求出雪花曲线的面积

求出雪花曲线的面积

这个美丽的几何分形是由赫尔奇·冯·科克在1904年创造的。为了生成科克雪花曲线，先从一个等边三角形开始。把每一边分成三等分。取走中间的三分之一，在被取走线段处向外作出两边为此线段三分之一长度的尖角。重复这一过程得到各个尖角，以至无穷。

看来似乎矛盾的两个迷人的特性是——

·雪花曲线的面积是原来那个生成

它的三角形的面积的8/5；

·雪花曲线的周长是无穷大。

雪花曲线的面积是生成它的三角形

的面积的8/5的非正式证明如下。

Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。

Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。因此k=9a。

现在集中考虑确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。

Ⅲ．把这个尖角本身及其不断生成的各个尖角的面积相加如下：

Ⅳ．现在，把六个尖角中每一个所造成的面积相加，再加上原来的生成三角形内部的六边形，我们得到

Ⅴ．上式变成

方括弧内第二项开始的级数是几何级数，它的公比是4/9，首项是2/9，所以我们能计算它的极限：（2/9）／（1-（4/9））=2/5。

Ⅳ．代入级数的极限值2/5，我们得到

（1+2/5）6a+6a=72a/5。

现在我们需要把雪花曲线的面积用原来的生成三角形面积k来表示。因为

k=9a，我们得a=k/9。把这a值代入72a/5，我们得（72/5）（k/9）=（8/5）k。