第四章--能带理论PPT课件
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正格子
倒格子 b1 b2
k点均匀分布
间隔为b1/N1-----X， b2/N2-----Y
倒格子原胞内共有N1N20个21 k点
分布密度=
L1L2
(2)2
S
(2)2
20
3D晶体?
3. 克龙尼克-潘尼问题
V0
ab 晶格常数c=a+b
晶格势场
0 ncax(n1)c V(x) V0 ncxnca
2021
N 1 mn nm;mn nm;N 1
i n m2
n e N
n2 1
1, ei
n为整数
2021
9
i2m n
n e N
Tn本征值, 表相位差
( k ,r n ) a T ˆ n( k ,r )n( k ,r )
2mn2mnambnakna kmb;mint.
N Na N
N
n eikna
一维情况 a •b a b 2
(r)
Tˆn
[
2 2m
2 r
V
( r )]
f
(r)
2 2m
r na
2
V
(r
na
)
f
(r
na
)
2 2m
2 r
V
(r)
f
(r
na
)
Hˆ Tˆn f ( r ) Tˆn Hˆ Hˆ Tˆn
对易具有共同本征态H的Ψ(k,r)也是
Tn的本2征021态
7
Tˆn Hˆ Hˆ Tˆn
2021
4
求解(k？,r) 的特点？
真空中一维自由电子
(k,x)Aeikx
在周期性势场中运动的电子受约束而成Bloch波（调幅平面波）
(k, x) u(k, x)eikx
u(k, x) u(k, x na)
1D
(k ,r )
u(k,r)eik•r
3D
Bloch 定理
u(k,r) u(k, r R)
对应同一Tn本征值!
T ˆ n( x ) n( x ) e ik( n x )a e i0 n ka ( x )
当k在一定的取值范围内取值时, k与Tn本征值
一一对应, 其他区域的k重复该区的结果.
2021
12
2 Brillouin Zone
取法：以某个倒易格点为原点，与第一、二….近邻格点连线, 取中垂面围成的区域, 分别是第一、二….布里渊区.
u (k , x a ) e ik ( x ) ( x2)021 u (k , x )
11
n eikna 表相位差
a•ba b 2
k mb;mint. N
k倒空间中一点
故当k改变一个倒格失
kk0m;m bint
e i k n e i(s a N m b) nb a e i( 2 s N m n2 )n e i2 n N se i0 n ka
21
( x ) u ( x )e ikx
2 2m
d
2 ( x ) dx 2
V
( x )
( x )
E
(x)
2
2
m
d
2 dx
(x)
2
(V 0
E
)
(x)
0
K
2
2m(E V0) 2
0
V (x)
V0
1 ( x ) Ae iKx Be iKx
V0
ab 晶格常数c=a+b
2021
22
( x ) u ( x )e ikx
(k ,
r
R)
u(k,r
R)eik•(r R)
u(k ,
r)eik•reik•R
(k ,
r
R)
(k ,
ik•R r )e 2021
r与r+R处差一个相位因5 子
2021
6
Bloch波是晶体具有平移周期性的结果
定义平移算符 Tˆnf(r)f(rn)a f任意函数
Tˆn Hˆ f
( x) ( x a a ) e ika ( x a )
let z x a, a x z
( x ) e ika ( x a )
e ikx e ikz ( z ) u1 ( z )e ikx u (k , x )e ikx u (k , x ) e ik ( xa ) ( x a )
2 2m
d 2 ( x )
dx 2
V
( x)
( x)
E
(x)
2
2
m
d
2 ( x) E ( x) 0
dx 2
第四章 能带理论
2021
1
2021
2
2021
3
1. Bloch 定理与周期性边界条件 晶体中电子的运动遵守
Hˆ
(
k,
r
)
E
(k
,
r
)
2 2m
2
V
(r )
(k ,
r)
E
(k ,r )
V
(
r
)
V
(r
R)
R ma1 na2 la3
平移周期性
(k , r ) ???
对易具有共同本征态H的本征态Ψ(k,r)也是Tn的本征态
一维情况
( k ,r n ) a T ˆ n( k ,r ) n( k ,r )Hale Waihona Puke Baidu
(k, r ma ) Tˆm (k, r) m (k, r) 本征值
[k, r (m n)a] Tˆmn (k, r)
TˆmTˆn (k, r) mn (k, r)
所以有
(k, xna) Tˆn(k, x) eikna (k, x)
推广到3维
(k,rR ) eik•R (k,r)
Rma1na22021la3
Bloch 定理
10
(k, xna) Tˆn(k, x) eikna (k, x)
?
(k, x) (k, x)eikx (k, x) (k, xa)
Bloch定理 Bloch波
TˆmTˆn (k, r) Tˆm (n (k, r)) nTˆm (k, r)
nm (k, r) mn nm nm
1 2
归一化条件 n
2021
8
为确定λn, 引入周期性边界条件
(k,rN) a(k,r) N总原胞数
晶体总长
晶体两边的物理特性一样
( k ,r N ) T ˆ N a ( k ,r ) N ( k ,r ) ( k ,r )
a1=1
b1=6.28
a2=2
b2=3.14
晶面(10)
倒格矢 G10=b1+0b2
晶面(12)
倒格矢
G12=b1+2b22021
13
第一布里渊区 (简约布里渊区)
布拉非格子
第二布里渊区
布里渊区体积=1个倒易点拥有的体积=倒格子原胞体积
2021
14
2021
15
2021
16
2021
17
2021
18
电子波矢k的取值： a
2 b1 a
分布密度= L 2
(k,rN) a (k,r)
(k, x Na) ei kNa (k, x) (k, x)
e ikNa 1
均匀分布
kN 2a m,m in . t 间隔为b/N 的N个k点。
2m 2m mb
k
Na L 2021 N
19
L1 L2
倒格子 b1 b2
k点均匀分布
间隔为b1/N1-----X， b2/N2-----Y
倒格子原胞内共有N1N20个21 k点
分布密度=
L1L2
(2)2
S
(2)2
20
3D晶体?
3. 克龙尼克-潘尼问题
V0
ab 晶格常数c=a+b
晶格势场
0 ncax(n1)c V(x) V0 ncxnca
2021
N 1 mn nm;mn nm;N 1
i n m2
n e N
n2 1
1, ei
n为整数
2021
9
i2m n
n e N
Tn本征值, 表相位差
( k ,r n ) a T ˆ n( k ,r )n( k ,r )
2mn2mnambnakna kmb;mint.
N Na N
N
n eikna
一维情况 a •b a b 2
(r)
Tˆn
[
2 2m
2 r
V
( r )]
f
(r)
2 2m
r na
2
V
(r
na
)
f
(r
na
)
2 2m
2 r
V
(r)
f
(r
na
)
Hˆ Tˆn f ( r ) Tˆn Hˆ Hˆ Tˆn
对易具有共同本征态H的Ψ(k,r)也是
Tn的本2征021态
7
Tˆn Hˆ Hˆ Tˆn
2021
4
求解(k？,r) 的特点？
真空中一维自由电子
(k,x)Aeikx
在周期性势场中运动的电子受约束而成Bloch波（调幅平面波）
(k, x) u(k, x)eikx
u(k, x) u(k, x na)
1D
(k ,r )
u(k,r)eik•r
3D
Bloch 定理
u(k,r) u(k, r R)
对应同一Tn本征值!
T ˆ n( x ) n( x ) e ik( n x )a e i0 n ka ( x )
当k在一定的取值范围内取值时, k与Tn本征值
一一对应, 其他区域的k重复该区的结果.
2021
12
2 Brillouin Zone
取法：以某个倒易格点为原点，与第一、二….近邻格点连线, 取中垂面围成的区域, 分别是第一、二….布里渊区.
u (k , x a ) e ik ( x ) ( x2)021 u (k , x )
11
n eikna 表相位差
a•ba b 2
k mb;mint. N
k倒空间中一点
故当k改变一个倒格失
kk0m;m bint
e i k n e i(s a N m b) nb a e i( 2 s N m n2 )n e i2 n N se i0 n ka
21
( x ) u ( x )e ikx
2 2m
d
2 ( x ) dx 2
V
( x )
( x )
E
(x)
2
2
m
d
2 dx
(x)
2
(V 0
E
)
(x)
0
K
2
2m(E V0) 2
0
V (x)
V0
1 ( x ) Ae iKx Be iKx
V0
ab 晶格常数c=a+b
2021
22
( x ) u ( x )e ikx
(k ,
r
R)
u(k,r
R)eik•(r R)
u(k ,
r)eik•reik•R
(k ,
r
R)
(k ,
ik•R r )e 2021
r与r+R处差一个相位因5 子
2021
6
Bloch波是晶体具有平移周期性的结果
定义平移算符 Tˆnf(r)f(rn)a f任意函数
Tˆn Hˆ f
( x) ( x a a ) e ika ( x a )
let z x a, a x z
( x ) e ika ( x a )
e ikx e ikz ( z ) u1 ( z )e ikx u (k , x )e ikx u (k , x ) e ik ( xa ) ( x a )
2 2m
d 2 ( x )
dx 2
V
( x)
( x)
E
(x)
2
2
m
d
2 ( x) E ( x) 0
dx 2
第四章 能带理论
2021
1
2021
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1. Bloch 定理与周期性边界条件 晶体中电子的运动遵守
Hˆ
(
k,
r
)
E
(k
,
r
)
2 2m
2
V
(r )
(k ,
r)
E
(k ,r )
V
(
r
)
V
(r
R)
R ma1 na2 la3
平移周期性
(k , r ) ???
对易具有共同本征态H的本征态Ψ(k,r)也是Tn的本征态
一维情况
( k ,r n ) a T ˆ n( k ,r ) n( k ,r )Hale Waihona Puke Baidu
(k, r ma ) Tˆm (k, r) m (k, r) 本征值
[k, r (m n)a] Tˆmn (k, r)
TˆmTˆn (k, r) mn (k, r)
所以有
(k, xna) Tˆn(k, x) eikna (k, x)
推广到3维
(k,rR ) eik•R (k,r)
Rma1na22021la3
Bloch 定理
10
(k, xna) Tˆn(k, x) eikna (k, x)
?
(k, x) (k, x)eikx (k, x) (k, xa)
Bloch定理 Bloch波
TˆmTˆn (k, r) Tˆm (n (k, r)) nTˆm (k, r)
nm (k, r) mn nm nm
1 2
归一化条件 n
2021
8
为确定λn, 引入周期性边界条件
(k,rN) a(k,r) N总原胞数
晶体总长
晶体两边的物理特性一样
( k ,r N ) T ˆ N a ( k ,r ) N ( k ,r ) ( k ,r )
a1=1
b1=6.28
a2=2
b2=3.14
晶面(10)
倒格矢 G10=b1+0b2
晶面(12)
倒格矢
G12=b1+2b22021
13
第一布里渊区 (简约布里渊区)
布拉非格子
第二布里渊区
布里渊区体积=1个倒易点拥有的体积=倒格子原胞体积
2021
14
2021
15
2021
16
2021
17
2021
18
电子波矢k的取值： a
2 b1 a
分布密度= L 2
(k,rN) a (k,r)
(k, x Na) ei kNa (k, x) (k, x)
e ikNa 1
均匀分布
kN 2a m,m in . t 间隔为b/N 的N个k点。
2m 2m mb
k
Na L 2021 N
19
L1 L2