2014《步步高》高考数学第一轮复习13 合情推理与演绎推理

§13.2合情推理与演绎推理

2014高考会这样考 1.从近几年的高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档为主；2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．

复习备考要这样做 1.联系具体实例，体会几种推理的概念和特点，并结合这些方法解决一些应用问题；2.培养归纳、类比、演绎的推理思维模式，培养分析、解决问题的能力．

1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．

合情推理的过程

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这

些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，

结论：∀d∈M，d也具有某属性．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一

类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；

B：具有属性a′，b′，c′；

结论：B具有属性d′.

(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)

2．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)“三段论”可以表示为

①大前提：M是P；

②小前提：S是M；

③结论：S是P.

用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.

[难点正本疑点清源]

1．在解决问题过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．

2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．

3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．

1．(2012·陕西)观察下列不等式：

1＋1

22<3 2，

1＋1

22＋1

32<

5

3，

1＋1

22＋1

32＋

1

42<

7

4，

……

照此规律，第五个

．．．不等式为________．

答案1＋1

22＋1

32＋1

42＋

1

52＋

1

62<

11

6

解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．

∴第五个不等式为1＋1

22＋1

32＋

1

42＋

1

52＋

1

62<

11

6.

2．(2011·山东)设函数f(x)＝

x

x＋2

(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝

x

x＋2

，

f2(x)＝f(f1(x))＝

x

3x＋4

，

f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x

7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x

15x ＋16

，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 答案

x

(2n

－1)x ＋2n

解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .

所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x (2n －1)x ＋2n

.

3． 给出下列三个类比结论：

①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；

②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案 B

4． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x

是指数函数(小前提)，所以函数y ＝

⎝⎛⎭

⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于

( )

A ．大前提错误导致结论错

B ．小前提错误导致结论错

C ．推理形式错误导致结论错

D ．大前提和小前提错误导致结论错 答案 A

5． (2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，

则a 10＋b 10等于

( )

A ．28

B ．76

C ．123

D ．199

答案 C

解析 观察规律，归纳推理．

从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等