自动控制原理课件：第二章 控制系统动态性能分析
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一阶系统的稳定的条件： a0 > 0
例： 考虑系统的响应 C1 Vi(t) ± 应用电路理论: i(t) C2 V0(t)
1 t 1 vi = idt + iR + ∫ c1 − ∞ c2 1 t v0 = iR + idt ∫ c2 − ∞
∫
t
−∞
idt
dv0 dvi 1 c1 + c2 + + v0 = vi dt Rc1c2 dt Rc2
= − a ± jω
分子 分子 = Ynat ( s ) = Yzero − state ( s ) = s2 + a1s + a0 ( s + a − jω )( s + a + jω ) 分子 = ( s + a) 2 + ω 2
如果系统的特征根相等，系统的响应：
k1 k2 Ynat ( s ) = Yzero − state ( s ) = + s − s1 ( s − s1 ) 2
ynat (t ) = y zero − state (t ) = k1e + k 2te
s1t
s1t
欠阻尼响应 如果系统的特征根是复数根，s1 , s2
1/sC1 V0(s) Vi(s) ± R 1/sC2
1 1 R+ s+ V0 ( s ) sc2 Rc2 T (s) = = = c1 + c2 Vi ( s ) R + 1 + 1 s+ sc1 sc2 Rc1c2 s + 10 T ( s) = s + 20 1 1 s + 10 1 V0 ( s) = T ( s ) R( s ) = ( )= 2 + 2 s + 20 s s s + 20
s1 , s2 = − a1 ±
2 a1 − 4 a0 2
现考虑如下的二阶系统
dr dy d2y + a1 + a0 y = b1 + b0 r 2 dt dt dt
上式的拉氏变换：
Y (s) =
sy (0 − ) + y ' (0 − ) − b1r (0 − ) Y ( s) = T ( s) R( s) + s 2 + a1s + a0
控制系统的运动分析
一阶系统的响应
dy dr + a0 y = b1 + b0 r dx dt
sY ( s ) − y (0 − ) + a0Y ( s ) = B1sR ( s ) − b1r (0 − ) + b0 R ( s )
b1s + b0 y (0 − ) − b1r (0 − ) y (0 − ) − b1r (0 − ) R( s) + Y (s) = = T ( s) R( s) + s + a0 s + a0 s + a0
y (0 − ) = 10
y (0 − ) − b1r (0 − ) Y ( s) = T ( s) R( s) + s + a0
3 6 10 6 4 Y (s) = = + ( )+ s+3 s s+3 s s+3
y (t源自文库) = (6 + 4e −3t )u (t )
a b c
控制系统的运动分析
过阻尼响应 如果系统的特征根 s1 , s2 是不等实数，系统的响应：
k1 k2 Ynat ( s ) = Yzero − state ( s ) = + s − s1 s − s2
ynat (t ) = y zero − state (t ) = k1e s1t + k 2 e s2t
临界阻尼响应
b0 A b0 A − a0t − + y (0 ) − y (t ) = u (t ) e a0 a0
1 τ = a0
y(t)
b0A/a0
y(0-)
5/a0
例： 设系统的传递函数为
3 T (s) = s+3
求系统的响应
r (t ) = 6u (t )
这里：
R= 1 10
c1 = c2 = 1F
vi (t ) = u (t )
dv0 + 20v0 = δ (t ) + 10u (t ) dt
a0 = 20
b1 = 1
b0 = 10
b1s + b0 v0 (0 − ) − b1vi (0 − ) v0 ( s) = R( s) + s + a0 s + a0 1 1 s + 10 1 2 ( )= + 2 = s + 20 s s s + 20
1 1 − 20t v0 (t ) = ( + e )u (t ) 2 2
验证
dv0 + 20v0 = δ (t ) + 10u (t ) dt
1 1 − 20t ( + e )δ (t ) − 10e − 20t u (t ) + (10 + 10e − 20t )u (t ) 2 2 10e − 20t 10e − 20t = δ (t ) − + 10u (t ) + u (t ) u (t ) = δ (t ) + 10u (t )
2 − − −
b2 s 2 + b1s + b0 初始条件项 y(s) = 2 R( s) + 2 s + a1s + a0 s + a1s + a0 初始条件项 = T ( s) R( s) + 2 s + a1s + a0
系统的特征多项式
s 2 + a1s + a0 = ( s − s1 )( s − s2 )
二阶系统的响应
dr d 2r dy d2y b b a a y + + = + + b0 r 1 0 2 1 2 2 dt dt dt dt
上式的拉氏变换：
s 2 y ( s) − sy (0 − ) − y ' (0 − ) + a1sy ( s) − a1 y (0 − ) + a0 y ( s) = b2 s R( s) − b2 sr (0 ) − b2 r ' (0 ) + b1sR( s) − b1r (0 ) + b0 R( s)
1 1 − 20t V0 (t ) = ( + e )u (t ) 2 2
考虑如下一阶系统
dy + a0 y = b0 r dt
r (t ) = Au (t )
问： Y ( s ) ？
R( s) =
A s
b0 A y (0 − ) Y ( s) = + s ( s + a0 ) s + a0 b0 A b0 A − y (0 ) − a0 a0 = + s + a0 s
例： 考虑系统的响应 C1 Vi(t) ± 应用电路理论: i(t) C2 V0(t)
1 t 1 vi = idt + iR + ∫ c1 − ∞ c2 1 t v0 = iR + idt ∫ c2 − ∞
∫
t
−∞
idt
dv0 dvi 1 c1 + c2 + + v0 = vi dt Rc1c2 dt Rc2
= − a ± jω
分子 分子 = Ynat ( s ) = Yzero − state ( s ) = s2 + a1s + a0 ( s + a − jω )( s + a + jω ) 分子 = ( s + a) 2 + ω 2
如果系统的特征根相等，系统的响应：
k1 k2 Ynat ( s ) = Yzero − state ( s ) = + s − s1 ( s − s1 ) 2
ynat (t ) = y zero − state (t ) = k1e + k 2te
s1t
s1t
欠阻尼响应 如果系统的特征根是复数根，s1 , s2
1/sC1 V0(s) Vi(s) ± R 1/sC2
1 1 R+ s+ V0 ( s ) sc2 Rc2 T (s) = = = c1 + c2 Vi ( s ) R + 1 + 1 s+ sc1 sc2 Rc1c2 s + 10 T ( s) = s + 20 1 1 s + 10 1 V0 ( s) = T ( s ) R( s ) = ( )= 2 + 2 s + 20 s s s + 20
s1 , s2 = − a1 ±
2 a1 − 4 a0 2
现考虑如下的二阶系统
dr dy d2y + a1 + a0 y = b1 + b0 r 2 dt dt dt
上式的拉氏变换：
Y (s) =
sy (0 − ) + y ' (0 − ) − b1r (0 − ) Y ( s) = T ( s) R( s) + s 2 + a1s + a0
控制系统的运动分析
一阶系统的响应
dy dr + a0 y = b1 + b0 r dx dt
sY ( s ) − y (0 − ) + a0Y ( s ) = B1sR ( s ) − b1r (0 − ) + b0 R ( s )
b1s + b0 y (0 − ) − b1r (0 − ) y (0 − ) − b1r (0 − ) R( s) + Y (s) = = T ( s) R( s) + s + a0 s + a0 s + a0
y (0 − ) = 10
y (0 − ) − b1r (0 − ) Y ( s) = T ( s) R( s) + s + a0
3 6 10 6 4 Y (s) = = + ( )+ s+3 s s+3 s s+3
y (t源自文库) = (6 + 4e −3t )u (t )
a b c
控制系统的运动分析
过阻尼响应 如果系统的特征根 s1 , s2 是不等实数，系统的响应：
k1 k2 Ynat ( s ) = Yzero − state ( s ) = + s − s1 s − s2
ynat (t ) = y zero − state (t ) = k1e s1t + k 2 e s2t
临界阻尼响应
b0 A b0 A − a0t − + y (0 ) − y (t ) = u (t ) e a0 a0
1 τ = a0
y(t)
b0A/a0
y(0-)
5/a0
例： 设系统的传递函数为
3 T (s) = s+3
求系统的响应
r (t ) = 6u (t )
这里：
R= 1 10
c1 = c2 = 1F
vi (t ) = u (t )
dv0 + 20v0 = δ (t ) + 10u (t ) dt
a0 = 20
b1 = 1
b0 = 10
b1s + b0 v0 (0 − ) − b1vi (0 − ) v0 ( s) = R( s) + s + a0 s + a0 1 1 s + 10 1 2 ( )= + 2 = s + 20 s s s + 20
1 1 − 20t v0 (t ) = ( + e )u (t ) 2 2
验证
dv0 + 20v0 = δ (t ) + 10u (t ) dt
1 1 − 20t ( + e )δ (t ) − 10e − 20t u (t ) + (10 + 10e − 20t )u (t ) 2 2 10e − 20t 10e − 20t = δ (t ) − + 10u (t ) + u (t ) u (t ) = δ (t ) + 10u (t )
2 − − −
b2 s 2 + b1s + b0 初始条件项 y(s) = 2 R( s) + 2 s + a1s + a0 s + a1s + a0 初始条件项 = T ( s) R( s) + 2 s + a1s + a0
系统的特征多项式
s 2 + a1s + a0 = ( s − s1 )( s − s2 )
二阶系统的响应
dr d 2r dy d2y b b a a y + + = + + b0 r 1 0 2 1 2 2 dt dt dt dt
上式的拉氏变换：
s 2 y ( s) − sy (0 − ) − y ' (0 − ) + a1sy ( s) − a1 y (0 − ) + a0 y ( s) = b2 s R( s) − b2 sr (0 ) − b2 r ' (0 ) + b1sR( s) − b1r (0 ) + b0 R( s)
1 1 − 20t V0 (t ) = ( + e )u (t ) 2 2
考虑如下一阶系统
dy + a0 y = b0 r dt
r (t ) = Au (t )
问： Y ( s ) ？
R( s) =
A s
b0 A y (0 − ) Y ( s) = + s ( s + a0 ) s + a0 b0 A b0 A − y (0 ) − a0 a0 = + s + a0 s