高考数学微专题6答案
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微专题6
例题1 答案：8.
解析：由sin A ＝sin (π－A)＝sin (B ＋C)＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin A ＝2sin B sin C ，可得sin B
cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C.由三角形ABC 为锐角三角形，则cos B ＞0，cos C ＞0，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C.
又tan A ＝－tan (π－A)＝ －tan (B ＋C)
＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ，则tan A tan B tan C ＝
tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，由A ，B ，C 为锐角可得tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，
即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ，即tan B ＝2＋2，tan C ＝2－2，tan A ＝4(或tan B ，tan C 互换)时取到等号，因此tan A tan B tan C 最小值为8.
变式联想
变式1 答案：
6－2
4
. 解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b
＝2c ，
所以cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝
a 2
＋b 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋2b 222ab
＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ≥
2
34a 2×12b 2－22
ab 2ab
＝
6－24，当且仅当34a 2＝12b 2时，即a
b
＝2
3时等号成立，所以cos C 的最小值为6－2
4. 变式2 答案：811.
解析：由S ＝12bc sin A ，得bc ＝4
sin A .又
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，所以a 2＋2b 2＋3c 2＝3b 2＋4c 2－2bc cos A ≥23b 2·4c 2－2bc cos A ＝bc ()43－2cos A ＝8（23－cos A ）
sin A
.
令f(A)＝8（23－cos A ）
sin A ，
A ∈(0，π)，f ′(A)
＝8（1－23cos A ）sin 2A ，令f′(A)＝0，解
得cos A ＝123，sin A ＝11
23
，由单调性可知
此时
f(A)取得最小值为811.
当且仅当3b ＝2c 且cos A ＝1
23时取等
号，则a 2＋2b 2＋3c 2的最小值为811.
串讲激活
串讲1 答案：3.
解析：设∠CBA ＝α，AB ＝BD ＝a ，则在△BCD 中，由余弦定理可知CD 2＝2＋a 2＋22sin α，在三角形ABC 中，
由余弦定理可知cos α＝a 2＋1
22a ，
可得sin α＝－a 4＋6a 2－1
22a
，所以CD 2
＝2＋a 2＋
－a 4＋6a 2－1，令t ＝2＋a 2，则CD 2
＝t ＋
－t 2＋10t －17＝t ＋ －（t －5）2＋8≤2·
（t －5）2＋[－（t －5）2＋8]＋5＝9，当(t －5)2＝4时等号成立．∴CD 的最大值为3.
串讲2
答案：(1)π
3
；(2)2.
解析：(1)由条件可知a(sin A －
sin B)＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理可得a 2
＋b 2－c 2＝ab ，又由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
，C ∈(0，π)， 在△ABC 中可得C ＝π3
.
(2)由m tan C ＝1tan A ＋1
tan B
，可得m ＝
⎝⎛⎭
⎫1tan A ＋1tan B tan C ， 即m ＝
sin C
cos C
⎝⎛⎭
⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝
sin C cos C
×
cos A sin B ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin C
cos C
×sin C sin A sin B .由正、余弦定理可得m min
＝c 2ab ×1cos C ＝2c 2ab
＝ 2（a 2＋b 2－ab ）
ab
＝
2⎝⎛⎭
⎫b a ＋a
b －1≥2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以实数m 的最小值为2.
新题在线
答案：(1)S ＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫
43－3cos α2sin α＋32，α∈⎝⎛
⎭⎫
π3，2π3；
(2)AD ＝5＋5
10
时，S 最小．
解析：(1)在△ABD 中，由正弦定理得
1sin α＝BD sin
π3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，所以BD ＝3
2sin α，AD ＝3cos α2sin α
＋12，
则S ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α
＋12＋ 2a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α
＋12＋
4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，由题意得α∈⎝⎛
⎭⎫
π3，2π3.
(2)令S′＝3a·1－4cos α
sin 2α＝0.设cos α
＝14
.
所以当cos α＝1
4时，S 最小，此时sin
α＝15
4，AD ＝3cos α2sin α
＋12＝5＋510.