土力学及基础工程第三章-土中应力计算
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第三章 土体中的应力计算(1-3节)
4
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
土力学：第三章土中应力计算
附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。
第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
土力学课件 第3章 土中应力分布及计算.
计算如图所示水下地基土中的自重应力分布
水面 a 8m
粗砂 r=19KN/m3 rsat=19.5KN/m3
黏土r=19.３KN/m3 4m rsat=19.４KN/m3 W=20%,WL=55%,WP=24%
b 76KPa 176KPa c 253.2KPa
解：水下的粗砂层受到 水的浮力作用， 其有效重度： r , rsat rw 19.5 10 9.5 KN / m 3 粘土层因为W WP , 所以I L 0, 故认为土层 不受到水的浮力作用， 土层面上还受到 上面的静水压力作用。 a点：Z 0， CZ 0 KPa； b点：Z 8m, 该点位于粗砂层中，
应力符号规定
法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力 学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学 中则规定剪应力以逆时针方向为正。
压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正
土中的自重应力计算
土中应力按其起因可分为自重应力和附加应力两种。
自重应力是土受到重力作用产生的应力，自重应力一般是自 土体形成之日起就产生于土中。
二.成层土自重应力计算 地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为ri，则在深度z处土的自重应力计算公 式为：
cz i hi
i 1
n
z hi
i 1
n
n—从地面到深度z处的土层数； hi—第i层土的厚度，m。 成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于r值 发生变化的土层界面上。
◇若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的 浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受 到水浮力作用来考虑。
四．存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应力应 考虑其上的静水压力作用。
土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
土力学——3 土中应力
土力学王丽琴西安理工大学土建学院岩土工程研究所第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算卓越班作业：P 124，1～4，6，7；水工班作业：P 67-68，1，2，4，5本课程中所有计算均可取g=10m/s 2土中应力第三章强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力。
所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。
建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。
本章问题：如何计算地基中的应力？第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算一、土力学中应力符号的规定xσzσxzτz xτxσzσxzτz xτ材料力学+-+-土力学正应力剪应力拉为正压为负顺时针为正逆时针为负压为正拉为负逆时针为正顺时针为负③均匀、各向同性体（土层性质变化不大时）②线弹性体（应力较小时）①连续介质（宏观平均）ν、E 与(x, y, z)无关与方向无关碎散体非线性弹塑性成层土各向异性Δσεe p e e线弹性体加载卸载二、土的应力-应变关系的假定理论方法——弹性力学解→求解“弹性”土体中的应力——解析方法→优点：简单，易于绘成图表等三、地基中常见的应力状态yzxo1.空间应力状态——三维问题x e y e xy γyz γγxzγγyxγe ij e =x σy σxy τyz ττxzττyxτσij σ=xσy σxyτyzτz xτzσ王丽琴主讲2. 轴对称三维问题▪应变条件▪应力条件▪独立变量：x y z;e =e e x y z;σ=σσxy yz zx ,,0τττ=xy z x y z,;,σ=σσe =e e x e y e xy γyzγγxz γzy γyx γz e ij e =x σy σxy τyzττxzτzy τyx τzσij σ=000000000y xy yz zx ,,0γγγ=000xσy σxyτyzτz xτzσyσxσzσ一般三维应力状态:三轴应力状态：123σ≥σ≥σ123σ≥σ=σ忽略中主应力的影响理论研究和工程实践中广泛应用zxo3. 平面应变条件——二维问题xσy σxyττz xτzσxσzσxzτz xτ;0y =e 0;0zx yz yx ≠γ=γ=γ●沿长度方向有足够长度，L/B≥10；●垂直于y 轴切出的任意断面的几何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；●平面应变条件下，土体在x,z 平面内可以变形，但在y 方向没有变形。
土力学完整课件土中应力计算
3dP z 3 3 pxz3 d z 5 dxdy 5 2 R 2bR
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
土力学-第三章-土中应力计算详解
基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构
土力学-知识单元三(土中应力计算)
土体的自重应力
仁者乐山 智者乐水
1、均质土的自重应力 • 土体中任意深度处的竖向自重应力
天然地面
利用土柱竖向受力的 平衡
cz
注意： 无剪应力
cz
cx
cz z
σcz= z
z
cy
1
1
z
仁者乐山 智者乐水
•水平向自重应力
天然地面
cz
z
cx
cz z
cx cy K0 cz
基底压力的影响因素
基底压力计算
仁者乐山 智者乐水
弹性地基，完全柔性基础
基础抗弯刚度EI=0 → M=0
基础变形能完全适应地基表面的变形 基础上下压力分布必须完全相同，若 不同将会产生弯矩
条形基础，竖直均布荷载
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0
基础只能保持平面下沉不能弯曲 分布: 中间小, 两端无穷大
《土力学》之知识单元三
土体中的应力计算
徐 亚 利
皖西学院建工学院
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理
土体中的应力计算
知识单元三：土体中的应力计算
知识点一、自重应力、 基底压力、 基底附加应力 知识点二、地基附加应力
静止侧压 力系数
cy
仁者乐山 智者乐水
例题1：均质土层没有水位的情况
天然地面
18.5kN / m3
B
h=5m 求B点的自重应力
仁者乐山 智者乐水
第三章.土中应力.ppt
弹性地基，绝对刚性基础 抗弯刚度EI=∞ → M≠0； 反证法: 假设基底压力与荷载分布相同， 则地基变形与柔性基础情况必然一致； 分布: 中间小, 两端无穷大。
§3 土体中的应力计算 §3.2 基底压力计算
二.基底压力分布
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
3P z3 3
1
P
z 2 R5 2 [1 (r / z)2 ]5/ 2 z2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2
1 [1 (r / z)2 ]5/2
3
2
1
[1 tg2 ]5/2
z
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
r / z tg
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
§3 土体中的应力计算 §3.2 基底压力计算
建筑物设计
上部结构 基础 地基
上部结构的自重及各种荷 载都是通过基础传到地基 中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 附加应力
地基沉降变形
基底压力计算
影响因素 计算方法 分布规律
基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。
暂不考虑上部结构的影 响，使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
--B氏解的应用
z
2pz3 (x2 z2 )2
x
2px2z (x2 z2 )2
M
xy
x
y yz
z
z
3Ph 2
§3 土体中的应力计算 §3.2 基底压力计算
二.基底压力分布
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
3P z3 3
1
P
z 2 R5 2 [1 (r / z)2 ]5/ 2 z2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2
1 [1 (r / z)2 ]5/2
3
2
1
[1 tg2 ]5/2
z
P z2
集中力作用下的 应力分布系数
r / z tg
§3 土体中的应力计算 §3.3 地基中附加应力的计算
§3 土体中的应力计算 §3.2 基底压力计算
建筑物设计
上部结构 基础 地基
上部结构的自重及各种荷 载都是通过基础传到地基 中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 附加应力
地基沉降变形
基底压力计算
影响因素 计算方法 分布规律
基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。
暂不考虑上部结构的影 响，使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－弗拉曼解
--B氏解的应用
z
2pz3 (x2 z2 )2
x
2px2z (x2 z2 )2
M
xy
x
y yz
z
z
3Ph 2
土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析
从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
2019/8/25
土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1
剪应力
xy
yx
3Q xyz
2
R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R
z)2
yz
zy
3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
15
3.3 基础底面压力的分布和计算
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
16
3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)
土力学-第三章地基中的应力计算1
σ z : τ zy : τ zx = z : y : x
P σz = k ⋅ 2 z
3 1 3 1 k= = 2 5/ 2 2π [1 + (r / z) ] 2π [1 + tg2β ]5/ 2
查表3 查表3－1
集中力作用下的 应力分布系数
z
σ x τxy τxz σ ij = τyx σ y τyz τzx τzy σ z
∞ ∞ ∞ ∞
σ y σ z τ yx 学关于力的方向的规定
τzx
材料力学
σz +
正应力
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
-
τzx
土力学
σz +
τxz
2. 竖直集中力作用下的附加应力计算 根据布辛涅斯克解
3 P 3P z3 2 cos β = σz = 2 2 πR 2π R5
3P yz2 τzy = 2π R5 3P xz2 τzx = 2π R5
R 2 = r 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
3P z3 3 1 P σz = = 5 2π R 2π [1 + (r / z)2 ]5/ 2 z2
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
算例分析
某地基的地 质剖面如图 所示，求各 层土界面上 竖向的自重应 力，并画出分 布图。
答案： 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为4层 根据土层和地下水位将上述地质剖面分为 层
γ ′ = γ sat − γ w σ 0z = 0 σ 1 z = γ 1 h1 = 17.5kPa
γ xy = γ yz = γ zx = 0
3地基中的应力计算
第三章 地基中的应力计算土中的应力按引起的原因可分为:(1)由土本身有效自重在地基内部引起的自重应力;(2)由外荷(静荷载或动荷载) 在地基内部引起的附加应力。
应力计算方法：1.假设地基土为连续、均匀、各向同性、半无限的线弹性体;2.弹性理论。
第一节 土中自重应力研究目的：确定土体的初始应力状态研究方法：土体简化为连续体，应用连续体力学 (例如弹性力学)方法来研究土中应力的分布。
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质均匀，天然重度为γ (kN/m3)，则在天然地面下任意深度z (m)处的竖向自重应力σcz (kPa)，可取作用于该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量γz ⨯ l 计算，即： σcz= γzσcz 沿水平面均匀分布，且与z 成正比，即随深度按直线规律分布地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。
由于地基中的自重应力状态属于侧限应力状态,故εx=εy=0，且σcx = σcy ，根据广义虎克定理，侧向自重应力σcx 和σcy 应与σcz 成正比，而剪应力均为零，即σcx = σcy = K0σczτxy=τyz=τzx ＝０式中 K0 ―比例系数，称为土的侧压力系数或静止土压力系数。
它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比。
(1) 土中任意截面都包括有骨架和孔隙的面积，所以在地基应力计算时考虑的是土中单z σsz = γz 天然地面σcy zσcx天然地面σcz位面积上的平均应力。
(2) 假设天然土体是一个半无限体，地基中的自重应力状态属于侧限应力状态，地基土在自重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。
地基中任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。
(3) 土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。
为了简便起见，把常用的竖向有效自重应力σcz ，简称为自重应力，并改用符号σc 表示。
成层地基土中自重应力因各层土具有不同的重度。
第3章 土体中的应力计算
Chapter
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
第三章 地基中应力计算
粘性土地基
当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。
二、基底接触应力简化计算法
1、中心荷载矩形基础 P
P L
B
B
P FG
P FG p A A
A B L
x
L
y F为上部结构传至基础顶面的垂直荷载，KN
3 20kN/m G为基础自重和基础台阶上的土重 G G Ad G
2
5
2
F F z2 z2
σz应力呈轴对称分布 σz:τzy:τzx= z:y:x, 竖直面上合力过原点，与R同向 P作用线上，r=0, 3 ,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 2 在某一水平面上z=常数，r=0, a 最大，r↑，a减小，σz减小 在某一圆柱面上r=常数，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
2 2R z y 2 z 3F 1 y z 1 2 y 3 5 5 2 3 RR z R z R R R
3 3F 3 F z 3 z cos 2 2 R 2 R5
xy yx
当e=L/6时，基底压力为三角形分布；
x a
Fv＝P＋G
d
y
c x b
e L
y
b
c b pmax pmax
d Pmin=0 a Pmin=0
pmax Fv 6e 1 pmin lb l
当e＞L/6时，基底压力pmin＜0
土不能承 受拉应力 x a
Fv＝P＋G
d
y
c x b
O
h1=2.5m
1
r1=18.23KN/m 3
土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
编辑ppt
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
编辑ppt
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
编辑ppt
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2
土力学第三章土体中的应力计算 (4)
第五章 土体中的应力计算地基中的应力包括自重应并掌大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。
由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。
地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。
一、应力～应变关系的假定真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。
而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。
2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。
为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。
3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。
而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。
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B 300kPa
3m
A基础引起的附加 应力 σzB=（ c1σzA=4c pA
A
2m
c2- c3+ c4）pB
200kPa o
2m
1m
1m 1m
B基础引起的 附加应力
2m
300kPa B 3m
2 m
200kPa
o
2m
A
2 m
o A
2m
1m
1m
1m
200kPa
A基础的影响 l b 1, z b 2 , c 0.084
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
F G 6e 基础设计时通常将基底长边 1 pmin bl l 方向取为与偏心方向一致 pmax
讨论：基底压力分布？
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力
第三章
土中应力计算
土的自重应力 附加应力
天然地面
z
cz z
cx cy K0 cz
cy
cz
cx
五、例题分析 • 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试 计算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa 80.1kPa 103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
3
1 h1 + 2h2 + 3h3
三、水平向自重应力
天然地面
cz z
z
cx cy K0 cz
cz
cx
cy
静止侧压 力系数
四、自重应力与地基变形的关系
天然土层形成地质年代较久，在漫长的地质历史时期，已 经压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形； 对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力引起的 变形； 地下水位下降会引起自重应力的变化，使地基中原地下水 位以下部分土的有效自重应力增加，从而造成地表大面积 附加下沉； 地下水位上升，使原来位于地下水位以上的土体处于地下 水位之下，会使这部分土体压缩量增大，抗剪强度降低， 引起附加沉降。
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
天然地面
说明：
h1
1 2
1 h1
h2
水位面
1 h1 + 2 h2
1.地下水位以上土层 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度 2.非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
度，基础上作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等）及大小、 地基土性质
柔性基础基底压力分布图
刚性基础基底压力分布图
• 圣维南原理:在地表以下一定深度处所引起的土中应力几乎
和基底压力的分布形状无关，而与其合力的大小和作用点的 位置有关。
• 基底压力简化计算方法:对于具有一定刚度以及尺寸较小
的扩展基础，基底压力近似作直线分布，按材料力学公式进 行简化计算
计算基本假定：
地基土是连续、均 匀、各向同性的半 无限线性变形体
土在自重作用下只能产生竖向变形，无侧向变形和剪切变形
一、竖向自重应力
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱 的有效重量 天然地面
cz
cz
cx
cz zσcz= zzcy11z
二、成层土的自重应力计算
§3.3
地基附加应力
• 附加应力：新增外加荷载在地基土体中引起的应力
计算基本假定：
地基土是连续、 均匀、各向同性 的半无限线性变 形体
一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力
1885年法国学者布辛奈斯克解
o x
P
附加应力系数 f r z
r y x
q
R
M(x,y,0) z M(x,y,z)
P z 2 z
y z
3Pz3 3P z cos3 q 2R5 2R 2
附加应力分布规律
•在集中力作用线上,当z＝0时，σz→∞， •竖向集中力作用引起的附加应力向深部四周无限传播， 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 •在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小 •随着深度增加,σz 逐渐减小 •在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩散）
矩形基础角点 二、矩形基础地基中的附加应力计算 下的竖向附加 应力系数
z c P0
c f m, n
n z /b m l /b
【例题分析】 • 有两相邻基础A和B， 其尺寸、相对位置及基 底附加压力分布见右图， 若考虑相邻荷载的影响， 试求A基础底面中心点O 下2m处的竖向附加应 力。 分析：0点的附加应力应该
pmax
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
Pmax 1.5 3.0 Pmin
三、基底附加压力 • 基底附加压力：由于建造建筑物而新增加在地基表面
的压力，即导致地基中产生附加应力的那部分基底压力
F
实际情况
F
d
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
2m
I
300kPa B 3m
o
面积I： b 1, z b 0.5 , l c 0.2315 面积II ： b 4, z b 2 , l c 0.135
面积III ： b 2, z b 1 , l c 0.2 面积IV ： b 2, z b 2 , l c 0.12
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
§3.2
基底压力
• 基底压力：建筑物上部结构荷载和基础自重作用于
基础底面传至地基的单位面积压力 F
基底压力、接触压力、基底反力、地基反力
• 影响基底压力的因素:基础的形状、大小、刚度，埋置深
c f m, n
n z /b m l /b
角点法计算地基附加应力Ⅰ
p
III
II
o
IV I
III
IV
o
II
I
z
M
z KccⅠ Kc Ⅱ Kcc Ⅲ KccⅣ p c
角点法计算地基附加应力Ⅱ
计算点在基底边缘
II
o
o
c Kc z K cⅠ c Ⅱ p
pmax e<l/6
pmin
F+G
pmax
e e=l/6 e b l pmax
pmin=0
pmin=0
2、垂直三角形分布荷载
dp布辛奈斯克解
积 分
z1 t1 p K
z 2 t 2 pt K
pmax
pmin e<l/6
pmax e=l/6 pmin=0
pmax
pmin<0 基底压力重分布 pmax e>l/6
pmin=0
力平衡原理：偏心荷 基底压力重分布 载作用在基底压力分 布图形的形心上
1 l F G pmax 3 e b 2 2
2 F G l 3 e b 2
F M 1m 2.5m
耕土 ＝16kN/m3 细砂 ＝17.5kN/m3
4.8m
• 【例】某单独基础，底面尺寸为4.8×3m2 ，地基条件如下图 所示。基础上作用集中荷载F=2100kN，M=600kN•m，试求 基底应力分布及基底中点下的附加应力。 F 【解】： G= GAd=20×4.8×3×2.5=720KN M e= M/(F+G) =0.213<l/6=0.8
第三章
土中应力计算
土的自重应力 附加应力
第三章
土中应力计算
• §3.1 土的自重应力 • §3.2 基底压力 • §3.3 地基附加应力
§3.1
土的自重应力
• 自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态 土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经 压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。 但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力 引起的变形。
z A 4 c P0 67.2 KPa
B基础影响（计算点 在基底角点外）
2m
300kPa B 3m
o
2 m
I
o A
2m
1m
1m 1m
III IV II
200kPa
c Kc Kc c z K cⅠ cⅡ c Ⅲ KcⅣ p
B基础影响（计算点 在基底角点外）
叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该 参数值的代数和
Pa Pb z
两个集中力 作用下σz的 叠加
a
b
二、矩形基础地基中的附加应力计算
1、垂直矩形均布荷载
dp布辛奈斯克解
积 分
z c P0
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数
1m 2.5m
耕土 ＝16kN/m3 细砂 ＝17.5kN/m3
4.8m
pmax
247.88KPa
pmax
pmin
143.72KPa
pmin
F G M A W
2100 720 600 1 2 4.8 3 4.8 3 6 195.8 52.08KPa
P0 P cd 195.8 116 1.5 17.5 153.55KPa