，光强的额定值为多少，如何建立起功率与光强的关系。
通过查资料，我们引入了描述光强的物理量——照度。同时查到距车灯25米处的照度额定值为1勒克斯，即光强额定值为1勒克斯（见参考文献[1]）。
另外，还引入发光效率这个量来建立起光源功率与光强的关系（见参考文献[2]）。
在上述讨论的基础上，作进一步分析，我们认为可以建立一个以给定设计规范为约束条件，以线光源的功率最小为目标的规划模型。可以通过步长搜索，来求得线光源长度的最优解。
三、模型的假设
1、光在反射时及整个传播过程中，能量均无损耗。
2、只计此线光源的长度，其体积忽略不计。
3、此线光源均匀分布，各点同性。且任意一点向整个空间各个方向均匀辐射能量。
4、光强额定值为1勒克斯。
5、不考虑光的干涉、衍射等现象。
6、光强在某点叠加时，可直接取其代数和。
7、只考虑一次反射。
四、符号说明
lm——流明W——功率m——米
lx——勒克斯（1 lx=1 lm/m2）
五、模型的建立与求解
5.1 准备工作
首先建立如图坐标系：
图一车灯测试装置三维坐标图
其次，明确下面的定理：
定理1 从焦点发出的光经反射后均为平行于对称轴的光。 定理2 点光源发出的光以球面波的形式向空间传播。
定理3 光源从一点A 经反射到达另一点B 所走过的光程等于点A 的镜像'A 到点B 的直线距离。
此定理可由图二直观表示：
即'AC BC A B +=
图二
再根据几何推导，可得出一个重要的结论：
结论 在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对称轴相交。
下面我们对此结论进行证明：
从图一，我们可以看出此旋转抛物面是由曲线
()2200
x c y
c z ???
??=>= （5.1.1）
绕y 轴旋转得到的。于是推出此旋转抛物面的方程为
222x cy z += （5.1.2） 设()0,0,0x y z 为此抛物面上任意一点，求得过此点的切面方程为
()
()()000
0022
02x x c y y z
z z
x ---+-
= （5.1.3）
进而得法线方程为
00
x x y y z z x c
z ---=
=
- （5.1.4）
联立对称轴方程
00
x z =??=?
得到交点坐标为（0，0c y +，0）
至此，结论得证。
最后将开口半径及深度等数据代入（5.1.1）式，得出焦距
152
c =（mm ）=0.015（m ）
然后代入0.015y =，推得该线光源的范围为[－0.03, 0.03]m 。
5.2 建立模型
（1）计算线光源长度
首先说明一点：以下我们将对B 点进行分析，对于C 点，所用方法及运算过程完全类似。
① 光源功率与照度的关系
如果光源的发光强度为I ，光源与被照面的距离是r ，光线方向与被照面法线的夹角为θ。那么，这个面上的照度就是
2
cos I E r
θ=
（5.2.1）
可见，在点光源垂直照射的情况下，被照面上的照度跟光源的发光强度成正比，跟表面法线与光线方向之间夹角的余弦成正比，与光源到被照面问的距离的平方成反比。 通过查资料，可知光通量与发光强度之间有如下关系式：
4I φπ= （5.2.2）
由（5.2.1）和（5.2.2）得 2
c o s 4E r
φ
θπ=
（5.2.3）
对于功率线密度为k 瓦／米，发光效率为η流明／瓦的线光源，在距它r 米的物体表面，照度为
2
c o s 4kL E r
ηθπ=
（5.2.4）
光源功率为 p k L = （5.2.5） 即可推出 2
c o s 4P r
E ηθπ= （5.2.6）
② 微元法将线光源转化为点光源
对于线光源来说，我们利用微元法的思想，将其分为若干小段（l ?），每一段可视为一个点光源，各自独立向四周辐射光能。而在测试屏上的任意一受光点的照度等于各点光源在此处的照度代数和。这样我们就把对线光源的讨论转化成了对点光源的讨论。
③ 求直射光的强度
线光源上任一点光源D 直射到测试屏上B 点处有且只有一条光线。因为D 发出的光是以球面波的形式向空间传播的，设该点到B 点的半径为r ，则在B 点处的波面面积为
2
4S r π= （5.2.7）
据（5.2.4）式，可得任意一点光源直射到B 点时该点的照度为：
2
c o s c o s 4k l k l S r
e ηη
θθπ???????=?=直 （5.2.8）
可以看出此量与距离有关，也就是说，不同的点光源在B 点所对应的照度值不同。但注意到所有的r 差别太小，因此在实际计算中，我们对r 作近似处理，令它为一个常数：
r =
（米）
于是得出此线光源的直射光在B 点辐射出的总照度为 2
c o s c o s 4k L k L S
r
E ηηθθπ?=
?=
直 （5.2.9）
而此时线光源所消耗的功率 p k L = （5.2.10）
④ 求反射光的强度
为了便于分析，我们将图一抽象出来，并旋转一定角度后得图三。
D —线光源上任一点 N —对应于D 点的反射点 G —法线与中轴线的交点
图三
对于线光源上的任意一点D （设坐标为（t ，0.015，0）），假设从它发出的光线经旋转抛物面上的点N 反射后，可以射到B 点上。下面利用向量来推导旋转抛物面上满足此条件的所有反射点N 的坐标。
设反射点N 的坐标为（x ，y ，z ），由上文的证明可知，在旋转抛物面上，每个反射点的法线都与对称轴相交，且交点G 的坐标为（0，c y +，0）。又已知点B 的坐标为（-1.3，25.015，0），点D 的坐标为（t ，0.015，0）。经过分析，知道N 点必须满足以下三个条件：
1）NG 是BN D ∠的角平分线，即：
BN G D N G ∠=∠ cos cos B N G D N G ∠=∠
BN GN GN DN BN GN
GN DN
??=
??
=
（5.2.11）
2）点G 、B 、N 、D 四点共面，所以：
0BN DN GN ??=
1.325.015
00.015
x y z
x c z x t
y z
+--=-- （5.2.12） 3）点N 在抛物面上，所以应该满足抛物线方程：
222z cy x += （5.2.13）
联立方程（5.2.11）、（5.2.12）、（5.2.13），即可求解出与线光源上一点D 对应的所有的反射点N 。
但实际上我们并不关心N 点的具体坐标值，而看重的是线光源上每一点能发出多少光线经抛物面反射后照到B 或C 点。
由于光源发出的光能否反射受灯反射面几何尺寸大小的限制，并且B 、C 点的位置相对灯而言是处在斜前方，所以，N 点的位置并不具有对称性。对于线光源上不同的点，与其对应的N 点数目也不同。但在线光源上位置十分相邻的两点，可认为它们对应的N 点数目相同。即它们发出的光中有相同数目的光线经抛物面反射后恰好照射到B 点（或C 点）。
我们采用在小区域采集离散点的方法，使用Mathematic 软件，通过改变微小l ?,得到线光源上当前D 点对应的反射点（即N 点）的数目。以此作为此微小区域 [,]l l l +?内各点所对应的N 点数目。（列表详见附件1）
如果把整个线光源划成m 个相等的微小区间，则由上述分析，第i 个微小区间的点发出的光线经抛物面反射，如果能恰好射到B 点（或者C 点），那么在B 点的照度为
22cos cos 44l l i
i i l n k n k l e dl r r
ηηθθππ+?==? 2
2
1
1
cos cos 44m
m
i i i
i i n k l n kL E e
r
m r
ηηθθππ===
=
=
∑∑
反
至此，我们已分别求得了E E 反直于是我们可以得到 2
2
()cos 44i n kL kL E E E r
m r
ηηθππ=+=+
反直
⑤求得长度的优化解
通过条件，建立线光源长度的优化模型：
00
m in 2.B B B C p kL
E E E E s t E E E E ==+≥??
=+≥?反直C反C直
代入照度额定值(1勒克斯)、高压毛细汞灯和卤素灯的参数，得到以下结果：
（2） 反射光亮区的绘制
首先我们称光能照射到的区域为亮区。我们以常用的高压毛细汞灯为例（即 L = 4.2mm ），来绘制出测试屏上反射光的亮区。
亮区图的绘制步骤：
线光源反射光的亮区可以近似的看作线光源上一系列离散的点光源的反射光亮区的叠加。我们通过如下方式产生线光源反射光的亮区： 1） 在线光源上等间距的选取一系列的点作为点光源; 2） 在旋转抛物面上产生均匀排列的网格作为反光点；
3） 对于每一点光源，计算它到所有反光点的入射光的方向向量及其法线方向向量； 4） 通过入射光方向向量及其法线方向向量计算反射光方向向量；
5） 通过反射光方向向量及反射点的坐标求出反射光的解析式，进而求出反射光在测试
屏上的投影坐标，并在此处描点。
其中，由入射光方向向量及其法线方向向量计算反射光方向向量具体过程如下： ①将入射光方向向量'X 及其法线方向向量Y 均转化为单位向量（如图四所示）； ②取入射光方向向量'X 的反方向向量X ； ③ 由几何关系可知：
2cos X Z Y θ+=
所以 2c o s Z Y X θ
=- Z 即为反射光的方向向量。
图四 任一点光源的向量反射光路图
亮区图的绘制结果为：
图五测试屏上反射光的亮区图
（3）设计规范合理性的讨论
要解释此设计规范的合理性，就需要解释清楚只选择A、B、C点（即25米、1.3米、2.6米这些距离上的点）并要求这些受光点处的光强不小于某一额定值的原因。这需要从几个方面来阐述。
从实际着眼，司机在夜晚行车，难免有一定的安全隐患，如前方突然出现一横穿公路的行人，或者前方有影响正常、安全行驶的障碍物等等。要避免交通事故的发生，就需要在一定远的距离外，司机能看到这些突发事件并及时作出反应，采取措施（如立即刹车等）。而司机在遇到突发事件后总有一定的反应时间，因此刹车总距离(也称停车视距)为司机反应时间距离，刹车系统协调时间距离和刹车距离三者合一。为了确保安全，就必须保证进入停车视距的突发事件被充分照亮（即该处所接受的光强不小于某一额定值）。下面我们将分两种情况来计算停车视距。
情况一正前方发生突发事件，司机或者立即刹车，或者调整方向，绕道而行。
对这两种救急措施，我们认为其停车视距的计算可归为一类，即计算上面定义的刹车总距离。资料显示人的反应时间一般为1s，普通公路上车速一般为60km/h，刹车系统协调时间距离和刹车距离一般为8m。下面来计算停车视距。
司机反应时间距离为60
116.7
3.6
?=（m）
所以其停车视距为16.7+8=24.7（m）
但由于刹车系统协调时间距离和刹车距离随路面附着系数不同而不同，所以此种情况下的停车视距一般在24～30米之间波动。因此可以看出保证25米处光强足够大能在一定程度上确保安全性。
情况二相邻车道发生突发事件，司机立即刹车。
基于情况一，我们进一步深入。通过查资料，我们了解到一般公路的车道宽度为2.5～4米，我们以3米为例，这时若有行人处于相邻车道的中线，且与车垂直距离为25米，正欲横穿本车道，我们来计算一下：假定行人行走速度为1.5m/s，其余参数同上。则易算出行人在快要到达本车道中线时，车也刚刚驶到，自然会出现事故。因此必须照亮相邻车道的部分情况来使司机提前采取应急措施。针对不同的车道宽度，可算出此值为2.5～4米。这说明仅照亮正前方25米还不够，必须同时保证左右偏大约2.6米的地方也被照亮。
同时从经济的角度讲，不选取更长的距离作为规范，是因为在已经保证安全性的前提下，避免造成浪费。
以上的讨论从实际、安全、经济多角度出发，说明了该设计规范是合理的。
六、模型的评价与推广
6.1 优缺点评价
1、运用的数学工具简单，模型清楚易懂，可读性好，实用性强。
2、运用近似计算的思想，将运算过程大大简化，且对结果影响不大，增强了该模型的可运行性和可移植性。
3、引进向量，使模型统一性好，巧妙地避开了运用初等几何知识分析时需进行的大量复杂的讨论
4、引入发光效率，照度等物理概念来准确描述功率与光强的关系，受光强度等量，而且通过查资料得到一般测试光强的额定值等重要参数，实际背景较强。
5、但在距离求和的运算中，考虑到毫米与米在数量级上差4个单位，因此我们忽略了毫米的微小影响，这样可能会导致计算精度的下降及结果在小范围内的偏差，但总的说来，这个偏差是能够接受的。
6.2 模型的推广
1、此模型不仅可运用于车灯线光源长度的设计，还可改变其开口半径、深度等参数的值，将其推广到实际生活中其它照明系统的光源长度的优化设计。
2、在实际生活中，考虑到光源光通量的衰减，灯具反射面的污染等因素，可引进一个照度补偿系数，将其代入模型中进行计算。
七、参考文献
[1] U.阿登纳. 汽车手册. 机械工业出版社. 1987年
[2] 陈大华. 现代光源基础. 学林出版社. 1987年
[3] 俞丽华. 电气照明. 同济大学出版社. 1990年
[4] 郭卫中. 空间解析几何讲义. 东北师范大学出版社. 1985年
[5] 洪维恩. 数学运算大师.Mathematica4. 人民邮电出版社. 2002年
八、附件清单
附件一点光源到B、C两点的反射光的条数
附件二绘制测试屏上反射光亮区的Matlab源程序
附件一点光源到B、C两点的反射光的条数
表中t为点光源的x坐标。
附件二绘制测试屏亮区的Matlab源程序：
hold on
for t=-0.002:0.001:0.002 %选取间距为0.001m的一系列点光源for x0=-0.036:0.001:0.036
for z0=-0.036:0.001:0.036
y0=(z0^2+x0^2)*100/6; %产生格点(x0,y0,z0)作为反射点 v1=[t-x0 0.015-y0 0-z0]/sqrt((t-x0)^2+(0.015-y0)^2+(0-z0)^2);
v2=[0-x0 0.03 0-z0]/sqrt(x0^2+0.03^2+z0^2);
v3=2*(v1*v2')*v2-v1; %计算反射光的方向向量
x=x0+v3(1)/v3(2)*(25.015-y0); %照射点的横坐标
z=z0+v3(3)/v3(2)*(25.015-y0); %照射点的纵坐标
plot(x,z) %描点
end
end
end
全国数学建模竞赛一等奖论文
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配
数学建模小实例
数学建模小实例 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
1、司乘人员配备问题 某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下： 设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员 解: 设i x为第i班应报到的人员 i，建立线性模型如下： )6, ( ,2,1 LINGO程序如下： MODEL:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; END 得到的解为: x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0; 配备的司机和乘务人员最少为150人。 2、铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺下图所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果无法铺好。试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢 解答:
3、 棋子颜色问题 在任意拿出黑白两种颜色的棋子共n 个，随机排成一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子，再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢 分析与求解： 由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子，两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子，故可将黑色棋子用1表示，白色棋子用-1表示。这是因为-1×(-1)=1，1×1=1，这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子；1×(-1)= -1，这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。 设棋子数为n ，12,,,n a a a 为初始状态。 当n=3时 步数 状态(舍掉偶次项) 0 1a 2a 3a 1 21a a 32a a 13a a 2 31a a 21a a 32a a 3 32a a 31a a 21a a
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２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:
２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：
基于 Matlab 的车灯线光源优化设计的实施方案
数学建模 基于Matlab 的车灯线光源优化设计的实施方案3欧宜贵 李志林 (海南大学信息学院应用数学系 海口 570228)摘要 给出了2002年全国大不生数学建模竞赛题“车灯线光源的优化设计”的实施方案,说明计算机仿真方法在数学建模中的有效性. 关键词 数学建模;计算机仿真;优化设计;Matlab6.0 中图法分类号 O242;TP311 2002年全国大学生数学建模竞赛题“车灯线光源的优化设计”是一道从实际问题提炼简化而来的数学问题.由于理论上的困难,很难得到满足设计要求的最优长度的线光源[1].本文借助科学运算语言Matlab610,[2]采用计算机仿真技术,求得满足设计要求的近似最优线光源的长度,体现了数学建模中计算机仿真方法的重要性. 1 问题重述 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米,深度21.6毫米.经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源.要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度.该设计规范在简化后可描述如下: 在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏,屏与FA 垂直,用以测试车灯的反射光.在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线,在该直线A 点的同侧取B 点和C 点,使A C =2AB =2.6米.要求C 点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B 点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射).在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小. 21问题分析 由于线光源是均匀分布的,要使线光源功率最小,其长度也应该较小.但若线光源的长度太小,有可能出现C 点的光强度小于额定值;若线光源的长度过大,虽然能同时满足B 、C 两点光强度的要求,但线光源的功率也增大了.我们的目的就是在B 、C 两点光强度满足题目要求的情况下,求出最优的线光源长度,又由于到达屏上某一点的光线数目与该点的光强度成正比,因此,可以将题中条件转化为:到达C 点的光线数目不小于某一额定值,到达B 点的光线数目不小于该额定值的两倍. 另一方面,在抛物线上任取一点,并利用光路的可逆性,分别求出能够到达B 点和C 点的入射光线方程.若入射光线与线光源所在直线的交点的纵坐标的绝对值不大于线光源长度的一半,即与线光源有交点,则表示该光线经反射后能够到达屏上的B 点或C 点.这可通过计算机仿真来实现. 3、模型的基本假设 (1)线光源看成是无数个点光源叠加而成; (2)不考虑光在抛物面上的折射,并且光在传播过程中,其强度不受空气的影响; (3)不考虑车灯前配置镜面对反射光方向的影响. 4、模型的建立及求解 以抛物面的顶点为原点O ,对称轴为x 轴,过点O 且与线光源平行的直线为y 轴,过顶点且与x 轴、y 轴垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系.由题中所给数据可求得旋转抛物面的方程是:60x =y 2+z 2.根据光路的几何原理和空间解析几何的知识,易推出结论: 线光源发出的光线经抛物面反射后若能到达B 、C 两点,则反射点应在抛物线60x =y 2上.如 701Vol.9,No.4J ul.,2006 高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS 3收稿日期:2004-10-01
2013全国数学建模大赛a题优秀论文
车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度
数学建模小实例
1、司乘人员配备问题 某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机与乘务人员如下: 设司机与乘务人员分别在各时间区段一开始上班,并连续工作八小时,问该公交线路至少配备多少名司机与乘务人员？ 解: 设i x 为第i 班应报到的人员 )6,,2,1( i ,建立线性模型如下: 6 1min i i x Z
,...,,3020 506070 60..62 1655 4433221 61x x x x x x x x x x x x x x x t s LINGO 程序如下: MODEL: min=x1+x2+x3+x4+x5+x6; x1+x6>=60; x1+x2>=70; x2+x3>=60; x3+x4>=50; x4+x5>=20; x5+x6>=30; END 得到的解为: x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0; 配备的司机与乘务人员最少为150人。
2、铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺下图所示形状的地面,但当时市场上只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖,试着铺地面,结果无法铺好。试问就是这人的功夫不到家还就是这个问题根本无解呢？ 3、棋子颜色问题 在任意拿出黑白两种颜色的棋子共n个,随机排成一个圆圈。然
后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子,再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？ 分析与求解: 由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子,两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子,故可将黑色棋子用1表示,白色棋子用-1表示。这就是因为-1×(-1)=1,1×1=1,这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子;1×(-1)= -1,这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。 设棋子数为n ,12,,,n a a a L 为初始状态。 当n=3时 步数 状态(舍掉偶次项) 0 1a 2a 3a 1 21a a 32a a 13a a 2 31a a 21a a 32a a 3 32a a 31a a 21a a 4 12a a 23a a 31a a 说明当n=3时,经过3步进入初始状态。 当n=4时 步数 状态(舍掉偶次项) 0 1a 2a 3a 4a 1 21a a 32a a 43a a 14a a 2 31a a 42a a 31a a 42a a 3 4321a a a a 4321a a a a 4321a a a a 4321a a a a 4 24232221a a a a 24232221a a a a 24232221a a a a 2 4232221a a a a
数学建模优秀论文设计模版
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
题目（黑体不加粗三号居中） 摘要（黑体不加粗四号居中） （摘要正文小4号，写法如下） （第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点对问题 1 用······的方法解决；对问题 2 用······的方法解决；对问题3 用······的方法解决。 （第2段）对于问题1，用······数学中的······首先建立了······ 模型I。在对······模型改进的基础上建立了······模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为······，然后借助于······数学算法和······软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3 组数据（每组8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格） （第3段）对于问题2用······ （第4段）对于问题3用······ 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软 件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较， 优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。 关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7个较合适。 注：字数700-1000 之间；摘要中必须将具体方法、结果写出来；摘要写满几乎 一页，不要超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。 页码：1（底居中）
maab数学建模实例
第四周 3. function y=mj() for x0=0::8 x1=x0^*x0^2+*; if (abs(x1)< x0 end end 4.分别用简单迭代法、埃特金法、牛顿法求解方程，并比较收敛性与收敛速度（分别取10-3、10-5、10-8）。 简单迭代法： function y=jddd(x0) x1=(20+10*x0-2*x0^2-x0^3)/20; k=1; while (abs(x1-x0)>= x0=x1; x1=(20+10*x0-2*x0^2-x0^3)/20;k=k+1; end x1 k 埃特金法： function y=etj(x0) x1=(20-2*x0^2-x0^3)/10; x2=(20-2*x1^2-x1^3)/10; x3=x2-(x2-x1)^2/(x2-2*x1+x0); k=1; while (abs(x3-x0)>= x0=x3; x1=(20-2*x0^2-x0^3)/10; x2=(20-2*x1^2-x1^3)/10; x3=x2-(x2-x1)^2/(x2-2*x1+x0);k=k+1; end x3 k 牛顿法：
function y=newton(x0) x1=x0-fc(x0)/df(x0); k=1; while (abs(x1-x0)>= x0=x1; x1=x0-fc(x0)/df(x0);k=k+1; end x1 k function y=fc(x) y=x^3+2*x^2+10*x-20; function y=df(x) y=3*x^2+4*x+10; 第六周 1.解例6-4（p77)的方程组，分别采用消去法（矩阵分解）、Jacobi迭代法、Seidel 迭代法、松弛法求解，并比较收敛速度。 消去法： x=a\d 或 [L,U]=lu(a); x=inv(U)inv(L)d Jacobi迭代法： function s=jacobi(a,d,x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1); C=inv(D); B=C*(L+U); G=C*d; s=B*x0+G; n=1; while norm(s-x0)>= x0=s; s=B*x0+G; n=n+1; end n Seidel迭代法： function s=seidel(a,d,x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1);
全国数学建模优秀论文
上海世博会影响力的定量评估 摘要 本文主要针对世博会对上海市的发展产生的影响力进行定量评估。 在模型一中，首先我们从上海的城市基础设施建设这一侧面定量评估世博会对上海市的发展产生的影响，而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。所以 我们运用层次分析法，构造成对比矩阵a ，找到最大特征值λ，运用1 n CI n λ-=-进行一致 性检验，这样对成对比矩阵a 进行逐步修正，最终可以确定权向量。再运用模糊数学的综合评价法，通过组合权向量就可以得出召开世博会比没有召开世博会对上海城市基本设施建设的影响要高出40%。 在模型二中，上海世博会的影响力直接体现在GDP 上，我们直接以GDP 这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。因此我们运用线性回归的模型预测出在有无上海世博会这两者情况下的GDP 的值，并将运用线性回归得到的数据与上海统计年鉴中的相关数据进行比较运算，算出误差在1.2%左右，这说明我们用线性回归得到的模型能准确地反映出世博会对上海GDP 的影响。运用公式21 1 100%Q Q Q η-=?可以计算出世博对上海GDP 的影响力的大小为1983417833 100%11.2%17833 η-= ?=。 关键词：层次分析法 模糊数学 线性回归 城市基础建设 GDP
1 问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。 2 问题分析 对于模型一，为了定量评估2010年上海世博会的影响力，我们首先选取城市基础设施建设的投入这一个侧面，因为通过查找相关数据，我们发现，城市基础设施建设的投入在上海整个GDP的增长中占有很大的比重，对GDP的贡献占主体地位。而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。为此，我们通过研究上海统计局的相关数据，使用层次分析法来评估世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，目标层为世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，准则层依次为电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设，方案层依次为没有召开世博时的影响、召开世博时的影响。首先我们通过层次分析法算出电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设的相对权重，然后应用模糊数学中的综合评价法对上海世博会对城市基础设施建设的影响作出综合的评价，应用综合评价法计算出没有召开世博和召开世博两种情况下的权重，从而得出上海世博会的召开对城市基础设施建设的影响。 对于模型二，直接以GDP这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。先根据上海没有申办世博会的GDP总额的相关数据，建立线性回归模型，由此预测不举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额；再由2002年至2009年的GDP值用线性回归预测出举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额，并将两种情况进行对比得出世博会对上海GDP的影响。 3 模型假设 3.1假设非典和奥运等重大事件对世博前的城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。 3.2 假设不同时期国家的经济实力不同，对城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。 3.3 假设我们查到的数据真实可靠。 4符号说明 CI为一致性指标； RI为随机一致性指标； CR为一致性比率； λ为成对比较矩阵的最大特征值； () 1,2,3,4,5 y i=分别为电力建设、交通运输、邮电建设、共用设施、市政建设2010 i 年各项投入金额的理论预测值；
数学建模(路灯)
数学模型实验论文
路灯安置优化问题 一、摘要： 现代社会，经济不断发展人民生活水平不断提高，国家采取了一系列的措施让人民生活得更舒适，而在路上安装路灯就是其中一项重要的举措。这里我从一盏灯的照明情况的分析出发，研究怎样合理的设计路灯的度和路灯之间的间距才能满足人们的需求。首先分析路灯照明的特性，然后建立一盏灯时面积使最大的模型及两盏灯时时路灯间距最大的模型，在此基础上建立一排路灯及两排路灯的数学模型，分析两种情况何时须灯数最少即最节约能源，其中由实际情况和生活经验来看，两排灯时交错分布照明是比较均匀的，所以在两排灯时考虑灯交错分布的情况。 关键词: 照明强度、路灯设计、路灯高度、间距的优化 二、问题的提出： 目前大多数公共场所都安装了路灯，路灯的高度和路灯之间的间距一般是依靠经验进行设置的，并没有从优化的角度进行考虑。在能源日益减少的今天，我们应该考虑怎样尽可能的节约能源，并且作为路段整体设计的一部分路灯的安排也直接影响到社会公共环境。经过对我校校园内几条道路的路灯设计的观察，对校园整体室外照明有了一定的了解。在调查时A路正在安装路灯，为获取数据的方便取该路段为研究对象。
三、背景知识： 1．光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角辐射的能量来量度。（单位：坎德拉） 2．照度：单位面积上得到的光通量。（单位：勒克司） 3．通量：人眼所能感觉到的光辐射的功率。单位时间光辐射的能 和相对视见率的乘积。（单位：流明） 4．对于眼睛最敏感的 波长的黄绿光来说，1流明相当于1/685瓦特。一般常见或需要的照度：晴朗夏天室外背荫处得照度为1000-10000流明。 5．为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的照明强度，取照度的最小值为 ，即为13700流明。 6．照度定律：点光源O 预备照明平面中心A 的距离为h 时，平面上A 点的照度。 符号规定： p 为 O 点的光强度，a 为平面的法线方向与光源到A 点的连线之间的夹角,h 为光源的高度，l 为光源到A 点的距离。 四、模型的假设： 1. 假设高度和间距的优化问题为简化模型设路灯的额定功率为定值（注：数据来源 A 路的路灯标签额定功率为220伏，额定电流为10安，所以取额定功率）。 m 7105.5-?2/20m w
车灯线光源的优化设计_2002年全国大学生数学建模A题论文
2003年第18卷第4期 电 力 学 报 Vol.18No.42003 (总第65期) J OU RNAL OF EL ECTRIC POWER (Sum.65) 文章编号: 1005-6548(2003)04-0262-02 车灯线光源的优化设计 ———2002年全国大学生数学建模A题论文Ξ 郭 洋1, 常 哲1, 刘品贤1 (11山西大学工程学院,山西太原 030013) Optimum Design of H eadlight’s Filament ———Mathematical Contest in Modeling in2002 GUO Yang1, CHAN G Zhe1, L IU Pin2xian1 (11Engineering College of Shanxi University,Taiyuan 030013,China 030013,China) 摘 要: 根据设计规范的要求对线光源的最短长度进行了数值分析。首先用解析法建立了一个多元函数模型得出合理的数值,然后利用向量代数知识借助MA TLAB模拟出屏上的蝶形形状亮区。 关键词: 数学模型;多元函数;优化设计 中图分类号: O182 文献标识码: A Abstract: A numerical analysis of the shortest length of headlight’s filament is made in the paper. A multiplex function model is established on the basis of optical principle and then an extent is drawn in the light of MA TLAB. K ey Words: mathematical model;multiplex func2 tion;optimum design 1 题目描述 现知一汽车前灯的形状为旋转抛物面,开口半径36mm,深度21.6mm,其对称轴水平地指向正前方。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F 正前方25m处的A点放置一测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引一与地面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使A C=2A B=2.6m。要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。 需要解决下列问题: a1在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。 b1对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 c1讨论该设计规范的合理性。 2 问题分析 a1问题要使线光源的功率最小,即可等效为线光源的长度最小。因为理想线光源可视为由无穷多个点光源组成,其功率相应等价为无穷多个点光源功率的积分。 b1光强是单位面积上通过的光通量,据此可知光强与发光点的发光功率成正比,与距离发光点的 Ξ收稿日期: 2003-06-27 作者简介: 郭 洋(1982-),男,河南南召人,山西大学工程学院动力工程系学生; 常 哲(1979-),男,山西芮城人,山西大学工程学院动力工程系学生; 刘品贤(1981-),男,浙江乐清人,山西大学工程学院动力工程系学生。
数学建模国家一等奖优秀论文
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以 上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取 消评奖资格。） 日期：2014 年9 月 15日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
车灯线光源的优化设计(第二组)
车灯线光源的优化设计 摘要 题目要求我们针对确定的设计规范，计算线光源的长度，然后再根据线光源的长度讨论该设计规范是否合理。 针对题目的任务，我们采用物理光学的知识和数学极限思想建立模型，根据题目的要求对线光源反射在屏幕上的光照强度进行了研究，并按照要求完成了线光源的优化设计。 对于问题一，采用了对线光源无限分割成线元的点光源的极限思想，并求出每个点光源经抛物面反射后照在测试屏幕上的光照强度，在B ,C 两点利用区 域法将圆区域的光照强度的和代替点的光照强度，再根据B ， C 光照强度的关系，最后求得： l =4mm 对于问题二，在问题一的基础上可以利用matlab 将带坐标的亮区绘出来，（结果见图5，第7页） 对于问题三，夜晚行车司机在看清障碍物时，从反应到到制动停止的距离为h ，其取值范围是： 23.6926.69m h m ≤≤ 取26.69h m =>25m ,所以我们希望设计规范能够将25m 提高到30m 以外，提高司机的人身安全，同时考虑强度问题，为了确保在在30m 外能够辨出障碍物，屏幕上相应的B 和C 点的距离也要相应提高，并且线光源的长度也要适当增长，以确保有足够的强度。（具体长度呢？） 关键词：数学无限分割极限思想 光照度平方反比定理 光照强度
一、问题的重述 1.1问题背景 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36mm，深度21.6mm。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 1.2目标任务 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25m处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6m。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。解决如下问题： （1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。（3）讨论该设计规范的合理性。 二、问题分析 该问题属于物理学中的光学问题，对于线光源发射出来的光为无数条，我们无法运用整体思想进行建立模型。 对于问题一，我们运用无限分割成微元的极限思想，将线光源分成无限n （n=1,2,3…）份线元，然后计算出每份线元经过车灯抛物面反射后射在测光屏上的光照强度 E，进而可以对光照强度在,B C两点的极小区域进行求和，最后 n 要使线光源的发光功率最小，尽量满足B点处的光照强度接近C点处的两倍，由光照强度，功率与线光源之间个光线可以求出线光源的最小长度。 对于问题二，在问题一的基础上，在计算线元的光照强度时模拟光线的反射可得到反射光的亮区图。 对于问题三，结合实际与计算结果，以夜间行车的安全性讨论设计规范的合理性。 最后由模型和结果对该规范的合理性进行讨论修改。 三、基本假设 1.假设光线在经过抛物面反射所造成能量损失忽略不计，只考虑光线随距离的变化而产生的能量损失。 2.假设抛物面光滑，无凹凸不平，对光线无额外的作用，除了正常的反射。 3.由于要测试的,B C两点离屏幕A点距离远远大于旋转抛物面的最大口径故忽 略线光源对测光屏幕直射的光照强度，只考虑反射对测光屏幕光照强度的影响。 4.假设车灯发光均匀，光强均匀。 5.假设每份光线元经抛物面反射后，光强度为1个单位。
美国大学生数学建模竞赛优秀论文翻译
优化和评价的收费亭的数量 景区简介 由於公路出来的第一千九百三十，至今发展十分迅速在全世界逐渐成为骨架的运输系统，以其高速度，承载能力大，运输成本低，具有吸引力的旅游方便，减少交通堵塞。以下的快速传播的公路，相应的管理收费站设置支付和公路条件的改善公路和收费广场。 然而，随着越来越多的人口密度和产业基地，公路如花园州公园大道的经验严重交通挤塞收费广场在高峰时间。事实上，这是共同经历长时间的延误甚至在非赶这两小时收费广场。 在进入收费广场的车流量，球迷的较大的收费亭的数量，而当离开收费广场，川流不息的车辆需挤缩到的车道数的数量相等的车道收费广场前。因此，当交通繁忙时，拥堵现象发生在从收费广场。当交通非常拥挤，阻塞也会在进入收费广场因为所需要的时间为每个车辆付通行费。 因此，这是可取的，以尽量减少车辆烦恼限制数额收费广场引起的交通混乱。良好的设计，这些系统可以产生重大影响的有效利用的基础设施，并有助于提高居民的生活水平。通常，一个更大的收费亭的数量提供的数量比进入收费广场的道路。 事实上，高速公路收费广场和停车场出入口广场构成了一个独特的类型的运输系统，需要具体分析时，试图了解他们的工作和他们之间的互动与其他巷道组成部分。一方面，这些设施是一个最有效的手段收集用户收费或者停车服务或对道路，桥梁，隧道。另一方面，收费广场产生不利影响的吞吐量或设施的服务能力。收费广场的不利影响是特别明显时，通常是重交通。 其目标模式是保证收费广场可以处理交通流没有任何问题。车辆安全通行费广场也是一个重要的问题，如无障碍的收费广场。封锁交通流应尽量避免。 模型的目标是确定最优的收费亭的数量的基础上进行合理的优化准则。 主要原因是拥挤的
数学建模--路灯问题
校园路灯问题优化 一、问题描述 1.问题背景 路灯已成为夜晚比不可少的工具，不管是在街道，还是校园都随处可见。随着路灯的增加，如何合理解决路灯问题便成为一个重要问题。在能源日益减少的今天，我们应该考虑怎样尽可能的节约能源，并且作为校园整体设计的一部分路灯的安排也直接影响到学校环境,对于夜晚校园环境的烘托具有非常重要的意义。 2. 主要问题 经过对校园内几条道路的路灯设计的观察，对校园整体室外照明有了一定的了解。 主要从三个方面优化校园路灯问题。主要侧重于其布局优化。 （1）校园路灯分布规划：在照明强度的要求已知时，寻求一种路灯安置方案，（选定合适的路灯高度、路灯之间的间距），使路灯的安置达到要求，同时路灯的数量尽可能减少，路灯的能耗达到最低。 （2）校园路灯开放时间优化。 （3）校园路灯维护优化。 3. 问题研究的意义 通过对路灯问题的研究，找到一种安置方案，优化现有路灯布局，使路灯能耗降低，以节省经济投入。 二、问题分析 要使能耗最小，在路灯功率一定的情况下，只能减少路灯的使用量。因此，在满足最低照明功率的前提下，通过改变路灯的高度来使路灯之间的距离达到最优是本问题的一个解决方案。 三、模型假设 (1)所有路灯都紧靠在路的边界线上，且照明效果都相同。光源是点光源。在单个光源照射下，距光源L的点的光照强度为C=f(L)；在多光源照射下，某一点的光照强度为各光源对该点光照强度的代数和。道路处处等宽，路面上每一点的光照强度至少要达到C0。 (2)假设路灯为完全规范的，即处处等宽，一排路灯的宽度为，两排路灯的宽度为。 四、变量说明 1. 照度定律：点光源O的发光强度是，则距点光源O为的点的照度为 2. 参量变量说明： （1）设路灯的高度：h，路的宽度： （2）经过实际考察，路灯的功率：=2200W （3）路灯的间距：
车灯线光源的优化设计——_02高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题参考答案02A0
问题1：车灯线光源的计算 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直。 请解决下列问题： （1） 计算直射光总功率与反射光总功率之比。 （2） 计算测试屏上直射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形。 （3） 计算测试屏上反射光的亮区，在有标尺的坐标系中画出其图形（只须考虑一 次反射）。 解: 建立坐标系如下图，记线光源长度为l ，功率为W ，B,C 点的光强度分别为)(l h B W 和 )(l h C W ，先求)(l h B 和)(l h C 的表达式，再建立整个问题的数学模型. 以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为60 2 2y x z += ，焦点坐标为 （0,0,15）。 1) 位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量 设反射点的坐标为Q )60 , ,(2 2y x y x +.记入射向量为a ,该点反射面外法线方向为b ,不难得 到反射向量c 满足 .22b b b a a c ?-= 记2 22 y x r +=,由 ) 1,30/,30/(), 1560,,(2-=--=y x b r w y x a 从而得),,(z y x c c c c = 的表达式 ) 900(60810000 36001800900 ) 9002(900 22 2 4 22 2 2 ++-+= +--= += r wy r r c r r y w c r xyw c z y x 注意到反射光通过C 点,应有
数学模型——教室照明灯布置
一、问题重述： 现代教育方式已由应试教育逐步向素质教育转变，借以培养学生的兴趣，增进师生之间的交流，营造良好的学习氛围。新的教育方式也对教师照明设计和规划提出了更高的要求。近些年又在倡导创建节约型社会，因此光源的选择需结合教室的通光条件已达到节能的目的。再者，教室光线分布的均匀程度及眩光作用也会影响学生的视觉效果，光线过强或过弱将导致视觉疲劳，从而影响课堂的学习效率。因此教室照明的设计显得尤为重要。 我们知道，白天上课学生的目光主要集中在黑板，而晚上自习时间则主要专注于书桌那一小范围区域。因此教室照明的设计必须考虑仔细和上课两种情况。晚自习主要考虑座位上方天花板上荧光灯的设计；白天上课主要考虑黑板照明的情况。 根据我国现行照度要求，教室的平均照度要求至少达到300勒克斯，教室黑板的照度要求达到500勒克斯(Lx)。(勒克斯是光照度的单位) 二、模型假设： 1.所有的荧光灯都是一样的，且都在同一水平面，灯到桌面的垂直距离都相等。 2.不考虑灯具的发光效率。 3.不考虑墙壁、窗户的反射作用。 4. 忽略荧光灯的宽度，把荧光灯看做是长度相等的线段。
5. 把教室的学生看做是理想化个体，不受情绪影响。 三、问题分析和模型建立： 相关参数如下： L：教室长度(12m) M：教室宽度(8m) H：灯距离课桌高度(2.8m) l1:荧光灯长度 l2:布灯纵向间距(2.1m) l3:布灯横向间距 （0.8m）Φ:光通量 U：利用系数 A:光照面积(L*M) K:灯具维护系数 Eav:光照度 照明节能：学校耗能主要来源于空调和照明，其中照明能耗占40% 左右，而教室照明占总照明耗能的80%。为达到节能的目的，选用T5 光源，直径只有16 毫米，节省了汞和荧光灯用量，同时节省了制灯 材料，有利于节能环保。 首先考虑晚上自习的情况： 利用系数法此方法考虑了由光源直接投射到工作面上的光通 量和经过室内表面相互反射再投射到工作面上的光通量。（仅适用于 均匀布灯，空间无大型设备阻挡的室内一般照明，教室满足利用系数 法的使用要求）由照度公式 Eav＝ＮΦUK∕A,根据规范要求，平均照 度应达到300Lx(允许10%误差)，已知光通量Φ为4800lm,面积A为 L*M=12×9=108m2,灯具维护系数K教室可取0.8，利用系数U,根据灯 具悬挂高度及墙面地面的材质情况，查阅灯具利用系数表，根据插值 法查取，U取0.6，则灯具个数N可推算出为12个，在12盏灯的情 况下，可计算平均照度Eav为288Lx,满足要求。 教室照明不仅要考虑平均照度，照明均匀度也至关重要。照明不