承前启后的大学数学2010.07.28

【新】承前启后的大学数学

四川大学数学学院，马洪

2010-07-20于拉萨西藏大学

2010-07-28于成都四川大学

●个人简介

马洪，1969年毕业于四川大学数学系基础数学专业，现为四川大学数学学院教授、博士生导师，研究方向为随机信号处理。

●读书心得

有人说

数学是艰深的、抽象的、枯燥的；

但其实

数学也是简单的、直观的、有趣的。

●我对数学的理解

•数学的框架是简单的、

•数学的原理是直观的、

•数学的思想是有趣的。

●承前启后的大学数学

1、中学数学：初等数学

研究静止的、不变的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学2、大学数学：高等数学

研究运动的、变化的各种自然现象、社会现象、工程现象的数学

从初等数学到高等数学的历史沿革

（一）中学数学回顾：初等数学

在中学数学中学习了几种初等函数，其中最简单的就是线性函数：

[1] 一元线性函数：y = )(x f b ax +=

从“一维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”

原像空间 像空间

R R f (.)

→ [2] 多元线性函数：Y=)(X f = b x a x a x a n n ++++ 2211

从“n 维实线性空间”到“一维实线性空间”的“线性映射”

原像空间 像空间

R R f n (.)

→ （二） 大学数学回顾：高等数学

（1）《线性代数》：数字信号处理的基础

线性代数在做什么？其实它就做了一件事情，就是将中学的线性函数的像空间从一维扩展到多维，研究“多维实线性空间”到“多维实线性空间”的“线性映射”：][X T Y =，即

从“n 维实线性空间”到“m 维实线性空间”的“线性映射”

m T n R R (.)

→

函数（映射）的三要素：定义域、值域、对应关系

线性代数首先研究的就是线性映射的定义域和值域：它的定义域和值域都是“有穷维的向量空间”（也称有穷维线性空间），所以线性代数首先讲的就是有穷维向量空间的定义及性质；

然后再研究对应关系：从“n 维线性空间”到“m 维线性空间”的一个线性对应关系表现出来就是一个矩阵，因此线性代数主要研究矩阵，它研究了各种各样的矩阵及其性质。

所以线性代数的研究内容用一句话来说就是：

有穷维线性空间：映射的“原像空间”和“像空间”

有穷维线性映射：矩阵

（2）《泛函分析》：现代信号处理的理论基础！！！

数学作为一种工具要应用到各个领域中去解决实际问题，而在实际应用中我们遇到得最多的是连续参数函数，比如语音信号、雷达信号、股市行情、气温变化……。以手机通话为例，手机作为一个系统：完成语音信号与无线电信号的相互转化。因此它可以被看作为映射（或曰算子）。如果我们把输入的一个语音信号看作一个向量的话，这个向量的维数是多少？无穷维！工程中这样的东西多了，手机、雷达、电视机、录音机……，这些系统实际上都可看作我们数学上的映射：把一个无穷维的向量（信号）和另一个无穷维的向量（信号）对应起来。比如手机具有发送（把语音信号转换为无线电信号）和接受（把无线电信号转换为语音信号）两种功能，这两种功能分别由两个电子信息子系统来实现，这两个子系统实际就是两个算子。我们知道，语音信号、无线电信号都是能量有限信号，用数

学的语言来描述，就是平方可积函数，而平方可积函数的全体就是2L空间，从

而是Hilbert空间。所以一部手机实际上就是“Hilbert空间”到“Hilbert空间”的一个算子。如果电子信息系统是线性系统，就意味着我们的映射作为算子是线性算子，这就是为什么线性泛函分析构成了现代信号处理的理论基础的原因。如果我们也用一句话来描述《线性泛函分析》这门课程的主要内容，那就是：

无穷维线性空间：线性算子的“原像空间”和“像空间”

无穷维线性映射：线性算子

T[.]

∞→R

∞

R

典型的无穷维线性空间如，

完备的线性距离空间

完备的线性赋泛空间（Banach空间）

完备的线性内积空间（Hilbert 空间）

（3）《数学分析》（又称《微积分》）的基本框架、核心内容：

数学分析的核心内容：

[1]函数的“连续性”：用)

(0R

C表示定义于)

R上的连续函数的全体。

=

(+∞

-∞

,

[2]函数的“光滑性”：用)

C表示定义于)

(1R

=

R上的光滑函数的全体。

(+∞

-∞

,

[注1] 微分运算把“光滑”变“粗糙”，故可称“微分算子”为“粗糙子”；

积分运算把“粗糙”变“光滑”，故可称“积分算子”为“光滑子”。

[注2]《数学分析》中映射“连续性”概念的一般化、抽象化属于《拓扑学》

[注3]《数学分析》中映射“光滑性”概念的一般化、抽象化属于《微分几何》

[注4]《微积分》在工程中的应用

数学中的“无穷维向量”（函数），工程中称为“信号”

数学中的“映射”，工程中称为“系统”，“线性映射”对应“线性系统”；

“映射”的自变量、因变量，工程上称为“系统”的输入、输出。

在电子信息理论中，可以通过电子电路搭建“微分器”和“积分器”，也就是说，工程中对“信号”（函数）的微积分运算，可以通过电路来实现。

（4）《拓扑学》（略）

（5）《微分几何》（略）