2020届江苏省泰州市第二中学高三下学期5月学情调研数学试题(解析版)

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2020届江苏省泰州中学高三下学期五模考试数学试卷及解析

2020届江苏省泰州中学高三下学期五模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题1. 已知集合{}0A x x =,{}1,0,1,2B =-,则A B ⋂等于．【答案】{}1,2试题分析：{}{}{}|01,0,1,21,2A B x x ⋂=>⋂-=2. 设i 是虚数单位,复数z 满足 (34)43i z i +=-,则复数z 的虚部为_____．【答案】1-【解析】利用复数的除法运算求得z ,由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()4334432534343425i i i i z i i i i ----====-++-,所以z 的虚部为1-. 故答案为：1-3. 执行下图的程序框图,如果输入6i =,则输出的S 值为．【答案】21试题分析：由题意,012345621S =++++++=．4. 函数232x x --的定义域是 .【答案】[]3,1-试题分析：要使函数有意义,需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤,函数定义域为[]3,1-5. 若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在1,2号盒子中各有一个球的概率是．【答案】29.试题分析：将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,共有33=9⨯种方法,其中在1,2号盒子中各有一个球有21=2⨯种方法,因此所求概率是2.9 6. 若x ,y 满足不等式组1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则32x y +的最大值为______.【答案】3【解析】画出不等式组表示的平面区域,数形结合即可求得目标函数的最值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数32z x y =+,即322z y x =-+与直线32y x =-平行. 数形结合可知,当且仅当目标函数过点()1,0A 时,取得最大值.故3max z =.故答案为：3.7. 已知两条直线m ,n ,两个平面α,β,给出四个命题：①若//m n ,m α⊥,则n α⊥ ②若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n③若//m α,m β⊥,则αβ⊥ ④若αβ⊥,//m α,则m β⊥其中正确命题的序号是_____．【答案】①③【解析】根据直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】对①,由线面垂直的性质以及判定定理可知,①正确；对②,若//αβ,m α⊂,n β⊂,则,m n 异面或者平行,②错误；对③,由面面垂直的判定定理可知,③正确；对④,若αβ⊥,//m α,则m 可能在β内或与β平行或与β相交,④错误；故答案为：①③8. 等差数列{}n a 的公差为2,n S 是数列{}n a 的前n 项的和,若2040S =,则135719a a a a a ++++=_________．【答案】10【解析】利用等差数列奇数项的和与偶数项的和的关系即可求解.【详解】等差数列{}n a 的公差为2,2040S =,则201231920S a a a a a =+++++ 1351719241820a a a a a a a a a =+++++++++ 1351719131719a a a a a a d a d a d a d =+++++++++++++ ()135171921040a a a a a d =+++++=, 解得13571910a a a a a ++++=.故答案为：10 9. 已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】求出抛物线的焦点坐标,根据题意可以知道双曲线的右焦点坐标,结合双曲线标准方程中,,a b c 之间的关系求出b 的值,最后利用双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】因为抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0),所以双曲线22214x y b -=的右焦点也是(3,0),即3c =,而222294c a b b b =+⇒=+⇒=,所以该双曲线的渐近线方程为2y x =±.故答案为：y x =10. 在平面直角坐标系xOy 中,直线1:40l kx y -+=与直线2:30l x ky +-=相交于点P ,则当实数k 变化时,点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为__________．【答案】92【解析】判断出P 点的轨迹,然后根据直线和圆的位置关系,求得P 到直线43100x y -+=的距离的最大值.【详解】设直线1l 与y 轴交于()0,4A ,直线2l 与x 轴交于()3,0B,5AB ==. 当0k =时,直线1l 为4y =,直线2l 为3x =,所以两条直线的交点为()13,4P .当0k ≠时,两条直线的斜率分别为k 、1k-,斜率乘积为1-,故12l l ⊥,所以P 点的轨迹是以AB 为直径的圆（除,A B 两点外）.设以AB 为直径的圆的圆心为3,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径522AB r ==,圆的方程为()22235222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点()13,4P 满足圆的方程.综上所述,点P 点的轨迹是以AB 为直径的圆（除,A B 两点外）.圆心C 到直线43100x y -+=的距离为2d ==.所以点P 到直线43100x y -+=的距离的最大值为59222d r +=+=. 故答案为：92. 11. 已知点P 在ABC 内,且满足1134AP AB AC =+,设PBC 、PCA 、PAB △的面积依次为1S 、2S 、3S ,则123::S S S =______．【答案】5:4:3【详解】因为()()11113434AP AB AC PB PA PC PA =+=-+-,所以5430PA PB PC ++=,所以123::5:4:3S S S =．12. 已知函数()24,0,{3,0,x x x f x x x -≥=<若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点,则实数b 的取值范围为__________．【答案】1(,6)(,0]4-∞-⋃- 【解析】求出函数()f x 的解析式,分别画出函数()f x 与3y x b =-的图象,将函数()()3g x f x x b =-+有三个零点转化为函数()f x 与3y x b =-的图象的交点有三个求解即可【详解】3y x b =-与3(0)y x x=-<相切时6b =- （正舍）,3y x b =-与()2404y x x x =-≤≤相切时14b =- , 3y x b =-与24(4)y x x x =->不相切.由图可知实数b 的取值范围为(),6-∞-⋃ 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为()1,6,04⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦. 13. 已知函数()sin(2)6f x x π=-,若方程3()5f x =的解为1212(,0)x x x x π<<<,12sin()x x -=____________．【答案】45- 【解析】根据122266x x πππ-+-=,可得2123x x π=-,所以121sin(cos(2)6)x x x π-=--,再根据角的范围和同角公式可得结果.【详解】依题意可知,123sin(2)sin(2)665x x ππ-=-=, 因为120x x π<<<,所以1211226666x x ππππ-<-<-<, 所以122266x x πππ-+-=,所以1223x x π+=,所以2123x x π=-, 所以1212sin()sin(2)3x x x π-=-1sin(2)62x ππ=--1cos(2)6x π=--, 因为2123x x π=-1x >,所以103x π<<,所以12(,)662x πππ-∈-,所以14cos(2)65x π-===, 所以124sin()5x x -=-. 故答案为：45-. 14. 已知1x ,2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-,m R ∈的两个极值点,若12x x <,则()12f x x 的取值范围为______．【答案】3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】先由题得所以12121,2m x x x x +=⋅=,1102x <<.化简得()12f x x =111111)2ln 1x x x x -+--（,再构造函数1)x x -+g()=（1112ln (0)12x x x x -<<-,利用导数求函数的值域即得解. 【详解】由题得函数的定义域为(0,)+∞,21()22(22)m f x x x x m x x'=+-=-+, 所以12,x x 是方程2220x x m -+=的两个实数根, 所以12121,2m x x x x +=⋅=, 因为12x x <,1>0x ,所以112021x x x <<+=, 所以1102x <<. 所以()2211111121222ln 2(1)2ln 1=f x x m x x x x x x x x x +--+-= =111111)2ln 1x x x x -+--（记1111)2ln (0)12x x x x x x -+-<<-g()=（, 所以22211()12ln 2ln()(1)(1)g x x ex x x '=-++-=--- 由102x <<2201,ln()04e ex ex ⇒<<<∴<, 所以()0,()g x g x '<∴在1(0)2，单调递减, 又由洛必达法则得当0x →时,21ln ln 011x x x x x x x===-→-,即00lim(ln )0,lim ()0x x x x g x →→=∴=1113()ln 2ln 22222g =+-=--, 所以函数g(x)的值域为3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 即()12f x x 的取值范围为3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题15. ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知cos cos ()cos b A c B c a B -=-.（1）求B 的大小；（2）若D 在BC 边上,22BD DC ==,ABC ∆的面积为求sin CAD ∠.【答案】（1）3B π=（2）13 【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件,然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换,由此求得cos B 的值,进而求得B 的大小.（2）利用三角形ABC 的面积求得c ,由余弦定理求得AD ,利用勾股定理证得AD BD ⊥,由此求得AC 进而求得sin CAD ∠的值.【详解】（1）因为cos cos ()cos b A c B c a B -=-,所以sin cos sin cos (sin sin )cos B A C B C A B -=-,所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=,即sin()2sin cos A B C B +=,因为在ABC ∆中,A B C π+=-,(0,)C π∈,所以sin 2sin cos C C B =,且sin 0C ≠, 所以1cos 2B =, 因为(0,)B π∈,所以3B π=.（2）因为22BD DC ==,所以1BD =,1CD =,3BC =,因为ABC ∆的面积为所以13sin 23c π⨯=解得4c =,由余弦定理得AD ===所以(22222216AD BD AB +=+==,即AD BD ⊥,所以2213AC AD BD =+=,所以13sin CD CAD AC ∠==.16. 如图,在四棱锥PABCD 中,M 是PA 上的点,ABD △为正三角形,CB CD =,PA BD ⊥．（1）求证：平面MBD ⊥平面PAC ；（2）若120BCD ∠=︒,//DM 平面BPC ,求证：点M 为线段PA 的中点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取BD 的中点O ,连结OA ,OC ,可证AC BD ⊥,又由PA BD ⊥,可得BD ⊥平面PAC,即可得证；（2）取AB 的中点N ,连结MN 和DN ,首先可得AB BC ⊥,DN AB ⊥,所以DN //BC ,即可得到//DN 平面BPC ．又由//DM 平面BPC ,可得平面//DMN 平面BPC ．根据面面平行的性质可得//MN PB ,即可得证；【详解】（1）取BD 中点O ,连结OA ,OC ,∵ABD △为正三角形,∴OA BD ⊥．∵CB CD =,∴OC BD ⊥．在平面ABCD 内,过O 点垂直于BD 的直线有且只有一条,∴A ,O ,C 三点共线,即AC BD ⊥．∵PA BD ⊥,AC ,PA ⊂平面PAC ,AC PA A ⋂=,∴BD ⊥平面PAC ．∵BD ⊂平面MBD ,∴平面MBD ⊥平面PAC ．（2）取AB 的中点N ,连结MN 和DN ,因为120BCD ∠=︒,且BC DC =,所以30CBD ∠=︒ 所以90ABC ∠=︒,即AB BC ⊥． ∵ABD △为正三角形,∴DN AB ⊥．又DN ,BC ,AB 共面,∴//DN CB ． ∵DN ⊄平面BPC ,CB ⊂平面BPC , ∴//DN 平面BPC ．∵//DM 平面BPC ,DN ,DM ⊂平面DMN , ∴平面//DMN 平面BPC ．∵MN ⊂平面DMN ,∴//MN 平面BPC ． ∵MN ⊂平面PAB ,平面PAB ⋂平面BPC=PB, ∴//MN PB ．∵N 是AB 的中点,∴M 为线段PA 的中点．17. 已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>6焦距为22k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B ．（1）求椭圆M 的方程；（2）设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ,D 和点71(,)42Q -共线,求k ．【答案】（1）2213x y +=；（2）2k =.【解析】（1）根据离心率和焦距求得,c a ,由此求得b ,进而求得椭圆M 的标准方程.（2）设出直线PA 的方程,联立直线PA 的方程和椭圆方程,写出根与系数关系,进而求得C 点的坐标,同理求得D 点坐标.求得QC 、QD ,结合,,Q C D 三点共线列方程,化简求得k 的值. 【详解】（1）由题意得2c =,所以c =又3c e a ==,所以a =所以2221b a c =-=, 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y ,则221133x y +=①,222233x y +=②, 又(2,0)P -,所以可设1112PA y k k x ==+, 直线PA 的方程为1(2)y k x =+,由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得： 2222111(13)121230k x k x k +++-=,则2113211213k x x k +=-+,即2131211213k x x k =--+, 又1112y k x =+,代入①式可得13171247x x x --=+, 所以13147y y x =+,所以1111712(,)4747x y C x x --++, 同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)42QC x y =+-,4471(,)42QD x y =+-, 因为,,Q C D 三点共线,所以34437171()()()()04242x y x y +--+-=,将点,C D 的坐标代入化简可得12122y y x x --=,即2k =．18. 某市开发了一块等腰梯形的菜花风景区ABCD （如图）．经测量,AB 长为2百米,CD 长为6百米,AB 与CD 相距2百米,田地内有一条笔直的小路EF （E 在BC 上,F 在AD 上）与AB 平行且相距0.5百米．现准备从风景区入口处A 出发再修一条笔直的小路AN 与BC 交于N ,在小路EF 与AN 的交点P 处拟建一座瞭望塔．（1）若瞭望塔P 恰好建在小路AN 的中点处,求小路AN 的长；（2）两条小路EF 与AN 将菜花风景区划分为四个区域,若将图中阴影部分规划为观赏区．求观赏区面积S 的最小值．【答案】（110（2）324-）平方百米．【解析】（1）过点P 、N 、C 分别做AB 的垂线,垂足分别为Q 、M 、G ,在直角三角形AMN 中,结合勾股定理,即可求解；（2）以直线CD 所在直线为x 轴,边CD 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设13(,) , [0,)22P t t ∈,得出面积2123221t t S t -+=⋅+,结合基本不等式,即可求解.【详解】（1）过点P 、N 、C 分别做AB 的垂线,垂足分别为Q 、M 、G , 因为P 是AN 的中点,所以21MN PQ ==,由已知条件易知CBG 是等腰直角三角形,所以1BM MN ==, 所以213AM AB BM =+=+=,在直角三角形AMN 中,由勾股定理得22223110AN AM MN +=+=, 答：小路AN 10（2）以直线CD 所在直线为x 轴,边CD 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设13(,) , [0,)22P t t ∈,则直线1:(1)2(1)AP y x t =++, 联立直线:1BC y x =-,得221N y t =+, 所以PEN △的高为21322122(21)tt t --=++, 所以21311332123()()222222(21)221t t t S t t t t --+=⋅+⋅+⋅-⋅=⋅++,令21[1,4)t m +=∈,则213818332444m m S m m m -+⎛⎫=⋅=⋅+-≥- ⎪⎝⎭, 所以当22m =即122t =-时,S 的最小值为324-．答：观赏区面积S 的最小值为（324-）平方百米．19. 已知函数()2(2)x x f x ae e a x -=++-,（a R ∈,e 是自然对数的底数）．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时,()(2)cos f x a x ≥+,求a 的取值范围．【答案】（1）分类讨论,详见解析；（2）[2,)+∞. 【解析】（1）求得()f x ',然后对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论,由此求得()f x 的单调区间. （2）首先令2x π=,代入()(2)cos f x a x ≥+,求得a 的一个取值范围.构造函数()()(2)cos g x f x a x =-+,利用()g x 的导函数()g x '研究()g x 的最小值,由此求得a 的取值范围.【详解】（1）2(2)2()2(2)x x xxx ae a e f x ae e a e -+--'=-+-=()()21x x x ae e e-+=, 当0a ≤时,()0f x '<,函数()f x 在R 上递减；当0a >时,由()0f x '<,解得2ln x a <,故函数()f x 在2(,ln )a-∞上单调递减, 由()0f x '>,解得2lnx a >,故函数()f x 在2(ln ,)a+∞上单调递增．综上所述,当0a ≤时,()f x 在R 上递减；当0a >时,()f x 在2(,ln )a -∞上递减,在2(ln ,)a +∞上递增. （2）当2x π=时,()22()2(2)02cos222f ae ea a πππππ-=++-⋅≥=+,即222()02e a e ππππ+≥->,故0a >,令()()(2)cos g x f x a x =-+2(2)c (2s )o x x ae e a x x a -=++--+,则22()(2)(2)sin x xae g x a a x e -'=+-++, 若2a ≥,则当[0,]x π∈时,()0g x '≥, 函数()g x 在[0,]π上单调递增, 当(,)x π∈+∞时,()2(2)(2)x x g x ae e a a -'≥-+--+2244404ae e a ππ-≥--≥-->, ∴当[0,)x ∈+∞时,()g x 单调递增,则()(0)0g x g ≥=,符合题意；若02a <<,则(0)2(2)0g a '=-<,()2(2)(2)24x x x x g x ae e a a ae e --'≥-+--+=--,由240x x ae e ---=得20x lna+=>,故(0g '≥, ∴存在0(0,x ∈,使得0()0g x '=,且当0(0,)x x ∈时,()0g x '<,()g x ∴在0(0,)x x ∈上单调递减,∴当0(0,)x x ∈时,()(0)0g x g <=,不合题意,综上,实数a 的取值范围为[2,)+∞．20. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列,数列{}n b 是公比不为1的等比数列,且满足122a a b +=,233a a b +=,454a a b +=（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）令*2211()(1)(1)n n n n n n n a b c n N a b a b ++++=∈++,记数列{}n c 的前n 项和为n S ,求证：对任意的*n N ∈,都有413n S <<；（3）若数列{}n d 满足11d =,1n n n d d b ++=,记12nkn k kd T b ==∑,是否存在整数λ,使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由．【答案】（1）12(1)21n a n n =+-=-,1222n nn b -=⋅=；（2）证明见解析；（3）存在整数5λ=,使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立,理由见解析. 【解析】（1）利用等差等比数列的基本量表示已知条件,解方程组得到基本量,利用等差等比数列的通项公式得到答案；（2）根据（1）的结论得到数列{}n c 的通项公式,利用指数的运算裂项,相消求和后得到n S 的表达式,判定单调性,然后利用不等式的基本性质即可证明；（3）假设存在满足要求的整数λ,取1,2,3n =得到λ的范围,进而求得λ的值为5,然后证明当5λ=时,对任意的*n N ∈,都有212nn nd T b λ≤-<成立．为此先要根据1n n n d d b ++=,利用等比数列的求和公式,求得114=22nn n T T +⎛⎫+- ⎪⎝⎭,结合11114n n n n T T d +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求得11152()24nn n n T d +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则1213122327d b qd b q d b q +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,所以1212(1)4(1)d b q q d b q q =-⎧⎨=-⎩, 因为1,0q ≠,所以2q．所以11122234278d b d b d b+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得12d b ==所以12(1)21n a n n =+-=-,1222n nn b -=⋅=．（2）因为2211(1)(1)n n n n n n n a b c a b a b ++++=++21(23)2[(21)21][(21)21]n n n n n n +++=-⋅+⋅+⋅+ 1114(21)21(21)21n n n n +⎡⎤=-⎢⎥-⋅++⋅+⎣⎦ 所以123n n S c c c c =+++122311114()()112132132152⎡=-+-+⎢+⋅+⋅+⋅+⋅⎣111()1(21)21(21)2n n n n +⎤+-⎥+-⋅++⋅⎦11114(1121(21)2n n +⎡⎤=-⎢⎥+⋅++⋅⎣⎦11144()31(21)23n n +=-<++⋅又因为对任意的*n N ∈,都有n S 单调递增, 即115840131339n S S c ⨯>===>⨯, 所以对任意的*n N ∈,都有413n S <<成立；（3）假设存在满足要求的整数λ, 令1n =,则112212d d b b λ≤⋅-<,解得59λ≤<；令2n =,则1222441()2d d d b b b λ≤⋅+-<,解得173355λ≤<；令3n =,则123324661()2d d d d b b b b λ≤⋅++-<,解得671332323λ≤<；所以133523λ≤<, 又已知Z λ∈,故若存在,则5λ=．下证：当5λ=时,对任意的*n N ∈,都有212nn nd T b λ≤-<成立．2312311114444nn n T d d d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 231112311111144444nn n n n T d d d d d +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭231111223111111()()()44444n n n n n T T d d d d d d d +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；即1211122311114()()()444nn n n n T T d d d d d d d ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23231111122224444nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23111111222222nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又11114n n n n T T d +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；所以111152()42nn n n n n T T T d ++⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭则11152()24nn n n T d +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1221152()()24n n n n n n n n d dT d b b +-=--⋅-11112()()()244n n n n n d d +=--⋅-⋅ 1112()()()24n n n n d d +=--⋅+112()()224n n n =--⋅122()2n =-⋅而对任意的*n N ∈,122()2n-⋅单调递增, 所以11122()22()222n-⋅≤-⋅<即对任意的*n N ∈都有2152nn nd T b ≤-<成立,得证.所以,存在整数5λ=,使得对任意的*n N ∈都有212nn nd T b λ≤-<成立． 2019—2020学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试数学第II 卷21. 已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求a ,b 的值.【答案】（1）4805⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）28a =,5b = 试题分析：（1）根据矩阵乘法得矩阵AB ；（2）根据逆矩阵性质得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,再根据矩阵乘法得结果.试题解析：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以28a =,5b =.22. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）,在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点,P 为线段MN 的中点,求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=,2213x y +=；（2）2.【解析】（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）设N α,sinα）,α∈[0,2π）．先求出点P 到直线l 的距离d =再求最大值.【详解】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ,y ＝ρsinθ, 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a,得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α,sinα）,α∈[0,2π）．点M 的极坐标（3π4）,化为直角坐标为（－2,2）．则1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离d ==≤,所以当5π6α=时,点M 到直线l ． 23. 在一次运动会上,某单位派出了由6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛. （1）如果随机抽派5名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为X ,求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小,也不宜同时上场,那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员,教练员有多少种组队方案？【答案】(1)3011；(2)1?91 【解析】（1）由题可知X 服从超几何分布,求得X 的取值,根据概率公式求得对应概率,即可求得其数学期望；（2）根据题意,将问题根据主力分别有3,4,5人上场进行分类,即可容易求得. 【详解】（1）由题可知X 服从超几何分布,X 的可取值为0,1,2,3,4,5,故可得()5551110462C P X C ===；()1465511305146277C C P X C ⋅====； ()236551115025246277C C P X C ⋅====；()326551120030346211C C P X C ⋅====； ()416551175254462154C C P X C ⋅====；()5651161546277C P X C ====. 故()52510025112345777723115477E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=630231. （2）要满足题意,则可以是3名主力2名替补；4名主力1名替补；5名主力.若是3名主力2名替补,则共有()()312211424323144C C C C C C +⋅⋅+⋅=种；若是4名主力1名替补,则共有()4131424545C C C C +⋅⋅=种；若是5名主力,则共有41422C C ⋅=种；故要满足题意,共有144452191++=种出场方式.24. （1）已知：111m m xn n n C C C ---+=及1m m n y m C C n-=,（2n ≥,*n N ∈,*)m N ∈．求x ；y （结果用m ,n 表示）（2）已知0121111()(1)2342nnn n n n f n C C C C n =-+-+-+,*n N ∈．猜想()f n 的表达式并用数学归纳法证明你的结论．【答案】（1）x m =或n m -,1y n =-；（2）猜想1()(1)(2)f n n n =++,证明见解析.【解析】（1）根据组合数的性质以及组合数公式证明即可；（2）根据1(1)6f =,1(2)12f =的值猜想出1()(1)(2)f n n n =++,再由数学归纳法证明即可.【详解】（1）111m m m xn n n n C C C C ---+==,可得x m =或n m -；111!(1)!!()!(1)!()m m m n n y m m n n C C C n n m n m m n m ----=⋅===--- 解得1y n =-；（2）111(1)236f =-=,1211(2)23412f =-+= 猜想1()(1)(2)f n n n =++下面用数学归纳法证明： ①1n =时11(1)623f ==⨯,猜想成立； ②假设(*)n k k N =∈时猜想成立即0121111()(1)2342kk k k k k f k C C C C k =-+-+-+1(1)(2)k k =++则1n k =+时,由111m m m n n n C C C ---=+及11m mn n m C C n--=得 0121111111111(1)(1)2343k k k k k k f k C C C C k +++++++=-+-+-+01021111()()234k k k k k C C C C C =-++++111111(1)()(1)23kk k k k k k k C C C k k -++++-++-++01111111()(1)(1)3423kk k k k k k k f k C C C C k k -+=-+++-+-++ 又11111331mm k k m C C m m k +++=⋅+++1112113m k C k m ++⎛⎫=- ⎪++⎝⎭则1211111222(1)()1111343k k k k f k f k C C C k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=----++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎡⎤⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎦{012111111()(1)1k k k k k k f k C C C C k +++++⎡⎤=--+-++-⎣⎦+0111111222(1)233k k k k k C C C k ++++++-+⎫⎡⎤⎬⎢⎣⎭-⎥⎦++2()(1)1f k f k k =-++ 即31(1)()1(1)(2)k f k f k k k k ++==+++ 则1(1)(2)(3)f k k k +=++,则1n k =+猜想成立．由①②知1()(1)(2)f n n n =++．。

江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试试题

2江苏省泰州市 2020 届高三下学期调研测试试题第 I 卷（必做题，共 160 分）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合 A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则 A U B ＝．2．若实数 x ，y 满足 x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则 xy ＝．3．如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为．5．若双曲线 x 2 y 2 - a b 2= 1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为 y = 2x ，则该双曲线的离心率为．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，这两次出现向上的点数分别记为 x ，y ，则 x - y = 1 的概率是．7．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3倍，则点 P 的横坐标为．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是里．1x 2 - 1，x < a9．若定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x + 4) = f ( x ) ， f (1) = 1 ，则 f (6) ＋ f (7) ＋ f (8)的值为．10．将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为 9 3π ，则 R ＝．⎧ x + a ，x ≥ a11．若函数 f ( x ) = ⎨⎩只有一个零点，则实数 a 的取值范围为．12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( x ， y )，B( x ， y )在圆 O ： x 2 + y 2 = 4 上，1 122且满足 x x + y y = -2 ，则 x + x + y + y 的最小值是．1 21 21212uuur uuur uuur uuur13．在锐角△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在边 AB ，BC ，CA 上，若 AB = 3AD ， AC = λ AF ，uuur uuur uur uuur uuur且 BC ⋅ ED = 2EF ⋅ ED = 6 ， ED = 1，则实数 λ 的值为．14．在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则 BD CD的取值范围为．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P — ABC 中，PA⊥平面 ABC ，AB ＝AC ，点 D ，E ，F 分別是 AB ，AC ，BC的中点．（1）求证：BC∥平面 PDE ；（2）求证：平面 PAF ⊥平面 PDE ．2（2）若f(α)=216．（本小题满分14分）已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x-12，x∈R．（1）求函数f(x)的最大值，并写出相应的x的取值集合；π3π，α∈(-，)，求sin2α的值．68817．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M，N 是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为四心，AC为半径的圆与圆C的弦AM，AN分别交于点D，E，其中四边形AEBD为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设∠MAB＝θ．（1）当θ=π4时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．3（3）已知h(x)=118．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：x2y2+a2b2=1(a＞b＞0)的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB＝3b．（1）求椭圆M的标准方程；（2）求矩形ABCD面积S的最大值；（3）矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．（1）判断函数f(x)=x-1是否为“YZ函数”，并说明理由；e x（2）若函数g(x)=ln x-mx(m∈R)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；11x3+ax2+bx-b，x∈(0，+∞)，a，b∈R，求证：当a≤﹣2，323且0＜b＜1时，函数h(x)是“YZ函数”．4已知列向量 ⎢ ⎥ 在矩阵 M ＝ ⎢对应的变换下得到列向量 ⎢ M -1 ⎢ ⎥ ． 1 2 ⎥⎦ b ⎥⎦⎣a ⎦ 20．（本小题满分 16 分）已知数列 {a n}， {b }， {c }满足 b n n n= an +2- a ， c = 2an nn +1+ a ．n（1）若数列 {a n}是等比数列，试判断数列{c }是否为等比数列，并说明理由；n（2）若 a 恰好是一个等差数列的前 n 项和，求证：数列 {b }是等差数列； n n（3）若数列 {b }是各项均为正数的等比数列，数列 {cnn是等差数列．}是等差数列，求证：数列 {a }n第 II 卷（附加题，共 40 分）21．【选做题】本题包括 A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修 4—2：矩阵与变换⎡a ⎤⎡3 4 ⎤ ⎡b - 2⎤ ⎡b ⎤ ，求 ⎣5 ⎦⎣ ⎣B ．选修 4—4：坐标系与参数方程5⎧⎪ x在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨ x = cos α ⎪⎩ y = 3 sin α( α 为参数)．以坐标原π点 O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρ sin(θ + ) = 4 2 ，4点 P 为曲线 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最大值．C ．选修 4—5：不等式选讲已知实数 a ，b ，c 满足 a ＞0，b ＞0，c ＞0，a 2b 2c 2+ + = 3 ，求证： a + b + c ≤ 3 ．b c a6【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE＝π2，EF⊥平面ADE，EF＝1．（1）求异面直线AE和DF所成角的余弦值；（2）求二面角B—DF—C的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n(n≥3，n∈N*)个不同的数1，2，3，…，n，它的某一个排列P的前k(k∈N*，1≤k≤n)项和为S，该排列P中满足2S≤S的k的最大值为k．记这n个不同数的所有k k n P排列对应的k之和为T．P n（1）若n＝3，求T；3（2）若n＝4l＋1，l∈N*，①证明：对任意的排列P，都不存在k(k∈N*，1≤k≤n)使得2S=S；②求T(用n表示)．k n n76.5解：（1）因为f(x)sin2x sinxcosx12sin2x一、填空题1.1,2,4,82.12参考答案3.804.85.5 17.8.1929.110.618211.(1]U(0,1]12.2213.314.(1,2]二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC中，因为D,E分别是AB,AC的中点，所以DE//BC，因为BC平面PDE，DE平面PDE，所以BC//平面PDE．（2）因为PA平面ABC，DE平面PDE，所以PA DE，在ABC中，因为AB AC，F分别是BC的中点，所以AF BC，因为DE//BC，所以DE AF，又因为AF I PA A，AF平面PAF,PA平面PAF，所以DE平面PAF，因为DE平面PDE，所以平面PAF平面PDE．16.（本题满分14分）2，……………2分……………6分……………8分……………12分……………14分所以f(x)1cos2x121212(sin2x cos2x)……………2分84 = 2k π + 所以 f ( x ) 的最大值为 2，此时 x 的取值集合为 ⎨ x x = k π +, k ∈ Z ⎬ ．………7 分28 sin(2α - ) = 则 cos(2α - π 4 4 3 3……………10 分4 -12 = 12 2 -12 ，由MB = 24sin θ > 0, MD = 24cos θ -12 > 0 得 θ ∈ 0, π ⎫ ，……………6 分则池内休息区总面积 S = 2 ⋅ MB ⋅ DM = 24sin θ (24cos θ -12) ，θ ∈ 0, ⎪ ；= 2 π π 2 π (sin 2 x cos - cos 2 x sin ) = sin(2 x - ) ……………4 分2 4 4 2 4当 2 x -ππ 2 (k ∈ Z) ，即 x = k π + 3π8 2 (k ∈ Z) 时， f ( x ) 取最大值， 2⎧3π ⎫ ⎩⎭（2）因为 f (α ) =2 2 π 2 π 1，则，即 sin(2α - ) = ，6 2 4 6 4 3因为 α ∈ (- π 3π π π π, ) ，所以 2α - ∈ (- , ) ，8 8 4 2 2π 1 2 2) = 1 - sin 2 (2α - ) = 1 - ( )2 = ，ππ π ππ π所以 sin 2α = sin[(2α - ) + ] = sin(2α - )cos+ cos(2α - )sin 4 4 44 4 41 2 2 2 2 4 + 2= ⋅ + ⋅ = . 3 2 3 2 617.（本题满分 14 分）……………14 分解：（1）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ， θ =π4，所以 MB = A M = 12 2 ， MD = 24cosπ1所以池内休息区总面积 S = 2 ⋅ MB ⋅ DM = 12 2(12 2 -12) = 144(2 - 2) ．2……………4 分（2）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ， ∠MAB = θ ，所以 MB = 24sin θ , AM = 24cos θ ， MD = 24cos θ - 12 ，⎝ 3 ⎭1 ⎛ π ⎫2⎝3 ⎭9f(θ)=sinθ(2cosθ-1)，θ∈ 0,⎪，因为>，所以∃θ∈ 0,⎪，使得cosθ=，3⎭⎝当x∈ θ,⎝⎪时，f'(θ)<0⇒f(θ)在(0,θ0)上单调减，θ解：（1）由题意：⎨ab=b，解得a=2,b=c=2，联立⎨x2y2得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0，⎪+……………9分⎛π⎫设⎝3⎭f'(θ)=cosθ(2cosθ-1)-2sin2θ=4cos2θ-cosθ-2=0⇒cosθ= 1+331⎛π⎫1+33又cosθ=820081±338，则当x∈(0,θ0)时，f'(θ)>0⇒f(θ)在(0,θ)上单调增，⎛0π⎫3⎭即f ()是极大值，也是最大值，所以f(θ)=f(θ)，max0此时AM=24cosθ=3+333．……………13分0答：（1）池内休息区总面积为144(2-2)m2；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为AM=(3+333)m．………14分18.（本题满分16分）⎧a2+b2=3b⎪⎪1⎪2⎪a2=b2+c2⎩所以椭圆M的标准方程为x2y2+=1．……………4分42（2）显然直线AB的斜率存在，设为k且k>0，则直线AB的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0，⎧y=k(x+2)⎪=1⎩42101 + 2k2 1 + 2k 2 1 + 2k 24k 所以矩形 ABCD 面积 S = ⋅ = = ≤ = 2 2 ，+ 2k 2 21 + k2 当 m ≤ 0 时， g '( x ) = - m > 0 ，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当 m > 0 时，当 0 < x < 时， g '( x ) = - m > 0 ，函数单调递增，2 - 4k 2 4 1 + k 2解得 x = ， y = ，所以 AB = ( x + 2)2 + y 2 = ，B B B B直线 CD 的方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 ，所以 BC =2k1 + k2 = 2k1 + k2，4 1 + k 2 2k 8k 8 81 + 2k2 1 + 2k 2 1 k所以当且仅当 k =22时，矩形 ABCD 面积 S 的最大值为 2 2 ．……………11 分（3）若矩形 ABCD 为正方形，则 AB = BC ，即 4 1 + k 2 2k =1 + 2k2 1 + k 2，则 2k 3 - 2k 2 + k - 2 = 0 (k > 0) ，令 f (k ) = 2k 3 - 2k 2 + k - 2(k > 0) ，因为 f (1)= -1 < 0, f (2) = 8 > 0 ，又 f (k ) = 2k 3 - 2k 2 + k - 2(k > 0) 的图象不间断，所以 f (k ) = 2k 3 - 2k 2 + k - 2(k > 0) 有零点，所以存在矩形 ABCD 为正方形．……………16 分19.（本题满分 16 分）解：（1）函数 f ( x ) = x e x- 1 是“YZ 函数”，理由如下：因为 f ( x ) = x 1 - x - 1 ，则 f '( x ) =e x e x，当 x < 1时， f '( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) < 0 ，所以 f ( x ) = x 1- 1 的极大值 f (1) = - 1 < 0 ，e x e故函数 f ( x ) = x e x- 1 是“YZ 函数”． ……………4 分1（2）定义域为 (0, +∞) ， g '( x ) = - m ，x1x 1 1m x11因为 ⎨ 1 ⎩ 1 2所以 h ( x ) 的极大值为 h( x ) = 13 1 2 3 所以 h( x ) = 13 1 2 3 3 2 36 3 3 3 1 3 3 22 c (2q + 1)a当 x > 1 1时， g '( x ) = - m < 0 ，函数单调递减，m x1 1 1所以 g ( x ) 的极大值为 g ( ) = ln - m ⋅ = - ln m - 1 ，m m m1 1由题意知 g ( ) = - ln m - 1 < 0 ，解得 m > ．……………10 分me（3）证明： h '( x ) = x 2 + ax + b ，因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，则 ∆ = a 2 - 4b > 0 ，所以 h '( x ) = x 2 + ax + b = 0 有两个不等实根，设为 x , x ，12⎧ x + x = -a > 02 x x = b > 0，所以 x > 0, x > 0 ，不妨设 0 < x < x ，1 2 1 2当 0 < x < x 时， h '( x ) > 0 ，则 h ( x ) 单调递增；1当 x < x < x 时， h '( x ) < 0 ，则 h ( x ) 单调递减，1 21 1x 3 + ax 2 + bx - b ，……………13 分1 1 1由 h '( x ) = x 2 + ax + b = 0 得 x 3 = x (- a x - b ) = - a x 2 - bx ，11111111因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，1 1 1 1 1x 3 + ax 2 + bx - b = (-ax 2 - bx ) + ax 2 + bx - b1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 1 = ax 2 + bx - b ≤ - x 2 + bx - b 1 1 1 1 1= - ( x - b )2 + b (b - 1) < 0 ．3 1 3所以函数 h ( x ) 是“YZ 函数”． ……………16 分（其他证法相应给分）20.（本题满分 16 分）解：（1）设等比数列{a } 的公比为 q ，则 c = 2annn +1+ a = 2a q + a = (2q + 1)a ， n n n n1当 q = - 时， c = 0 ，数列{c } 不是等比数列，……………2 分n n1 c (2q + 1)a当 q ≠ - 时，因为 c ≠ 0 ，所以 n +1 =n +1 = q ，所以数列{c } 是等比数 n n nn列．……………5 分12（2）因为a恰好是一个等差数列的前n项和，设这个等差数列为{d}，公差为d，n n因为a=d+d+L+d，所以a n12n n+1=d+d+L+d+d12n n+1，两式相减得an+1-a=dn n+1，因为an+2=a+b，n n所以bn+1-b=(an n+3-an+1)-(an+2-a)=(an n+3-an+2)-(an+1-a)=dn n+3-dn+1=2d，所以数列{b}是等差数列．……………10分n（3）因为数列{c}是等差数列，所以cn n+3-cn+2=cn+1-c，n又因为c=2an n+1+a，所以2an n+4+an+3-(2an+3+an+2)=2an+2+an+1-(2an+1+a)，n即2(an+4-an+2)=(an+3-an+1)+(an+2-a)，则2bn n+2=bn+1+b，n又因为数列{b}是等比数列，所以b2=b bn n+1n n+2，则b2=b⋅n+1nb+b即(bn+1-b)(2bn n+1+b)=0，n因为数列{b}各项均为正数，所以bn n+1=b，……………13分n则an+3-an+1=an+2-a，n即an+3=an+2+an+1-a，n又因为数列{c}是等差数列，所以cn n+2+c=2cn n+1，即(2an+3+an+2)+(2an+1+a)=2(2an n+2+an+1)，化简得2an+3+a=3an n+2，将an+3=an+2+an+1-a代入得n2(an+2+an+1-a)+a=3an n n+2，化简得an+2+a=2an n+1，所以数列{a}是等差数列．……………16分n（其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）13解：因为 ⎢⎡3 4⎤ ⎡a ⎤ b ⎥⎦ ⎩ a + 10 = b ⎩ b = 4⎦ ⎣ ⎦ q ⎥⎦ 1 2⎥⎦ ⎢⎣ n q ⎥⎦ 0 1⎥⎦ ⎣ n ⎧3m + 4n = 1 ⎪n = - 1 ⎢⎣- 2 2 ⎥⎦⎪ p + 2q = 1 ⎪ 3⎡b ⎤ ⎢ 所以 M -1 ⎢ ⎥ = 1 ⎣ a ⎦ ⎢- ⎥ ⎡ 4 ⎤ = ⎡ 16 ⎤ . 3 ⎥⎢ ⎥ ⎢-11⎥⎣-6⎦ ⎣ ⎦( )2sin α + ⎪ - 8 6 ⎭ cos α + 3 sin α - 8 ∴ 点 P 到直线的距离 d = = ，……………8 分6 = 2k π - P的坐标为 - , - ⎪ .21. A ． [选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）⎣1 2⎥ ⎢5⎥ ⎡b - 2⎤ ⎧3a + 20 = b - 2 ⎧a = -6= ⎢ ，所以 ⎨ ，解得 ⎨ ⎣ ，……………4 分设 M -1 ⎡m p ⎤ ⎡3 4⎤ ⎡m p ⎤ ⎡1 0⎤=⎢ ，则 ⎢ =⎢ ⎣ ⎣，⎧m = 1⎪ ⎪3 p + 4q = 0 ⎪ 2 ⎡ 1 - 2⎤ 即 ⎨ ，解得 ⎨ ，所以 M -1 = ⎢ 1 3 ⎥ ， ……………8 分⎪m + 2n = 0 ⎪ p = -2⎪q = ⎩ 2⎡ 1 ⎣ 2 -2⎤ 2 ⎦……………10 分B.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）解：由题：直线方程即为 ρ (sin θ cos π π+ cos θ sin ) = 4 2 ，4 4由 ρ cos θ = x ， ρ sin θ = y 得直线的直角坐标方程为 x + y - 8 = 0 ，……………4 分设 P 点的坐标为 cos α , 3 sin α ，⎛ π ⎫⎝12 + 122当 α +ππ 2(k ∈ Z) ，即 α = 2k π - π (k ∈ Z) 时， d 取得最大值 5 2 ， 2 3此时点 ⎛ 1 3 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭……………10 分C.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）证明：由柯西不等式，得a 2b 2c 23(a + b + c) = (b + c + a)( + + )b c a14= [( b )2+ ( c )2+ ( a )2][(a≥ ( b ⋅ a （1） AE = (-2,0,2 ), DF = (0,1,2)，AE ⋅ DF 4 105 ,（2） DB = (2,2,0 ), DF = (0,1,2),设平面 BDF 的一个法向量为 n = (x, y , z )，⎧n v ⋅ DB = 2x +2 y = 0 由 ⎨ v,取 z = 1 ,得 n = (2,-2,1) , Q 平面 DFC 的一个法向量为 m =(1,0,0 ) , m ⋅ n 2 2 ∴cos < m , n >= v v = = ,b c )2+ ()2+ ()2 ]………………5 分b cabc+ c ⋅+ a ⋅ )2 = (a + b + c)2 b c a所以 a + b + c ≤ 3 ．………………10 分22.（本小题满分 10 分）π解：因为平面 ADE ⊥ 平面 ABCD ,又 ∠ADE = 2，即 DE ⊥ AD ，因为 DE ⊂ 平面 A DE ，平面 A DE I 平面ABCD = AD ， ∴ DE ⊥ 平面 ABCD ,由四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形,x Az E F D C yB所以 DA, DC, DE 两两互相垂直．uuur uuur uuur以 D 为坐标原点，{DA, DC, DE } 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2 分由 EF ⊥ 平面 ADE 且 EF = 1 ,∴ D (0,0,0 ), A (2,0,0 ), E (0,0,2 ), C (0,2,0 ), B (2,2,0 ), F (0,1,2 ),uuur uuur则 uuuv uuuvuuuv uuuv cos < AE, DF >= uuuv uuuv = = AE ⋅ DF 2 2 ⨯ 5所以 AE 和 DF 所成角的余弦值为10 5. ……………5 分uuur uuur ruuuv uuuv ⎩n ⋅ DF = y + 2z = 0ρurv vvv m ⋅ n 3⨯1 3152由二面角 B - DF - C 的平面角为锐角,所以二面角 B - DF - C 的余弦值为 2 3.……10 分23.（本小题满分 10 分）解：（1）1,2,3 的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1 ，因为 S = 6 ，所以对应的 k 分别为 2,1,2,1,1,1 ，所以 T = 8 ；……………3 分3 P3（2）（i ）设 n 个不同数的某一个排列 P 为 a , a , ⋅⋅⋅ , a ，1 2 n因为 n = 4l + 1,l ∈ N * ，所以 S = n n (n + 1) 2= (4l + 1)(2l + 1)为奇数，而 2S 为偶数，所以不存在 k (k ∈ N * ,1 ≤ k ≤ n) 使得 2S = S ；……………5 分k kn(ii) 因为 2S ≤ S ，即 a + a + ⋅⋅⋅ + a ≤ akn12kk +1+ ak +2+ ⋅⋅⋅ + a ，n又由（i ）知不存在 k (k ∈ N * ,1 ≤ k ≤ n) 使得 2S = S ，k n所以 a + a + ⋅⋅⋅ + a < a12kk +1+ ak +2+ ⋅⋅⋅ + a ；n所以满足 2S ≤ S 的最大下标 k 即满足 a + a + ⋅⋅⋅ + a < akn12kk +1+ ak +2+ ⋅⋅⋅ + a ①n且 a + a + ⋅⋅⋅ + a + a12kk +1> ak +2+⋅⋅⋅ + a ②， n考虑排列 P 的对应倒序排列 P ' : a , ann -1, ⋅⋅⋅ , a ，1①②即 a + ⋅⋅⋅ + ank +2< ak +1+ a + ⋅⋅⋅ + a + a ， a + ⋅⋅⋅ + a k 2 1 nk +2+ ak +1> a + ⋅⋅⋅ + a + a ,k 2 1由题意知 k P '= n -k - 1，则 k + k = n - 1 ；……………8 分P P '又1,2,3, ⋅⋅⋅ , n ，这 n 个不同数共有 n !个不同的排列，可以构成 n!2个对应组合 (P , P ')，且每组 (P , P ')中 kP+ k = n - 1 ，所以 T =n!(n -1)．P ' n……………10 分16。

江苏省泰州市2020届高三数学第二次模拟考试5月试题2-含答案师生通用

江苏省泰州市2020届高三数学第二次模拟考试（5月）试题(满分160分，考试时间120分钟)2020．5参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4，8}，则A∪B＝________．2. 若实数x ，y 满足x ＋yi ＝－1＋(x －y)i(i 是虚数单位)，则xy ＝________．3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为________．I←1 While I<5 I←I＋2 S←I＋3 End While Print S(第3题) (第4题)4. 根据如图所示的伪代码，可得输出S 的值为________．5. 若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则该双曲线的离心率为________．6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则|x －y|＝1的概率是________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为________．8. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是________里．9. 若定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)，f(1)＝1，则f(6)＋f(7)＋f(8) 的值为________．10. 将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面．若圆锥的体积为93π，则R ＝________．11. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥a ，x 2－1，x<a 只有一个零点，则实数a 的取值范围是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在圆O ：x 2＋y 2＝4上，且满足x 1x 2＋y 1y 2＝－2，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2的最小值是________．13. 在锐角三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上．若AB →＝3AD →，AC →＝λAF →，且BC →·ED →＝2EF →·ED →＝6，|ED →|＝1，则实数λ的值为________．14. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B －2tan A ＋3＝0，则BD CD 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．求证：(1) BC∥平面PDE ；(2) 平面PAF⊥平面PDE.已知函数f(x)＝sin 2x ＋sin xcos x －12，x ∈R .(1) 求函数f(x)的最大值，并写出相应的x 的取值集合； (2) 若f(α)＝26，α∈(－π8，3π8)，求sin 2α的值．某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ.(1) 当θ＝π4时，求池内休息区的总面积(Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)；(2) 当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O.当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ＝3b.(1) 求椭圆M 的标准方程；(2) 求矩形ABCD 的面积S 的最大值；(3) 矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． (1) 判断函数f(x)＝xex －1是否为“YZ 函数”，并说明理由；(2) 若函数g(x)＝ln x －mx(m∈R )是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；(3) 已知h(x)＝13x 3＋12ax 2＋bx －13b ，x ∈(0，＋∞)，a ，b ∈R ，求证：当a≤－2，且0＜b ＜1时，函数h(x)是“YZ 函数”．已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足b n＝a n＋2－a n，c n＝2a n＋1＋a n.(1) 若数列{a n}是等比数列，试判断数列{c n}是否为等比数列，并说明理由；(2) 若a n恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列{b n}是等差数列；(3) 若数列{b n}是各项均为正数的等比数列，数列{c n}是等差数列，求证：数列{a n}是等差数列．2020届高三模拟考试试卷(十七)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 5在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3412对应的变换下得到列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2b ，求M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a .B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝3sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝42，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，a 2b ＋b 2c ＋c2a ＝3，求证：a ＋b ＋c≤3.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE＝π2，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1.(1) 求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； (2) 求二面角BDFC 的余弦值．23. 给定n(n≥3，n ∈N *)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k(k∈N *，1≤k ≤n)项和为S k ，该排列P 中满足2S k ≤S n 的k 的最大值为k P .记这n 个不同数的所有排列对应的k P 之和为T n .(1) 若n ＝3，求T 3；(2) 若n ＝4l ＋1，l ∈N *，①求证：对任意的排列P ，都不存在k(k∈N *，1≤k ≤n)使得2S k ＝S n ； ②求T n (用n 表示)．2020届高三模拟考试试卷(十七)(泰州)数学参考答案及评分标准1. {1，2，4，8}2. 123. 804. 85. 56. 5187. 12 8. 192 9. －1 10. 611. (－∞，－1]∪(0，1] 12. －2 2 13. 3 14. (1，2]15. 证明：(1) 在△ABC 中，因为点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以DE∥BC.(2分)因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以BC∥平面PDE.(6分)(2) 因为PA⊥平面ABC ，DE ⊂平面PDE ，所以PA⊥DE.在△ABC 中，因为AB ＝AC ，点F 是BC 的中点，所以AF⊥BC.(8分)因为DE∥BC，所以DE⊥AF .因为AF∩PA＝A ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE⊥平面PAF.(12分)因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF⊥平面PDE.(14分) 16. 解：(1) 因为f(x)＝sin 2x ＋sin xcos x －12，所以f(x)＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －12＝12(sin 2x －cos 2x)(2分)＝22(sin 2xcos π4－cos 2xsin π4)＝22sin(2x －π4)．(4分) 当2x －π4＝2k π＋π2(k∈Z )，即x ＝k π＋3π8(k∈Z )时，f(x)取最大值22，所以f(x)的最大值为22，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋3π8，k ∈Z .(7分)(2) 因为f(α)＝26，所以22sin (2α－π4)＝26，即sin (2α－π4)＝13. 因为α∈(－π8，3π8)，所以2α－π4∈(－π2，π2)，则cos (2α－π4)＝1－sin 2（2α－π4）＝1－（13）2＝223，(10分)所以sin 2α＝sin [(2α－π4)＋π4]＝sin (2α－π4)cos π4＋cos (2α－π4)sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26.(14分)17. 解：(1) 在Rt △ABM 中，因为AB ＝24，θ＝π4，所以MB ＝AM ＝122，MD ＝24cos π4－12＝122－12，所以池内休息区总面积S ＝2×12MB ·DM ＝122(122－12)＝144(2－2)．(4分)(2) 在Rt △ABM 中，因为AB ＝24，∠MAB ＝θ，所以MB ＝24sin θ，AM ＝24cos θ，MD ＝24cos θ－12. 由MB ＝24sin θ>0，MD ＝24cos θ－12>0得θ∈(0，π3)，(6分) 则池内休息区总面积S ＝2×12MB ·DM ＝24sin θ(24cos θ－12)，θ∈(0，π3)．(9分)设f(θ)＝sin θ(2cos θ－1)，θ∈(0，π3)．因为f′(θ)＝cos θ(2cos θ－1)－2sin 2θ＝4cos 2θ－cos θ－2＝0⇒cos θ＝1±338，又cos θ＝1＋338>12，所以∃θ0∈(0，π3)，使得cos θ0＝1＋338，则当x∈(0，θ0)时，f ′(θ)>0⇒f (θ)在(0，θ0)上单调递增；当x∈(θ0，π3)时，f ′(θ)<0⇒f (θ)在(θ0，π3)上单调递减，即f(θ0)是极大值，也是最大值，所以f(θ)max ＝f(θ0)，此时AM ＝24cos θ0＝3＋333.(13分)答：(1) 池内休息区总面积为144(2－2)m 2；(2) 池内休息区总面积最大时AM 的长为AM ＝(3＋333)m.(14分)18. 解：(1) 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝3b ，12ab ＝b ，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝2，所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2) 显然直线AB 的斜率存在，设为k 且k>0，则直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k 2，y B ＝4k1＋2k2，所以AB ＝（x B ＋2）2＋y 2B＝41＋k21＋2k2.直线CD 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，所以BC ＝|2k|1＋k2＝2k 1＋k2，所以矩形ABCD 的面积S ＝41＋k 21＋2k 2·2k 1＋k 2＝8k 1＋2k 2＝81k ＋2k ≤822＝22，所以当且仅当k ＝22时，矩形ABCD 的面积S 的最大值为2 2.(11分) (3) 若矩形ABCD 为正方形，则AB ＝BC ，即41＋k 21＋2k 2＝2k 1＋k2，则2k 3－2k 2＋k －2＝0(k>0)．令f(k)＝2k 3－2k 2＋k －2(k>0)，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝8>0，又f(k)＝2k 3－2k 2＋k －2(k>0)的图象不间断，所以f(k)＝2k 3－2k 2＋k －2(k>0)有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．(16分) 19. (1) 解：函数f(x)＝xe x －1是“YZ 函数”，理由如下：因为f(x)＝x e x －1，则f′(x)＝1－xe x ，当x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，所以f(x)＝x e x －1的极大值f(1)＝1e －1<0，故函数f(x)＝xe x －1是“YZ 函数”．(4分)(2) 解：定义域为(0，＋∞), g ′(x)＝1x－m ，当m≤0时，g ′(x)＝1x －m>0，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当m>0时，当0<x<1m 时，g ′(x)＝1x －m>0，函数单调递增，当x>1m 时，g ′(x)＝1x －m<0，函数单调递减，所以g(x)的极大值为g(1m )＝ln 1m －m·1m ＝－ln m －1.由题意知g(1m )＝－ln m －1<0，解得m>1e.(10分)(3) 证明： h′(x)＝x 2＋ax ＋b ，因为a≤－2，0<b<1，则Δ＝a 2－4b>0，所以h′(x)＝x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等实根，设为x 1，x 2.因为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a>0，x 1x 2＝b>0，所以x 1>0，x 2>0，不妨设0<x 1<x 2，当0<x<x 1时，h ′(x)>0，则h(x)单调递增；当x 1<x<x 2时，h ′(x)<0，则h(x)单调递减，所以h(x)的极大值为h(x 1)＝13x 31＋12ax 21＋bx 1－13b.(13分)由h′(x 1)＝x 21＋ax 1＋b ＝0得x 31＝x 1(－ax 1－b)＝－ax 21－bx 1.因为a ≤－2，0<b<1，所以h(x 1)＝13x 31＋12ax 21＋bx 1－13b ＝13(－ax 21－bx 1)＋12ax 21＋bx 1－13b＝16ax 21＋23bx 1－13b ≤－13x 21＋23bx 1－13b ＝－13(x 1－b)2＋13b(b －1)<0. 所以函数h(x)是“YZ 函数”．(16分) (其他证法相应给分)20. (1) 解：设等比数列{a n }的公比为q ，则c n ＝2a n ＋1＋a n ＝2a n q ＋a n ＝(2q ＋1)a n ，当q ＝－12时，c n ＝0，数列{c n }不是等比数列．(2分)当q≠－12时，因为c n ≠0，所以c n ＋1c n ＝（2q ＋1）a n ＋1（2q ＋1）a n＝q ，所以数列{c n }是等比数列．(5分)(2) 证明：因为a n 恰好是一个等差数列的前n 项和，所以设这个等差数列为{d n }，公差为d.因为a n ＝d 1＋d 2＋…＋d n ，所以a n ＋1＝d 1＋d 2＋…＋d n ＋d n ＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝d n ＋1. 因为a n ＋2＝a n ＋b n ，所以b n ＋1－b n ＝(a n ＋3－a n ＋1)－(a n ＋2－a n )＝(a n ＋3－a n ＋2)－(a n ＋1－a n )＝d n ＋3－d n ＋1＝2d ，所以数列{b n }是等差数列．(10分)(3) 证明：因为数列{c n }是等差数列，所以c n ＋3－c n ＋2＝c n ＋1－c n .因为c n ＝2a n ＋1＋a n ，所以2a n ＋4＋a n ＋3－(2a n ＋3＋a n ＋2)＝2a n ＋2＋a n ＋1－(2a n ＋1＋a n )，即 2(a n ＋4－a n ＋2)＝(a n ＋3－a n ＋1)＋(a n ＋2－a n )，则2b n ＋2＝b n ＋1＋b n .因为数列{b n }是等比数列，所以b 2n ＋1＝b n b n ＋2，则b 2n ＋1＝b n ·b n ＋1＋b n 2，即(b n ＋1－b n )(2b n ＋1＋b n )＝0.因为数列{b n }各项均为正数，所以b n ＋1＝b n ，(13分) 则a n ＋3－a n ＋1＝a n ＋2－a n ，即a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1－a n .又数列{c n }是等差数列，所以c n ＋2＋c n ＝2c n ＋1，即(2a n ＋3＋a n ＋2)＋(2a n ＋1＋a n )＝2(2a n ＋2＋a n ＋1)，化简得2a n ＋3＋a n ＝3a n ＋2，将a n ＋3＝a n ＋2＋a n ＋1－a n 代入得2(a n ＋2＋a n ＋1－a n )＋a n ＝3a n ＋2，化简得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }是等差数列．(16分) (其他证法相应给分)2020届高三模拟考试试卷(泰州) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3412⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋20＝b －2，a ＋10＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝4.(4分) 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m p n q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3412⎣⎢⎡⎦⎥⎤m p n q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，3p ＋4q ＝0，m ＋2n ＝0，p ＋2q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－12，p ＝－2，q ＝32，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2－1232，(8分) 所以M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2－1232⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 16－11.(10分) B. 解：由题可知，直线方程即为ρ(sin θcos π4＋cos θsin π4)＝4 2.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 得直线的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(4分) 设点P 的坐标为(cos α，3sin α)，∴点P 到直线的距离d ＝|cos α＋3sin α－8|12＋12＝|2sin （α＋π6）－8|2，(8分) 当α＋π6＝2k π－π2(k∈Z )，即α＝2k π－2π3(k∈Z )时，d 取得最大值52，此时点P 的坐标为(－12，－32)．(10分)C. 证明：由柯西不等式，得 3(a ＋b ＋c)＝(b ＋c ＋a)(a 2b ＋b 2c ＋c2a )＝[(b)2＋(c)2＋(a)2][(a b )2＋(b c)2＋(ca)2](5分) ≥(b ·ab ＋c ·b c ＋a ·ca)2＝(a ＋b ＋c)2，所以a ＋b ＋c≤3.(10分)22. 解：∵ 平面ADE⊥平面ABCD ，又∠ADE＝π2，∴ DE ⊥AD.∵ DE ⊂平面ADE ，平面ADE∩平面ABCD ＝AD ，∴ DE ⊥平面ABCD. 由四边形ABCD 为边长为2的正方形，∴ DA ，DC ，DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{DA →，DC →，DE →}为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系．(2分) 由EF⊥平面ADE ，且EF ＝1，∴ D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(0，0，2)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，F(0，1，2)． (1) AE →＝(－2，0，2)，DF →＝(0，1，2)，则cos 〈AE →，DF →〉＝AE →·DF →|AE →|·|DF →|＝422×5＝105，∴ AE 和DF 所成角的余弦值为105.(5分) (2) DB →＝(2，2，0)，DF →＝(0，1，2)，设平面BDF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DF →＝y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(2，－2，1)．∵平面DFC 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， ∴ cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝23×1＝23.由二面角BDFC 的平面角为锐角，∴二面角BDFC 的余弦值为23.(10分)23. (1) 解：1，2，3的所有排列为1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1.因为S 3＝6，所以对应的k P 分别为2，1，2，1，1，1，所以T 3＝8.(3分) (2) ①解：设n 个不同数的某一个排列P 为a 1，a 2，…，a n ，因为n ＝4l ＋1，l ∈N *，所以S n ＝n （n ＋1）2＝(4l ＋1)(2l ＋1)为奇数．而2S k 为偶数，所以不存在k(k∈N *，1≤k ≤n)使得2S k ＝S n .(5分) ②证明：因为2S k ≤S n ，即a 1＋a 2＋…＋a k ≤a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a n ，又由①知不存在k(k∈N *，1≤k ≤n)使得2S k ＝S n ，所以a 1＋a 2＋…＋a k <a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a n ；所以满足2S k ≤S n 的最大下标k 即满足a 1＋a 2＋…＋a k <a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a n (i)，且a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1>a k ＋2＋…＋a n (ii)，考虑排列P 的对应倒序排列P′：a n ，a n －1，…，a 1，(i)(ii)即a n ＋…＋a k ＋2<a k ＋1＋a k ＋…＋a 2＋a 1，a n ＋…＋a k ＋2＋a k ＋1>a k ＋…＋a 2＋a 1. 由题意知k P ′＝n －k －1，则k P ＋k P ′＝n －1.(8分)又1，2，3，…，n ，这n 个不同数共有n ！个不同的排列，可以构成n ！2个对应组合(P ，P ′)，且每组(P ，P ′)中k P ＋k P ′＝n －1，所以T n ＝n ！2(n －1)．(10分)。

江苏省泰州市高三下学期数学5月模拟考试试卷

江苏省泰州市高三下学期数学5月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一上·襄阳期中) 已知集合A={（x，y）|x，y∈R，x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y∈R，y=4x2﹣1}，则A∩B的元素个数是________．2. （1分） (2020高三上·天津月考) 是虚数单位,若是纯虚数,则实数的值为________.3. （1分）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1 ， a2 ，…，an ，共n个数据．我们规定所测量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a1 ， a2 ，…，an推出的a=________4. （1分）为求内的所有偶数的和而设计的一个程序框图如图所示,请将空白处补上.①________;②________.5. （1分） (2017高三上·定州开学考) 一个袋中有12个除颜色外完全相同的球，2个红球，5个绿球，5个黄球，从中任取一球，不放回后再取一球，则第一次取出红球时第二次取出黄球的概率为________．6. （2分） (2019高二上·丰台期中) 己知函数在上是减函数，在上是增函数，那么的值为________．7. （1分）(2017·东城模拟) 双曲线的渐近线为等边三角形OAB的边OA，OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且|AB|=2，则a=________．8. （1分） (2016高二上·苏州期中) 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1 ， S2 ，体积分别为V1 ， V2 ，若它们的侧面积相等，且 = ，则的值是________．9. （1分） (2019高一下·杭州期末) 函数的最小正周期为________；单调递增区间为________．10. （1分） (2020高一下·上海期末) 已知互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列，则这三个数排列成的等差数列是________.11. （1分）已知=（2，1），=（﹣3，4），则与的数量积为________12. （1分） (2019高二上·拉萨月考) 函数的最小值为________．13. （1分）(2017·温州模拟) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为△ABC的面积，若A=60°，b=1，S= ，则c=________，cosB=________．14. （1分） (2019高三上·泰州月考) 已知实数，满足，，则的最小值为________.二、解答题 (共11题；共105分)15. （10分） (2020高三上·和平期中) 在中，内角所对的边分别为已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设， . 求和的值.16. （10分） (2016高二下·姜堰期中) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）解：求二面角B﹣DE﹣C的大小．17. （10分）已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．（1）求BC边上的高所在直线的一般式方程；（2）求△ABC的面积．18. （10分） (2017高三上·桓台期末) 已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（I）求椭圆C的方程；（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．19. （15分） (2019高一下·雅安期末) 已知是等差数列的前n项和，且 .（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．20. （15分）(2018·海南模拟) 已知函数， .（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.21. （5分） (2015高三上·连云期末) 已知矩阵A= ，求矩阵A的特征值和特征向量．22. （5分） (2019高三上·新疆月考) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线交曲线于两点，求 .23. （5分） (2019高二上·阳江月考) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围．24. （10分）(2020·江苏) 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn ，恰有2个黑球的概率为pn ，恰有1个黑球的概率为qn ．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．25. （10分）已知，（Ⅰ）求a1+a2+…+a7的值；（Ⅱ）求a0+a2+a4+a6的值．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：略答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共11题；共105分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、略考点：解析：答案：25-1、考点：解析：。

江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试数学试题(附答案解析)

江苏省泰州市2019—2020学年度第二学期调研测试高三数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则A B ＝．2．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则xy ＝．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为．5．若双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则1x y -=的概率是． 7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是里． 9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，则(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R ＝．11．若函数2()1x a x a f x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，则实数a 的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB 3AD =，AC AF λ=，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=，ED 1=，则实数λ的值为．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BDCD的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．（本小题满分14分）已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()6f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由；（2）若函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由；（2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1．（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求二面角B —DF —C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若n ＝3，求3T ；（2）若n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1. {}1,2,4,82.123. 804. 85.6.518 7. 128. 192 9. 1- 10. 611. (1](0,1]-∞- 12. - 13. 3 14. (1,2]二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面，所以//BC PDE 平面． ……………6分（2）因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面，所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AFPA A =，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面，所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-，所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =- ……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-)24x π=- ……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x 取最大值2，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分（2）因为()6f α=，则)246πα-=，即1sin(2)43πα-=，因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)πππα-∈-，则cos(2)43πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-1432326=⋅+=……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分（2）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=，所以24sin ,24cos MB AM θθ==， 24cos 12MD θ=-，由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分则池内休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分设()()sin 2cos 1fθθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=，则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减，即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f fθθ=，此时024cos 3AM θ==+ ……………13分答：（1）池内休息区总面积为2144(2-m ；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.（本题满分16分）解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >，则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k=+，所以212AB k ==+，直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++≤所以当且仅当k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分（3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，=，则322220k k k -+-= (0)k >，令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断，所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.（本题满分16分）解：（1）函数()1xxf x =-e是“YZ 函数”，理由如下：因为()1x x f x =-e ，则1()x xf x -'=e，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()1xx f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e ，故函数()1x xf x =-e是“YZ 函数”． ……………4分（2）定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-，当0m ≤时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减，所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--，由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e． ……………10分（3）证明： 2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ，因为12120x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增；当12x x x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--，因为2a -≤，01b <<，所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<．所以函数()h x 是“YZ 函数”．……………16分（其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+，当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数列． ……………5分（2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ，因为12n n a d d d =+++，所以1121n n n a d d d d ++=++++，两式相减得11n n n a a d ++-=，因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=，所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+，即 423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅，即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分（其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分设1m p Mn q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为(sin coscos sin )44ππρθθ+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离d ==8分当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++ ………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤． ………………10分 22.（本小题满分10分）解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=，即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADEABCD AD =平面平面， DE ∴⊥平面ABCD ,由四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以,,DA DC DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴（1）()2,0,2AE =-,()0,1,2DF =，则cos ,2AE DF AE DF AE DF⋅<===⋅>,所以AE 和DF 所成角的余弦值为5. ……………5分（2）()2,2,0DB =,()0,1,2DF =,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩ ,取1z =,得)1,2,2(-=n , 平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯, 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数，而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii) 因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-； ……………8分又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '，且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． ……………10分。

江苏省泰州市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析

江苏省泰州市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（）A ．223B ．63C ．33D ．13【答案】C 【解析】【分析】利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,33AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.2．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C 【解析】【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=， 12c a c ∴=-，解得椭圆E的离心率13cea==.故选：C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.3．已知函数13log,0()1,03xx xf xa x>⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x的方程[()]0f f x=有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．(,0)(0,1)-∞U B．(,0)(1,)-∞⋃+∞C．(,0)-∞D．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【解析】【分析】利用换元法设()t f x=，则等价为()0f t=有且只有一个实数根，分0,0,0a a a<=>三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a的取值范围.【详解】解：设()t f x=，则()0f t=有且只有一个实数根.当0a<时，当0x≤时，()103xf x a⎛⎫=⋅<⎪⎝⎭，由()0f t=即13log0t=，解得1t=，结合图象可知，此时当1t=时，得()1f x=，则13x=是唯一解，满足题意；当0a=时，此时当0x≤时，()103xf x a⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意；当0a>时，当0x≤时，()[)1,3xf x a a⎛⎫=⋅∈+∞⎪⎝⎭，此时()f x最小值为a，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．5．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A ．22n n-B ．212n -C ．212n (-)D ．22n【答案】B 【解析】【分析】直接代入检验，排除其中三个即可．【详解】由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =，故选：B ．【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 6．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A 【解析】【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==．故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.8．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫>⎪⎝⎭'，∴102a <<．考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.9．在钝角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（）A B ．98C ．1D ．78【答案】B 【解析】【分析】首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求出sin sin A C +的最大值；【详解】解：因为cos sin a A b A =，所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =2B π>Q2A B π∴=-02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩Q ，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2cos ,02B ⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos2B B =--22cos cos 1B B =--+2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭12cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭时()max 9sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题. 10．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i ＜5时退出，故选B ． 11．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+，所以212log l g 2o n n a a +=，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列，又因为34a =，所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =U （） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =U (),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省泰州市高考数学模拟试卷(5月份)解析版

6. 现用一半径为 10cm，面积为 80πcm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为______cm3．
7. 设等差数列{an}的公差为 d（d≠0），其前 n 项和为 Sn．若
则 d 的值为______． 8. 如图，已知 O 为矩形 ABCD 内的一点，且 OA=2，OC=4，AC=5
．SD=2，点 E 是 SD 上的点，且
（0≤λ≤1）．
l 的极坐标方程为 θ= （ρ∈R），曲线 C 的参数方程为
（θ 为参数）．
（1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，若|MA|•|MB|=3，求点 M 轨迹的直角坐标方程．
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23. 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是平行四边形，AD=BD=2，AB=
，2S12=S2+10，
，则
=______．
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9. 已知函数 f（x）=x2+bx，若函数 y=f（f（x））的最小值与函数 y=f（x）的最小值相等，则实数 b 的取值范围是______．
10. 已知 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y=x-1，且 f′（x）=lnx+1，则函数 f（x）的最小值为______．
11. 已知椭圆 M：
（a＞b＞0）与双曲线 N：
有公共焦点，N 的一条
渐近线与以 M 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点，若 M 恰好将线段 AB 三等分，则椭圆 M 的短轴长为______．
12. 函数 f（x）=2sin（2x+φ）+1（最小值是______．

江苏省泰州市2019-2020学年度第二学期调研测试高三数学试题含附加题

y ⎩江苏省泰州市 2019—2020 学年度第二学期调研测试高三数学试题第I 卷（必做题，共 160 分）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合 A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则 A B ＝． 2. 若实数 x ，y 满足 x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则 xy ＝．3. 如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为．4. 根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为．5.若双曲线 x a 2 2- = 1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为 y = 2x ，则该双曲线的离心率b 2为．6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，这两次出现向上的点数分别记为 x ，y ，则 x - y = 1的概率是．7. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3倍，则点 P 的横坐标为．8. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是里． 9．若定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x + 4) = f (x ) ， f (1) = 1，则 f (6) ＋ f (7) ＋ f (8)的值为．10. 将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为9 3π，则 R ＝．⎧x + a ，x ≥ a 1. 若函数 f (x ) = ⎨x 2 -1，x < a 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为．22 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( x ， y )，B( x ， y )在圆 O ： x 2 + y 2= 4 上，1122且满足 x 1x 2 + y 1 y 2 = -2 ，则 x 1 + x 2 + y 1 + y 2 的最小值是．13. 在锐角△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在边 AB ，BC ，CA 上，若AB = 3AD ，AC = λAF ，且BC ⋅ ED = 2EF ⋅ ED = 6 ， ED = 1，则实数λ的值为．14. 在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BD的取CD值范围为．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P — ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，AB ＝AC ，点 D ，E ，F 分別是 AB ，AC ， BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面 PDE ；（2）求证：平面 PAF ⊥平面 PDE ．16．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x ) = sin 2x + sin x cos x - 1，x ∈R ．2（1）求函数 f (x ) 的最大值，并写出相应的 x 的取值集合；π 3π （2）若 f (α) =，α∈( - ， )，求 sin2α的值．6 8 817．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12 米的圆形温泉池，如图所示，M，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM，AN 分别交于点D，E，其中四边形AEBD 为温泉区，I、II 区域为池外休息区，III、IV 区域为池内休息区，设∠MAB＝θ．（1）当θ=π时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；4（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M：xa2y2+= 1(a＞b＞0)的左顶点为A，过点b2A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b，且AB＝3b ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）2定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．（1）判断函数f (x) =xe x-1是否为“YZ函数”，并说明理由；（2）若函数g(x) = ln x -mx (m∈R)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；（3）已知h(x) =1x3 +1ax2 +bx -1b ，x∈(0，+∞)，a，b∈R，求证：当a≤﹣2，3 2 3且0＜b＜1时，函数h(x)是“YZ函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足b n=a n+2-a n，c n=2a n+1+a n．（1）若数列{a n}是等比数列，试判断数列{c n}是否为等比数列，并说明理由；（2）若a n恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列{b n}是等差数列；（3）若数列{b n}是各项均为正数的等比数列，数列{c n}是等差数列，求证：数列{a n}是等差数列．第II 卷（附加题，共40 分）2 )+ + = + + ≤ 21．【选做题】本题包括 A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A. 选修 4—2：矩阵与变换已知列向量⎡a ⎤ 在矩阵 M ＝ ⎡3 4⎤ 对应的变换下得到列向量⎡b - 2⎤ ，求M -1 ⎡b ⎤ ．⎢5 ⎥ ⎢1 2 ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢a ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦B. 选修 4—4：坐标系与参数方程⎧⎪x = cos α在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨⎪⎩ y = (α为参数)．以坐标原 3 sin α点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρsin(θ+ π= 4 ， 4点 P 为曲线 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最大值．C. 选修 4—5：不等式选讲已知实数 a ，b ，c 满足 a ＞0，b ＞0，c ＞0，a 2b 2c 23 ，求证：a b c 3 ． b c a【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 是边长为2 的π正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE＝，EF⊥平面ADE，EF＝1．2（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求二面角B—DF—C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n(n≥3，n∈ N*)个不同的数1，2，3，…，n，它的某一个排列P 的前k(k∈ N*，1≤k≤n)项和为Sk ，该排列P 中满足2Sk≤Sn的k 的最大值为kP．记这n 个不同数的所有排列对应的kP 之和为Tn．（1）若n＝3，求T3；（2）若n＝4l＋1，l∈ N*，①证明：对任意的排列P，都不存在k(k∈ N*，1≤k≤n)使得2Sk =Sn；②求Tn(用n 表示)．2 2 2 2 12019～2020 学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题 1. {1, 2, 4,8}2. 12 513. 804. 85.6.7.1828. 192 9. -1 10. 6 11. (-∞ -1] (0,1] 二、解答题12. -2 13. 314. (1, 2]15.（本题满分 14 分）证明：（1）在 ∆ABC 中，因为 D , E 分别是 AB , AC 的中点，所以 DE / / B C ， .............................................................................................................. 2 分因为 BC ⊄ 平面PDE ， DE ⊂ 平面PDE ，所以 BC / /平面PDE ． ................................................................................................. 6 分（2）因为 PA ⊥ 平面ABC ， DE ⊂ 平面PDE ，所以 PA ⊥ DE ，在∆ABC 中，因为 AB = AC ， F 分别是 BC 的中点，所以 AF ⊥ BC ， ............................................................................................................ 8 分因为 DE / / BC ，所以 DE ⊥ AF ，又因为 AF PA = A ， AF ⊂ 平面PAF , PA ⊂ 平面PAF ，所以 DE ⊥ 平面PAF ， .............................................................................................. 12 分因为 DE ⊂ 平面PDE ，所以平面PAF ⊥ 平面PDE ． ..................................... 14 分16.（本题满分 14 分）解：（1）因为 f (x ) = sinx + sin x cos x - ， 21- c os 2x 所以 f (x ) = +1 sin 2x - 1 = 1 (sin 2x - cos 2x )……………2 分2 2 2 2 = (sin 2x cos π- cos 2x sin π = sin(2x - π)……………4 分2 4 4 2 4当 2x - π = 2k π+ π(k ∈ Z) ，即 x = k π+3π(k ∈ Z) 时， f (x ) 取最大值， 4 28252)2 2 2 2 1± 3388 ))) ( ) α- ∈ , ) ) ] ) cos ) sin 所以 f (x ) 的最大值为2 ，此时 x 的取值集合为⎧x x = k π+3π,k ∈ ⎫．………7 分⎨Z ⎬ 2⎩ ⎭（2）因为 f (α) =，则 2 sin(2α- π =，即sin(2α- π = 1 ，6 2 46 4 3因为α∈(- π , 3π ) ，所以 2 π (- π π ， 8 8 4 2 2 π π 1 则cos(2α- ) = 1 -sin 2(2α- = 1 - 2 = ， ................................. 10 分4 4 3 3所以sin 2α= sin[(2α- π + π = sin(2α- π π+ cos(2α- π π4 4 4 4 4 4= 1⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 = 4 + 2 . ……………14 分 3 2 3 2 617.（本题满分 14 分）解：（1）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ，θ= π，4所以 MB = AM = 12 ， MD = 24 cos π-12 = 12 4-12 ，所以池内休息区总面积 S = 2 ⋅ 1MB ⋅ DM = 12 2(12 2-12) = 144(2 - 2) ．（2）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ， ∠MAB =θ， ……………4 分所以 MB = 24sin θ, AM = 24 cos θ， MD = 24 cos θ-12 ，由 MB = 24sin θ> 0, MD = 24 c os θ-12 > 0 得θ∈⎛ 0,π⎫ ， .................................... 6 分 3⎪⎝⎭则池内休息区总面积 S = 2 ⋅ 1MB ⋅ DM = 24sin θ(24 cos θ-12) ，θ∈⎛ 0,π⎫； 23 ⎪设 f (θ) = sin θ(2 cos θ-1) ，θ∈⎛ 0,π⎫，因为⎝ ⎭……………9 分3 ⎪ ⎝ ⎭f '(θ) = cos θ(2 cos θ-1) - 2sin 2 θ= 4 cos 2 θ- cos θ- 2 = 0 ⇒ cos θ= ，又cos θ=1+ 33 > 1 ，所以∃θ ∈ ⎛ 0,π⎫，使得cos θ = 1+ 33 ， 8 2 0 3 ⎪ 0 8⎝ ⎭则当 x ∈(0,θ0 ) 时， f '(θ) > 0 ⇒ f (θ) 在(0,θ0 )上单调增， 2 2 2a 2+ b 22 4 1+ k 21+ k 21+ k 22 24 1+ k 2 ⎨ 2 ⎩2 当 x ∈⎛θ,π⎫时， f '(θ) < 0 ⇒ f (θ) 在(0,θ ) 上单调减， 0 3 ⎪ 0⎝ ⎭即 f (θ0 )是极大值，也是最大值，所以 f max (θ) =f (θ0 )，此时 AM = 24 cos θ0 = 3+ 3 ． ................................................................................ 13 分答：（1）池内休息区总面积为144(2 - 2)m 2；（2）池内休息区总面积最大时 AM 的长为 AM = (3 + 3 33)m ．………14 分18.（本题满分 16 分）⎧ = ⎪ 解：（1）由题意： ⎪ 1ab = b ⎪3b ，解得 a = 2, b = c = ，⎪a 2 = b 2 + c 22所以椭圆 M 的标准方程为x+y= 1． ........................................................... 4 分4 2（2）显然直线 AB 的斜率存在，设为 k 且 k > 0 ，则直线 AB 的方程为 y = k (x + 2)，即 kx - y + 2k = 0 ，⎧ y = k (x + 2) ⎪ 2 2 2 2联立⎨ x 2 + y 2 = ⎩ 4 2得(1+ 2k ) x + 8k x + 8k - 4 = 0 ，解得 x B = 2 - 4k 2 1+ 2k 2 ， y B = 4k 1+ 2k 2 ，所以 AB = = 1+ 2k 2 ，直线CD 的方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 ，所以 BC ==2k ，4 1 + k 22k 8k88所以矩形 ABCD 面积 S =1+ 2k2⋅= = 1+ 2k 21 + 2k k≤ = 2 ， 2 2所以当且仅当 k =时，矩形 ABCD 面积 S 的最大值为 2 2（3）若矩形 ABCD 为正方形，则 AB = BC ，． .............. 11 分即 1+ 2k 22k ，则 2k 1+ k 23 - 2k 2+ k - 2 = 0 (k > 0) ， 33 (x + 2)2 + y 2B B2k 1+ k 22 = 1x 1 2 令 f (k ) = 2k 3 - 2k 2+ k - 2(k > 0) ，因为 f (1) = -1 < 0, f (2) = 8 > 0 ，又 f (k ) = 2k 3- 2k 2+ k - 2(k > 0) 的图象不间断，所以 f (k ) = 2k 3- 2k 2+ k - 2(k > 0) 有零点，所以存在矩形 ABCD 为正方形．19.（本题满分 16 分）解：（1）函数 f (x ) = -1是“Y Z 函数”，理由如下：e x……………16 分因为 f (x ) = xe x -1，则f '(x ) =1- x ， e x当 x < 1时， f '(x ) > 0 ；当 x > 1 时， f '(x ) < 0 ，x 1所以 f (x ) = -1的极大值 f (1) = -1 < 0 ，e x e x故函数 f (x ) = -1是“Y Z 函数”． ............................................................ 4 分e x（2）定义域为(0, +∞) ， g '(x ) = 1- m ，x当 m ≤ 0 时， g '(x ) = 1- m > 0 ，函数单调递增，无极大值，不满足题意；x 当 m > 0 时，当0 < x <1 时， g '(x ) = 1- m > 0 ，函数单调递增， m x 当 x > 1 时， g '(x ) = 1- m < 0 ，函数单调递减，m x1 1 1所以 g ( x ) 的极大值为 g ( ) = ln - m ⋅ = - ln m -1，m m m1 1由题意知 g ( ) = - ln m -1 < 0 ，解得 m > m ． (10)分 e（3）证明： h '(x ) = x 2 + ax + b ，因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，则∆ = a 2 - 4b > 0 ，所以 h '(x ) = x 2+ ax + b = 0 有两个不等实根，设为 x , x ，⎧x 1 + x 2 = -a > 0因为⎨x x = b > 0，所以 x 1 > 0, x 2 > 0 ，不妨设0 < x 1 < x 2 ， ⎩ 1 2当0 < x < x 1 时， h '(x ) > 0 ，则 h (x ) 单调递增；当 x 1 < x < x 2 时， h '(x ) < 0 ，则 h (x ) 单调递减，1 所以 h (x ) 的极大值为 h (x ) = 1x 3+ 1ax 2+ bx - b ， .......................... 13 分13 12 113由 h '(x ) = x 2 + ax + b = 0 得 x 3 = x (-ax - b ) = -ax 2- bx ，1 1 1因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，所以 h (x ) = 1x 3+ 1ax 2+ bx 1 1 1 1 1- 1b = 1(-ax 2 - bx ) + 1ax 2 + bx - 1b13 12 1 13 31 1 21 1 3 = 1 ax2 + 2 bx - 1 b ≤ - 1 x 2 + 2 bx - 1 b6 1 3 13 3 1 3 1 3= - 1 (x - b )2 + 1b (b -1) < 0 ．3 1 3所以函数 h (x ) 是“Y Z 函数”． ........................................................................ 16 分（其他证法相应给分）20.（本题满分 16 分）解：（1）设等比数列{a n }的公比为 q ，则 c n = 2a n +1 + a n = 2a n q + a n = (2q +1)a n ，当 q = - 1时， c = 0 ，数列{c }不是等比数列， ............................................. 2 分2n n1c n +1(2q +1)a n +1当 q ≠ - 2时，因为 c n ≠ 0 ，所以 c=(2q +1)a = q ，所以数列{c n }是等比数nn列． .............................................................................................................................. 5 分（2）因为 a n 恰好是一个等差数列的前 n 项和，设这个等差数列为{d n } ，公差为 d ，因为 a n = d 1 + d 2 + + d n ，所以 a n +1 = d 1 + d 2 + + d n + d n +1 ，两式相减得 a n +1 - a n = d n +1 ，因为 a n +2 = a n + b n ，所以b n +1 - b n = (a n +3 - a n +1 ) - (a n +2 - a n ) = (a n +3 - a n +2 ) - (a n +1 - a n ) = d n +3 - d n +1 = 2d ，所以数列{b n }是等差数列． .......................................................................................... 10 分（3）因为数列{c n }是等差数列，所以c n +3 - c n +2 = c n +1 - c n ，又因为c n = 2a n +1 + a n ，所以 2a n +4 + a n +3 - (2a n +3 + a n +2 ) = 2a n +2 + a n +1 - (2a n +1 + a n ) ，即 2(a n +4 - a n +2 ) = (a n +3 - a n +1) + (a n +2 - a n ) ，则 2b n +2 = b n +1 + b n ，又因为数列{b }是等比数列，所以b= b b，则b = b ⋅ b n +1 + b n ，n即(b n +1 - b n )(2b n +1 + b n ) = 0 ，n +1 n n +2n +1 n 2222 n q 1 2 n q 0 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎦⎪ ⎣ 因为数列{b n }各项均为正数，所以b n +1 = b n ， .......................................................... 13 分则 a n +3 - a n +1 = a n +2 - a n ，即 a n +3 = a n +2 + a n +1 - a n ，又因为数列{c n }是等差数列，所以 c n +2 + c n = 2c n +1 ，即(2a n +3 + a n +2 ) + (2a n +1 + a n ) = 2(2a n +2 + a n +1) ，化简得 2a n +3 + a n = 3a n +2 ，将 a n +3 = a n +2 + a n +1 - a n 代入得2(a n +2 + a n +1 - a n ) + a n = 3a n +2 ，化简得 a n +2 + a n = 2a n +1 ，所以数列{a n }是等差数列． .....................................16 分（其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）⎡3 解：因为 4⎤⎡a ⎤ = ⎡b - 2⎤ ，所以⎧3a + 20 = b - 2 ，解得⎧a = -6 ， .............. 4 分 ⎢1 2⎥⎢5⎥ ⎢ b ⎥⎨ a +10 = b ⎨ b = 4 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎩设 M -1= ⎡m p ⎤ ，则⎡3 4⎤ ⎡m p ⎤ = ⎡1 0⎤ ，⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎧m = 1⎧3m + 4n = 1 ⎪3 p + 4q = 0 ⎪n = - 1 ⎡ 1 - 2⎤ ⎪ ⎪ 即，解得 2 ，所以 M -1 = ⎢ 13 ⎥ ， .............................. 8 分 ⎨m + 2n = 0 ⎪⎩ p + 2q = 1 ⎨ p = -2 ⎪q = 3 ⎢⎣- 2 2 ⎥⎦ ⎩ 2⎡b ⎤ ⎡ 1 -2⎤⎡ 4 ⎤ ⎡ 16 ⎤ 所以 M -1 ⎢ ⎥ = ⎢ 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥10分⎣a ⎦ ⎢-⎥ ⎣-6⎦ ⎣-11⎦ 2 2B.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）ππ解：由题：直线方程即为ρ(sin θcos + cos θsin) = 4 ，4 4由ρcos θ= x ， ρsin θ= y 得直线的直角坐标方程为 x + y - 8 = 0 ， ..................... 4 分设 P 点的坐标为(cos α, 3 sin α)，cos α+ 3 sin α- 812 +122AE ⋅ DF = [( b )2 2sin ⎛α+ π⎫ - 86 ⎪ ∴ 点 P 到直线的距离 d = = ⎝ ⎭ ， 8 分当α+ π = 2k π- π(k ∈ Z ) ，即α= 2k π- 2π(k ∈ Z) 时， d 取得最大值5，6 2 3此时点 P 的坐标为⎛ - 1 , - 3 ⎫10 分2 2 ⎪ ⎝ ⎭C.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）证明：由柯西不等式，得3(a + b + c ) = (b + c + a )( a + b 2 + c b c a)2 ]………………5 分a ⋅ )所以 a + b + c ≤ 3 ． .............................................................................................. 10 分 22.（本小题满分 10 分）π解：因为平面 ADE ⊥ 平面 ABCD ,又∠ADE = ，2即 DE ⊥ AD ，因为 DE ⊂ 平面ADE ，平面ADE 平面ABCD = AD ， ∴ DE ⊥ 平面 ABCD ,由四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形, 所以 DA , DC , DE 两两互相垂直．以 D 为坐标原点，{DA , DC , DE }为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系 ......... 2 分由 EF ⊥ 平面 ADE 且 EF = 1 ,∴ D (0, 0, 0), A (2, 0, 0), E (0, 0, 2),C (0, 2, 0), B (2, 2, 0), F (0,1, 2),（1） AE = (-2, 0, 2) , DF = (0,1, 2) ，则cos < AE , DF >=AE ⋅ DF = 4 = 10 ,2 2 ⨯ 5 52 ≥ ( b ⋅ 22 )+ ( c )2 + ( a )2][( a )2 + ( b )2 + ( c b c a a + c ⋅ b + b c c 2 a = (a + b + c ) 2⎧ ⋅ n (n +1) m n 所以 AE 和 DF 所成角的余弦值为10 (5)分 5（2） DB = (2, 2, 0) , DF = (0,1, 2) ,设平面 BDF 的一个法向量为n = ( x , y , z ) ，n ⋅ DB = 2x +2 y = 0 由⎨,取 z = 1,得 n = (2,-2,1) , ⎩n ⋅ DF = y + 2z = 0平面 DFC 的一个法向量为 m = (1, 0, 0) ,∴cos < >= m ⋅n = 2 = 2 ,m ,n 3⨯1 32由二面角 B - DF - C 的平面角为锐角,所以二面角 B - DF - C 的余弦值为 3.……10 分23.（本小题满分 10 分）解：（1）1, 2, 3的所有排列为1, 2,3;1,3, 2; 2,1,3; 2,3,1;3,1, 2;3, 2,1，因为 S 3 = 6 ，所以对应的 k P 分别为 2,1, 2,1,1,1，所以T 3 = 8 ； ............................... 3 分（2）（i ）设 n 个不同数的某一个排列 P 为 a 1 , a 2 , ⋅⋅⋅, a n ，因为 n = 4l +1,l ∈ N *，所以 S n == (4l + 1)(2l + 1) 为奇数，2而 2S k 为偶数，所以不存在 k (k ∈ N *,1≤ k ≤ n ) 使得 2S k = S n ； ...........................5 分 (ii) 因为 2S k ≤ S n ，即 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k ≤ a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ，又由（i ）知不存在 k (k ∈ N *,1≤ k ≤ n ) 使得 2S k = S n ，所以 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k < a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ；所以满足 2S k ≤ S n 的最大下标 k 即满足 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k < a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ① 且 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k + a k +1 > a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ②，考虑排列 P 的对应倒序排列 P ' : a n , a n -1, ⋅⋅⋅, a 1 ，①②即 a n + ⋅⋅⋅ + a k +2 < a k +1 + a k + ⋅⋅⋅ + a 2 + a 1 ， a n + ⋅⋅⋅ + a k +2 + a k +1 > a k + ⋅⋅⋅ + a 2 + a 1 , 由题意知 k P ' = n - k -1，则 k P + k P ' = n - 1 ； ..................................................................................................... 8 分又1, 2, 3,⋅⋅⋅, n ，这 n 个不同数共有 n !个不同的排列，可以构成 n !个对应组合( P , P ') ，2且每组( P , P ') 中 k P + k P ' = n - 1 ，所以T n =n !(n -1) ． .................................... 10 分2。

泰州市2020年5月高三数学第二次模拟卷附答案解析

12>0 θ (0 ) (6 ) 3
1
S 2 MB DM 24sin (24cos
12)
2
(0 ) (9 ) 3
f( θ）sin (2cos
1)
(0 ) 3
f ′ ( θco）s (2cos
1) 2sin2
4cos2
cos
2 0 cos
cos
1
33 >
1
82
0 (0
)
3
x (0 0) f ( θ )>0 f( θ）(0 0)
BC
1 k2
1 k2
ABCD
4 1 k2 S
1 2k2
2k 1 k2
8k 1 2k2
8 1
2k
8 22
22
k
7
k2 2
ABCD
S
2 2.(11 )
(3)
ABCD
AB BC
4 1 k2 1 2k2
2k 1 k2
2k3 2k2 k 2 0(k>0)
f(k) 2k3 2k 2 k 2(k>0)
f(1)
1<0 f(2) 8>0
(2)
(0
), g (x) 1 m
x
m0
1
g (x)
m>0
x
m>0
0<x< 1
g (x) 1 m>0
m
x
x> 1 m
g (x) 1 m<0 x
g(x)
g( 1 ) ln 1 m·1
ln m 1.
m
mm
1 g( )
m
ln m 1<0
1 m> .(10 )

江苏省泰州市高三下学期数学5月高考模拟试卷

江苏省泰州市高三下学期数学5月高考模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）设集合，则 ________．2. （1分）已知x，y∈R，且（x+y）+i=3x+（x﹣y）i，则x=________，y=________．3. （1分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则的值为________．4. （1分） (2020高二下·成都月考) 已知条件“曲线表示焦点在轴上的椭圆”,条件“曲线表示双曲线”,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为________．5. （1分）(2019·扬州模拟) 根据如图所示的伪代码，已知输出值为3，则输入值为________．6. （1分）毎袋食品内有3张画中的一种，购买5袋这种食品，能把三张画收集齐全的概率是________．7. （1分） (2019高二下·静安期末) 用一块半径为2分米的半圆形薄铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，若衔接部分忽略不计，则该容器的容积为________立方分米.8. （1分）(2012·福建) 数列{an}的通项公式an=ncos +1，前n项和为Sn ，则S2012=________9. （1分） (2016高二上·驻马店期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．10. （1分）已知向量，且∥ ，则与方向相反的单位向量的坐标为________．11. （1分）在平面直角坐标系中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为 ,则实数的取值范围是________．12. （1分） (2020高一下·大庆期末) 已知，则的最小值是________．13. （1分）(2017·云南模拟) 在平面内，Rt△ABC中，BA⊥CA，有结论BC2=AC2+AB2 ，空间中，在四面体V﹣BCD中，VB，VC，VD两两互相垂直，且侧面的3个三角形面积分别记为S1 ， S2 ， S3 ，底面△BCD的面积记为S，类比平面可得到空间四面体的一个结论是________．14. （1分）(2020·攀枝花模拟) 如图,在直四棱柱中,底面是菱形, 分别是的中点, 为的中点且 ,则面积的最大值为________．二、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）(2019高二上·阳江月考) 在中，内角的对边分别为，且.（1）求角B的大小；（2）若，求的面积.16. （10分）(2018·益阳模拟) 在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，， .（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.17. （10分） (2019高二上·阳春月考) 中国“一带一路”战略构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台,需另投入成本 (万元),当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元),若每台设备售价为万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y(万元)关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？18. （10分） (2018高二上·江苏月考) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：点在一条定直线上．19. （10分） (2017·新课标Ⅱ卷文) 设函数f（x）=（1﹣x2）ex ．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．20. （15分） (2019高二上·潜山月考) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1=1，Sn＋1=4an＋2. （1）设bn=an＋1−2an ，证明：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、。

2020年江苏省泰州市高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)

2020年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设A={x|{3−x>0x+2>0}，B={m|3>2m−1}，则A∪B=______ ．2.设i是虚数单位，若(x−i)i=y+2i，x，y∈R，则实数x+y=______ ．3.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，样本重量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本重量落在[15,20]内的频数为______ ．4.读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x的值为________．5.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=x，那么离心率e=______．6.甲、乙两人分别将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)抛掷1次．观察向上的点数，则甲的点数不大于乙的点数的概率为_________．7.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为______ ．8.中国古代数学著作《算数统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里米，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关…”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的1一半，共走了六天到达关口…”那么该人第一天走得路程为______．9.已知f(x)={2x−1 , x≤0f(x−1)−f(x−2) , x>0，则f(2016)=__．10.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为√3π，面积为2√3π的扇形，则该圆锥的体积是________．11.已知函数f(x)={x 2−x,−1≤x≤0ln(x+1).0<x≤4，若g(x)=f(x)−k(x+1)有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是______ ．12.已知A(x1,y l)，B(x2,y2)是圆O：x2+y2=2上两点，且∠AOB=120°，则x1x2+y1y2=______ ．13.△ABC中，cosA=13，AB=2，则CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______ ．14.在△ABC中，AC=7，BC=13，D在边BC上，BD=10，AD=5，则AB=________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，在三棱锥S−ABC中，SB=SC，E是BC上的点，且SE⊥BC．(1)若F是SC的中点，求证：直线EF//平面SAB；(2)若AB=AC，求证：平面SAE⊥平面SBC．16.已知，．(1)求的值；(2)求函数的最大值．17.某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径(如图).设∠AOF=θ，其中O为圆心．(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．18.在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且两焦点F1,F2与椭圆的短轴顶点(0,1)构成直角三角形的三个顶点．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1,l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1,l2分别与椭圆交于点A,B和C,D.(i)求|AB|+|CD|的值；(ii)设AB的中点为M，CD的中点为N，求ΔOMN面积的最大值．19.设函数f(x)=x3−3x2−9x，求函数f(x)的极大值．20.若数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n(n∈N∗).(1)求{a n}的通项公式；(2)等差数列{b n}的各项均为正数，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．21.若二阶矩阵M满足[−21 22−1]M=[−304−1].求曲线4x2+4xy+y2−12x+12y=0在矩阵M所对应的变换作用下得到的曲线的方程．22.在直角坐标系xOy中，直线l：√3x+y+9=0.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线C的极坐标方程为ρ=−2√3cos θ，θ∈[π,32π]．(1)求曲线C的参数方程；(2)求曲线C上一点P到直线l的距离的最小值及此时点P的坐标．23.已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：1a2+1b4+1c6≥27．24.如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点．(1)求异面直线AF和BE所成的角的余弦值；(2)求平面ACC1与平面BFC1所成的锐二面角．25.已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，(1)若k=7，a1=2；(i)求数列{a n b n}的前n项和T n；(ii)将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求S2n−n−1−22n−1+3⋅2n−1(n≥2,n∈N∗)的值(2)若存在m>k，m∈N∗使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．-------- 答案与解析 --------1.答案：{x|x<3}解析：【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．【解答】解：由A中不等式组解得：−2<x<3，即A={x|−2<x<3}，由B中不等式解得：m<2，即B={m|m<2}，则A∪B={x|x<3}．故答案为：{x|x<3}2.答案：3解析：解：若(x−i)i=y+2i，则1+xi=y+2i，则x=2，y=1，故x+y=3，故答案为：3．根据复数的对应关系求出x，y的值，求和即可．本题考查了复数的运算，考查对应关系，是一道基础题．3.答案：20解析：【分析】本题考查了频率分布直方图，属基础题，根据频率分布直方图中各组的频率=小矩形的高×组距，求得频率，再根据频数=频率×样本容量求得频数．【解答】解：数据在[15,20]内的频率为1−(0.06+0.1)×5=0.2，∴样本重量落在[15,20]内的频数为100×0.2=20．故答案为20．4.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．5.答案：√2解析：解：根据题意，双曲线x2a −y2b=1的一条渐近线方程为y=x，则有ba=1，即a=b，则c=√a2+b2=√2a，则双曲线的离心率e=ca=√2；故答案为：√2根据题意，由双曲线的标准方程以及渐近线方程分析可得ba=1，即a=b，进而由双曲线的几何性质可得c与a的关系，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的渐近线方程分析a、b的关系．6.答案：712解析：【分析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．先求出基本事件总数为36，甲的点数不大于乙的点数包含的基本事件数为21，再利用古典概型的计算公式即可．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，甲的点数不大于乙的点数包含的基本事件有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,5)，(5,6)， (6,6)，共21个，∴甲的点数不大于乙的点数的概率2136=712．故答案为712．7.答案：32解析：解：抛物线y 2=6x 焦点F(32,0)，设点P(x,y)，x >0．由抛物线的定义P 到焦点的距离d 1=x +p2=x +32， P 到y 轴的距离d 2=x ，由x +32=2x ，解得x =32， ∴该点的横坐标32，故答案为：32．利用抛物线的定义义P 到焦点的距离d 1=x +p2，P 到y 轴的距离d 2=x ，由x +32=2x ，即可求得x 值，求得P 点的横坐标．本题考查抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题．8.答案：192里解析：解：根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，则S 6=a 1[1−(12)6]1−12=378，解可得：a 1=192，即该人第一天走的路程为192里．故答案为：192里．根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：12解析：【分析】根据已知中函数的解析式，分析出f(x)是周期为6的周期函数，进而可得答案．【解答】解答：∵当x >0时，f(x)=f(x −1)−f(x −2)，f(x −1)=f(x −2)−f(x −3)，得出f(x)=−f(x −3)，可得f(x +6)=f(x)，所以周期是6．所以f(2016)=f(336×6)=f(0)，=20−1=12．故答案为12．10.答案：π解析：【分析】本题考查圆锥的体积，属较易题．由已知展开图设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，代入已知求参数，然后求圆锥的体积．【解答】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l.由题意知2πr l=√3π，且12⋅2πr ⋅l =2√3π，解得l =2，r =√3，所以圆锥高ℎ=√l 2−r 2=1，则体积V =13πr 2ℎ=π．11.答案：[ln55,1e)解析：解：y =f(x)−k(x +1)=0得f(x)=k(x +1)，设y =f(x)，y =k(x +1)，在同一坐标系中作出函数y =f(x)和y =k(x +1)的图象如图：因为−1≤x ≤0时，函数f(x)=x 2−x 单调递减，且f(x)>0．因为f(4)=ln5，即B(4,ln5)．当直线y =k(x +1)经过点B 时，两个函数有3个交点，满足条件．此时ln5=5k ，则k =ln55，由图象可以当直线y =k(x +1)与f(x)=ln(x +1)相切时，函数y =f(x)−k(x +1) 有两个零点．设切点为(a,ln(a +1))，则函数的导数f′(x)=1x+1，切线斜率k =1a+1，则切线方程为y −ln(a +1)=1a+1(x −a)，即y =1a+1x 1a+1+ln(a +1)， ∵y =k(x +1)=kx +k ， ∴−{k =1a+1ln(a +1)−aa+1=k得a =e −1，k =1e−1+1=1e ．所以要使函数y =f(x)−k(x +1)有三个零点，则ln55≤k <1e ．故答案为：[ln55,1e )．由y =f(x)−k(x +1)=0得f(x)=k(x +1)，设y =f(x)，y =k(x +1)，然后作出图象，利用数形结合的思想确定实数k 的取值范围．本题综合考查了函数的零点问题，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．12.答案：−1解析：解：由题意，x 1x 2+y 1y 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵A(x 1,y l )，B(x 2,y 2)是圆O ：x 2+y 2=2上两点，且∠AOB =120°， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=√2×√2×(−12)=−1 故答案为：−1．由题意，x 1x 2+y 1y 2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量的数量积公式，即可得到结论．本题考查向量知识的运用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．13.答案：−19解析：【分析】以AC 为x 轴，A 为原点建立坐标系，设AC =x ，用x 表示出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，得出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于x 的函数，利用二次函数性质求出最小值．本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的性质，属于中档题．【解答】解：以AC 为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系，设AC =x ，则C(x,0)，B(23,4√23)，A(0,0)． ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,0)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23−x,4√23). ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−23x =(x −13)2−19．∴当x =13时，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−19．故答案为−19．14.答案：5√3解析：【分析】本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．根据余弦定理弦求出C 的大小，利用正弦定理即可求出AB 的长度．【解答】解：如图所示：∵AD =5，AC =7，DC =3， ∴由余弦定理得cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅CD=72+32−522×7×3=1114，∴AB =√AC 2+BC 2−2AC ·BC ·cosC =√49+169−2×7×13×1114=√75=5√3 故答案为5√3．15.答案：证明：(1)因为，在△ABC 中，SB =SC ，且SE ⊥BC ，所以，点E 是BC 的中点，又因为F 是SC 的中点，故EF //SB ，又因为SB ⊂平面SAB ，EF ⊄平面SAB ，故直线EF//平面SAB ，(2)因为，在△ABC 中，AB =AC ，且E 是BC 的中点，故AE ⊥BC ，又因为SE ⊥BC ，且AE ∩SE =E ，故BC ⊥平面SAE ．又因为BC ⊂平面SBC ，故平面SAE ⊥平面SBC ．解析：本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，考查推理能力，属于中档题． (1)由等腰三角形三线合一可知E 为BC 的中点，故而EF//SB ，于是直线EF//平面SAB ； (2)连接AE ，则AE ⊥BC ，结合SE ⊥BC 可得BC ⊥平面AE ，故而平面SAE ⊥平面SBC ．16.答案：解：(1)由，可得，，于是；(2)因为，所以，所以，所以f(x)的最大值为√5．解析：本题考查了两角和与差的三角函数公式，三角函数的最值，同角三角函数的基本关系，属于中档题． (1)先根据，求出，，再根据两角和的正切公式即可求解； (2)先根据，求出，再根据两角差的正弦公式及两角和的余弦公式展开化简，即可得出答案．17.答案：解：(1)作AH ⊥CF 于H ，则OH =cosθ，AB =2OH =2cosθ，AH =sinθ，则六边形的面积为f (θ)=2×12(AB +CF)×AH =(2cosθ+2)sinθ =2(cosθ+1)sinθ，θ∈(0,π2).(2)f′(θ)=2[−sinθsinθ+(cosθ+1)cosθ]=2(2cos 2θ+cosθ−1)=2(2cosθ−1)(cosθ+1). 令 f′(θ)=0，因为θ∈(0,π2)，所以cosθ=12，即θ=π3，当θ∈(0,π3)时，f′(θ)>0，所以f (θ)在(0,π3)上单调递增；当θ∈(π3,π2)时，f′(θ)<0，所以f (θ)在(π3,π2)上单调递减，所以当θ=π3时，f(θ)取最大值f(π3)=2(cosπ3+1)sinπ3=3√32．答：当θ=π3时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为3√32平方百米．解析：(1)作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f(θ)=2(cosθ+1)sinθ，θ∈(0,π2).(2)求导，分析函数的单调性，进而可得θ=π3时，f(θ)取最大值．本题考查的知识点是三角函数的实际应用，利用导数研究函数的最大值，难度中档．18.答案：解：(1)两焦点F1，F2与椭圆的短轴顶点(0,1)构成直角三角形，∴b=1，c=1，∴a2=12+12=2，∴椭圆的标准方程为x22+y2=1；(2)(i)设AB的直线方程为y=k(x−1)，联立{y=k(x−1)x22+y2=1，消去y并整理得：(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0因为直线过椭圆内部的点，所以直线必定与椭圆有两个交点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，于是AB=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2 =2√2+2√2k21+2k2，同理CD=2√2+2√2(−12k)21+2(−12k)2=4√2k2+√22k2+1，于是AB+CD=2√2+2√2k21+2k2+4√2k2+√22k2+1=3√2，(ii)由(i)知x M=2k21+2k2，y M=−k1+2k2，x N=11+2k，y N=k1+2k2，所以M(2k21+2k2,−k1+2k2)，N(11+2k2,k1+2k2)，所以MN的中点为T(12,0)，于是S△OMN=12OT·|y M−y N|=14·2|k|1+2k2=12·|k|1+2k2=12·11|k|+2|k|≤√28，当且仅当2|k|=1|k|，即k=±√22时取等号，所以△OMN面积的最大值为√28．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)依题意，b=1，c=1，可得a2=2，即可得出椭圆C的标准方程．(2)(i)设直线AB：y=k(x−1)，与椭圆方程联立整理，由根与系数的关系，可得|AB|+|CD|．(ii)用k表示M、N的坐标，计算三角形OMN的面积，根据基本不等式可得最大值．19.答案：解：f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，令f′(x)>0，解得：x>3或x<−1，令f′(x)<0，解得：−1<x<3，∴函数f(x)在(−∞,−1)，(3,+∞)递增，在(−1,3)递减，∴f(x)极大值=f(−1)=1−3+9=7．解析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值．本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．20.答案：解：(1)由条件可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．∴a n=3n−1.(2)设数列{b n}的公差为d，由T3=15可得，b1+b2+b3=15，则b2=5．则可设b1=5−d，b3=5+d，又a1=1，a2=3，a3=9，由题意可得(5−d+1)(5+d+9)=(5+3)(5+3)，解得d=2，d=−10，∵数列{b n}的各项均为正，∴d>0，∴d=2．∴T n=3n+n(n−1)2×2=n2+2n．解析：(1)由条件可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，从而写出通项公式a n=3n−1；(2)由T3=15可得b2=5，设b1=5−d，b3=5+d可得(5−d+1)(5+d+9)=(5+3)(5+3)，从而解出d，从而求前n项和．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及前n项和公式，属于中档题．21.答案：解：记矩阵A=[−21 22−1]，则行列式△=(−2)×(−1)−2×12=1≠0，故A−1=[−1−12−2−2]，所以M=A−1[−304−1]=[−1−12−2−2][−304−1]=[112−22]，即矩阵M=[112−22]．设曲线4x2+4xy+y2−12x+12y=0上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下得到点P′(x′,y′)．所以[y′x′]=[112−22][y x]=[x+12y−2x+2y]，所以{x′=x+12yy′=−2x+2y，所以{x=4x′−y′6y=2x′+y′3，又点P(x,y)在曲线4x2+4xy+y2−12x+12y=0上，代入整理得2x′2+3y′=0，由点P(x,y)的任意性可知，所求曲线的方程为2x2+3y=0．解析：记矩阵A=[−2122−1]，则A−1=[−1−12−2−2]，从而求出矩阵M=[112−22].设曲线4x2+4xy+y2−12x+12y=0上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下得到点P′(x′,y′).由此能求出结果．本题考查曲线方程的求法，考查矩阵变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C：，可化为，由，得：x2+y2+2√3x=0，∵θ∈[π,32π]，∴x⩽0，y⩽0，从而曲线的直角坐标方程为(x+√3)2+y2=3(y⩽0)，再化为参数方程为为参数且α∈[π,2π]).(2)设，α∈[π,2π]，则P到l的距离，又α∈[π,2π]，∴当α=76π时，d min =|−2√3+6|2=3−√3，所以点P 的直线l 的距离取最小值为3−√3，此时点P 的坐标为(−√3−32,−√32)．解析：本题考查了圆的极坐标方程与参数方程，考查了与圆有关的最值问题，涉及了三角函数的性质与点到直线距离公式，属于中档题． (1)由，将极坐标方程化为普通直角坐标方程，根据极角确定x ，y 的范围，再将普通方程化为参数方程，注意参数的取值范围； (2)由(1)设，代入点到直线距离公式，利用三角函数的性质即可求得最小值与点P 坐标．23.答案：证明：因为正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，所以1≥3√ab 2c 33，即ab 2c 3≤127，所以1ab 2c 3≥27，因此1a 2+1b 4+1c 6≥331a 2b 4c 6≥27．解析：由正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，运用三元均值不等式，可得ab 2c 3≤127，再由均值不等式即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．24.答案：解：(1)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，E(12,0，1)，B(1,1，0)，F(1,12,1)．AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−1,1)，∴cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=12√54⋅√94=2√515．∴异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值为2√515． (2)∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵正方体AC 1中，CC 1⊥底面ABCD ，∴BD ⊥CC 1，AC ∩CC 1=C ，∴BD ⊥平面ACC 1，∴平面ACC 1的一个法向量为DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，设平面BFC 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−12,1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，则{n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12y +z =0n⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0,∴取z =1，得n ⃗ =(1,2,1)， cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√2⋅√6=√32，∵所求二面角的平面角为锐角， ∴所求的锐二面角为π6．解析：本题考查异面直线所成的角的余弦值的求法，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．(1)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF 和BE 所成的角的余弦值．(2)求出平面ACC 1的一个法向量和平面BFC 1的法向量利用向量法能求出平面ACC 1与平面BFC 1所成的锐二面角．25.答案：解：(1)因为k =7，所以a 1，a 3，a 7成等比数列，又a n 是公差d ≠0的等差数列，所以(a 1+2d)2=a 1(a 1+6d)，整理得a 1=2d ，又a 1=2，所以d =1，b 1=a 1=2，q =b 2b 1=a3a 1=a 1+2d a 1=2，所以a n =a 1+(n −1)d =n +1，b n =b 1×q n−1=2n ，(i)用错位相减法或其它方法可求得a n b n 的前n 项和为T n =n ×2n+1；(ii)因为新的数列{c n }的前2n −n −1项和为数列a n 的前2n −1项的和减去数列b n 前n 项的和，所以S 2n −n−1=(2n −1)(2+2n )2−2(2n −1)2−1=(2n −1)(2n−1−1)．所以S 2n −n−1−22n−1+3⋅2n−1=1(2)由(a 1+2d)2=a 1(a 1+(k −1))d ，整理得4d 2=a 1d(k −5)，因为d ≠0，所以d =a 1(k−5)4，所以q =a3a 1=a 1+2d a 1=k−32．因为存在m >k ，m ∈N ∗使得a 1，a 3，a k ，a m 成等比数列，所以a m =a 1q 3=a 1(k−32)3，又在正项等差数列{a n }中，a m =a 1+(m −1)d =a 1+a 1(m−1)(k−5)4，所以a 1+a 1(m−1)(k−5)4=a 1(k−32)3，又因为a 1>0，所以有2[4+(m −1)(k −5)]=(k −3)3，因为2[4+(m −1)(k −5)]是偶数，所以(k −3)3也是偶数，即k −3为偶数，所以k 为奇数．解析：(1)因为k =7，所以a 1，a 3，a 7成等比数列，又a n 是公差d ≠0的等差数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的定义可以得到a n =a 1+(n −1)d =n +1，b n =b 1×q n−1=2n ， (i)用错位相减法可求得a n b n 的前n 项和为T n =n ×2n+1；(ii)因为新的数列{c n}的前2n−n−1项和为数列a n的前2n−1项的和减去数列b n前n项的和，所以计算可得答案；(2)由题意由于(a1+2d)2=a1(a1+(k−1))d，整理得4d2=a1d(k−5)，解方程得d=a1(k−5)4，q=a3 a1=a1+2da1=k−32，又因为存在m>k，m∈N∗使得a1，a3，a k，a m成等比数列，及在正项等差数列{a n}中，得到2[4+(m−1)(k−5)]=(k−3)3，分析数特点即可．此题考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，还考查了解方程的能力，数列求和的错位相减法，及学生的计算能力．。

2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学试题(解析版)

2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学试题一、填空题1．已知集合{}1,2A =，{}2,48B =,，则A B =U _______．【答案】{}1,2,4,8【解析】利用并集的定义可求得集合A B U . 【详解】{}1,2A =Q ，{}2,48B =,，{}1,2,4,8A B ∴=U . 故答案为：{}1,2,4,8. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．若实数x 、y 满足()1x yi x y i +=-+-（i 是虚数单位），则xy =_______．【答案】12【解析】根据复数相等建立方程组，求出x 、y 的值，进而可得出xy 的值. 【详解】()1x yi x y i +=-+-Q ，1x y x y =-⎧∴⎨=-⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此，12xy =.故答案为：12. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[)6,18内的频数为_______．【答案】80【解析】将样本数据落在区间[)6,18内的频率乘以100可得出结果. 【详解】由直方图可知，样本数据落在区间[)6,18内的频率为()0.080.090.0340.8++⨯=，因此，样本数据落在区间[)6,18内的频数为1000.880⨯=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要明确频率、频数与总容量之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为_______．【答案】8【解析】根据算法程序列举出算法的每一步，进而可得出输出的S 的值. 【详解】15I =<成立，123I =+=，336S =+=； 35I =<成立，325I =+=，538S =+=； 55I =<不成立，跳出循环体，输出S 的值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查利用算法程序计算输出的值，一般要求将算法的每一步计算出来，考查计算能力，属于基础题.5．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于___.5【解析】根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得ba＝2，最后得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为：by x a=±，所以，ba＝2，离心率为：c e a ==== 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x 、y ，则1x y -=的概率是_______．【答案】518【解析】计算出基本事件总数，列举出事件“1x y -=”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为2636=，其中，事件“1x y -=”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,3、()4,5、()5,4、()5,6、()6,5，共10种情况，因此，所求事件的概率为1053618=. 故答案为：518. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______．【答案】12【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义可得出关于0x 的方程，解出0x 的值即可得解. 【详解】设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-，由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标的求解，考查了抛物线定义的应用，考查计算能力，属于基础题.8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 【答案】192【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出．【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，则S 6611[1)2112a ⎛⎤- ⎥⎝⎦==-378，解可得：a 1＝192，即该人第一天走的路程为192里．故答案为：192里．【点睛】本题考查了等比数列求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，注重了数学文化的考查，属于基础题．9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()11f =，则()()()678f f f ++的值为_______．【答案】1-【解析】利用函数()y f x =的周期性和奇偶性分别求出()6f 、()7f 、()8f 的值，进而可得出结果. 【详解】由于定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()4f x f x +=，则该函数是周期为4的周期函数，且()11f =，则()()800f f ==，()()()7111f f f =-=-=-，()()()622f f f =-=，又()()22f f -=-，()20f ∴=，则()60f =，因此，()()()6781f f f ++=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，考查计算能力，属于中等题.10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R =_______．【答案】6【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据半圆弧长等于圆锥底面圆的周长可得出r 与R 的等量关系，并求出圆锥的高，得出圆锥的体积，由此可求得R 的值. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长，则2r R ππ=，2R r ∴=，圆锥的高为2h R ==，则圆锥的体积为22311334224R V r h R R ππ==⨯⨯==，解得6R =.故答案为：6. 【点睛】本题考查由圆锥的体积求参数，考查计算能力，属于中等题. 11．若函数()2,1,x a x af x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(](],10,1-∞-U【解析】分1a ≤-、11a -<≤、1a >三种情况讨论，结合函数()y f x =只有一个零点得出关于实数a 的不等式（组），即可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-； ②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤； ③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞-U . 故答案为：(](],10,1-∞-U . 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，解答的关键就是对参数进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()11,A x y 、()22,B x y 在圆22:4O x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是_______．【答案】-【解析】求得23AOB π∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设b a >，可得出()223k k N πβαπ=++∈，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得1212x x y y +++的最小值. 【详解】由题意可得()11,OA x y =u u u r 、()22,OB x y =u u u r ，12122OA OB x x y y ⋅=+=-u u u r u u u r，所以，1cos 2OA OB AOB OA OB ⋅∠==-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AOB π<∠<Q ，23AOB π∴∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设b a >，则()223k k N πβαπ=++∈，所以，12122cos 2cos 2sin 2sin x x y y αβαβ+++=+++222cos 2cos 22sin 2sin 233k k ππααπααπ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()13sin 13cos 22sin αααϕ=-++=--，ϕ为锐角，且31tan 2331ϕ+==+-，因此，1212x x y y +++的最小值22-. 故答案为：22-. 【点睛】本题考查代数式最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.13．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r，AC AF λ=u u u r u u u r ，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3【解析】将EF u u u r表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，由题意得知ED u u u r 与AC u u u r 不垂直，由3ED EF ⋅=u u u r u u u r 可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值.【详解】如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u ur 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r ，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积求参数，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.14．在ABC V 中，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，23tan 2tan 30B A -+=，则BDCD的取值范围为_______．【答案】(]1,2 【解析】作出图形，由23tan 2tan 30B A -+=得出()23tan tan 12A B =+，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出24tan 41133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B=+=+-++-，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得BDCD的取值范围. 【详解】如下图所示：23tan 2tan 30B A -+=Q ，()23tan tan 12A B ∴=+， AD BD =Q ，BAD B ∴∠=，CAD A B ∠=-，且B 为锐角，在ACD V 中，()()sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A B BD AD CA B A B CD CD CAD A B A B A B++====∠--()()222223tan 1tan tan tan 3tan 2tan 34tan 2113tan tan 3tan 2tan 33tan 2tan 3tan 1tan 2B BA B B B B A B B B B B B B +++++====+>--+-++-，另一方面24tan 4111233tan 2tan 313tan 232tan 2tan tan BD B CD B B B B B B=+=+≤=-++-⨯⋅-，当且仅当4B π=时，等号成立，因此，BDCD的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）利用中位线的性质得出//DE BC ，然后利用线面平行的判定定理可证得//BC 平面PDE ；（2）证明出DE PA ⊥，DE AF ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAF ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAF ⊥平面PDE ．【详解】（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ，因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ；（2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥，在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥，因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ，因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题. 16．已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()2f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α+=. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得出函数()y f x =的最大值，解方程()2242x k k Z πππ-=+∈可得出对应的x 的取值集合；（2）由()6f α=得出1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系求得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后利用两角和的正弦公式可求得sin 2α的值.【详解】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值，所以函数()y f x =的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()6f α=，则sin 2246πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122224232326+=⋅+⋅=. 【点睛】本题考查正弦型函数最值的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.17．某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M 、N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM 、AN 分别交于点D 、E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设MAB θ∠=．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．【答案】（1）2144(22)m -；（2）(3333)AM m =+【解析】（1）计算出BM 、DM 的长，利用三角形的面积公式可求得III 和IV 两个部分面积的和；（2）将BM 、DM 用含θ的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积S 关于θ的函数表达式，令()()sin 2cos 1fθθθ=-，利用导数求出()f θ的最大值，并求出对应的θ的值，由此可求得AM 的长. 【详解】（1）在Rt ABM V 中，因为24AB =，4πθ=，所以24cos1224MB AM π===24cos12122124MD π=-=，所以池内休息区总面积)(()2121214422S MB DM m =⋅⋅==；（2）在Rt ABM V 中，因为24AB =，MAB θ∠=，所以24sin BM θ=，24cos AM θ=，24cos 12MD θ=-，由24sin 0BM θ=>，24cos 120MD θ=->得πθ0,3骣琪Î琪桫，则池内休息区总面积()()1224sin 24cos 12288sin 2cos 12S MB DM θθθθ=⋅⋅=-=-，πθ0,3骣琪Î琪桫；设()()sin 2cos 1f θθθ=-，πθ0,3骣琪Î琪桫，因为()()221cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos 8f θθθθθθθ=--=--=⇒='又1cos 2θ=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=，则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调递减，即()0fθ是极大值，也是最大值，所以()()0max f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+【点睛】本题考查导数的实际应用，涉及三角函数的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，AOB V 的面积为b ，且AB =．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）22（3）ABCD 为正方形，理由见解析. 【解析】（1）根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出椭圆M 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为()2y k x =+，其中0k >，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，求出点B 的坐标，利用两点间的距离公式求出AB ，并求出BC ，可得出四边形ABCD 的面积S 关于k 的表达式，然后利用基本不等式可求得S 的最大值；（3）由四边形ABCD 为正方形得出AB BC =，可得出()3222200k k k k -+-=>，构造函数()()322220f k k k k k =-+->，利用零点存在定理来说明函数()y f k =在()0,k ∈+∞时有零点，进而说明四边形ABCD 能成为正方形. 【详解】（1）由题意：22312a b b ab b +=⎨=⎪⎩，解得2a =，2b =所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=；（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >，则直线AB 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，联立()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222128840k x k x k +++-=，解得222412B k x k-=+，2412B k y k =+，所以AB ==，直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++所以当且仅当2k =时，矩形ABCD面积S 取最大值为（3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC==，则()3222200k k k k -+-=>，令()()322220f k k k k k =-+->，因为()110f =-<，()280f =>，又()()322220f k k k k k =-+->的图象不间断，所以()()322220f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积最值的计算，以及动点问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由；（2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知()32111323h x x ax bx b =++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”．【答案】（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（3）求出函数()y h x =的导数()2h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】（1）函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”，理由如下：因为()1x x f x e =-，则()1x xf x e='-，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”；（2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1g x m x'=-. 当0m ≤时，()10g x m x-'=>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意；当0m >时，当10x m<<时，()10g x m x -'=>，函数单调递增，当1x m>时，()10g x m x -'=<，函数单调递减，所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ⎛⎫=-⋅=--⎪⎝⎭，易知1ln 10g m m ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得1m e >，因此，实数m 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3） ()2h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以()20h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增；当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减. 所以函数()y h x =的极大值为()321111111323h x x ax bx b =++-，由()21110h x x ax b =++='得()3211111x x ax b ax bx =--=--，因为2a ≤-，01b <<，所以()()322211111111111111323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- ()()22211111121121111063333333ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<．所以函数()y h x =是“YZ 函数”．【点睛】本题考查函数的新定义“YZ 函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由；（2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，分12q =-和12q ≠-两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可；（2）设n a 是公差为d 的等差数列{}n d 的前n 项和，推导出11n n n a a d ++-=，由2n n n a a b +=+推导出12n n b b d +-=，进而可证得结论成立；（3）利用数列{}n c 是等差数列结合12n n n c a a +=+推导出212n n n b b b ++=+，再结合数列{}n b 是等比数列，推导出1n n b b +=，由数列{}n c 是等差数列得出212n n n c c c +++=，推导出3223n n n a a a +++=，并将321n n n n a a a a +++=+-代入化简得212n n n a a a +++=，从而可证明出数列{}n a 是等差数列.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则()12221n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+，当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列；当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以()()112121n n n n q a c q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数列；（2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ，因为12n n a d d d =+++L ，所以1121n n n a d d d d ++=++++L ，两式相减得11n n n a a d ++-=，因为2n n n a a b +=+，所以()()()()1312321312n n n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++++-=---=---=-=，所以数列{}n b 是等差数列；（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以()()43322112222n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+，即 ()()()423122n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅，即()()1120n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=，则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即()()()321212222n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的证明，考查了等差、等比中项法以及等差、等比数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.21．已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵 3 41 2M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【答案】1611⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】利用25a b M b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦列出方程组求出a 、b 的值，求出矩阵M 的逆矩阵1M -，利用矩阵的乘法可求得矩阵1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【详解】因为342125a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩，所以1121322M --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，所以112416=1361122M b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的变换，同时也考查了逆矩阵的求解以及矩阵乘法的应用，考查计算能力，属于中等题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】【解析】将直线l的极坐标方程化为普通方程，设点()cos P αα，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最大值．【详解】由题：直线方程即为sin coscos sin44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=，设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离6d πα⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当()262k k Z ππαπ+=-∈，即()223k k Z αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【答案】见解析【解析】利用柯西不等式证明出()()2222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c ++≤. 【详解】由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭()()()222222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22b c a a b c b c a ⎛≥⋅+⋅+⋅=++ ⎪⎝⎭，所以3a b c ++≤．【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.24．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ADE V 是等腰直角三角形，且2ADE π∠=，EF ⊥平面ADE ，1EF =．（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求二面角B DF C --的余弦值．【答案】（1）105；（2）23. 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证明出DE ⊥平面ABCD ，然后以D 为坐标原点，{},,DA DC DE u u u r u u u r u u u r为一组基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求出平面BDF 和CDF 的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角B DF C --的余弦值．【详解】（1）2ADE π∠=Q ，即DE AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE I 平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADE ， DE ∴⊥平面ABCD ，由于四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以DA 、DC 、DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{},,DA DC DE u u u r u u u r u u u r为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.EF ⊥Q 平面ADE 且1EF =，()0,0,0D ∴、()2,0,0A 、()0,0,2E 、()0,2,0C 、()2,2,0B 、()0,1,2F ， ()2,0,2AE =-u u u r ，()0,1,2DF =u u u r ，则10cos ,225AE DF A AE DF E DF ⋅<===⨯⋅>u u u r u u u r u u u u r u u u u ur r u u u r ，所以AE 和DF 10 （2）()2,2,0DB =u u u r ，()0,1,2DF =u u u r ，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由22020n DB x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得()2,2,1n =-r ， Q 平面CDF 的一个法向量为()1,0,0m =u r ，22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⨯⋅u r r u r r u r r ，由二面角B DF C --的平面角为锐角，所以二面角B DF C --的余弦值为23. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角和二面角的余弦值，解答的关键就是建立合适的空间直角坐标系，考查计算能力，属于中等题.25．给定()3,n n n N *≥∈个不同的数1、2、3、L 、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若3n =，求3T ；（2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =； ②求n T （用n 表示）．【答案】（1）38T =；（2）①见解析；②()!12n n T n =-. 【解析】（1）列出1、2、3的所有排列，求出6个排列P 中P k 的值，进而可求得3T 的值；（2）①设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，求得()()()141212n n n S l l +==++为奇数，再由2k S 为偶数可得出结论； ②由题意可得出2k n S S <，可得出1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+，考虑排列P 的对应倒序排列P '，推导出1P k n k '=--，由此可得出1P P k k n '+=-，再由1、2、3、L 、n 这n 个不同数可形成!2n 个对应组合(),P P '，进而可求得n T 的值. 【详解】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数，而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S = （ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①，且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '，且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-．【点睛】本题考查数列中的新定义，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题.。

江苏省泰州市2019-2020学年度第二学期调研测试高三数学试题(含答案)

因为 a ≤ −2 ， 0 < b < 1 ，则 ∆= a2 − 4b > 0 ，
所以 h′(x) = x2 + ax + b = 0 有两个不等实根，设为 x1, x2 ，
因为
x1 + x2 x1x2=
=−a b>0
>
0
，所以
x1
>
0,
x2
>
0
，不妨设 0
<
x1
<
x2
，
当 0 < x < x1 时， h′(x) > 0 ，则 h(x) 单调递增；
33
，
8
又= cosθ
1+ 33 8
>
1 2
，所以 ∃θ0
∈
0,
π 3
，使得
cosθ
0
=
1+ 8
33
，
则当 x ∈(0,θ0 ) 时， f ′(θ ) > 0 ⇒ f (θ ) 在 (0,θ0 ) 上单调增，
当
x
∈
θ0
,
π 3
时，
f ′(θ ) < 0 ⇒
f
(θ ) 在 (0,θ0 ) 上单调减，
因为 f (1) =−1 < 0, f (2) =8 > 0 ，又 f (k)= 2k3 − 2k 2 + k − 2(k > 0) 的图象不间断，
所以 f (k)= 2k3 − 2k 2 + k − 2(k > 0) 有零点，所以存在矩形 ABCD 为正方形．
19.（本题满分 16 分）
解：（1）函数 f (x=)

江苏省泰州市2019-2020学年高考数学五模试卷含解析

江苏省泰州市2019-2020学年高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）【答案】C 【解析】【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m=>，320x y +=可化为32y x =-32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.3．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.4．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-r r，则3m =是//a b r r 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A 【解析】【分析】向量1a m =r （，），32b m =-r（，），//a b r r ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =r （，），32b m =-（,）r ， //a b r r，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.5．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =u u u r u u u r，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=uu r uuu r（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =u u u r u u u r即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅uu r uuu r .【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则TP PB ⊥，112A P PB =u u u r u u u r则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆，则111TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠uu r uuu r uu r uuu r2222212221⎛⎫=+⨯=- +⎝，故选：D. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.6．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r （O 为坐标原点），且123PF =u u u v u u u v，则双曲线的离心率为（） A 21+ B 21C 31+ D 31【答案】D 【解析】利用向量运算可得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ，由OA 为12PF F ∆的中位线，得到12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取2PF 的中点A ，则由()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r 得220OA F P ⋅=u u u v u u u u v，即2OA F P ⊥u u u r u u u u r ；在12PF F ∆中，OA 为12PF F ∆的中位线，所以12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=；由双曲线定义知122PF PF a -=，且123PF PF =，所以()312c a -=，解得31e =+，故选：D 【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.7．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势【答案】D 【解析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.8．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（）A B ．C D 【答案】A 【解析】【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r. 因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题 9．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为（） A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果. 【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题. 10．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限.故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.11．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得c e a =.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

20xx届江苏省泰州市第二中学高三下学期5月学情调研数学试题(解析版)(24页)

20xx届江苏省泰州市第二中学高三下学期5月学情调研数学试题（解析版）（24页）试卷第 =page 2 2页，总 =sectionpages 4 4页第 Page \* MergeFormat 1 页共 NUMPAGES \* MergeFormat 6 页20xx届江苏省泰州市第二中学高三下学期5月学情调研数学试题一、填空题1．已知集合，集合，则.【答案】【解析】试题分析：由题意可知集合A表示四个实数，而集合B表示非负实数，所以两个集合交集为.最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点.【考点】集合的运算.2．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 .【答案】【解析】试题分析：先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即正确解答本题需正确理解纯虚数概念.【考点】复数的运算，纯虚数的概念.3．现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .【答案】【解析】试题分析：从甲、乙、丙人中随机选派人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为.枚举法是求古典概型概率的一个有效方法.【考点】古典概型概率计算方法.4．根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为_________.【答案】【解析】【详解】试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知,应填.【考点】伪代码语言的理解和运用．5．若一组样本数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差s2=_____.【答案】【解析】∵=5,∴a=5.∴s2=[(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]=.故答案为6．在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即.解答本题需注意双曲线的焦点位置.【考点】双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.7．已知，是原点，点的坐标为满足条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】根据约束条件画出可行域，再利用的几何意义求范围，只需求出和夹角的余弦值的取值范围，从而得到的取值范围.【详解】作出可行域如图所示：，因为，当时，，当时，，所以的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，以及向量数量积的定义，考查简单的转化思想和数形结合思想，属于中档题.8．设函数，若，，成等差数列（公差不为零），则______.【答案】2【解析】由题意可得，化简，代入化简即可.【详解】因为，，成等差数列，所以，故答案为：2【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及分式的加减运算，属于基础题.9．已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________．【答案】或.【解析】根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分真假和假真，两种情况讨论，即可得到实数的取值范围．【详解】解：，不等式恒成立；即恒成立；由于的最小值为2，故为真命题时，，有最小值．表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立即，解得故为真命题时，两个命题中有且只有一个是真命题，当真假时，或，，，或，当假真时，这样的值不存在故实数的取值范围是或故答案为：或.【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值范围，是解答本题的关键．10．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是．【答案】2x2﹣2y2=1【解析】【详解】试题分析：椭圆中，∵中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，∴双曲线中，∵椭圆的离心率为，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中，，，∴双曲线的方程为.【考点】1.双曲线的标准方程；2.椭圆的简单性质；3.双曲线的简单性质． 11．已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围______.【答案】且【解析】根据向量的夹角为锐角其数量积大于0，且不同向共线，即可得答案；【详解】，，，即，又，不共线，∴，∴且.故答案为：且.【点睛】本题考查向量夹角的计算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量同向共线夹角不为锐角.12．已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】根据的范围确定的值域和的值域，根据成立，推出的值域和的值域交集非空，先求二者交集为空集时的取值范围，进而可求交集非空时的取值范围.【详解】当时，在上单调递减，所以，即，，当时，，所以，可得在单调递增，所以，即，所以的值域为，因为且，所以，即，因为，所以，所以所以的值域为，因为存在，使得成立，所以，若，则或，此时或，所以当时，的取值范围是：.所以实数的取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性的判断，利用了导数研究函数的单调性，同时考查了利用单调性研究函数的值域问题，属于中档题.13．如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是______.【答案】【解析】设，结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积为，化简得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】设，因为，可得且，所以梯形的面积为，则，所以，令，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程及几何性质，以及导数的实际应用，其中解答中结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数在上是增函数．其中正确的命题的序号是________．【答案】①②③【解析】根据函数的基本性质，结合题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】① 由定义知：，所以，即的值域为；故①对；② 因为，所以函数的图象关于直线对称；故② 对；③ 因为，所以函数是周期函数，最小正周期为；故③ 对；④ 当时，，；当时，，，此时，故④ 错.故答案为：①②③【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记函数的基本性质即可，属于常考题型.二、解答题15．在平面直角坐标系中，已知点、，其中.（1）若，求证：.（2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）用坐标表示出，，求出它们的数量积，利用可证.（2）由，可求解得，进而可求得，即可求得.【详解】（1）由题设知，.所以因为，所以.故.（2）因为，所以，即，解得.因为，所以.因此，.从而.【点睛】本题以向量为载体，考查三角函数，数量积的运算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】（1）连接与交于点，连接，由三角形中位线定理，可得，由线面平行的判定定理，即可得平面.（2）由已知中正方体的棱长为2，点到平面的距离为1，求出棱锥底面面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥的体积.【详解】（1）连接与交于点，连接；因为为的中点，为的中点.所以，又平面，平面.所以平面.（2）由于点到平面的距离为1，故三棱锥的体积.【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.17．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）吨；（2）不获利，补元.【解析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为，利用基本不等式求得的最小值，利用等号成立的条件求得的值，由此可得出结论；（2）令，求得该函数在区间的最大值，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可知，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，由基本不等式可得（元），当且仅当时，即当时，等号成立，因此，该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令，，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，即.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损.【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题. 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）依题意，得，，由此能求出椭圆C的方程.（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，故，由，知，由此能求出圆T的方程.（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证明为定值.【详解】（1）依题意，得，，，故椭圆C的方程为.（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，所以，由，则，.由于，故当时，的最小值为，所以，故，又点在圆T上，代入圆的方程得到.故圆T的方程为：（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：.故又点与点在椭圆上，故，代入上式得：，所以【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.19．设等差数列的前项和为，已知，.（1）求；（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.①当取最小值时，求的通项公式；②若关于的不等式有解，试求的值.【答案】（1），（2）①，②【解析】试题分析：（1）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n项和公式求出公差d即可，（2）①利用等比数列每一项都为等差数列中项这一限制条件，对公比逐步进行验证、取舍，直到满足.因为研究的是取最小值时的通项公式，因此可从第二项开始进行验证，首先满足的就是所求的公比，②由①易得与的函数关系，并由为正整数初步限制取值范围，当且时适合题意，当且时，不合题意.再由不等式有解，归纳猜想并证明取值范围为本题难点是如何说明当时不等式即无解，可借助研究数列单调性的方法进行说明.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则，解得， 2分所以. 4分（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，若，则由，得，此时，由，解得，所以，同理； 6分若，则由，得，此时，另一方面，，所以，即， 8分所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比．所以． 10分（3）因为，得，而，所以当且时，所有的均为正整数，适合题意；当且时，不全是正整数，不合题意.而有解，所以有解，经检验，当，，时，都是的解，适合题意； 12分下证当时，无解, 设，则，因为，所以在上递减，又因为，所以恒成立，所以，所以恒成立，又因为当时，，所以当时，无解. 15分综上所述，的取值为 16分【考点】等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n项和公式，数列单调性.20．已知函数（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）0.【解析】（1）根据建立关于的方程求出的值.（2）本小题实质是在区间上恒成立，进一步转化为在区间上恒成立,然后再讨论和两种情况研究.（3）时，方程可化为,问题转化为在上有解，利用导数研究函数的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.【详解】解：（1）因为为的极值点，所以，即，解得.又当时，，从而为的极值点成立．（2）因为函数在上为增函数，所以在上恒成立.①当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意.②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立.令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以.因为，所以.综上所述，的取值范围为.（3）当时，方程可化为.问题转化为在上有解，即求函数的值域.因为函数，令函数，则，所以当时，，从而函数在上为增函数，当时，，从而函数在上为减函数，因此.而，所以，因此当时，取得最大值0．【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，函数的最值，构建函数是关键，还考查恒成立问题，正确分离参数是关键.21．已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A．【答案】【解析】设矩阵，这里a，b，c，d∈R，由题得a,b,c，d的方程求解即可求出矩阵A；【详解】设矩阵，这里a，b，c，d∈R，因为是矩阵A的属于λ1＝1的特征向量，则有①，又因为是矩阵A的属于λ2＝2的特征向量，则有②，根据①②，则有从而a＝2，b＝﹣1，c＝0，d＝1，因此.【点睛】本题考查矩阵与变换的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意特征方程和特征值的合理运用．22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程.【答案】【解析】把曲线的参数方程化为，两式平方后相加，可得曲线的普通方程，再结合极坐标与直角的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程.【详解】由曲线的参数方程是（是参数），可得，两式平方后相加得，所以曲线是以为圆心，半径等于的圆，令，，代入并整理得，即曲线的极坐标方程是.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，其中解答中准确消去参数和熟记极坐标与直角坐标的互化公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.23．已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为5，求的值，并写出此抛物线的方程.【答案】答案见解析【解析】对抛物线的开口方向分四种情况进行讨论，并设出抛物线方程的标准形式，利用抛物线的定义可求得的值，即可得答案；【详解】①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为，这时准线方程为，由抛物线定义知，解得，∴抛物线方程为，这时将点代入方程，得.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为，从知准线方程可统一成的形式，于是由题设有，解此方程组可得四组解，，，.∴，；，；，；，.综上所述：所求结果为：，；，；，；，；，.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查运算求解能力，属于基础题.24．如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．（1）若，求证：⊥；（2）若二面角的大小为，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明＝0即可证明垂直；（2）设＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得．试题解析: (1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以，＝(－1，－1，0)．因为＝0，所以MN⊥AD(2) 解：因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．设平面MBD的法向量＝(x，y，z)，由，得其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，从而M，N，所以MN＝＝．【考点】用空间向量法证垂直、求二面角．。

江苏省泰州市数学高三下学期理数5月联考试卷

江苏省泰州市数学高三下学期理数5月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合M={x|x2﹣4x+3≤0}，N={x|log2x≤1}，则M∪N=（）A . [1，2]B . [1，2）C . [0，3]D . （0，3]2. （2分）已知为不重合的两个平面，直线m在平面内，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2013·辽宁理) 复数的模长为（）A .B .C .D . 24. （2分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据（x1,y1）,（x2,y2）,…,（xn,yn），则下列说法中不正确的是（）A . 由样本数据得到的回归方程=bx+a必过点B . 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C . 用相关指数R2来刻画回归效果, R2越小，说明模型的拟合效果越好D . 若变量y和x之间的相关系数为r=-0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系5. （2分）若，则（）A .B .C .D .6. （2分）若sin（α+β）= ，sin（α-β）= ，则为（）A . 5B . −1C . 6D .7. （2分）(2012·湖北) 定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）= ；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A . ①②B . ③④C . ①③D . ②④8. （2分）(2017·鹰潭模拟) 已知向量 =（1，2），向量 =（3，﹣4），则向量在向量方向上的投影为（）A . ﹣2B . ﹣1C . 0D . 29. （2分） (2016高一上·双鸭山期中) 已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A . （1，3）B . （0，3）C . （0，2）D . （0，1）10. （2分）位于坐标原点的一个质点P，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·镇海期中) 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A . 1B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·栖霞模拟) 在的展开式中项的系数为________．14. （1分） (2019高二上·会宁期中) 若变量满足约束条件则的最大值是________．15. （1分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为________16. （1分）(2017·包头模拟) 设函数f（x）=x3﹣3x+1，x∈[﹣2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2018高三上·云南期末) 的内角A、B、C所对的边分别为，且（1）求角C；（2）求的最大值．18. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=， CD=2AB=2，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．求证：平面BEF⊥平面PCD19. （10分） (2016高二上·葫芦岛期中) 设椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．20. （10分） (2015高三上·潮州期末) 户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性5女性10合计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由；（3）经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜伽．若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记ξ表示抽到喜欢瑜伽的人数，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）21. （10分）(2017·民乐模拟) 若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x 分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2 ，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底数）．（1）求F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；（2）函数h（x）和φ（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．22. （10分） (2018高二下·衡阳期末) 已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．23. （10分）(2019·哈尔滨模拟) 已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数，当时，函数的最小值为，且，求的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、第11 页共11 页。

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【考点】双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.
7．已知，是原点，点的坐标为满足条件，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据约束条件画出可行域，再利用的几何意义求范围，只需求出和夹角的余弦值的取值范围，从而得到的取值范围.
【详解】
作出可行域如图所示：
，
因为，
当时，，
当时，，
故圆T的方程为：
（3）设，则直线MP的方程为：，
令，得，同理： .
故
又点与点在椭圆上，
故，代入上式得：
，
所以
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.
19．设等差数列的前项和为，已知， .
（1）求；
（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且， .
（2）因为，所以，即，解得 .
因为，所以 .因此， .
从而 .
【点睛】
本题以向量为载体，考查三角函数，数量积的运算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.
16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见详解；（2） .
【考点】古典概型概率计算方法.
4．根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为_________.
【答案】
【解析】【详解】试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知 ,应填 .
【考点】伪代码语言的理解和运用．
5．若一组样本数据2,3,7,8,a的平均数为5,则该组数据的方差s2=_____.
【答案】
【解析】∵ =5,∴a=5.
（2）令，
，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值，即 .
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损.
【点睛】
本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.
∴s2= [(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]= .
故答案为
6．在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为.
【答案】
【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即 .解答本题需注意双曲线的焦点位置.
【解析】（1）连接与交于点，连接，由三角形中位线定理，可得，由线面平行的判定定理，即可得平面 .
（2）由已知中正方体的棱长为2，点到平面的距离为1，求出棱锥底面面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥的体积.
【详解】
（1）连接与交于点，连接；
因为为的中点，为的中点.
所以，可得在单调递增，
所以，即，
所以的值域为，
因为且，
所以，即，
因为，所以，所以
所以的值域为，
因为存在，使得成立，所以，
若，则或，此时或，
所以当时，的取值范围是： .
所以实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的单调性的判断，利用了导数研究函数的单调性，同时考查了利用单调性研究函数的值域问题，属于中档题.
【详解】
①由定义知：，所以，即的值域为；故①对；
②因为，所以函数的图象关于直线对称；故②对；
③因为，所以函数是周期函数，最小正周期为；故③对；
④当时，，；
当时，，，此时，故④错.
故答案为：①②③
【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，熟记函数的基本性质即可，属于常考题型.
二、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知点、，其中 .
（1）若，求证： .
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）用坐标表示出，，求出它们的数量积，利用可证.
（2）由，可求解得，进而可求得，即可求得 .
【详解】
（1）由题设知， .
所以
因为，所以 .故 .
【答案】2x2﹣2y2=1
【解析】【详解】试题分析：椭圆中，∵中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，∴双曲线中，∵椭圆的离心率为，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，
∴双曲线中，，，∴双曲线的方程为 .
【考点】1.双曲线的标准方程；2.椭圆的简单性质；3.双曲线的简单性质．
（2）令，求得该函数在区间的最大值，进而可得出结论.
【详解】
（1）由题意可知，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，
所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，
由基本不等式可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；
则，所以，
令，可得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
即 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了椭圆标准方程及几何性质，以及导数的实际应用，其中解答中结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
12．已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据的范围确定的值域和的值域，根据成立，推出的值域和的值域交集非空，先求二者交集为空集时的取值范围，进而可求交集非空时的取值范围.
【详解】
当时，在上单调递减，
所以，即，，
当时，，
①当取最小值时，求的通项公式；
②若关于的不等式有解，试求的值.
【答案】（1），（2）① ，②
【解析】试题分析：（1）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n项和公式求出公差d即可，（2）①利用等比数列每一项都为等差数列中项这一限制条件，对公比逐步进行验证、取舍，直到满足.因为研究的是取最小值时的通项公式，因此可从第二项开始进行验证，首先满足的就是所求的公比，②由①易得与的函数关系，并由为正整数初步限制取值范围，当且时适合题意，当且时，不合题意.再由不等式有解，归纳猜想并证明取值范围为本题难点是如何说明当时不等式即无解，可借助研究数列单调性的方法进行说明.
（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证明为定值.
【详解】
（1）依题意，得，，
，
故椭圆C的方程为 .
（2）点与点关于轴对称，设，，设，
由于点在椭圆C上，所以，
由，则，
.
由于，
故当时，的最小值为，所以，故，
又点在圆T上，代入圆的方程得到 .
11．已知，，求使向量与向量的夹角为锐角的的取值范围______.
【答案】且
【解析】根据向量的夹角为锐角其数量积大于0，且不同向共线，即可得答案；
【详解】
，，
，即，
又，不共线，∴ ，
∴ 且 .
故答案为：且 .
【点睛】
本题考查向量夹角的计算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量同向共线夹角不为锐角.
13．如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最小值是______.
【答案】
【解析】设，结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积为，化简得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
设，因为，可得且，
所以梯形的面积为，
【点睛】
本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值范围，是解答本题的关键．
10．设中心在原点的双曲线与椭圆 +y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是．
【详解】
解：，不等式恒成立；
即恒成立；
由于的最小值为2，
故为真命题时，
，有最小值．
表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立
即，解得
故为真命题时，
两个命题中有且只有一个是真命题，
当真假时，或，，，或，
当假真时，这样的值不存在
故实数的取值范围是或
故答案为：或 .
14．给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整
数，记作 .在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域为，值域为；
②函数的图象关于直线对称；
③函数是周期函数，最小正周期为；
④函数在上是增函数．
其中正确的命题的序号是________．
【答案】①②③
【解析】根据函数的基本性质，结合题中条件，逐项判断，即可得出结果.
所以，
故答案为：2
【点睛】
本题考查等差数列的性质，涉及分式的加减运算，属于基础题.
9．已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________．

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