第一节数列极限的概念

确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面的观察：
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 ，由 1 1 , 只要 n 100时,
100 n 100
有
xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
3.
证
xn
3
3n2 n2 3 3
9 n2 3
9 n
(n 3)
任给 0,
要 xn 3 ,
只要9 ,
n
或n 9 ,
所以, 取N
max{3, 9 },
则当n
N时,
xn 3 ,
即lim n
3n2 n2 3
3.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
的 项 , xn 称 为 通 项 ( 一 般 项).数列(1)记为 { x n }
2,4,8, ,2n , ; {2n }
例如
1 , 1 , 1 , 248
,
1 2n
,
;
1 {2n }
1,1,1, ,(1)n1 , ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
n (1)n1
第一节 数列极限的概念
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体 而无所失矣” ——刘徽
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
(1 )n
1
n1n(a n1) Nhomakorabea1
得a n
1
a1
n
任给 0,
要
xn
1
,只要 a 1
n
,
或n
a1,
所以,
取N [a 1] 1,
则当n N时,
xn 1 ,
即lim n a 1. n
几点补充：
• 的任意性： 刻画了数列在趋于无穷 时与某一常数之间的接近程度；可以限 定其小于任意的给定正数。
• N 的相应性：N 随 变化， 但并不唯
一，N 重要在于证明其存在性。
等价定义：任给 ，若在 U(a; ) 之外数列 {an}
中至多有有限个，则称数列 {an } 收敛于极限 。
例5 证明 {n2} 和{(1)n} 都为发散数列。
例6
设
lim
n
xn
lim
n
yn
a，作数列{z n }
如下：
{zn } : x1 , y1 , x2 , y2 ,..., xn , yn ,...
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定 义 : 按 自 然 数 1,2,3,
编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n , (1)
称为无穷数列,简称数列. 其中的每个数称为数列
{
}
23
n
n
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
列 xn 的极限, 或者称数列xn 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
x n a ( n ).
或
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意： 1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.
其中
N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
定义
如果对于任意给定的
正 数 ( 不 论 它 多 么 小 ), 总 存
在正数 N ,使得对于 n N 时
的一切 xn ,不等式 xn a 都 成 立 , 那 末 就 称 常 数a 是 数
: 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
极限定义的辨析： 0,N 0,使n N时,恒有xn a 2 .
N 0,对 0，使n N时,恒有xn a . 对 0，都有无穷多项xn 满足不等式xn a .
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
例4 证明lim n a 1.(a 0) n
1
证 a 1, 记 a n 1,则 0
1
由a
证明
lim
n
zn
a
。
例7 设 {an } 为给定的数列， {bn } 为对 {an } 增加、减少
或改变有限项之后得到的数列，则数列 {bn } 和 {an } 同 时收敛或发散，收敛时有相同的极限。
对 0，都只有有限项xn 满足不等式xn a .
例1
证
明
lim
n
1 nk
0.
证
x 0 1
1
n
nk 0 nk
任给 0,
要 xn 0 ,
只要 1 nk
,
或n
1
1
k
,
所以,
取N
[
1 1 ],
则当n
N时,
k
xn 0 ,
即
lim
n
1 nk
1.
例2
证明
lim
n
3n2 n2 3