13东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数模型及其综合应用A
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19．已知函数 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
解:在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点.
20．已知二次方程 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 的取值范围.
（A）c<b<a（B）c<a<b C）b<a<c（D）b<c<a
【答案】A
15．函数 的零点是2或3.
16．函数 零点的个数为3.
17.【2012高考上海文6】方程 的解是
【答案】 。
18.【2012高考天津文科14】已知函数 的图像与函数 的图像恰有两个交点，则实数 的取值范围是.
【答案】 或 。
探究二：构造函数模型解决函数应用问题
例2：某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理厂，如下表：
一期2000年投入1亿元
兴建垃圾堆肥厂
年处理有机肥十多万吨
年综合收益
2千万元
二期2002年投入4亿元
兴建垃圾焚烧发电一厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
三期2004年投入2亿元
兴建垃圾焚烧发电二厂
3、函数模型的应用：
一方面是利用已知的模型解决问题；另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，解函数应用题的一般步骤：
（1）、阅读，审题；深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格（或图形）外理数据，便于寻数据关系。
（2）、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
A .2 B.4 C.5 D. 8
【答案】Ｂ
12.【2012高考湖北文3】函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为
A 2 B3 C4 D 5
【答案】D
13.【2102高考北京文5】函数 的零点个数为
（A）0（B）1（C）2（D）3
【答案】B
14.【2012高考天津文科4】已知a=21.2，b= -0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为
2、判断函数零点的个数问题常数形结合的方法，一般将题止听等式化为两个函数图象的交点问题。
3、在导数问题中，经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题，要确定函数具体的零点的个数需逐个判断，在符合根的存在定量的条件下，还需辅以函数的单调性才能准确判断出零点的个数。
四、反思感悟：
。
五、课时作业：
1．函数 的零点个数（C）.
5．函数 的图象是在R上连续不断的曲线，且 ，则 在区间 上（D）.
A.没有零点B.有2个零点C.零点个数偶数个D.零点个数为k，
6.【2012高考重庆文7】已知 ， ， 则a,b,c的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
7.【2012高考全国文11】已知 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
解：设 = ，则 =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).
所以 ，百度文库 ，∴ ．
21．已知 ：
（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；
解：（1） ，解得 且 .
（2）如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数 的取值范围.
（2） 或 .解得 .
22.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系 ， 轴在地平面上， 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 表示的曲线上，其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
【答案】D
8.【2012高考全国文2】函数 的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
9.【2012高考四川文4】函数 的图象可能是（）
【答案】Ｃ
10.【2012高考山东文10】函数 的图象大致为【答案】D
11.【2012高考湖南文9】设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数， 是f(x)的导函数，当 时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠ 时， ，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为
二、题型探究
探究一：利用已知函数模型解决函数应用题
例1：有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x ）， 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）、证明：当 时，掌握程度的增加量 总是下降；
（2）、根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127](121,133]当学习某学科6次时，掌握程度为80%，请确定相应的学科（）参考数据
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
如果每期的投入从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f(x)的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。
三、方法提升
1、根据根的存在定量理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题只需将区间的两个端点的值代入计算即可判断出来。、
函数模型及其综合应用(教案)A
一、知识梳理：（阅读教材必修1第95页—第106页）
1、常见函数模型
(1)一次函数模型: =kx+b(k,b为常数，且k )；
(2)二次函数模型: =a ；
(3)指数函数模型： =a , ,b
(4)对数函数模型： =mlo , , ,a
(5)幂函数模型： =a , ,n
2、几类函数模型增长的差异
在区间（0,+ ）上，尽管函数 = (a>1) , =lo , = 都是增函数，但是它们的增长的速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大， = (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 的增长速度，而 =lo 增长速度会越来越慢，因此，总会存在一个 ,当 时， lo < <
（3）、合理求解纯数学问题：根据建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理的运算途径，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制及其他约束条件。
（4）、解释关回答实际问题：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前要检验，既要检验所求得的结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求。
A. 0个B. 1个C. 2个D.不能确定
2．若函数 在 内恰有一解，则实数 的取值范围是（B）.
A. B. C. D.
3．函数 的零点所在区间为（C）
A.（ 1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）
4．方程lgx＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解（B）.
A. [-10，-0.1]B. C. D.
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
解:在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点.
20．已知二次方程 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 的取值范围.
（A）c<b<a（B）c<a<b C）b<a<c（D）b<c<a
【答案】A
15．函数 的零点是2或3.
16．函数 零点的个数为3.
17.【2012高考上海文6】方程 的解是
【答案】 。
18.【2012高考天津文科14】已知函数 的图像与函数 的图像恰有两个交点，则实数 的取值范围是.
【答案】 或 。
探究二：构造函数模型解决函数应用问题
例2：某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理厂，如下表：
一期2000年投入1亿元
兴建垃圾堆肥厂
年处理有机肥十多万吨
年综合收益
2千万元
二期2002年投入4亿元
兴建垃圾焚烧发电一厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
三期2004年投入2亿元
兴建垃圾焚烧发电二厂
3、函数模型的应用：
一方面是利用已知的模型解决问题；另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，解函数应用题的一般步骤：
（1）、阅读，审题；深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格（或图形）外理数据，便于寻数据关系。
（2）、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
A .2 B.4 C.5 D. 8
【答案】Ｂ
12.【2012高考湖北文3】函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为
A 2 B3 C4 D 5
【答案】D
13.【2102高考北京文5】函数 的零点个数为
（A）0（B）1（C）2（D）3
【答案】B
14.【2012高考天津文科4】已知a=21.2，b= -0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为
2、判断函数零点的个数问题常数形结合的方法，一般将题止听等式化为两个函数图象的交点问题。
3、在导数问题中，经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题，要确定函数具体的零点的个数需逐个判断，在符合根的存在定量的条件下，还需辅以函数的单调性才能准确判断出零点的个数。
四、反思感悟：
。
五、课时作业：
1．函数 的零点个数（C）.
5．函数 的图象是在R上连续不断的曲线，且 ，则 在区间 上（D）.
A.没有零点B.有2个零点C.零点个数偶数个D.零点个数为k，
6.【2012高考重庆文7】已知 ， ， 则a,b,c的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
7.【2012高考全国文11】已知 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
解：设 = ，则 =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).
所以 ，百度文库 ，∴ ．
21．已知 ：
（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；
解：（1） ，解得 且 .
（2）如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数 的取值范围.
（2） 或 .解得 .
22.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系 ， 轴在地平面上， 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 表示的曲线上，其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
【答案】D
8.【2012高考全国文2】函数 的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
9.【2012高考四川文4】函数 的图象可能是（）
【答案】Ｃ
10.【2012高考山东文10】函数 的图象大致为【答案】D
11.【2012高考湖南文9】设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数， 是f(x)的导函数，当 时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠ 时， ，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为
二、题型探究
探究一：利用已知函数模型解决函数应用题
例1：有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x ）， 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）、证明：当 时，掌握程度的增加量 总是下降；
（2）、根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127](121,133]当学习某学科6次时，掌握程度为80%，请确定相应的学科（）参考数据
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
如果每期的投入从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f(x)的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。
三、方法提升
1、根据根的存在定量理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题只需将区间的两个端点的值代入计算即可判断出来。、
函数模型及其综合应用(教案)A
一、知识梳理：（阅读教材必修1第95页—第106页）
1、常见函数模型
(1)一次函数模型: =kx+b(k,b为常数，且k )；
(2)二次函数模型: =a ；
(3)指数函数模型： =a , ,b
(4)对数函数模型： =mlo , , ,a
(5)幂函数模型： =a , ,n
2、几类函数模型增长的差异
在区间（0,+ ）上，尽管函数 = (a>1) , =lo , = 都是增函数，但是它们的增长的速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大， = (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 的增长速度，而 =lo 增长速度会越来越慢，因此，总会存在一个 ,当 时， lo < <
（3）、合理求解纯数学问题：根据建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理的运算途径，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制及其他约束条件。
（4）、解释关回答实际问题：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前要检验，既要检验所求得的结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求。
A. 0个B. 1个C. 2个D.不能确定
2．若函数 在 内恰有一解，则实数 的取值范围是（B）.
A. B. C. D.
3．函数 的零点所在区间为（C）
A.（ 1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）
4．方程lgx＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解（B）.
A. [-10，-0.1]B. C. D.