求出雪花曲线的面积

Koch分形雪花图的面积计算

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim A rea (K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下：（1）Q1P 1+P P Q P 1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）TQ 2Q 1+Q 3-Q A ←⨯（1）; （3）P 5P 2P 2Q1P 3Q P Q 3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为：c o s ()s in ()33A =s in ()c o s ()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

Koch分形雪花图地面积计算

Koch 分形雪花图的面积计算一、问题叙述分形几何图形最基本的特征是自相似性，这种自相似性是指局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似。

在具有自相似性的图形中，图形局部只是整体的缩影，而整体图形则是局部的放大。

而本文我们要分析的是Koch 分形雪花图，包含以下三个问题：1.描述Koch 分形雪花2.证明Koch 分形雪花图K n 的边数为n 1L 34n -=⨯3.求Koch 分形雪花图的面积（数据），求n n lim Area(K )→∞二、问题分析在分析Koch 分形雪花图之前，我们首先介绍Koch 分形曲线。

Koch 分形曲线的绘制原理是：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成四条线段的折线，如图2.1所示：图2.1 对一条线段进行第一次Koch 分形然后，对形成的四条直线段的每一条的中间的三分之一部分用等边三角形的两边代替，形成十六条线段的折线。

这种迭代继续进行下去可以形成Koch 分形曲线。

在迭代过程中，图形中的点数将越来越多，而曲线的最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率。

设P1和P2分别是原始的两个端点，现在需要在直线段的中间依次插入点Q1，Q2,Q3以产生第一次迭代图形。

显然，Q1位于P1右端直线段的三分之一处，Q3位于P1点右端直线段的三分之二处，而Q2点的位置可以看作由Q3绕Q1逆时针旋转60度而得到的，故可以处理Q Q 13经过正交变换而得到Q Q 12 。

算法如下：（1）Q1P1+P P Q P1+P P /3;←←（2-1）/3;32（2-1）（2）T Q2Q1+Q3-Q A ←⨯（1）; （3）P5P2P2Q 1P3Q P Q3←←←←；；2；4。

在算法中，用正交矩阵A 构造正交变换，其功能作用是对向量作旋转，使之成为长度不变的另一向量。

在绘制Koch 曲线的过程中，取旋转的角度为3π，则正交矩阵A 应取为： cos()sin()33A=sin()cos()33ππππ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1.Koch 分形雪花的描述Koch 分形雪花的原始图形是等边三角形，它是由三条相等的线段围成的三角形。

8.7雪花曲线与分形云

（图11）
分形的创始人
——伯诺瓦•曼德布罗特
• 我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出了 fractal（分形）这个词。相应的拉丁文动词fragere 的意义是“使碎裂”：造成不规则的碎片。……多么符合我们的需要啊！这样，除了“分裂的”（像在“分数”或 “折射”中那样），fracus 还应该有“不规则的”之意，这两个意义都继承保留了下来。 ——伯诺瓦•曼德布罗特
• 前面介绍的科赫雪花曲线: 若把初始元(或生成元)E0“——”改为边长为1的等边三角形，对它的三边都反复施以同样的变换，直至无穷，最后所得图形称为科赫雪花曲线（图10）. 它被用作晶莹剔透的雪花模型.
（图10）
在科赫曲线构造过程的每一步，每次去掉中间的1/3，用边长为初始元E0 的1/3等边三角形的两边来代替时，如果用掷硬币的方法来决定新添上的部分位于被去掉部分的 “上边”或“下边”，经过几步后，会得到一个看起来相当不规则的随机科赫曲线，用它来模拟海岸线、国境线和城市边界线会更贴切.
谁创立了分形几何学
• 分形论的逐步成熟时基于一大批科学家历经约30年的不懈努力的结果，而曼德布罗特的开创性工作功不可没。 • 1973年，曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。 •
分形之父——曼德布罗特简介
• 1.生平简介 1924年出生在华沙的一个犹太家庭中，父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。 1936年迁往巴黎。他受的教育很不正规，时断时续，他自己说从来没有学过字母表。他当过车窗维修学徒工。然而当他回忆起个人的艰辛历程时，始终记住在学校里与老师成为朋友，其中有几位是因战争而流落的杰出学者。

雪花曲线说课稿

一、教学背景分析：本节课所学内容可以看作属于高一数学《数列》中的内容，《数列》是人教版教材中第三章的内容，在讲完了等比数列后开设本节研究课。

本节课通过研究大家熟知的雪花，分析它的形状、周长及其面积，来激发大家学习的兴趣，唤起大家对数学美的追求。

同时通过研究雪花曲线，将分形几何的内容逐步渗透到我们的教学中来，为以后的进一步学习打下铺垫。

二、教学目标：1．认知目标：①学会用等比数列解决实际问题；②了解雪花曲线，了解分形几何。

2．能力目标：①培养学生自我探究，自我发现的能力；②利用几何画板自我掌握新知识的能力；③同学之间相互协作的能力。

3．情感目标：①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；②培养学生对数学美的认识，对美的追求。

三、教法、学法：通过提出问题“雪花的形状如何？”引出话题，激起学生的兴趣，相互讨论得出结论，由老师给出科赫的雪花曲线构成方法，让学生在几何画板环境下作雪花曲线，以探求曲线形状。

雪花曲线的周长及其所围面积可通过讨论由学生来发现计算方法，老师在其中起引导作用。

本节课以学生为主来发现问题、解决问题，通过学生之间的讨论来达到对能力的培养。

四、教学重、难点：重点：对雪花曲线认识及其周长、所围面积的求法。

难点：雪花曲线的周长无限长，而面积是有限的，即无限的曲线围成一个有限的面积的认识。

五、教学程序：（一）创设情景，激起兴趣通过封面的雪花飘落，引出“雪花形状”这个话题，让学生自由探讨，发表自己对雪花的理解，以激起他们对研究雪花的兴趣。

（二）激烈讨论，引出话题曲线生长（5次）当同学们通过讨论，对雪花形状有了一个初步认识之后，由老师给出科赫的构造雪花曲线的方法，让学生使用几何画板作为工具来研究雪花曲线的形状。

雪花曲线是无限生长的，永无止境，老师使用已做好的课件来演示曲线的生长过程，对曲线放大，观察局部，引起学生对曲线自相似．．．的初步认识。

无限生长的曲线它的周长如何？所围面积如何？提出问题让学生进一步思考。

奇妙的雪花曲线

奇妙的雪花曲线教学目标:(知识目标)1 通过对雪花曲线周长、面积等问题的探究让学生了解数学知识的形成过程;2 使学生了解分形几何的有关内容。

(能力目标)1 通过系列的探究性活动，使学生了解提出和解决数学问题的方法;2 通过对雪花曲线等图形的探究提高学生应用数学的能力。

(情感目标)1 让学生感受数学来源于实践，又服务于实践的辨证唯物主义观点2 通过生活中的具体实例，培养学生对数学美的认识以及对大自然的热爱。

教学重点:探究雪花曲线的周长及其所围面积;教学难点:雪花曲线所围面积的计算方法的寻求;教学方法:引导探究式教学媒体:计算机教学过程设计:1一、问题背景:播放雪景的图片，提问雪花的形状如何,激发学生兴趣。

二、研究问题:如果把雪花想象成如图所示的正六角形，提问学生能否从一个等边三角形出发作出这样的图形。

接着进一步指出，雪花的形状其实非常复杂，右图是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线，提问学生能否仍然从等边三角形出发作出这样的一条雪花曲线,由学生讨论得出:在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形。

依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线了。

雪花曲线除了具有漂亮的外形，还蕴涵了哪些数学规律，这就是我们这节课要研究的内容(板书课题)2问题1:对雪花曲线作进一步思考，在雪花曲线的每一次生长中，相对于原三角形都发生了哪些变化,导学生发现它的边长、边数、周长和面积等都发生了变化。

问题2:逐步生长，探究周长的变化规律引导学生发现等边三角形的每一边在生长过程中所发生的变化都是相同的，因此可以只研究其中一条边的变化规律，从而找到解决问题的最优化策略。

让学生自主发现、互相讨论，共同寻找到规律:3得到周长的计算公式后可以提问学生:当n越来越大时，雪花曲线的周长会有什么变化,当原图中三角形的边长为1cm时，显然三角形的周长是3cm，n=33呢,n=82呢, 我们不妨用计算机计算出这样一组数据:n=33时，周长为39819.84cm，约为398米;10 n=82时，周长约为5.27×10cm。

雪花曲线面积公式

雪花曲线面积公式雪花曲线（snowflake curve）是一种分形曲线，具有类似于雪花的形状。

雪花曲线在科学、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

本文将详细介绍雪花曲线的面积公式、原理和实际应用场景。

一、雪花曲线的面积公式雪花曲线的面积公式是由德国数学家康托尔（Georg Cantor）最先发现的，即：S=\frac{3\sqrt{3}}{20}L^2S表示雪花曲线的面积，L表示雪花曲线的边长。

二、雪花曲线的原理雪花曲线是一种基于分形几何的曲线，具有自相似性和不规则性。

雪花曲线的生成是通过迭代过程得到的。

具体来说，生成一个雪花曲线需要以下几个步骤：Step 1：以一个正三角形为起点。

Step 2：将正三角形的每条边等分为3段，并将中间一段替换为两个边长相等、与中间一段成60度角的小正三角形，即在正三角形的每一条边上均生成一个小正三角形。

Step 3：对于每个小正三角形，重复Step 2的操作，直到达到所需的细节程度。

整个过程类似于“分形生长”，即通过不断重复根据一定规律生成新的形状。

这样生成的雪花曲线具有自相似性和不规则性，且细节层次丰富，看起来别具一格。

三、雪花曲线的实际应用场景1.计算机图形学雪花曲线是计算机图形学中常用的一种分形曲线，可以通过计算机程序生成。

由于雪花曲线具有自相似性和不规则性，可以给图形增加一定的复杂度和美感，因此在图形设计领域有着广泛的应用。

2.科学研究雪花曲线还被应用于物理、化学、生物等科学研究领域。

在材料科学中，雪花曲线可以用于研究材料表面的形貌、结构和性质。

在气象学中，雪花曲线可以用于模拟雪花的形状和降雪规律。

3.金融市场分析雪花曲线还可以应用于金融市场的波动性分析和预测。

利用雪花曲线的自相似性和不规则性，可以揭示金融市场存在的某些隐含规律或规律的破坏，进而预测市场的趋势和波动，为投资决策提供参考。

四、结语雪花曲线是一种基于分形几何的曲线，具有自相似性和不规则性，广泛应用于计算机图形学、科学研究、金融市场分析等领域。

趣味数学114：不可思议的“雪花曲线”

如果说有一种平面图形，它的面积是有限的而周长却是无限的，你相信吗？“雪花曲线”就是这样。

那么，什么是“雪花曲线”呢？“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始，一步一步作出来的。

第一步：把等边三角形的各边三等分，从每条边三等分后的中段，向外作小等边三角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。

为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变化”。

第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。

第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。

第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。

第五步、第六步……照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线”。

现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。

从以上过程可以看出，“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。

所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。

观察发现：规律一：每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括4条线段，所以，新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3；规律二：每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形的面积，是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)。

一、“雪花曲线”的面积：为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。

第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是1/9，增加的面积是3×1/9。

第二步以后，边数变成3×4，向外作了3×4个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)2，增加的面积是3×4×(1/9)2。

第三步以后，边数变成3×42，向外作了3×42个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)3，增加的面积是3×42×(1/9)3。

第四步以后，边数变成3×43，向外作了3×43个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)4，增加的面积是3×43×(1/9)4。

正三角形的两种分形的面积和周长

正三角形的两种分形的面积和周长四川省德阳中学（618000）刘桂林在华师大版数学八年级(下)第85页上有正三角形的两种分形。

学生在阅读这部分材料时，对图形的自相似现象发生了浓厚的兴趣，提出了较多问题。

尤其希望知道等边三角形的外部相似图形（最后得雪花曲线）和内部自相似图形的周长和面积。

下面就此问题作出探讨。

1、将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形。

然后以其两腰代替底边。

再将六角形的每边三等分，重复上述作法。

如此继续下去，就得到雪花曲线（如下图所示）。

下面求雪花曲线所围图形的面积和雪花曲线的周长。

图1解：①设正三角形的边长为a，原正三角形的面积为2213224S a a a ==，第一次分形后的总面积为1S ，第二次分形后的总面积为2S ，…，第n 次分形后的总面积为n S ，则有： 214221126332212111343()34913443()()34913443()()34913443()()349n n n n n n S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S ---=+=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯因为 …… 2334444[()()()]49999n n S S S =+++++所以　…2244[1()]399441934[1()]593343[1()]55948343[()]559n n n n S S S S a a ⨯-=+-=+-=+-=-所以雪花曲线所围图形的面积为 228lim 5n n S →∞== ．②设正三角形的边长为a ，原正三角形的周长为3a ，第一次分形后的周长为1C ，第二次分形后的周长为2C ，…，第n 次分形后的周长为n C ，则有：1222123332111114333331443()()3331443()()333144443()()3()()33333n n n n n n n C a a a C C a a C C a a C C a a a a ----=+==+⨯==+⨯==+⨯=+=……由分形后的周长通项公式4()33n n C a =可知，数列{}n C 为一个无穷递增数列，所以雪花曲线的周长为无穷大。

专题16 数列(选填压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

中
a1
1，数列
anan1
的前
n
项和为 Tn，若Tn≥10
恒成立，则
的最小值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．20
10．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，首项 a1 0 ，公差 d 0 ，
若对任意的 n N ，总存在 k N ，使 S2k1 (2k 1)Sn ．则 k 9n 的最小值为（）
18．（2022·浙江·高二期末）已知数列an 满足 a1 0 ，对于每一个 n N* ，a4n3 ，a4n2 ，a4n1
构成公差为
2
的等差数列，
a4n1
， a4 n
， a4 n1
构成公比为
1 3
的等比数列，若
n
N*
，不等式
t2 an2 4t 4an 0 恒成立，则正整数 t 的最小值为______.
S n ___________（用含 n 的代数式表示）.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知有穷数列 an 各项均不相等，将 an 的项从大到小重
新排序后相应的项数构成新数列bn，称数列bn 为数列an 的“序数列”.例如数列 a1 ， a2 ，
a3 满足 a1 a3 a2 ，则其序数列bn 为 1，3，2.若有穷数列dn 满足 d1 1 ， dn1 dn
T2022 2022 S2022
0
成立．关于上述两个命题，
以上说法正确的是______．（填写序号） 20．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设正整数 n a0 70 a1 7 a k1 7 k1 a k 7 k ，其中
ak 0,1, 2,3, 4,5, 6 ，记 n a0 a1 ak , S n 1 2 7n ，当 n 6 时，

《雪花曲线》说课稿

江苏省前黄高级中学曹锁明一、教学背景分析：本节课所学内容可以看作属于高一数学《数列》中的内容，《数列》是人教版教材中第三章的内容，在讲完了等比数列后开设本节研究课。

本节课通过研究大家熟知的雪花，分析它的形状、周长及其面积，来激发大家学习的兴趣，唤起大家对数学美的追求。

同时通过研究雪花曲线，将分形几何的内容逐步渗透到我们的教学中来，为以后的进一步学习打下铺垫。

二、教学目标：1．认知目标：①学会用等比数列解决实际问题；②了解雪花曲线，了解分形几何。

2．能力目标：①培养学生自我探究，自我发现的能力；②利用几何画板自我掌握新知识的能力；③同学之间相互协作的能力。

3．情感目标：①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；②培养学生对数学美的认识，对美的追求。

三、教法、学法：通过提出问题“雪花的形状如何？”引出话题，激起学生的兴趣，相互讨论得出结论，由老师给出科赫的雪花曲线构成方法，让学生在几何画板环境下作雪花曲线，以探求曲线形状。

雪花曲线的周长及其所围面积可通过讨论由学生来发现计算方法，老师在其中起引导作用。

本节课以学生为主来发现问题、解决问题，通过学生之间的讨论来达到对能力的培养。

四、教学重、难点：重点：对雪花曲线认识及其周长、所围面积的求法。

难点：雪花曲线的周长无限长，而面积是有限的，即无限的曲线围成一个有限的面积的认识。

五、教学程序：（一）创设情景，激起兴趣通过封面的雪花飘落，引出“雪花形状”这个话题，让学生自由探讨，发表自己对雪花的理解，以激起他们对研究雪花的兴趣。

（二）激烈讨论，引出话题当同学们通过讨论，构造雪花曲线的方法，花曲线是无限生长的，永无止境，对曲线放大，观察局部，（三）逐步生长，探究周长引导学生使用数列来研究，相互讨论，所围的面积是否无限？从而激起学生进一步的争论，引出下一个问题。

（四）继续深入，探求面积通过雪花曲线的逐步生长，引导学生寻求面积的计算方法。

可让学生使用几何画板来生长曲线，寻找规律。

小学题目什么求雪花周长

小学题目什么求雪花周长
篇1
雪花周长计算公式(4/3)^n
面积计算公式1+(4/9)×3+(4/9)^2×3+(4/9)^3×
3+~~~+(4/9)^n×3
雪花曲线是科赫曲线的俗称,为了纪念科赫所以叫科赫曲线。

由于经过多次变化后形状有点像雪花,所以很多人叫它雪花曲线。

篇2
有人提出新的概念叫分形几何。

也叫科赫雪花曲线。

其实这个问题并不难理解，下边通过一个举例，大家就明白了。

画一个等边三角形，设它的边长为1，在每条边上分为三等份，再把每条边上的中间那一小段涂掉，画上一个角，一个角具有两条边，这祥原来的等边三角形就变成了一个正六角形，它的周长是原三角形周长的4/3倍（三分之四倍）。

如果把六角形再照此画法画出来，就象一片雪花，它的周长是六角形周长的4/3倍，照此继续画下去，它的周长就无限的扩大。

如果用式子表示它的周长，周长=3X4/3X4/3X4/3。

根据这种画法与计算，所以说雪花的周长是无限的。

对于它的面积来说是有限的，因为无论扩展多大，都可以把它包围进行计算。

雪花曲线的面积python

雪花曲线的面积python雪花曲线的面积Python介绍雪花曲线是一个有趣而复杂的几何形状，它可以用来挑战计算机编程的技能和想象力。

在本文中，我们将介绍如何使用Python编程语言计算雪花曲线的面积。

算法要计算任何形状的面积，我们需要使用数学公式。

对于雪花曲线，我们可以使用以下公式：S = 3 x (sqrt(3) / 4) x a^2其中，a是雪花曲线的边长。

该公式假定雪花曲线是由等边三角形组成的。

这个公式可以在Python中轻松实现。

代码以下是用Python代码实现计算雪花曲线面积的例子。

我们使用Turtle 库绘制一个雪花曲线并计算其面积。

```import turtleimport matht = turtle.Turtle()t.speed(0)def snowflake_side(length, levels): if levels == 0:t.forward(length)returnlength /= 3.0snowflake_side(length, levels-1) t.left(60)snowflake_side(length, levels-1) t.right(120)snowflake_side(length, levels-1) t.left(60)snowflake_side(length, levels-1)def snowflake(length, levels):for i in range(3):snowflake_side(length, levels) t.right(120)def snowflake_area(length, levels): snowflake(length, levels)area = 3 * math.sqrt(3) / 2 * (length ** 2)return areaprint(snowflake_area(300, 4))turtle.mainloop()```上述代码使用snowflake_area()函数计算雪花曲线的面积。

2023-2024学年福建省泉州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年福建省泉州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l 1的倾斜角为60°，且与直线l 2垂直，则直线l 2的斜率为（） A ．√3B ．−√3C ．√33D ．−√332．已知数列{a n }满足a 1=12，a n +1=11−a n（n ∈N *），则a 5的值为（）A ．2B ．12C ．−12D ．﹣13．椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为24cm 的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为（） A ．24cmB ．48cmC ．72cmD ．96cm4．四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，PC ⊥平面ABCD ，M 在棱PC 上，|AD →|=2，则AM →⋅BC →=（） A ．﹣4B ．4C ．−3√2D ．3√25．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 为双曲线上的任意一点，若PF 1→⋅PF 2→的最小值为﹣a 2，则双曲线的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．2D ．36．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 12＜S 11＜S 13，则使S n ＞0的最小整数n ＝（） A ．12B ．13C ．24D ．257．已知A （0，﹣1），B （0，2），若直线l ：y ＝ax +2上有且只有一点P 满足|PB |＝2|P A |，则a ＝（） A ．√33B ．√3C ．√33或−√33D ．√3或−√38．棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD ，C 1B 1的中点，点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上运动，若MP ⊥CN ，则AP 的最大值为（） A ．4B ．6C ．√33D ．√41二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

雪花曲线的面积公式

雪花曲线的面积公式雪花曲线的面积公式一、雪花曲线简介雪花曲线，又称科赫曲线，是一种自相似的分形曲线。

其发明者是瑞典数学家科赫（Helge von Koch），于1904年提出。

雪花曲线的构造方法为：将一条长度为l的线段中间1/3处割去，再在剩下的每一段线段上重复这个过程，直到不可再分。

最终形成的曲线，是由四条长度相等的直线段组成的，它们包含着六个小三角形，每个小三角形都相似于原始大三角形，且其边长为原始大三角形的1/3。

二、雪花曲线的性质1. 长度无限雪花曲线是一条无限长的曲线，在构造过程中，每条线段都会被无限次的分割，因此曲线的长度也是无限的。

2. 面积有限尽管雪花曲线的长度无限，但其面积是有限的。

由于雪花曲线是在平面直角坐标系中构造的，因此可以用面积来衡量曲线所占用的空间。

研究表明，雪花曲线的面积是有一个固定的数值，即：⅔l²√3，其中l表示原始大三角形的边长。

3. 构成自相似自相似是指一条曲线在任意尺度下具有相同的形状。

雪花曲线是一条自相似的曲线，无论对其哪个部分进行放大或缩小，都能看到完全相同的形状。

三、雪花曲线的面积公式雪花曲线的面积公式是⅔l²√3，其中l表示原始大三角形的边长。

该公式的推导过程比较复杂，需要用到高等数学中的一些知识，例如积分、极限等。

不过，雪花曲线的面积公式也可以通过其他方法来推导，例如使用等比数列等知识，这些方法更加简便易懂，适合于初学者。

在推导出雪花曲线的面积公式后，就可以用它来计算雪花曲线的面积了。

如果知道原始大三角形的边长l，就可以按照公式计算出其面积。

在计算过程中，需要注意单位的转换，确保最终的结果是一个面积值。

四、结语雪花曲线是一个极具美感和深度的数学对象，它的面积公式是高等数学中的经典结果之一。

通过了解雪花曲线的性质和推导其面积公式，可以更深入地了解分形理论和数学中的一些基本知识。

科赫雪花曲线的面积

科赫雪花曲线的面积
科赫雪花曲线是17世纪荷兰数学家科赫出名的一种几何曲线，由六角形和二十三边形的
螺旋组成。

科赫雪花曲线有着独特的美丽，很多艺术家使用它作为作品的主题。

另外，科
赫雪花曲线也有很强的数学性质，特别是它的面积。

虽然这个曲线看似无限，但它的面积
是有限的。

科赫雪花曲线的面积可以以英尺或米来衡量，它也可以由一些特殊的公式来计算，比如说
L'Huillier公式或Gosper公式。

这些公式可以计算出科赫雪花曲线的面积，而且结果是一
定的。

虽然它看似无穷，但实际上，科赫雪花曲线的面积是有界的，取决于曲线的复杂程度。

基于定义，科赫雪花曲线的面积是有限的，用英尺衡量它的面积约为1692，而用米衡量
它的面积大约为1693.7。

而从公式来看，科赫雪花曲线的面积可以由公式精确的计算出来。

总的来说，科赫雪花曲线的面积有限，取决于曲线的复杂程度及公式的使用。

科赫雪花曲线不仅是一种独特的几何曲线，它有独特的美丽，也有很强的数学性质。

特别
是它的面积，尽管看似无限，但它的面积是有限的，而从定义和公式来看，可以精确计算
出它的面积并有所限定。

雪花曲线中的科克数学问题

雪花曲线中的科克数学问题（i ）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图（2）；（ii ）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；（iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线（koch snowflake ）·····（1）（2）（3）（4）（5）设图（1）中的等边三角形的边长为1，并分别将图（1）、（2）、（3）···中的图形依次记作1M 、2M 、3M 、···。

（1）求n M 中的边长n N ；（2）求n M 中每条边的长度n T ；（3）求n M 的周长n L ；（4）求n M 所围成的面积n S ；（5）求周长和面积的极限。

解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现：（1）因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以n N 的递推公式为1143{n n N N N -==，()2n ≥，其通项公式为134n n N -=⋅（2）因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的13，所以n T 的递推公式为11131,{(2)n n T T T n -==≥。

其通项公式为 113n n T -⎛⎫= ⎪⎝⎭。

（3）因为nn n L N T =⋅，所以n L 的通项公式为1433n n L -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭。

（4）为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作1A则1A =。

当由1n M -生成n M 时，在1n M -的每一条边上多了一个面积为21nT A 的小等边三角形，这些小等边三角形的面积之和为211n nN T A -，其中1A的面积为4。

于是得到科克雪花曲线面积的递推公式：2111n n n n A A N T A --=+22221111n n n n n A N T A N T A ----=++···()2221122311n n A N T N T N T -=++++.把111113,1,,34,23n n n n N T T N n --⎛⎫====⋅≥ ⎪⎝⎭代入上式，经简化得21134********n n A A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21134441149993n A -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1394114593nA ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=-+⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭14209n-⎛⎫= ⎪⎝⎭容易验证：1243A A==等。