研究生数值分析试卷
研究生数值分析试卷.docx
2005-2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： _______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、 （15分）设求方程12-3x + 2cosx = 0根的迭代法（1） 证明对0兀0 w /?,均有lim 林，其中T 为方程的根.kT8 （2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x } + 2X 2 - 2X 3 = 1,v 兀］+ 兀2 +兀3 = _1，2兀］+ 2兀2 +兀3 = °・a 0、a 0 ,说明对任意实数。
工0,方程组AX=b 都是0 Q,非病态的。
（范数用||・|L ）四、（15分）已知y = f （x ）的数据如下:求/（%）的Hermite 插值多项式H 3 （%）,并给出截断误差/?（兀）=f （x ） - H 3 （x ）。
五、（10分）在某个低温过程屮，函数y 依赖丁•温度兀（°C ）的试验数据为已知经验公式的形式为『=仮+方兀2 ,试用最小二乘法求出a , b o 六、（12分）确定常数a, b 的值，使积分(2a 三、（8分）若矩阵A = 0J(a, /?) = !] [ax2取得最小值。
七、（14分）已知Legendre （勒让德）止交多项式厶（x ）有递推关系式:'L 曲（兀）=^77 心（兀）一 -—Ln-1（兀）（斤=1, 2,…）试确定两点的高斯一勒让德（G —L ）求积公式£ f （x ）djc = £ f\x ｝） + A 2 .f （兀2）的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分go ） = y （）儿+1 =儿+力（^心+-^2） k\=f （Xn ，yJ 忍=fg + h,y n +hk ｛）（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
研究生《数值分析》试卷
研究生“数值分析”试题一， 填空（20分）1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。
2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。
3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈nk k k x f A dx x f 011)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要条件是_________。
4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。
5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。
6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）（1）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － （2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f二，（10分）在22-≤≤-x 上给出x e x f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？三，（10分）四，（10分）设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件)()(j j x f x p ==j 0，1，2，3)(')('11x f x p = 推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式五，（10分）试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分⎰311dx x，并精确到小数点后4位。
六，（10分）利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式)''4'(31111-+-++++=n n n n n y y y h y y 并指出次方法的阶七，（10分）设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为)()()(x f x m x x F -=证明： 当1)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。
研究生数值分析考试
工科研究生《数值分析》复习练习一．填空（共4分，每空44分）（1）设i x i =（n i ,,2,1,0⋯=）插值结点，)(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数，则()ni i l x ==∑（）,=∑=ni i i x l x 0)(（）.（2）用简单迭代法求方程3()10f x x x =−−=的正实根，迭代格式（）至少是二阶收敛的。
(3)求解非线性方程01=−x xe 的牛顿迭代公式是（）（4）在所有首项系数为1的n 次多项式中，首项系数为1的n 次（）多项式在[-1，1]上与零的平方逼近误差最小。
（5）设211314122A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则1||||A =（），||||A ∞=（）.（6）32()272f x x x =−+，则[1,2,3,4]f =（），[1,1,1]f =（）（7）n 次Chebyshev 多项式在[-1，1]上的零点为（）（8）插值型求积公式0()()nbk k ak A f x f x dx =≈∑∫至少具有（）次代数精度，求积系数之和0nk k A ==∑（）,而Gauss 求积公式至少具有（）次代数精度。
（9）初值问题'24,(0)2,y y x y =−−=，则显式Euler 格式，隐式Euler 格式和梯形格式分别为（），（），（）。
(10)已知数据对),,2,1)(,(n k y x k k ⋯=，用直线c bx ax y ++=2拟合这n 个点，则参数c b a ,,满足的法方程组是（）（11）第一种幂法迭代格式为（）二（10分）求一个次数不高于4次的代数多项式()p x ，使它满足(0)'(0)0,(1)'(1)1,(2)1p p p p p =====，并写出其余项表达式。
（利用Newton 插值公式，制作带重节点的差商表）三（10分）证明：区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式()n g x 的零点都是实数，相异的，且全部落在开区间(,)a b内部。
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
东华大学研究生数值分析试题
东华大学研究生数值分析试题(笔试部分)班级 _______ 学号 ________ 姓名 ___________ 得分 _________ 一、 由f(x) =3x 在0，1,-1的值分别按不同要求计算3 3的数值解 (计算过程均保留2位小数，其中“ 1” “2”需估计结果有几位有效数字) 1、1、按f(x)在0，1，-1处的值由分段线性插值计算; 2、2、按f(x)在0,1处的值及f(0)9n3“.10由二阶Hermite 插值计算;3、3、按f (x)在0，1, -1处的值由直线拟合计算;1J3x xdx 茫 0.83 4、4、由［-1，1］上一次平方逼近多项式计算(取 」 )的二阶导数且满足P( 2)=°;22、由“ 1” 当 f(x)满足 f(1)二 P(1),f(2) =P(2),f '(1) = P '(1)时求的数 值解及对应余项1f (x)dx ： Af (0) Bf (1) Cf ' (1)bf (x) dx2、由(*)导出解a的数值积分公式并由此公式将［0，1］ n 等分导出解1f(x)dx的复化求积公式并求 Cond ：：(A)；2、由三角分解A=LU 解AX=B ，、1、求a 及不超过二次多项式P(x)使S(x)0_x_ 1仁x±2具有连续三、1、求A ，B ，C 使 度;(*)至少有2次代数精四、1、由选主元Gauss 消去法解AX=B ，其中z-3 0 0 ' \ ,A = 1 1-2,B = 1「-21』A 二其中 并写出对应“消去法”的3 | 2五、 1、讨论求X 3 -3x 2 •仁0在［2.5,3］上根的迭代格式X k 1「3X k - 1（**）的合 理性并由迭代收敛定理讨论（**）的收敛性；2、写出（** ）的“迭代一加速”格式并讨论加速效果。
^y = f （x, y ）六、 1、求a i,a2使解 ,&0）=丫0 （ *** ）的显式差分格式y n+ = yn +h （aK 七2心）K = f （X n , y n ） 2 =f （Xn+襄丫广昨）Z 二f X 哼几+爭K ）有二阶精度；2、写出“ 1”中格式与隐式差分格式y n^ynl［f （Xn，y n ）f （xn 1,yn1）］联合解（*** ）的“预报一较正”格式1"a "■b 0、1,L =,U =,B =3 4丿<0 1<cJ 丿“回代”过程。
数值分析(研究生)试卷
华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：_______________________ 课程类别考核形式数值分析学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ □公共课□专业课√□开卷□√闭卷2009.5.6学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 为避免有效数字的损失，应将,1,ln )1ln(>>-+x x x 改写为_____________。
2. 设其三阶差商,200720082009)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f _____________，四阶差商____________。
=]4,3,2,1,0[f 3. 设是上带权b x x x +-=22)(?]1,0[1)(=x ρ的正交多项式，则=b ___________。
4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为，则称该算法有_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。
)O(h1p+5. 设是的二重根。
*x 0)(=x f )(x f ′′在邻近连续，则用迭代公式________________*x 求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。
6. ，当a 满足条件___________时，A 可作LU 分解，当a 满足条件__________时，必有分解式，这种分解唯一吗？ _____________ ??????+=1221a A TL L A ?=二、（10分）函数在上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足)(x f ],[10x x )(x P .)()(),()(),()(110000x f x P x f x p x f x P =′=′=证明其唯一性，并写出它的余项的表达式。
华南理工大学研究生数值分析试卷
（一）1.计算81269322345++-+-=xx x x x P 时，为了减少乘除法运算次数，应把它改写成什么形式？成什么形式？2.设有递推公式,...2,1.1610=-==-n y y e y n n ，如果取'00718.2y e y =»=作近似计算，问计算到10y 时误差是初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？时误差是初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？（二）1.满足1+n 个相同插值条件的n 次牛顿插值多项式)(x N n 与n 次拉格朗日插值多项式)(x L n 是恒等的，对吗？（回答“对”或“错”）2.试用两种方法求满足插值条件2)2(,0)1()1(,1)0('====p p p p 的插值多项式)(x p 。
（三）1.若已有同一个量的多个近似值，通常取其算术平均作为该量的近似值。
指出这种做法的理论依据（不必详细推导）。
2.在某试验过程中，变量y 依赖于变量x 的试验数据如下：的试验数据如下：:x 1 2 3 4 :y 0.8 1.5 1.8 2.0 试求其形如2bx ax y +=的拟合曲线。
的拟合曲线。
（四）1.设有插值型求积公式)()(011k n k k x f A dx x f åò=-»，则å=nk k A 0等于哪个常数？等于哪个常数？2.确定下列求积公式的求积系数101,,AA A -: )1()0()1()(10111f A f A f A dx x f ++-»--ò 使公式具有尽可能高的代数精度；并问所得公式是不是Gauss 型公式？型公式？（五）1.Gauss 消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A ．提高计算速度；B 提高计算精度；C 简化计算公式；D.提高算法的数值稳定性；E.节省存储空间存储空间2.用列主元Gauss 消去法解方程组（用增广矩阵表示过程，不用求系数矩阵行列式值）：úúúûùêêêëé-11.031045321úúúûùêêêëé321x x x =úúúûùêêêëé201（六）给定线性方程组úûùêëé-5.1112úûùêëé21x x =úûùêëé-48 试构造解此方程组的Jacobi 迭代公式和Guass-Seidel 迭代公式，这两种迭代收敛吗？迭代公式，这两种迭代收敛吗？2.已知求解线性方程组b Ax =的分量迭代格式的分量迭代格式ii k k a x x w +=+)()1(n i x a b n j k j ij i ,...,2,1),(1)(=-å= 试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；并证明当A 是严格对角占优阵且21=w 时此迭代格式收敛。
华中科技大学数值分析试卷
华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称： 课程类别考核形式学生类别______________考试日期______________学号__________________姓名__________________任课教师___________________一、填空 (每题3分，共24分)1．设0.0013a =， 3.1400b =， 1.001c =都是经过四舍五入得到的近似值，则它们分别有 ， ， 位有效数字。
2．设(0,1,2,3,4)i x i = 为互异节点，()i l x 为对应的4次Lagrange 插值基函数，则440(21)()ii i i xx l x =++=∑___________________，440(21)(1)i i i i x x l =++=∑________。
3． 已知3()421f x x x =++, 则[]0,1,2,3f = ，[]0,1,2,3,5f = 。
4．当常数a = ，()1231x ax dx -+⎰达到极小。
5. 三次Chebyshev 多项式3()T x 在[-1, 1]上3个不同实零点为1x = ，2x = ，3x = ；()()()12311max x x x x x x x -≤≤---= 。
6．已知一组数据()()() 01,12,25,y y y ===利用最小二乘法得到其拟合直线y ax b =+，则a =_____ ，b =_____。
7. 当0A = ，1A = 时，求积公式()()()10111()1013f x dx f A f A f -≈-++⎰的代数精度能达到最高，此时求积公式的代数精度为 。
8．已知矩阵1222A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则A ∞= ，2A ，()2cond A = 。
二、(10分) 设函数()y f x =, 已知()()()0'01,14f f f ===， (1) 试求过这两点的二次Hermite 插值多项式()2H x ；研究生 2016-6-1 数值分析(2) 若还已知()215f =，求次数不超过三次的插值多项式()3H x 。
西电研究生数值分析试题A
n
数满足
C (n) i
=
⑦
,当 n 为偶数时，牛顿-科特斯公式的代数精度为
⑧
.
i0
5. 求解线性方程组 Ax=b 的 SOR 迭代法收敛的必要条件是松弛因子 满足 ⑨ .
6. 设 f (x) 0 ，则求 f (x) C（C 为常数）的近似根的 Newton 迭代公式为 ⑩ . 二 .（10 分）确定参数 a,b,c，使得
函数，
n
（1）证明 对任意的 x [a,b] ，有 li x 1 ； i0
（ 2 ） 若 求 积 公 式
b
f (x)dx
a
n
Ai f (xi ) 至 少 有
n
阶代数精度，证明系数
i0
Ai
b a
li
(
x)dx
；
（3）用三点公式计算
f
(x)
1 (1 x)2
在
x=1.1
一．填空题（每空 2 分，共 20 分）
1. 设{e1, e2, , en , } 是 Hilbert 空间 H 中的完全规范正交系，若 x 与每个 ei 都正
交，即(x, ei)=0, i=1,2,…，则 x = ① .
2. 三次勒让德多项式 P3（x）的表达式为 P3（x）= ② ，Pn（x）表示 n 次勒让德
用紧凑格式计算系数矩阵的三角分解 A LU ，其中 L 是单位下三角矩阵，
U 是上三角矩阵，并求解方程组；
（2）给定如下方程组
4 2 2 x1 10
2
2
3
x2
5
2 3 14 x3 4
2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题
2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题在数学学科中，数值分析与数值方法是一个重要的分支。
它的主要研究内容是利用数值计算的方法，对数学问题进行近似求解。
考研高等数学一中的数值分析与数值方法部分，通常会涉及到一些历年真题，以检验考生对该知识点的掌握程度。
本文将按照数值分析与数值方法题型的常见形式，对2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题进行分析和解答。
一、题型一：插值与拟合插值与拟合是数值分析与数值方法中的重要内容之一。
下面我们来看一道2020年的考研高数真题：【题目】已知函数f(x)在区间[0,2]上的连续函数，且有f(0)=1,f(1)=3, f(2)=-1，请利用Lagrange插值法求f(x)在x=0.5处的近似值。
【解答】Lagrange插值法的基本思想是：用已知数据点的函数值来构造一个多项式，使得该多项式经过这些数据点。
此多项式称为拉格朗日插值多项式。
在本题中，已知数据点为(0,1)，(1,3)，(2,-1)，我们需要根据这三个点来构造一个二次多项式。
设L1(x)，L2(x)，L3(x)分别为通过点(0,1)，(1,3)，(2,-1)的拉格朗日插值基函数。
具体公式如下：L1(x) = (x-1)(x-2)/((0-1)(0-2)) = 0.5x^2 - 1.5x + 1L2(x) = (x-0)(x-2)/((1-0)(1-2)) = -x^2 + 2xL3(x) = (x-0)(x-1)/((2-0)(2-1)) = 0.5x^2 - 0.5x那么，根据拉格朗日插值多项式的定义，f(x)在x=0.5处的近似值为：f(0.5) = f(0)L1(0.5) + f(1)L2(0.5) + f(2)L3(0.5)= 1 * (0.5 * 0.5 - 1.5 * 0.5 + 1) + 3 * (-0.5 * 0.5 + 2 * 0.5) + (-1) * (0.5 * 0.5 - 0.5 * 0.5)= 0.25 + 2.25 - 0.5= 2所以，根据Lagrange插值法，f(x)在x=0.5处的近似值为2。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
060708研究生数值分析试卷(A).doc
武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。
六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。
，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。
对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
哈工大研究生数值分析试题及答案
哈⼯⼤研究⽣数值分析试题及答案1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。
取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。
（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+ 2()328f x x x '=-- ()62f x x ''=- (3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代：3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+2001023634x x x x ++==+2112123634x x x x ++==+2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ???????的Jacobi 迭代法收敛。
解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+10210211203203130130J a B a a a -----=--=-- ? ? ? ? ? ???123a b g a b a b -??=迭代矩阵J B 的特征⽅程：021211120323013013J a E B a a a a λλλλλλλ-----=+-=-=即：3()14()0a a λλ+=特征根：0,aλλ==±谱半径：()1J B aρ=< 时Jacobi 迭代收敛故：a >3. 设（1）⽤Crout 三⾓分解法求解⽅程组 12323251034133619x x x ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。
研究生数值分析期末考试试卷参考答案
研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。
研究生考试数值分析试题
研究生2002级数值分析一（12分）、对于积分⎰=+1,2,1,0,999n dx x x n。
（1）试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上面算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。
二（12分）、解方程组⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00001.8800001.626221x x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡00002.8800001.626221x x ，就所观察到的现象进行分析。
三（12分）、设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ；（1）适当调整方程的排列顺序，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因。
（2）取初始向量()()Tx0,0,00=，用Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x ，并求其()()k k x x -+1误差。
四（12分）、（1）已知函数()4xe xf =，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其二次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最小，此时人余项为多少？五（12分）、对于方程()02ln =+-x x ，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代方程()2ln +=x x 和2-=x e x ，它们的收敛性如何？再写出牛顿迭代公式。
六（10分）、设()⎩⎨⎧=>+-='100,5y x x y y ，解析解x e x y -+-=25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ，利用Euler 方法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进行分析。
七（10分）、设()xe xf =，分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ，用中心差商公式计算()0f '的近似值并求出误差，对结果作分析比较。
研究生数值分析试题a卷
(A)、 是3次勒让德多项式；
(B)、 余项为 ；
(C)、矩阵的谱半径 ；
(D)、设 为 的不动点， ，则迭代 局部收敛。
5、下列说法正确的是( )。
(A)、梯形公式 是Newton-Cotes公式；
(B)、对于迭代 用不动点迭代是收敛的；
(C)、用迭代法解线性方程组 ，此时迭代是收敛的；
5、高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件是。
三、（10分）求满足条件 的三次Hermite插值多项式 ，并估计余项。
1、世界是由物质构成的。我们身边的书、橡皮、电灯、大树、动物、植物包括我们自己都是由物质构成的。四、（10分）分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算
16、在北部天空的小熊座上有著名的北极星，可以借助大熊座比较容易地找到北极星。黑夜可以用北极星辨认方向。（保留小数点后4位）。
1、 是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位数，则它的有效位数是（）。
（A）、4；（B）、3；（C）、2；(D）、1。
2、设 是 个互异节点 的拉格朗日插值基函数，则下列选项中正确的是（）。
（A）、 ；(B）、 ；
（C）、 ；（D）、 。
3、设 ,则 , 分别为( )
(A)、-2,3；(B)、6,1；(C)、6,7；(D)、6,3。
10、由于煤、石油等化石燃料消耗的急剧增加，产生了大量的二氧化碳，使空气中的二氧化碳含量不断增加，导致全球气候变暖、土壤沙漠化、大陆和两极冰川融化，给全球环境造成了巨大的压力。五、（10分）用平方根法求解方程组 。
21、血液中的细胞好像运输兵，负责运输吸入的氧气和产生的二氧化碳。六、（10分பைடு நூலகம்对于方程组
大学硕士研究生《数值分析》考试试卷
**大学硕士研究生考试试卷— 学年第一学期（A 卷）考试科目: 数值分析 考试时间：120分钟出卷教师: 出卷时间: 阅卷负责人签名：一、(15分) 设dx x x I nn ⎰+=105),2,1,0(Λ=n （1）验证nI I n n 151=+- ),2,1(Λ=n ； （2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性.二、（15分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 能保证收敛的雅可比（Jacobi ）迭代格式及高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代格式,说明其收敛的理由.用 T x)0,0()0(=对高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代格式求迭代一步的近似解)1(x （取到小数点后5位）三、（10分）用列主元高斯消去法解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++562436321321321xxxxxxxxx四、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤++=')0(10,122yxyxy,(1) 写出用Euler方法、取步长1.0=h解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进Euler方法、取步长1.0=h解上述初值问题数值解的公式。
五、（10分）用最小二乘法求解下列超定线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+212212121xxxxxx六、(10分)在区间[]1,0上利用压缩映像原理判断迭代格式Λ,1,0,411==+kex k xk的敛散性.七、(10分) 已知函数)(x f y =的数据如下：0235()1342x f x --(1) 求()f x 的三次牛顿（Newton ）插值多项式3()N x ;(2) 写出插值余项.八、(10分) 已知某河宽20m ，测得水深)(x f 如下表（单位：m ）:4.18.10.28.20.35.28.20.38.15.10.1)(20181614121086420k kx f x利用所有数据，用复合辛普森（Simpson ）公式计算河水的截面积dx x f ⎰20)(的近似值.九、（10分）求线性代数方程组Ax b =的数值解法主要有矩阵的直接分解法(如LU 分解法、Crout 分解法、Cholesky 分解法等)和迭代法（如Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法）.请你简述求解线性代数方程组Ax b =的直接分解法和迭代法这两类方法的不同点和相同点.。
北航研究生数值分析期末模拟历年考试
北航研究⽣数值分析期末模拟历年考试数值分析模拟试卷1⼀、填空（共30分，每空3分） 1 设-=1511A ，则A 地谱半径=)(a ρ______，A 地条件数)(1A cond =________. 2设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点地三次样条函数，则b=________,c=________.4设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ地最⾼项系数为1地正交多项式族，其中1)(0=x q ，则=1)(dx x xq k________，=)(2x q ________.5设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三⾓阵，当其对⾓线元素)3,2,1(=i L ii 满⾜条件________时，这种分解是唯⼀地.⼆、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上地三次Hermite 插值多项式)(x H 使满⾜2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=地表达式.三、（14分）设有解⽅程0cos 2312=+-x x 地迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为⽅程地根）；（2）取40=x ，⽤此迭代法求⽅程根地近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代地收敛阶是多少？证明你地结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能⾼地代数精度. 试问所得地数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型地？五、（15分）设有常微分⽅程地初值问题??=='00)(),(y x y y x f y ，试⽤Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα地⽅法，使其具有⼆阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知⽅程组b Ax ＝，其中==21,13.021b A ，（1）试讨论⽤Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此⽅程组地收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定⼀个地取值范围，在这个范围内任取⼀个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）⽅程组，其中，A 是对称地且⾮奇异.设A 有误差，则原⽅程组变化为，其中为解地误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 地按模最⼤和最⼩地特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；设)(x f 可微，求⽅程)(x f x =根地⽜顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；⽤⼆分法求⽅程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内地根，进⾏⼀步后根所在区间为_________，进⾏⼆步后根所在区间为_________________；求解线性⽅程组=+=+04511532121x x x x 地⾼斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵地谱半径=)(G ρ_______________；为使两点数值求积公式：-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最⾼地代数精确度，其求积节点应为=0x _____ ,=1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈?是否是插值型地__________，其代数精度为___________.⼆、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三⾓阵，U 为单位上三⾓阵.已知------=2100121001210012A ，求L，U . (2)设A 为66?矩阵，将A 进⾏三⾓分解：LU A =，L 为单位下三⾓阵，U 为上三⾓阵，试写出L 中地元素65l 和U 中地元素56u 地计算公式.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项. （12分）线性⽅程组=+=-22112122b x x b x x ρρ（1）请写出解此⽅程组地赛德尔迭代法地迭代格式，并讨论收敛性. （2）设2=ρ，给定松弛因⼦21=ω，请写出解此⽅程组地SOR ⽅法地迭代格式，并讨论收敛性.五、（7分）改写⽅程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=地形式，问能否⽤迭代法求所给⽅程在[1,2]内地实根？六、（7分）证明解⽅程0)(23=-a x 求3a 地⽜顿迭代法仅为线性收敛. 七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上地插值型求积公式；（2）指明求积公式具有地代数精度；（3）⽤所求公式计算12dx x.⼋、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 地值，这⾥.1+≤n p数值分析模拟试卷3⼀、填空题（每空3分，共30分）1．设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[810 f ； 2．在⽤松弛法(SOR)解线性⽅程组b Ax =时，若松弛因⼦ω满⾜1|1|≥-ω，则迭代法；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 地Newton 迭代法⾄少三阶收敛，)(x f 需要满⾜；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,⽤Newton 迭代法求21-=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为________________ ；求12=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为___________________；5．已知?--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 地插值多项式为_____________ ； 8. 利⽤抛物(Simpson)公式求212dx x =.⼆、（14分）已知⽅阵=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成⼀个单位下三⾓阵L 和⼀个上三⾓阵U 地乘积；(2) 给出A 地选主元地Doolittle 分解，并求出排列阵；(3) ⽤上述分解求解⽅程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项.四、（10分）证明对任意地初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于⽅程x x cos =地根，且具有线性收敛速度.五、（12分）在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ地最佳平⽅逼近多项式.（可⽤数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ）六、(12分)(1)试导出切⽐雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 地三项递推关系式：=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）⽤⾼斯—切⽐雪夫求积公式计算积分dx x x x I ? --=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分地精确值？并计算它.七、（10分）验证对?-+-+=++==++=?+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 ⼀、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．??≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii⼆、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R三、（1）32=L ;（2）347.3≈?x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型地. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==G S J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2 ⼀、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1??-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 18. 是, 1⼆、(1)---=---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、)2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ四、(1) ??-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ时收敛(2) ??-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛五、收敛七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 ⼋、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 ⼀、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 ⼆、(2) 先交换2、3两⾏，交换1、2两⾏，===010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ五、10512p p +六、1=n ，2π版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.SixE2yXPq5⽤户可将本⽂地内容或服务⽤于个⼈学习、研究或欣赏，以及其他⾮商业性或⾮盈利性⽤途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本⽹站及相关权利⼈地合法权利.除此以外，将本⽂任何内容或服务⽤于其他⽤途时，须征得本⼈及相关权利⼈地书⾯许可，并⽀付报酬.6ewMyirQFLUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.kavU42VRUs转载或引⽤本⽂内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使⽤⽬地地合理、善意引⽤，不得对本⽂内容原意进⾏曲解、修改，并⾃负版权等法律责任.y6v3ALoS89Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.M2ub6vSTnP。
电子科技大学研究生数值分析期末试卷
电子科技大学研究生数值分析期末试卷一、（15分）（1）牛顿迭代法的主要思想是什么？如何将其推广到二维问题的求解？ （2）求证：迭代公式x k+1=x k (x k 2+3a 2)3x k2+a 2，a>0，是计算a 的三阶方法。
二、（15分）已知实验数据如下：（1） 求二次拟合函数y (x )=ax 2+bx +c 。
（2） 请简单叙述插值、拟合、函数逼近三者之间的区别与联系。
三、（15分）（1）拉格朗日插值与牛顿插值有何异同？ （2）已知函数f(0)=1，f(1)=3，f(2)=9，f(3)=25，求3次插值多项式P 3(x)，并计算P 3(0.5)。
四、（10分）用列主元高斯消元法求解下面的线性方程组：{x 1− x 2 + x 3=−45x 1−4x 2+3x 3=−122x 1+ x 2 + x 3=11五、（15分）给定求积公式∫f (x )dx 10=Af (0)+Bf (0.5)+Cf ′(0)，试确定A 、B 、C ，使其代数精度尽可能的高，并指明此时求积公式的代数精度。
六、（15分）给定方程组{x 1+ 2x 2−2x 3 =5x 1+ x 2+ x 3 =12x 1+ 2x 2 + x 3=3（1） 用LU 分解法求此方程组；（2） 写出解此方程组的雅克比迭代公式，说明收敛性；并取初始向量x 0=(0,0,0)T ，求其满足‖x k+1−x k ‖<10−1的近似解。
七、（15分）设微分方程{y′′′=6y 2y′y (0)=1,y ′(0)=−1,y ′′(0)=2（1） 把该微分方程写为一阶常微分方程的初值问题； （2） 写出用二阶R-K 法：K 1=f(x n ,y n )，K 2=f(x n +ℎ,y n +ℎK 1)，y n+1=y n +ℎ2(K 1+K 2)求解的迭代公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法k k x x cos 3241+=+(1) 证明对R x ∈∀0,均有*lim x x k k =∞→,其中*x 为方程的根.(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=-+.022,1,122321321321x x x x x x x x x三、（8分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。
（范数用∞⋅）四、（15求)(x f 的Hermite插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。
六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分[]dx x b ax b a I 2112),(⎰--+=取得最小值。
七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(,1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式⎰-+≈112211)()()(x f A x f A dx x f的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分⎰=211dx e I x八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+),(),()2121(121211hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （1） 验证它是二阶方法；（2） 确定此单步法的绝对稳定域。
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=-+.022,1,122321321321x x x x x x x x x 二、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法k k x x cos 3241+=+(1) 证明对R x ∈∀0,均有*lim x x k k =∞→,其中*x 为方程的根.(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.三、（8分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。
（范数用∞⋅）四、（15分）已知 )(x f y = 的数据如下：求)(x f 的Hermite插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。
六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分[]dx x b ax b a I 2112),(⎰--+=取得最小值。
七、（14分）对于求积公式：⎰∑=≈bank k k x f A dx x f x 1)()()(ρ,其中：)(x ρ是区间),(b a 上的权函数。
（1） 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; （2） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明∑⎰==nk bak dx x A 1)(ρ八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+),(),()2121(121211hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （3） 验证它是二阶方法； （4） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=-+.022,1,122321321321x x x x x x x x x 二、（8分）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。
（范数用∞⋅）三、（15分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。
构造新的迭代格式：)(1k k k x x x μϕλ+=+问如何选取常数λ及μ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
四、（15求)(x f 的Hermite插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。
六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分[]dx x b ax b a I 2112),(⎰--+=取得最小值。
七、（14分）对于求积公式：⎰∑=≈bank k k x f A dx x f x 1)()()(ρ,其中：)(x ρ是区间),(b a 上的权函数。
（3） 证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; （4） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明∑⎰==nk bak dx x A 1)(ρ八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+),(),()2121(121211hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （5） 验证它是二阶方法； （6） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）设方程组b Ax =为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37111221x x （1） 用Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵A 的条件数∞)(A Cond二、（12分）设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，为求解方程组b Ax =，建立迭代格式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。
三、（12分）已知数据试用二次多项式c bx ax x p ++=2)(拟合这些数据。
四、（14分）已知 )(x f y = 的数据如下：（1）求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ；（2）为求⎰31)(dx x f 的值，采用算法：R dx x H dx x f +=⎰⎰31331)()(试导出截断误差R五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分dx e b ax b a I x21)(),(⎰-+=取得最小值。
六、（12）确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。
七、（12分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。
对于常数λ，构造新的迭代格式： )(1111k k k x x x ϕλλλ+++=+ 问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+)21,21(),(12121hk y h t f k y t f k hk y y n n n n n n （7） 验证它是二阶方法；（8） 确定此单步法的绝对稳定区域。
2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）给定方程 01)1()(=--=x e x x f (1) 分析该方程存在几个根；(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数； (3) 说明所用的迭代格式是收敛的. 二、（15分）设线性方程组为0,,221122221211212111≠⎩⎨⎧=+=+a a b x a x a b x a x a(1) 证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散. (2) 当同时收敛时比较其收敛速度.三、（10分）设A 为非奇异矩阵，方程组b Ax =的系数矩阵A 有扰动A ∆，受扰动后的方程组为b x x A A =∆+∆+))((，若1||||||||1<∆⋅-A A ，试证：||||||||1||||||||||||||||11A A A A x x ∆⋅-∆⋅≤∆-- 四、（15求)(x f 的Hermite插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）已知数据设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得∑==-32min ])([i iiy x f六、（15分）定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f 在},,1{2x x Span H =中求||)(x x f =的最佳平方逼近元素.七、（10分）给定求积公式⎰-++-≈h hh Cf Bf h Af dx x f 22)()0()()(试确定C B A ,,,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss 型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2)0(102y x y dx dy用一个二阶方法计算)(x y 在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 1.0=h 计算结果保留5位有效数字。