北师大九下第17讲 正多边形和圆(基础)
新北师大版九年级下册数学圆内接正多边形PPT课件 3
小结、（1）图中正六边形ABCDEF的中∠心AO角B是 它的度数是 60度
（2）、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具
什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
A
B
由于ABCDEF是正六边形，所以
C
它的中心角等于360 60， 6
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径.
用尺规作一个已知圆的内接正六边形
S正方形ABCD AB BC
2R 2 2R2.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多 边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心 距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多 边形的边心距之间的等量关系．
我的成功只依赖两条： 一条是毫不动摇地坚 持到底;一条是用手把脑子里想出的图形一丝不 差地制造出来.
正方形的边长、边心距和面积.
【解析】作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距OD=1 R.
A
2
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R，
22
∴AB= 3R,
B
∴S△ABC=
3R
•
3 2
R
3
3R2 .
例1：如图3－36，在圆内接正六边形ABCDEF中， 半径OC=4，OG⊥BC ，垂足为点G，求正六边形 的中心角、边长和边心距。
解：连接 OC、OD ∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ∠COD= 360 =60° 6
∴ △COD为等边三角形 ∴ CD=OC=4 在Rt△COG中，OC=4，CG=2 ∴ OG= 2 3 ∴正六边形ABCDE的中心角为60°， 边长为4，边心距为 2 3 。
《圆内接正多边形》示范公开课教学PPT课件【九年级数学下册北师大】
B
G
C
由勾股定理，得CG= OC2 OG2 62 32 3 3 (cm)．
∴边长BC=2CG= 6 3 (cm)．
课堂小结
1．圆内接正多边形及其相关概念 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形；这个 圆叫做该正多边形的外接圆． 2．正多边形的有关概念 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； 外接圆的半径叫做正多边形的半径； 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
探究新知
方法2：为了减少累积误差，通常 像右图这样，作⊙O的任意一条 直径FC，分别以F，C为圆心，以 ⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O 相交于点E，A和D，B，则A，B， C，D，E，F是⊙O的六等分点， 顺次连接AB，BC，CD，DE， EF，FA，便得到正六边形 ABCDEF．
探究新知
想一想 你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？ 你是怎么做的？与同伴进行交流． 答：在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在 圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到了圆内接 正四边形．
A．3 3
B．3 6
C．3 3
2
D．3 6
2
3．正六边形的边心距与边长之比为（ B ）．
A． 3 ∶3
B．3 ∶2
C．1∶2
D．2 ∶2
课堂练习
4．如图，正六边形内接于⊙O，⊙O 的半径为10，则圆中阴影部分的面积 为__1_00_π_-_1_5_0__3_． 5．如图，点M，N分别是正八边形 相邻两边AB，BC上的点，且AM=BN， 则∠MON=__4_5_度
课堂练习
6．分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距
北师大版九年级数学下册 (圆内接正多边形)圆教育教学课件
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应 对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
例题讲解
【例2】如图,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4，OG⊥BC，
圆内接正多边形
边心距r
C
D
外接圆的圆心 外接圆的半径 每一条边所 对的圆心角
弦心距
正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
正多边形的边心距
探究新知
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
E 中心角
F
A
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为l=na.
D
.O
C
a
GB
归纳
正n边形的一个内角的度数是______________;
若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
D
C
E
D
知识讲解
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正 多边形的中心.
F
E
. A
.O
D
B GC
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半 径，正多边形的中心角，正多边形的边心距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边 心距之间的等量关系．
初三下数学课件(北师版)-圆内接正多边形
解：(1)连接 OB、OC.∵正△ABC 内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°， ∠BOC＝120°，又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM ＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°； (2)90° 72°；
(3)∠MON＝36n0°.
C． 3
D．2
10．已知正方形的周长为 x，它的外接圆的半径为 y，则 y 与 x 的函数关系 式是 y＝ 82x .
11．如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，四边形 BCFG 的面积为 20 cm2， 则正八边形的面积为 40 cm2 .
12．如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交 于点 M. 求证：(1)AC∥DE； (2)ME＝AE. 证明：(1)由题意得∠EDC＝180°×55－2＝108°，∠DCA＝108°－12×(180° －108°)＝72°，∴∠EDC＋∠DCA＝108°＋72°＝180°，∴AC∥DE； (2)易得∠DEB＝∠EAC＝108°－21×(180°－108°)＝72°，∵AC∥DE，∴∠ AME＝∠DEB＝72°，∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE.
A.
2 2
B．
3 2
C． 2
D． 3
5．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边 重合并叠在一起，如图，∠3＋∠1－∠2＝ 24° . 6．如图，将正六边形 ABCDEF 的中心为原点，建立直角坐标系，且 BC∥ x 轴，若 OA＝4，则 D 点坐标为 (4,0) ，E 点坐标为 (2,2 3) .
8．如图，工人师傅欲从块边长为 60 cm 的正三角形木板上锯出一块正六边
形木板，则木板边长为( B )
A．15 cm
B．20 cm
数学北师大版九年级下册圆内接正多边形
为了减少累积误差，要尽量避Fra bibliotek从圆上某一点开始，连续截取等弧。
你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？
小结反思
1、了解圆内接正多边形的概念； 2、正多边形的半径、边心距、边长的计算：
正n边形的有关计算均可转化为解直角三角形。 这个直角三角形的构成是：
（1） 斜边为半径， 一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半； （2）顶点在中心的锐角为中心角的一半。
3.8
圆内接正多边形
主讲教师：郑 锦
知识回顾，拓通准备
1、什么是正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形（n≥3）是正多边形。 2、正多边形的外心和内心在位置上有什么关系？
正多边形的外心和内心:重合
观察图形，概括定义
圆内接正多边形及相关概念
1. 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。 这个圆叫做该正多边形的外接圆。 2.如图3－33： （ 1 ）五边形 ABCDE 是⊙ O 的内接正五 边形，圆心 O 叫做这个正五边形的中 心； （2）OA是这个正五边形的半径；
（3）∠AOB是这个正五边形的中心角；
（4）OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正 五边形的的边心距。
例题 例：如图3－34，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4， OG⊥BC ，垂足为点G，求正六边形的中心角、边长和边心距。
例题讲解 例：如图3－34，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4， OG⊥BC ，垂足为点G，求正六边形的中心角、边长和边心距。
解：连接 OD ∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ∠COD=
360 ° 6
=60°
∴ △COD为等边三角形
∴ CD=OC=4 1 1 在Rt△COG中，OC=4，CG= BC= ×4=2， 2 2 由勾股定理得，OG=2 3 ∴正六边形ABCDE的中心角为60°， 边长为4，边心距为2 3 。
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
九年级下册数学课件(北师版)圆内接正多边形
8 圆内接正多边形
知识回顾
三条边相等，三个 角也相等（60°）.
正多边形：
四条边都相等，四个 角也相等（90°）.
各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这 个正多边形叫作正n边形.
说说图中的有哪几种正多边形
? 怎样
解答
情境引入
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
(1)正四、正八边形的尺规作图 （2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
随堂练习
1.正方形ABCD的外接圆圆心O叫作
正方形ABCD的
中心
.
A
D
2.正方形ABCD的内切圆的半
径OE叫作正方形ABCD的
.O
边心距 .
B
E
C
3.⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径.
解:由于ABCDEF是正六边形，所以
F
E
它的中心角等于360 60，
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径.
O.
D
R
∴亭子的周长 L=6×4=24(m). B
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
PC
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
2个全等的直角三角形
F
..O
C
AOG BOG 180 n
R
a
A GB
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r R2（ a）2 ， 2
北师大九下第17讲 正多边形和圆(提高)
正多边形和圆【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】要点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).要点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.要点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.要点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、正多边形的概念1. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．(1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE．2.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为．举一反三：【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（）A．3：4 B．：2 C．2： D．1：2类型二、正多边形和圆的有关计算3.如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．4. 如图（1）所示，圆内接△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，OD 、OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC 的面积的．图（1）举一反三：【变式】如下图，若∠DOE 保持120°角度不变，求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC 的面积的．1313【巩固练习】一、选择题1. 已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ） A ．1：2： B ． 2：3：4 C ． 1：：2 D ．1：2：32．将边长为3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ( )A ．B ．cm 2C ．cm 2D ．cm 23．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形， BC ∥QR ，则∠AOQ=（ ） A ．60° B ．65° C ．72° D ．75°第3题 第5题4．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S 3、S 4、S 6，则它们的大小关系是( )． A ．S 6＞S 4＞S 3 B ．S 3＞S 4＞S 6 C ．S 6＞S 3＞S 4 D ．S 4＞S 6＞S 35. 如图所示，八边形ABCDEFGH 是正八边形，其外接⊙O 的半径为，则正八边形的面积S 为（ ）．A.22B. C. 8 D.4 6．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________．8．如图所示，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则图中阴影部分的面积为________．233cm 233433833242PDR CQ BOA10．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则⊙PCD 的周长的最小值是．11．如图所示，有一个圆O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r:a= ； r:b= ；（2）正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值是．第11题图第12题图12．如图所示，已知正方形ABCD中，边长AB＝3，⊙O与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为R、r，则R+r= ．三、解答题13.如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为多少cm？14．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APB的度数；（2）图②中，∠APB的度数是，图③中∠APB的度数是；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.（1）设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m|越小，该正n边形就越接近于圆，①若n=20，则该正n边形的“接近度”等于；②当“接近度”等于时，正n边形就成了圆．（2）设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正n边形就越接近于圆.你认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正n边形“接近度”的一个合理定义．。
北师大版九年级下册数学《圆内接正多边形》圆精品PPT教学课件
E
D
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
. F
中心角
O.
半径R
C
正多边形的中心角:
边心距r
正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
A
B
中心到正多边形的一边的距离. 以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?
以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。
2020/11/24
2020/11/24
11
知识讲解
正三角形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
正方这形两个圆有什么位置关系？
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
那么这，两正个n圆边有形什呢么？位置关系？
【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且
这两个圆是同心圆.
2020/11/24
12
知识讲解
正多边形的中心:
8
（2）连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
P B Q
C
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
2020/11/24
A
T
E O
S
D R
9
又∵A⌒B=⌒BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T， ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
QR=RS=ST=TP=2PA， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
2020/11/24
10
知识讲解
北师大版九年级数学下册：圆内接正多边形课件
A
B O· E
C
D
问题2 将圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点，所得到的多边形
是正多边形吗？
弧相等— 弦相等（多边形的边相等）
多边形是正
圆周角相等（多边形的角相等） 多边形
归纳 知识点一：圆内接正多边形的相关概念
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫 做该正多边形的外接圆.
A
(n 2)180 n
中心角 外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
A
F
120 ° 90 °
中心
B中心角 O半径R E
边心距r
60 °
C
D
360 n
议一议
问题1 正n边形的中心角怎么计算？
F
E
360
a
n
A
问题2 正n边形的边长a，半径R，边心距r之
O
R r
D
ห้องสมุดไป่ตู้BP C
间有什么关系？ R2 r2 (a )2.
半径R
圆心角
B
O圆心
弦心距r
弦a
C MD
F
类比学习
中心
B中心角 O半径R E
圆内接正多边形
边心距r
C
D
外接圆的圆心
外接圆的半径
每一条边所 对的圆心角
正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
做一做
完成下面的表格：
正多边形的外 角=中心角
正多边 形边数
3 4 6
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
专题 圆内接正多边形-九年级数学下册教学课件(北师大版)
（2）
在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连
接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
课堂小结
正多边形和
圆 的 关 系
正n边形各顶点等分其外
接圆.
中心
圆内接正
多边形
正多边形的
有 关 概 念
半径
边心距
中心角
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角
形，通过解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图所示，
此正六边形中AB=4，则∠AOB=60° ．
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵ OG⊥AB，
∴∠AOG=30°，
∴ OG=4×
故选：D．
= ．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于○O，半径为6，
北师大版九年级下册
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握正多边形与圆的相互关系，理解正多边形与圆的相关
概念；
2、理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长的概念
及其相互之间的关系；
3、学会运用正多边形与圆的关系解决与圆相关的几何问题，
注意正多边形与圆的相互联系；
落在阴影区域的概率为 _____．
【答案】
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角
形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的
面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
北师大版九年级(初三)数学下册PPT：圆内接正多边形20页PPT
形
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 的 光荣可 以被永 远肯定 。
专题--圆内接正多边形-九年级数学下册教学课件(北师大版)全
（2）
在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连
接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
课堂小结
正多边形和
圆 的 关 系
正n边形各顶点等分其外
接圆.
中心
圆内接正
多边形
正多边形的
有 关 概 念
半径
边心距
中心角
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
故答案为：22.5°．
6．正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_____．
【答案】1:4
【分析】设正三角形的边长a，利用直角三角形可
以分别求出内切圆和外接圆的半径，然后用圆的
面积公式求出它们的面积，计算出它们的比值．
7．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖
盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖
落在阴影区域的概率为 _____．
【答案】
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角
形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的
面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
设每个小三角形的面积为a，则阴影的面积为6a，
正六边形的面积为18a，
过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角
形，通过解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图所示，
此正六边形中AB=4，则∠AOB=60° ．
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵ OG⊥AB，
∴∠AOG=30°，
∴ OG=4×
故选：D．
= ．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于○O，半径为6，
圆内接正多边形-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
F
C
O
⊙O相交于点B、F和点C、E．
3）依次连接A、B、C、D、E、F各点．
正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形．
A
B
谢谢~
随堂测试
5．如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的
周长为 _____．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF，
∴∠B＝∠BCD=
(6−2)×180°
6
=120°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，
1
∴∠ADC＝∠ADE= ∠DE＝60°，
2
在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，
∴AD＝2CD＝4，AC= 3CD＝2 3，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝2 3 +2+4＝2 3 +6
随堂测试
6．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
1)若a＝6，求b的值；
2)若b＝30，求a的值．
n
360
中心角是___________;
n
A
B
E
O
相等
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
C
F
D
课堂基础练
有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积。
【解题思路】正六边形的中心角为60°，然后构建直角三角形，求得边心距。
解: 连接OA，OB，
E
360°
根据题意，得∠AOB=
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正多边形和圆
【学习目标】
1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正
多边形；
3.会进行正多边形的有关计算.
【要点梳理】
知识点一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。
再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多
边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【典型例题】
类型一、正多边形的概念
1．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC 的度数是（）
A．45° B．60° C．75° D．90°
举一反三：
【变式】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（）
A．30° B．45° C．55° D．60°
2．如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）
A．60° B．65° C．72° D．75°
图1 图2
类型二、正多边形和圆的有关计算
3．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）
求证：△ABG△△BCH；
（2）求△APH的度数．
4．若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3：a4：a6等
于（）
A.1：：B．1：2：3C．3：2：1D．：：1
举一反三：
【变式】如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角
的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .
【巩固练习】
一、选择题
1．一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
2．如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A． cm C．cm D．1 cm
3
第2题图 第5题图
3．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） A ．3 B ． 9 C ． 18 D ． 36
4．正三角形、正方形、圆三者的周长都等于，它们的面积分别为S 1，S 2、S 3，则( )． A ．S 1＝S 2＝S 3 B ．S 3＜S 1＜S 2 C ．S 1＜S 2＜S 3 D ．S 2＜S 1＜S 3
5．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五个等分点而得到的(如图所示)．五角星的每一个角的度数是( )．
A ．30°
B ．35°
C ．36°
D ．37°
第6题图 第7题图 第9题图
6．如图所示，是由5把相同的折扇组成的“蝶恋花”（如图①）和梅花图案（如图②）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
A ．36°
B ．42°
C ．45°
D ．48° 二、填空题
7．如图所示，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠等于________． 8．要用圆形铁片裁出边长为4的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小是________． 9．如图所示，等边△ABC 内接于⊙O ，AB ＝10cm ，则⊙O 的半径是________． 10.如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．
11．正六边形的半径是5cm ，则边长________，周长________ ，边心距________，面积________．
三、解答题
13．如图所示，正△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，求△ABC 的边长a ，周长P ，边心距r ，
面积S
．
l α6a =6P =6r =6S =
14. 如图所示，半径为R 的圆绕周长为10πR 的正六边形外边作无滑动滚转，绕完正六边形后，圆一共转了多少圈？
一位同学的解答过程：圆的周长为2πR ，所以它绕完正六边形后一共转了
圈，结果一共转了5圈．你认为这位同学的解答有无错误？如有错误，请更正．
15.如图，已知等边△ABC 内接于⊙O，BD 为内接正十二边形的一边，CD=5
cm ，求⊙O 的半径R ．
102R
R
π
π。