一些图类的连通性

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应用离散数学图论图的连通性题库试卷习题及答案

§5.2 图的连通性习题5.21．证明或否定：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通路，则G 中有基本回路。

（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的基本通路，则G 中有基本回路。

解：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道，则G 中有回路。

（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路，则G 中有回路。

解（1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），但图中没有回路。

（2）一定：设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。

若对m i ≤≤1，n j ≤≤1有j i y x ≠，则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。

否则假设l k y x =且是离u 最近的一对（即对k i ≤≤1，l j ≤≤1，不存在j i y x =），则),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。

2．设G 是简单图，)(G δ≥2，证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的基本回路。

证：以图G 中一点v 1出发，与之相邻的点设为v 2，由于)(G δ≥2，则v 2至少还有一个邻接点，设为v 3，若v 3与v 1邻接，则形成长度为1)(+G δ的基本回路，则若v 3不与v 1邻接，则至少还有一个邻接点，设为v 4，若v 4与v 1或v 2邻接，则形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路，若v 4与v 1和v 2都不邻接，至少还有一个邻接点，设为v 5，…，依次类推，一定可以到达最后一个顶点v i ，由于)(G δ≥2，则除了v i -1外，一定会与前面的某个顶点邻接，就会形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路。

3．证明：若连通图G 不是完全图，则G 中存在三个点w v u ，，，使E v u ∈)(，，E w v ∈)(，，E w u ∉)(，。

一类笛卡尔积图的连通性

一类笛卡尔积图的连通性葛国菊;马永梅【摘要】本文主要运用约化的方法证明了对图集F上的任意图H,则有H×Cm,m≥2,是Z3-连通的.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2011(013)003【总页数】5页(P17-21)【关键词】笛卡尔积;群连通;直系点【作者】葛国菊;马永梅【作者单位】巢湖学院数学系,安徽巢湖238024;巢湖学院数学系,安徽巢湖238024【正文语种】中文【中图分类】O157.5写本文的主要动机是由两个猜想而引起的猜想 1（ Bondy[1]）：4-边连通图有 Z3-NZF.猜想 2（ Jaeger[2]）：5-边连通图是 Z3-连通的.Kochol在[3]中证明了猜想1等价于5-边连通图有Z3-NZF，因此猜想2包含猜想1.由于H×Cm，m≥2为 5-正则图，且当m≥5时，H×Cm为5-边连通的5-正则图，因此根据猜想2它应该是Z3-连通的.本文主要用约化的方法证明了对图集F 上的任意图H，则H×Cm，m≥2是Z3-连通的.本文中的图都是指无环的有限图，用到的群都是Abel群，对一个有限Abel群A，G是A-连通的，记作G∈＜A＞.一个非平凡的2-正则的连通图称为一个圈，一个圈有k-条边，称为k-圈，记作Ck.由Ck添加一个新顶点x，和k条边xvi（i=1，2，…，k），其中V(Ck)={v1,v2,…,vk}，所得到的图称为k-轮图，记作Wk.设G是一个图，v∈V(G)，d(v)≥4，令 N(v)={v1，v2，…，vm}为 v 的邻点集，令 X={vv1，vv2}，则图G[v，X]是由 G\{vv1,vv2}添加一条新边v1v2所得到的图.若H是G的子图，记作H⊆G.以上的基本概念在[4]中有介绍.命题 1 （i[5]）：对任意 Abel群 A，＜A＞是一族连通图满足：（1）K1∈＜A＞；（2）若e∈E(G),且G∈＜A＞，则G/e∈＜A＞；（3）若 H⊆G 且 H，G/H∈＜A＞，则G∈＜A＞；（4）若|A|≥n+1,则Cn∈＜A＞；（5）若G[v,X]∈＜A＞，则G∈＜A＞.命题 2 （M.Devos[6]）：对∀n≥1，则有W2n∈＜Z3＞.若H⊆G，H∈＜A＞，则称H为G的A-可收缩子图，也可称H上所有的点在A上都可收缩到H 上某点vH；要判断G∈＜A＞，根据命题1（3）知，只要判断G/H∈＜A＞；G/H是把H上所有的点收缩成一点vH，再把所有的环去掉得到的图；由命题 1（4）知C2∈＜Z3＞，其中 V(C2)={v1,v2}，则称 C2可收缩到点v1或v2可收缩到点v1.基本思想方法在[7]中有介绍.定义1：图G和H的笛卡尔积，记作G×H，点集为V(G)×V(H)={(g，h)：g∈V(G)，h∈V(H)}，对任意点(g1，h1)，(g2，h2)∈V(G×H)，若((g1，h1)，(g2，h2))∈E(G×H)，则 g1=g2，(h1，h2)∈E(H)或(g1，g2)∈E（G），h1=h2. 为了叙述方便令 V （H）={h1，h2，…，hn}，V（G）={g1，g2，…，gm}，在G×H 中，一个层G×{hi}称为第i个 G-层；一个层{gj}×H称为第 j个H-层；定义2：F是为一个图集满足下列条件：（1）Cn×e∈F，对∀n≥2；（2）对∀H1，H2∈F，在H1，H2上的任一块的外圈上添加一点，并把这两点用一条边连起来所得到的图为H，则H∈F.由定义2可知F是一个块树集，即F上任意图H的每一个块都是一个Cn×e，n≥2，且块与块之间用一条边连起来.定义3：设H是F中的一个块树，H的每一个块都是一个Cn×e，n≥2，选定H上的一个块作为根块，则其他块有且只有一个父块；每个块上与父块相连的点称为直系点，则每个块（非根块）只有一个直系点；若把块树的各个块看成一点，则一个块点到根块点的距离称为该块的层数，H中各块点的层数的最大值称为该块树H的树高，其中根块所在的层为第0层.由定义3可知，若块（非根块）是引理5中的H，则直系点为5；若块（非根块）是引理4中的H，则直系点为7；若块（非根块）是引理3中的H，则直系点为9；若块（非根块）是引理 1中的H，则直系点为11；若块（非根块）是引理2中的H，则直系点为2n+1.通过研究主要得出以下结论：定理 1：对∀H∈F，G=Cm，m≥2，则G×H∈＜Z3＞.在证明定理之前我们先看几个引理，而下列引理及推论中需要用到以下几个图，我们先描述一下：图G1=C3∪{v1，v2}，其中 V(C3)={1，2，3}，且 v1，v2与点 1，2，3 都相邻；图G2=Cm∪{v1}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}（m≥4），且 v1与点 3，…，m 都相邻，同时 v1与点 2形成2-圈；图 G3=Cm∪{v1，v2}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}(m≥4)，且 v1与点 1，2，…，m 都相邻，v2与点 2，3，…，m 都相邻；图G4=Cm∪{v1，v2}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}(m≥4)，且 v1与点 1，2，…，m 都相邻，v2与点 1，2都形成2-圈；图G5=Cm×e∪{v1}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}(m ≥4)，V(e)={g1，g2}，且v1 与点 (g1，1)， (g1，2)，..，(g1，m)都相邻，同时 v1 与点(g2，1)，(g2，2)也相邻；图G6=Cm×e∪{v1，v2}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}(m ≥4)，V(e)={g1，g2}，且 v1 与点 (g1，1)， (g1，2)，..，(g1，m)都相邻，v2 与点(g2，1)，(g2，2)，..，(g2，m)都相邻.容易证明它们都是Z3-连通的.引理1：设H1为C5×e再把外圈细分所得到的图，G=Cm，m≥2，记V(H1)={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，其中内圈上点按逆时针方向分别为{1，2，3，4，5}，外圈上点为{6，7，8，9，10}，且1 和6 相邻，外圈上细分点为{11，12，13，14，15}，且 11 与 7，8 相邻，在G×H1中，H1上点12，13，14，15 所对应的 G-层上点都分别与 v12，v13，v14，v15 相邻，令T=G×H1∪{v12，v13，v14，v15}，则T∈＜Z3＞.证明：（i）当m=2时，命题显然成立；（ii）当 m=3 时，记 V（G）={g1，g2，g3}，令（g1，6）为 v1，去掉边（（g1，1），（g1，5）），（（g1，5），（g1，10））和((g1，10)，(g1，14))，添加边（（g1，1），（g1，14）），去掉边（（g1，1），（g1，2）），（（g1，2），（g1，7））和（（g1，7），（g1，15）），添加边（（g1，1），（g1，15）），去掉边（（g1，14），（g2，14））和（（g2，14），（g2，6）），添加边（（g1，14），（g2，6）），去掉边（（g1，15），（g2，15））和（（g2，15），（g2，6）），添加边（（g1，15），（g2，6）），则 v1与（g1，1），（g1，14），（g1，15），（g2，6）形成 W4，由命题2知W4∈＜Z3＞，于是把这个W4收缩成一点，仍记为v1，这时 v1与点（g2，1），（g3，6）都形成 2-圈，同时 v1与（g3，1），（g3，14），（g3，15）都相邻，因此把点（g2，1），（g3，6），（g3，1），（g3，14），（g3，15）依次收缩到 v1，则 v1与点 v14，v15都形成 2-圈，把点v14，v15都收缩到 v1，此时 v1与点（g2，14），（g2，15）都形成2-圈，所以可把点（g2，14），（g2，15）收缩到v1。

图-连通的概念

三、连通性3.1 连通性和Whitmey定理定义V真包含于V(G), G[V(G)-V'不连通，而G是连通图，则称V是G的顶剖分集。

最小顶剖分集中顶的个数，记成K (G)叫做G的连通度；规定K (Kv)=-U; K不连通图)=平凡图)=0。

由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。

没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。

定义E包含于E(G)，G为连通图，而G-E'从G中删除E'中的边)不连通，则称E'为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E〃，使得|E 〃|v|E则称|E '为G的边连通度，记成K' (G归’|=时，E'中的边叫做桥。

规定K不连通图)=0，K' (Kv)= u1。

定义K (G)>=k时，G叫做k连通图；K' (G)>=k，G称为k边连通图。

k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。

k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。

上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。

定理1 K (G)=< K' 2)=可以复习一下第一章的1.2：S =min{d(v)})证：设d(v)=，则删除与v边关联的S条边后，G变不连通图，所以这S 条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过即K' (G)=<T证K =<K'分情形讨论之。

若G中无桥，则有K' >条边，移去它们之后，G变成不连通图。

于是删除这K条中的K'条后，G变成有桥的图。

设此桥为e=uv，我们对于上述K'条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过K'个)端点，若G变得不边能，则K =<K-1；若仍连通，则再删去u或v,即可使G变得不连通，于是K =<K'证毕。

这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种友好”的面目出现。

F面就是Whitmey定理定理2(Whitney,1932) u >的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。

图形的分类与性质

图形的分类与性质
汇报人：XX
图形的分类图形的性质
图形的分类
根据边数分类
三角形：三条边
四边形：四条边
五边形：五条边
六边形：六条边
根据形状分类
圆形：各边相等，各角相等，是曲边多边形中最具有对称性的图形。
椭圆形：是介于圆形和方形之间的一种图形，可以看作是一个被压扁的圆形。
三角形：由三条边构成的图形，具有稳定性两个或多个部分组成，各部分之间没有重叠
性质：各部分之间有明确的界限，可以单独进行操作和变换
举例：矩形、三角形、圆形等基本图形都是组合性质图形
应用：在几何学、计算机图形学等领域有广泛应用
THANK YOU
汇报人：XX
四边形：由四条边构成的图形，是最常见的多边形之一，根据边的长度和角度可以分为多种类型。
根据维度分类
一维图形：线段、射线、直线
二维图形：矩形、三角形、圆形等平面图形
三维图形：长方体、球体、锥体等立体图形
更高维度图形：超立方体、马鞍面等高维空间图形
根据用途分类
几何图形：用于描述几何性质和关系工程图形：用于表示工程设计和制造中的对象地图图形：用于表示地理信息和位置图表图形：用于表示数据和统计信息
图形的性质
几何性质
定义：图形的几何性质是指图形在空间中表现出的形状、大小、方向等特征。分类：图形的几何性质可以分为对称性、平行性、垂直性、相切性等。
对称性：图形关于某一直线或点对称，具有对称性。
平行性：图形中的线段或平面相互平行，具有平行性。
拓扑性质
连通性：图形中任意两点之间存在至少一条路径紧致性：图形在有限区域内具有有限的面积或体积分离性：图形中任意两点是否分离取决于它们之间的距离连通分支：图形中任意一点到其他所有点的路径都是连通的

图论双连通

图的割点、桥与双连通分支[点连通度与边连通度]在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。

一个图的点连通度的定义为，最小割点集合中的顶点数。

类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。

一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。

[双连通图、割点与桥]如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的(point biconnected)，简称双连通或重连通。

一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point)，又叫关节点(articulation point)。

如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的(edge biconnected)，简称双连通或重连通。

一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge)，又叫关节边(articulation edge)。

可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。

[双连通分支]在图G的所有子图G'中，如果G'是双连通的，则称G'为双连通子图。

如果一个双连通子图G'它不是任何一个双连通子图的真子集，则G'为极大双连通子图。

双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。

特殊的，点双连通分支又叫做块。

[求割点与桥]该算法是R.Tarjan发明的。

对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。

定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。

根据定义，则有：Low(u)=Min { DFS(u) DFS(v) (u,v)为后向边(返祖边) 等价于DFS(v)<DFS(u)且v 不为u的父亲节点Low(v) (u,v)为树枝边(父子边) }一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2) (1) u为树根，且u有多于一个子树。

有向图的强连通分支

有向图的强连通分支有向图的连通性包含两个部分，强连通与弱连通。

强连通：对有向图中一个顶点对w v ,，如果存在v 到w 和w 到v 的路，则称w ，v 是连通的。

若图中任意两点都是连通的，则称图G 为强连通图。

弱连通图：对有向图),(E V G =，如果对图中任一顶点对v 和w ，有一个顶点序列m u u u ,,,21 ，使m u w u v ==,1，并且对于1,,2,1-=m i ，或者E u u i i ∈+),(1，或者E u u i i ∈+),(1，则称图G 是弱连通的。

强连通分支：有向图的一个强连通分支是一个最大的强连通子图。

等价关系S ：对于V 中的w v ,，vSw ⇔从v 到w 有路，从w 到v 也有路。

则由S 所确定的每一个等价类V ~以及其中点对所决定的关联边构成了图G 的一个强连通分支。

凝图：有向图G 的强连通分支p S S S ,,,21 中每一个都能收缩为一点，产生一个新的没有回路的有向图。

称为G 的凝图，用),(E V G ''='表示。

其中V '有p 个元素p s s s ,,,21 ，),(j i s s 在E '中⇔从i S 中某顶点到j S 中某顶点的有一条边。

与无向图中求图的连通分支相类似，可以借助DFS 来寻找，但在有向图中情况却要复杂得多。

DFS 树中除树边、向后边外，可能还有向前边和交叉边。

且由交叉边的性质知，交叉边是从右到左的。

关系£：v £w ⇔在DFS 搜索中，遇到v 之后才遇到w ，并且w 不是v 的子孙。

我们把这个关系读着v 在w 的左边。

引理3.4如果v和w是在V中，并且E(，则必有v£w或者v，w,v∈w)之中的一个顶点是另一个顶点的子孙。

OLDEST(v):v是树中的一个顶点，OLDEST(v)是T中从v出发沿着树边、回边和交叉边能到达v的最早（最接近于根部）的祖先。

图论常考知识点总结

图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。

顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。

若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。

图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。

2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。

强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。

弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。

3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。

广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。

4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。

弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。

5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。

克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。

6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。

以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。

当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。

图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。

图论课件第三章图的连通性

Bellman-Ford算法
总结词
Bellman-Ford算法是一种用于查找带权图中单源最短路径的算法。
详细描述
Bellman-Ford算法的基本思想是从源节点开始，通过不断更新节点之间的距离，逐步找到从源节点到其他节点的最短路径。该算法可以处理带有负权重的边，并且在图中存在负权重环的情况下也能正确处理。
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Floyd-Warshall算法
总结词
Floyd-Warshall算法是一种用于查找所有节点对之间最短路径的动态规划算法。
详细描述
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐步构建最短路径矩阵。该算法首先初始化一个距离矩阵，然后通过一系列的转移操作，逐步更新距离矩阵，直到找到所有节点对之间的最短路径。
欧拉回路
总结词
欧拉回路是指一个路径的起点和终点是同一点，且经过图中的每条边且仅经过一次的路径，并且该路径闭合。
详细描述
欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，它不仅满足欧拉路径的所有条件，而且起点和终点是同一点，形成一个闭合的路径。在图论中，欧拉回路具有重要的应用价值。
欧拉回路的判定
总结词
判断一个图是否存在欧拉回路是一个NP 难问题，目前没有已知的多项式时间复杂度的算法。
连通度
总结词
连通度是描述图中任意两点之间可达性的度量，表示图中节点之间的连接紧密程度。
详细描述
在图论中，连通度是衡量图连通性的一个重要参数。对于一个无向图，连通度通常用K表示，表示图中任意两点之间是否存在路径。对于有向图，连通度分为入度和出度，分别表示从一个节点到另一个节点是否存在路径和从另一个节点到这个节点是否存在路径。

第八章图论

3. 图的结点与边之间的关系定义如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。没有与边关联的结点称为孤立点。关联于同一结点的相异边称为邻接的。不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重图。最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义图G中关联于结点vi的边的总数称为结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图的非连通图。结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义定义设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图，则称S是G的一个边割集。注：割边是边割集的一个特例。

离散数学中的图论代表知识点介绍

离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。

图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。

本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。

1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。

图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。

在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。

2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。

常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。

邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。

3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。

其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。

连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。

如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。

反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。

连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。

路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。

路径的长度是指路径上边的数量。

最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。

回路是指路径起点和终点相同的路径。

如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。

度数是指图中顶点的边的数量。

对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。

树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。

树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。

连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。

离散数学第七章图的基本概念

4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.

一些图的(无符号)拉普拉斯谱及其应用

一些图的（无符号）拉普拉斯谱及其应用引言：图论作为一门探究图的性质和结构的学科，已经广泛应用于许多领域，如社交网络分析、图像处理、数据开掘等。

而拉普拉斯矩阵是图论中重要的工具之一，它能够刻画图的性质和特征。

本文将介绍一些图的（无符号）拉普拉斯矩阵的基本观点和性质，并探讨其在图论中的应用。

一、无符号拉普拉斯矩阵的定义无符号拉普拉斯矩阵是描述无向图拓扑结构的矩阵，它由度矩阵和邻接矩阵计算得出。

设G=(V,E)是一个无向图，其中V是顶点集合，E是边集合。

图的度矩阵D是一个对角矩阵，其对角元素为每个顶点的度数，邻接矩阵A是一个对称矩阵，其元素a_ij表示顶点i和顶点j之间是否存在边。

无符号拉普拉斯矩阵L定义为L=D-A。

二、无符号拉普拉斯矩阵的性质1. 零空间：无符号拉普拉斯矩阵的零空间由全部满足Lx=0的向量x组成。

零空间的维度等于图的连通重量数目，可以用于裁定图的连通性。

2. 特征值和特征向量：无符号拉普拉斯矩阵的特征值是非负实数，且有一个特殊的特征值0。

对应于0特征值的特征向量x=(x_1,x_2,...,x_n)满足Lx=0，即存在一组非零向量满足Ax=b，其中b=(x_1,x_2,...,x_n)。

其他非零特征值对应的特征向量可以用来描述图的结构特征。

3. 广义拉普拉斯算子：无符号拉普拉斯矩阵的广义拉普拉斯算子定义为Lf=D^{-1/2}LD^{-1/2}，其中D^{-1/2}是度矩阵D的平方根的逆矩阵。

广义拉普拉斯算子具有与无符号拉普拉斯矩阵类似的性质，但更适用于权重图。

三、无符号拉普拉斯谱的应用1. 图划分：无符号拉普拉斯矩阵的特征向量可以用于图划分问题。

通过找到特征向量对应的分界点，可以将图分成两个或多个连通子图，从而实现图的分割。

2. 图嵌入：无符号拉普拉斯矩阵的特征向量可以用于图的嵌入问题。

通过选择特征向量作为特征空间的基，可以将图的节点映射到低维空间中，从而实现图的可视化和降维。

3. 图聚类：无符号拉普拉斯矩阵的特征向量可以用于图聚类问题。

CH7 图的基本概念 2 3 通路、回路、图的连通性

{e6},{e5},{e2,e3},{e1,e2},{e3 ,e4},{e1,e4},{e1,e3},{e2,e4} 都是割集， e6,e5是桥。
有向图的连通性
定义设D＝<V,E>为一个有向图。vi,vj∈V，若从 vi到vj存在通路，则称vi可达vj，记作vi→vj，规定vi总是可达自身的，即vi→vi。若vi→vj且vj→vi，则称vi与vj是相互可达的，记作vi vj。规定vivi。
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,· ,vn},E={e1,e2,· ,em}, · · · ·
令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)n×m为G的关联矩阵，记为M(G)。
性质：P163
2.有向图的关联矩阵
设简单有向图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, 则称 ·,v ·,e (mij)n×m为G的关联矩阵，记为M(G)。其中，
性质：P164
3. 图的邻接矩阵
设图
G=<V,E>,V={v1,v2,·· n},E={e1,e2,·· m}, ·,v ·,e 则称(aij)n×m为G的邻接矩阵，记为A(G)。其中， aij为vi邻接(到)vj的边的条数.
0 2 2 0 1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
7.3 图的矩阵表示
图的表示：
数学定义图形表示矩阵表示便于用代数知识来研究图的性质便于用计算机处理矩阵的行列有固定的顺序，因此在用矩阵表示图之前，必须将图的顶点和边（如果需要）编号。本节学习： • 图的关联矩阵 • 图的邻接矩阵 • 有向图的可达矩阵

图论的名词解释

图论的名词解释图论是数学中的一个重要分支，研究从图的角度描述和解决问题的理论和方法。

图论的基本概念和名词非常重要，它们是理解和应用图论的关键。

本文将从不同的角度解释图论中的一些重要名词。

1. 图（Graph）图是图论的核心概念，它由节点和边组成。

节点代表对象或事件，边代表节点之间的联系或关系。

图可以分为有向图和无向图。

无向图的边没有方向，表示节点之间的无序关系；有向图的边有方向，表示节点之间的有序关系。

图在各个领域都有广泛的应用，如社交网络分析、电路设计、交通规划等。

2. 节点（Vertex）节点是图中的基本元素，也称为顶点。

节点可以代表具体对象，如人物、城市、物品等，也可以代表抽象概念，如事件、状态、因素等。

在图中，节点用符号来表示，通常是用数字、字母或图形等表示。

3. 边（Edge）边是连接节点的线段或箭头，表示节点之间的关联关系。

边可以有权重，用于表示边的强度、距离或费用等。

边的类型包括直接边和间接边。

直接边直接连接两个节点，间接边通过其他节点连接两个节点。

边的属性是图论中的重要概念，它可以用来分析网络的特征和性质。

4. 路径（Path）路径是指从一个节点到另一个节点的一组边的序列。

路径可以是有向图中的有向路径，也可以是无向图中的无向路径。

路径的长度用边的数量来表示，路径的权重用边的权重之和来表示。

寻找最短路径和最优路径是图论中的重要问题，有助于解决一些实际的路径规划和优化问题。

5. 连通图（Connected Graph）连通图是指无向图中任意两个节点之间都存在路径的图。

连通图中不存在孤立节点，所有节点都可以通过路径相互连通。

连通图可以进一步分为强连通图和弱连通图。

强连通图是有向图中任意两个节点都存在有向路径的图，弱连通图通过去掉图中所有边的方向得到。

连通图的连通性是图论中的核心概念，与网络传播、信息传递等问题密切相关。

6. 图的度数（Degree）图的度数是指节点的边的数量，也称为节点的度。

图连通性若干拓展问题探讨

• 国王要在圆桌上召开骑士会议，但是若干对骑士之间互相憎恨。出于各种各样奇♂怪的原
因，每次开会前都必须对出席会议的骑士有如下要求：
• ① 相互憎恨的两个骑士不能坐在相邻的2个位置；
• ② 为了让投票表决议题时都能有结果（不平票），出席会议的骑士数必须是奇数。
• 如果有某个骑士无法出席任何会议，则国王会为了Peace of the World把他踢出骑士团。
}
Network
• A network administrator manages a large network. The network consists of N
computers and M links between pairs of computers. Any pair of computers are
双连通分量
• 点双连通图：点连通度大于1的图称为点双连通图（没有割点）。
• 边双连通图：边连通度大于1的图称为边双连通图（没有割边）。
• 无向图G的极大(点/边)双连通子图称为(点/边)双连通分量。
• 缩点：把一个双连通分量缩为一个点的过程，就是删除与该双连通分量相关的所有点和边，
然后新建一个点，向所有与双连通分量中的点有边相连的点连边。
{
mark x as a cut-vertex
repeat
z←top of stack s
pop z from stack s
until z=y
mark vertexes just poped and x as a DCC
}
} else low[x]←min(low[x],dfn[y])
Knights of the Round Table
无向图上的经典Tarjan算法

第十四章图的基本概念

n i 1
(5）（4，4，3，3，2，2）
v4 v1
v3 v2 v1
v6
v2 v3
v6
v5
v4
v5
在画图时，由于顶点位置的不同，边的直、曲不同，同一个图可能画出不同的形状。像这种形状不同，但本质上是同一个图的现象称为图同构。定义 1 4 . 5 设两个无向图 G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对于任意的e=（vi，vj）E1当且仅当e’=（ f(vi)，f(vj)）E2，并且e与e’的重数相同，则称 G1和G2是同构的，记作G1≌G2。对于有向图可类似定义。
d (vi ) 2m且 d (vi ) d (vi ) m
i 1 i 1 i 1 n n n
推论任何图（无向的或有向的）中，奇度顶点的个数是偶数。
定义设G=<V,E>是n阶无向图,V={v1，v2，… ，vn},称d(v1),d(v2),…,d(vn)为G的度数列.对于顶点标定的无向图,它的度数列是唯一的. 同样可定义有向图的度数列、出度列和入度列。图G的度数列为 4，4，2，1，3 图D的度数列为 5，3，3，3 出度列为4，0，2，1 入度列为1，3，1，2
定义14.1（无向图）一个无向图是一个有序的二元组<V，E>，记作G，即G=<V，E>，其中 ⑴ V={v1，v2，…，vn}是非空集合，称为G 的顶点集,V中元素称为顶点或结点； ⑵ E={e1，e2，…，en}是无序积V&V的一个多重子集，称为的边集,E中的元素称为无向边，简称边。由定义知，图G中的边ek是V的两个元素vi， vj的无序对（vi ,vj），称vi，vj是ek的端点. 当vi=vj时，称ek为环（loop）.

图的连通性

16
有关割边的四个等价命题
以下四个命题等价：
(1) e是割边。 (2) e不在G的任一简单回路上。(注意：割点没有相应结论) (3) 存在V的分划{V1, V2}, 使得u∈V1, w∈V2, uw-通路均
包含e。 (4) 存在顶点u,w，使得任意的uw-通路均包含e。
17
连通图“连接的牢固度”不一样
图的连通性
离散数学─图论初步南京大学计算机科学与技术系
内容提要
通路与回路通路与同构无向图的连通性
连通度 2-连通图
有向图的连通性
无向图的定向
2
通路的定义
定义：图G中从v0到vn的长度为n的通路是G的n条边 e1,…, en的序列，满足下列性质
存在viV (0in), 使得vi-1和vi是ei的两个端点 (1in)。
同构图的不变量：长度为k的回路的存在性。
7
通路与同构
u1
u6
u2
v1
v6
v2
u5
u3
v5
u4
u2
v3 v4 v2
u1
u3
v1
v3
u5
定义：无向图G称为是连通的，如果G中任意两个不同顶点之间都有通路。
b
a
c
b
a
c
e
d
G1
e
d
G2
9
连通分支
连通分支
极大连通子图
定义：使非平凡连通图G成为不连通图或者平凡图需要删除的最少顶点数称为图G的(点)连通度，记为κ(G)。
(注意：这不意味着任意删除κ(G)个点就一定会使该图不连通)
约定：不连通图或平凡图的连通度为0，而κ(Kn)=n-1 若图G的连通度不小于 k, 则称G是k-连通图；

《离散数学》第七章_图论-第2节-预习

定理7-2.1推论
推论1：在n阶图G中，若从不同结点vj到vk有路，则从vj到vk有长度小于等于n-1的通路。证明：若路不是通路，则路上有重复结点，删除所有重复结点之间的回路，得到的是通路，其长度小于等于n-1。推论2：在一个具有n个结点的图中，如果存在经过结点vi回路（圈），则存在一条经过vi 的长度不大于n的回路（圈）。
Whitney定理
（最小点割集<=最小边割集<=最小点度数）
Whitney定理的证明
证明：设G中有n个结点m条边。 (2)若G连通 1)证明λ(G)≤δ(G)
若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)；若G是非平凡图，由于每一结点上关联的所有边显然包含一个边割集，因而删除最小度数 δ(G)对应结点所关联的边，则使G不连通，即存在一个边割集的元素个数小于等于δ(G) ，即λ(G)≤δ(G)。
e6,e5都是割边
边连通度(edgeconnectivity)
为了破坏连通性，至少需要删除多少条边? 边连通度： G是无向连通图, (G) = min{ |E’| | E’是G的边割集 } 即产生一个不连通图需删去的边的最小数目。规定： G非连通： (G)=0 (Kn) = n-1
0
ei (vi 1 , vi ), (ei v i 1 , v i )
v
v1 v 2 0 e e 1 2
v i 1 v i ei
vn en
结点数=边数+1
路长度：边的数目。
回路(closed walk)
回路： … v e v e v
0 1 1 2
当v 0 v n时
i 1
圈(cycles)
C1 C2 C3 C4 C5