30圆的有关概念及性质

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儿童科普教案：人民币知识大普及

近年来，随着中国经济的不断发展和对外开放的推进，人民币不仅在国内使用广泛，也在世界范围内逐渐得到认可和使用。

然而，对于许多孩子来说，人民币是极为陌生的，很难理解其价值、种类和功能等方面的知识。

因此，对于儿童科普教育来说，普及人民币知识显得尤为重要。

一、人民币的基本概念人民币是中华人民共和国发行的法定货币，其包括纸币和硬币两种形式。

纸币分为一元、两元、五元、十元、二十元、五十元和一百元七个面额；硬币则分为一角、五角和一元三个面额。

除了以上常见的人民币面额外，还有两元纸币和二角硬币等稀有面值。

此外，每个人民币上都有毛泽东主席的头像，这是中国人民对毛泽东主席的敬仰和纪念。

二、人民币的设计元素一张人民币上除了面值、头像和文字说明外，还含有许多丰富的设计元素，具有很高的艺术价值和文化内涵。

例如，在人民币的正面，一般都有中国传统文化的象征物，例如黄鹤楼和西湖等。

而在背面，则多有富有现代化和科技感的建筑和设施，例如大坝和高速公路等。

另外，人民币上的图案和颜色等元素也具有很强的区别度和易识别性。

例如，一元纸币的正面是工农兵三大群众手拉手的图案，而五角硬币的正面为谷穗和眺望太空的少女。

三、人民币的保真性和防伪技术随着技术的不断进步，人民币的防伪技术也日益完善和先进。

例如，人民币上的图案和文字是使用特种印刷油墨印刷的，难以通过普通的印刷技术进行复制和仿制。

此外，人民币上还有许多隐形图案和多层防伪技术，例如开窗钞、太阳花图案和红色透光图案等。

这些防伪技术不仅能够防止伪造和仿制，还能够帮助人们更快速方便地识别一张真伪币。

四、人民币的使用范围和功能人民币是中国的法定货币，也是中华人民共和国政府、社会及个人进行经济活动和财务交易等的必需工具。

人民币可以在各种商业机构、银行和ATM机等地方使用，可以购买商品和服务、缴纳税费和贷款等。

同时，人民币还可以在银行储蓄、理财和投资等领域中发挥作用，通过存款、理财和股票等方式，使人民币的价值得到增值和保值。

高中数学第三章函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。

在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。

A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。

故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。

若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。

而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

初中数论30讲

初中数论30讲
初中数论30讲是一个针对初中学生的数论课程，它涵盖了数论中的基础知识和重要概念。

以下是初中数论30讲的大致内容：
第1讲：整数的概念和性质
整数的定义和表示
整数的性质和运算规则
第2讲：整除与因数
整除的概念和性质
因数和质因数的概念及求法
第3讲：最大公因数与最小公倍数
最大公因数的概念及求法
最小公倍数的概念及求法
第4讲：分数与小数的互化
分数和小数的关系及互化方法
第5讲：同余与余数
同余的概念和性质
余数的概念及求法
第6讲：中国剩余定理及其应用中国剩余定理的原理及应用
第7讲：完全平方数与平方根
完全平方数的概念及性质
平方根的概念及求法
第8讲：一次方程的解法及应用一元一次方程的解法及实际应用题
第9讲：一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及实际应用题
第10讲：不等式与不等式组
不等式的概念及性质
不等式组的解法及实际应用题
……以此类推，直至第30讲。

每一讲都涵盖了该主题的基础知识和重要概念，并通过例题和练习题帮助学生加深理解和掌握。

初中数论30讲是一个全面、系统的数论课程，通过学习这门课程，学生可以建立起坚实的数论基础，为进一步学习数学和其他学科打下良好的基础。

初二数学必考知识点归纳最新

初二数学必考知识点归纳最新
一、代数基本知识
1.代数式的定义与性质
2.方程与不等式的概念
3.一元一次方程的解法（如去分式法、加减消去法等等）
4.二元一次方程的解法（如联立消元法、代入法等等）
5.等式的基本性质
6.二次根式的化简方法
二、平面几何基础
1.基本图形的面积计算（如矩形、三角形、梯形等等）
2.基本图形的周长计算（如矩形、三角形、梯形等等）
3.计算线段的长度
4.平行线与垂线的性质
5.相似三角形的判定与性质
6.图形的旋转与对称性
7.圆的相关概念与性质
三、立体几何基础
1.空间图形的投影
2.空间图形的计算
3.空间直角坐标系的使用
4.空间向量的计算（如加减、数量积、等等）
5.空间中的平面与直线
6.空间图形的重心与质心
四、三角函数的基本概念
1.角度的概念与弧度制的转换
2.正弦、余弦、正切等三角函数的定义
3.各种三角函数的性质
4.三角函数的图像与周期性
五、统计学的基本知识
1.数据的采集与整理
2.数据的中心与散布度量（如平均数、中位数、众数、标准差等等）
3.数据的分布形式（如正态分布、偏态分布等等）
4.数据的统计推断（如置信区间、假设检验等等）
六、概率的基本概念
1.随机事件、试验与样本空间
2.概率的定义与性质
3.条件概率的定义及其应用
4.独立事件的概念与性质
以上是初二数学必考知识点的归纳总结，希望对初中学生们的学习有所帮助。

高中数学第三章函数的概念与性质基础知识手册(带答案)

高中数学第三章函数的概念与性质基础知识手册单选题1、已知函数f(1x+1)=2x+3．则f(2)的值为（）A．6B．5C．4D．3答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x的值，将x的值代入f(1x+1)=2x+3，即可得答案．解：根据题意，函数f(1x +1)=2x+3，若1x+1=2，解可得x=1，将x=1代入f(1x+1)=2x+3，可得f(2)=5，故选：B．2、函数的y=√−x2−6x−5值域为（）A．[0,+∞)B．[0,2]C．[2,+∞)D．(2,+∞)答案：B分析：令u=−x2−6x−5，则u≥0，再根据二次函数的性质求出u的最大值，进而可得u的范围，再计算y=√u的范围即可求解.令u=−x2−6x−5，则u≥0且y=√u又因为u=−x2−6x−5=−(x+3)2+4≤4，所以0≤u≤4，所以y=√u∈[0,2]，即函数的y=√−x2−6x−5值域为[0,2]，故选：B.3、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元，职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x −30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x +40≥2√x ⋅8100x +40=220，当且仅当x =8100x ，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D ．4、函数f (x )=x 2−1|x |的图象大致为（） A ．B ．C ．D ．答案：D 分析：求定义域，确定奇偶性后排除两个选项，再由单调性排除一个，得正确结论．f (x )=x 2−1|x |的定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，f(−x)=(−x)2−1|−x |=x 2−1|x |=f (x )，所以f (x )是偶函数，排除B ，C ；当x >0时，f(x)=x 2−1x =x −1x ，易知f (x )在(0,+∞)上是增函数，排除A ．故选：D ． 5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（）A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α，因为幂函数的图像过点(3,√3)，所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32，故选：A6、下列图形是函数图像的是（）A ．B ．C ．D ．答案：C 分析：根据函数的定义，对四个选项一一判断.按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A ：当x =0时，y =±1，不符合函数的定义.故A 错误；对于B ：当x =0时，y =±1，不符合函数的定义.故B 错误；对于C ：每一个x 都对应唯一一个y 值，符合函数的定义.故C 正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C7、下列各组函数表示同一函数的是（）3B．f(x)=1，g(x)=x0A．f(x)=x，g(x)=√x3D．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2C．f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1答案：A分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案. 解：对于A，两个函数的定义域都是R，3=x，对应关系完全一致，g(x)=√x3所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数f(x)=x+1的定义域为R，的定义域为{x|x≠1}，函数g(x)=x2−1x−1故两函数不是相同函数，故C不符题意；对于D，函数f(x)=√x2的定义域为R，函数g(x)=(√x)2的定义域为[0,+∞)，故两函数不是相同函数，故D不符题意.故选：A.8、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，∴f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A多选题9、已知函数f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0,则下列结论中正确的是（）A．f(√2)=2B．若f(m)=9，则m≠±3C．f(x)是奇函数D．在f(x)上R单调递减答案：CD分析：A.由分段函数求解判断；B.分m≤0，m>0，由f(m)=9求解判断；不成立；C.利用奇偶性的定义判断； D.画出函数f(x)的图象判断.因为f(x)={x2,x≤0,−x2,x>0,A. f(√2)=−(√2)2=−2，故错误；B. 当m≤0时，f(m)=m2=9，解得m=−3或m=3（舍去），当m>0时，f(m)=−m2=9，不成立；故错误；C. 当x<0时，f(x)=x2，则−x>0，f(−x)=−(−x)2=−x2，又f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)；当x>0时，f(x)=−x2，则−x<0，f(−x)=(−x)2=x2，又f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故正确；D.函数f(x)的图象如图所示：，由图象知f (x )在上R 单调递减，故正确.故选：CD10、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1 C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B ，f(x)=x +1，g(x)=x +1(x ≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B 不正确；对于C ，f(x)={1,x >0−1,x <0，g (x )={1,x >0−1,x <0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C 正确；对于D ，f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D 正确. 故选：ACD11、有如下命题，其中真命题的标号为（）A ．若幂函数y =f (x )的图象过点(2,12)，则f (3)>12B ．函数f (x )=a x−1+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)C ．函数f (x )=x 2−1在(0,+∞)上单调递减D ．若函数f (x )=x 2−2x +4在区间[0,m ]上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 答案：BD分析：由f (x )所过点可求得幂函数f (x )解析式，由此得到f (3)<12，知A 错误；由f (1)=2恒成立可知f (x )过定点(1,2)，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.对于A ，令f (x )=x α，则2α=12，解得：α=−1，∴f (x )=x −1，∴f (3)=13<12，A 错误；对于B ，令x −1=0，即x =1时，f (1)=1+1=2，∴f (x )恒过定点(1,2)，B 正确；对于C ，∵f (x )为开口方向向上，对称轴为x =0的二次函数，∴f (x )在(0,+∞)上单调递增，C 错误；对于D ，令f (x )=4，解得：x =0或x =2；又f (x )min =f (1)=3，∴实数m 的取值范围为[1,2]，D 正确. 故选：BD.12、已知函数f(x)={−x 2−2x,x ≤m x −4,x >m，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m 的取值范围可以是（） A ．m <−2B ．−2≤m <0C ．0≤m <4D ．m ≥4.答案：BD解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，观察函数图象即可得出答案. 在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，如图，由图象可知，当−2≤m <0时，函数f (x )有两个零点−2和4，当m ≥4时，函数f (x ）有两个零点−2和0.故选：BD13、函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R都满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的是（）A．函数f(x)在R上是单调递减函数B．f(−2)<f(1)<f(2)C．f(x+1)<f(−x+2)的解为x<1D．f(0)=02答案：BC分析：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，可得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以可判断出f(x)在R 上为增函数，然后逐个分析判断即可解：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以f(x)在R上单调递增，所以A错，因为f(x)为R上的递增函数，所以f(−2)<f(1)<f(2)，所以B对，，所以C对因为f(x)在R上为增函数，f(x+1)<f(−x+2)⇔x+1<−x+2⇒x<12函数R上为增函数时，不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R上为增函数，但f(0)=1，所以D不一定成立，故D 错．故选：BC填空题14、已知幂函数f(x)=x p2−2p−3 (p∈N∗)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，实数a满足(a2−1)p3<(3a+3)p3，则a的取值范围是_____．答案：−1<a<4分析：根据幂函数的性质求出p的值，根据幂函数的单调性得到关于a的不等式解出即可.∵幂函数f(x)=x p2−2p−3(p∈N∗)在(0，+∞)上是减函数，∴p2−2p−3<0，解得−1<p<3，∵p∈N∗，∴p=1或2．当p=1时，f(x)=x−4为偶函数满足条件，当p=2时，f(x)=x−3为奇函数不满足条件，则不等式等价为(a2−1)p3<(3a+3)p3，即(a2−1)13<(3a+3)13，∵f(x)=x13在R上为增函数，∴a2−1<3a+3，解得：−1<a<4.所以答案是：−1<a<4.15、已知a∈R，函数f(x)={x2−4,x>2|x−3|+a,x≤2,若f[f(√6)]=3，则a=___________.答案：2分析：由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.f[f(√6)]=f(6−4)=f(2)=|2−3|+a=3，故a=2，所以答案是：2.16、已知f(x)=k⋅2x+2−x为奇函数，则k=______．答案：−1分析：根据奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由此可求得答案.由题意f(x)=k⋅2x+2−x是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即k⋅2−x+2x=−k⋅2x−2−x，故(k+1)⋅(2−x+2x)=0，由于2−x+2x≠0，故k=−1，所以答案是：−1解答题17、已知幂函数f(x)=(2m2−5m+3)x m的定义域为全体实数R.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)>3x+k−1在[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围.答案：(1)f(x)=x2(2)(−∞,−1)分析：（1）根据幂函数的定义可得2m2−5m+3=1，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式; （2）将f(x)>3x+k−1在[−1,1]上恒成立转化为函数g(x)=x2−3x+1−k在[−1,1]上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．（1）∵f(x)是幂函数，∴2m2−5m+3=1，∴m=12或2.当m=12时，f(x)=x12，此时不满足f(x)的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴f(x)=x2.（2）f(x)>3x+k−1即x2−3x+1−k>0，要使此不等式在[−1,1]上恒成立，令g(x)=x2−3x+1−k,只需使函数g(x)=x2−3x+1−k在[−1,1]上的最小值大于0. ∵g(x)=x2−3x+1−k图象的对称轴为x=32，故g(x)在[−1,1]上单调递减，∴g(x)min=g(1)=−k−1，由−k−1>0，得k<−1，∴实数k的取值范围是(−∞,−1).18、已知函数f(x)=kx2+(2k+1)x+2．(1)当k=−1时，写出函数y=|f(x)|的单调递增区间（写出即可，不要过程）；(2)当k<12时，解不等式f(x)>0．答案：(1)函数y=|f(x)|的单调递增区间有[−2,−12]和[1,+∞)；(2)当k<0时，f(x)>0的解集为(−2,−1k )；当k=0时，f(x)>0的解集为(−2,+∞)；当0<k<12时，f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞)分析：（1）化简函数y=|f(x)|解析式，作出函数图象，利用图象求函数的单调递增区间；（2）分别在k=0，k<0，0<k<12时解不等式f(x)>0即可.（1）因为f(x)=kx2+(2k+1)x+2，所以当k=−1时，y=|f(x)|=|−x2−x+2|=|x2+x−2|所以当x<−2或x>1时，|f(x)|=x2+x−2，当−2≤x≤1时，|f(x)|=−x2−x+2，作出函数y=|f(x)|的图象如下：所以函数y=|f(x)|的单调递增区间有[−2,−12]和[1,+∞)；（2）因为f(x)=kx2+(2k+1)x+2，所以f(x)=(kx+1)(x+2)，当k=0时，不等式f(x)>0，可化为x+2>0，解得x>−2，故解集为(−2,+∞)当k≠0时，方程f(x)=0的解为x1=−2，x2=−1k当k<0时，x1=−2<0<x2=−1k ，不等式f(x)>0的解集为(−2,−1k)，当0<k<12时，x2=−1k<x1=−2，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞)；综上，当k<0时，f(x)>0的解集为(−2,−1k)；当k=0时，f(x)>0的解集为(−2,+∞)；当0<k<12时，f(x)>0的解集为(−∞,−1k)∪(−2,+∞).。

初中数学知识归纳百分数的概念和性质

初中数学知识归纳百分数的概念和性质百分数是数学中常见的一种表示形式，用于表示一个数与100的比值关系。

它在实际生活和学习中具有广泛的应用。

本文将对初中数学中关于百分数的概念和性质进行归纳总结。

一、百分数的概念百分数是指以100为基数的百分比表示法。

百分数由一个实数和百分号组成，表示一个实数与100的比值，常表示为a%。

其中，a是实数，%表示百分数。

百分数的实数部分通常是小数或整数。

例子：1. 65%：表示数值65与100的比值，即65/100。

2. 0.75%：表示数值0.75与100的比值，即0.75/100。

3. 125%：表示数值125与100的比值，即125/100。

二、百分数的性质1. 百分数与分数的关系：一个百分数可以用分数表示，分数的分子是百分数的实数部分，分母是100。

例如：25%可以表示为25/100。

2. 百分数与小数的关系：一个百分数可以用小数表示，小数的值是百分数的实数部分除以100。

例如：75%可以表示为0.75。

3. 百分数的相互转化：可以通过分数和小数与百分数之间的转化来实现。

对于分数转百分数，将分数的分子写在百分号前，分母写在百分号后，并去掉分数线。

对于小数转百分数，将小数乘以100，并加上百分号。

4. 百分数的倍数关系：两个百分数的倍数关系可以通过对它们的实数部分进行倍数运算得出。

例如：20%是10%的两倍。

三、百分数的应用1. 百分数表示比例：在实际生活中，百分数常用来表示比例关系。

例如：某班级男女生人数比例是3:7，可以表示为30%:70%。

2. 百分数表示增减率：百分数还可以表示增减率。

增减率即增加或减少量与原始数值的比值。

例如：某商品原价为100元，打8折后的价格为80元，打折幅度为20%。

3. 百分数在统计中的应用：在数据统计和调查中，百分数常用来表示各类数据的比例和占比情况，方便观察和比较不同数据之间的关系。

总结：百分数是数学中常见且有实际应用的一种表示形式，用于表示一个数与100的比值关系。

23.与圆有关的概念及性质(讲)

【名师点拨】应用定理时，一定注意“在同圆或等圆中”的条件，同时要注意：(1)一条弦所对的弧有两条； (2)一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角
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基础点闯关重难点精讲优练
安徽5年中考练习册
基础点5 圆内接四边形的性质
1．圆内接四边形的对角30 ＿互_补___，如图，∠A＋∠BCD＝ 31_18_0_°，∠B＋∠D＝ 32 _1_8_0_°； 2．圆内接四边形的任意一个外角等于它的 33 _内__对__角_(和它相邻的内角的对角)如图，∠DCE＝ 34 _∠__A_．
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基础点闯关重难点精讲优练
安徽5年中考练习册
基础点6 正多边形与圆的关系
以正六边形为例：名称正六边形
内角
120°
外角
60°
中心角边长
60° R
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在Rt△OAB中，r2+
R
＝

R2,
即边心距r＝ R .

基础点闯关重难点精讲优练
重难点精讲优练
安徽5年中考练习册
答：不一定相等．圆内同一条弦所对的圆周角
互补或相等，如解图，弦AB所对的圆周角为
∠ACB或∠ADB，若AB所对的圆周角分别在A⌒CB
失分点12题图
和
A周⌒D角B 上都，在则A⌒弦CBAB或所A对⌒D的B圆上周，角则互弦补A；B若所A对B的所圆对周的角圆相等．
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基础点闯关重难点精讲优练
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∴sin∠D＝sin60°＝BC
4
3 2
＝2
3

7年级有理数混合运算

7年级有理数混合运算七年级数学中，有理数混合运算是一个重要的知识点。

它涉及到正数、负数、整数以及它们之间的运算。

在这篇文章中，我将详细介绍有理数混合运算的概念、性质和解题方法。

一、有理数混合运算的概念有理数是指可以表示为两个整数的比值的数。

有理数包括正数、负数和零。

有理数混合运算是指在一个算式中同时使用加、减、乘、除运算，并且包含有理数的运算。

二、有理数混合运算的性质1. 加法的性质：两个正数相加，结果为正数；两个负数相加，结果为负数；正数和负数相加，结果的符号取决于绝对值较大的数的符号。

2. 减法的性质：减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。

3. 乘法的性质：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数；正数和负数相乘，结果为负数。

4. 除法的性质：除法可以转化为乘法，即a÷b=a×(1/b)。

三、有理数混合运算的解题方法1. 先计算括号内的运算，然后按照从左到右的顺序进行乘法和除法运算。

2. 最后按照从左到右的顺序进行加法和减法运算。

例如，计算表达式：2+3×(-4)+5÷(-1)。

根据解题方法，先计算乘法和除法运算，得到：2+(-12)+(-5)。

然后按照从左到右的顺序进行加法和减法运算，得到：-15。

四、有理数混合运算的应用有理数混合运算在日常生活中有许多应用。

比如，购物时计算打折后的价格、计算银行账户的余额变化等等。

例如，小明去商店购买了一件原价为100元的衣服，店家打了8折，又额外减去了30元。

小明想知道他实际需要支付多少钱。

根据解题方法，先计算打折后的价格：100×0.8=80元。

然后减去额外的30元：80-30=50元。

所以，小明实际需要支付50元。

五、小结通过学习本文介绍的有理数混合运算的概念、性质和解题方法，我们可以更好地理解和应用有理数混合运算。

在解题过程中，我们需要注意运算符的优先级和从左到右的运算顺序。

在日常生活中，我们也可以运用有理数混合运算的知识来解决实际问题。

初三数学正数和负数试题答案及解析

初三数学正数和负数试题答案及解析1.在﹣2，﹣1，0，2这四个数中，最大的数是（）．A．﹣2B．﹣1C．0D．2【答案】D【解析】根据正数大于0，负数小于0，负数绝对值越大越小即可求解．在-2、-1、0、1这四个数中，大小顺序为：-2＜-1＜0＜1，所以最大的数是1．故选D．【考点】有理数大小比较2.比较﹣3，1，﹣2的大小，下列判断正确的是（）A．﹣3＜﹣2＜1B．﹣2＜﹣3＜1C．1＜﹣2＜﹣3D．1＜﹣3＜﹣2【答案】A．【解析】根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小. 因此，∵﹣3＜﹣2＜0＜1，∴﹣3＜﹣2＜1正确.故选A．【考点】有理数大小比较．3.下列各数中，既不是正数也不是负数的是A．0B．-1C．D．2【答案】A【解析】0是正负数的分界线，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数。

【考点】有理数4.当n等于1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于．（用n表示，n是正整数）【答案】n2+4n【解析】观察不难发现，白色正方形的个数是相应序数的平方，黑色正方形的个数是相应序数的4倍，根据此规律写出即可．第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形4×1=4个，共有1+4=5个；第2个图形：白色正方形22=4个，黑色正方形4×2=8个，共有4+8=12个；第3个图形：白色正方形32=9个，黑色正方形4×3=12个，共有9+12=21个；…，第n个图形：白色正方形n2个，黑色正方形4n个，共有n2+4n个．【考点】规律型：图形的变化类．5.若x，y为实数，且，则的值为 .【答案】1.【解析】∵x，y为实数，且，∴.∴.【考点】1.绝对值和二次根式被开方数的非负性质；2.有理数的乘方.6.如果零上5℃记作＋5℃，那么零下7℃可记作 ()A．－7℃B．＋7℃C．＋12℃D．－12℃【答案】A【解析】∵“正”和“负”相对，∴零上5℃记作＋5℃，则零下7℃可记作－7℃.7.如果规定向东为正，那么向西即为负。

九年级数学圆的有关性质教案

九年级数学圆的有关性质教案1、理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系以及其有关概念。

2、掌握弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，会根据具体条件确定这四者之间的关系；3、探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。

灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算。

4、熟练掌握垂径定理的应用领域及逆定理的应用领域，尤其就是可以嵌入与之有关的辅助线；5、可以用圆与三角形和圆内直奔四边形的科学知识，尤其就是有关外角的科学知识沟通交流图形间的关系。

【科学知识网络】1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆。

2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）圆就是中心对称图形，对称中心为圆心。

3、垂径定理及其推论：定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推断：（1）平分弦（不是直径）的直径旋转轴弦，并且平分弦所对的弧。

（2）弦的横向垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、圆心角、弧、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

5、有关圆周角的定理：（1）一条弧所对的圆周角等同于它面元的圆心角的一半。

（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角成正比。

（3）直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。

6、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

【典型例题选讲】例1．（2021绵阳）如图，ab是的⊙o 的直径，bc、cd、da是⊙o的弦，且bc=cd=da，则∠bcd=（）a．100b.110c.120d.135析解：∵ab就是的⊙o的直径∴acb度数是180∵bc=cd=da=cd=da∴bc(1800+600)=12002例2．（2021贵港市）如图，在o中，弦ad平行于弦bc，若∠aoc=80，则∠dab=____度．析解：∵∠b=∠aoc，∠aoc=802∴∠dab=∠b=40例3：已知：ab和cd为⊙o的两条平行弦，⊙o的半径为5cm,ab=8cm,cd=6cm,求ab、cd间的距离是7㎝或1㎝。

高中数学必修一(人教版)《函数的概念与性质》课件

提醒：要利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图．
【集训冲关】已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2. (1)求f(－1)； (2)求f(x)的解析式； (3)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．解：(1)由于函数f(x)是R上的奇函数，所以对任意的x都有f(－x)＝－f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3.
[方法技巧] 函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． 3利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式. 4利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围. 提醒：判断函数的奇偶性时要特别注意定义域是否关于原点对称.
【集训冲关】
(2)由(1)知 f(x)＝2x32＋x 2＝23x＋32x.任取 x1，x2∈[－2，－1]，且 x1＜x2，则 f(x1) －f(x2)＝23(x1－x2)1－x11x2＝23(x1－x2)·x1xx12x－2 1. ∵－2≤x1＜x2≤－1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． ∴函数 f(x)在[－2，－1]上为增函数，因此 f(x)max＝f(－1)＝－43，f(x)min＝f(－2)＝－53.
2．已知函数 f(x)＝m3xx＋2＋n2是奇函数，且 f(2)＝53. (1)求实数 m 和 n 的值； (2)求函数 f(x)在区间[－2，－1]上的最值．解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－m3xx2＋＋2n＝－m3xx＋2＋n2＝－m3xx2＋－2n. 比较得 n＝－n，n＝0.又 f(2)＝53，∴4m6＋2＝53，解得 m＝2.因此，实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.

小学一年级下册数学教案：认识1元以上的人民币

小学一年级下册数学教案：认识1元以上的人民币引言在小学一年级下册数学课程中，认识1元以上的人民币是一项非常重要的内容。

小学一年级学生正在走向数学世界的大门，正确掌握这些知识对他们未来的数学学习和生活中的实际应用都具有重大意义。

本文将以小学一年级下册数学教案认识1元以上的人民币为主题，系统地介绍有关知识和教学方法。

一、认识人民币人民币是我国的货币名称，由元、角、分组成。

其中1元=10角，1角=10分，1元可以拆分成十个1角或一百个1分。

人民币有不同面额，分别为1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元，每种面额都有相应的图案和文字。

这些图案和文字都是与我国的文化和历史密切相关的，学生在学习时应该重视这些文化和历史知识。

二、教学目标1.学习认识人民币的面值和组合方式，包括1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元等面额。

2.学习认识人民币的图案和文字。

3.学习认识人民币的单位换算，如1元=10角，1角=10分等。

4.练习用现金计算购物等实际问题。

三、教学方法1.观察法：老师可拿出一些不同面额和数量的人民币，带领学生一起观察认识。

在这个过程中，老师可以让学生说出每张钞票的面值以及相应的图案和文字。

在学生对不同的人民币面额都有一定的了解之后，老师可以问一些问题测试他们的了解程度，如“你们知道现在手中有多少元吗？”。

2.图形法：老师可以利用图形教具，如手绘大面额钞票、图形张贴等来帮助学生加深对人民币图案和文字的认识。

3.实例法：可以用购物、找零等实际问题引导学生学习人民币的单位换算和运用。

四、教学流程1.导入：老师可以和学生介绍什么是人民币，它有哪些面额等方面的知识，以及它在我们日常生活中的使用。

2.认识人民币面额和图案：（1）学生观察老师拿出的不同面额和数量的人民币，说出每张钞票的面值、图案和文字。

（2）老师提出问题，如“你们知道目前手里有多少元了吗？”等，再针对学生的答案做进一步的讲解。

高中-圆的有关概念和性质

高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。

（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。

课堂互动教案：认识和了解人民币

课堂互动教案：认识和了解人民币一、教学目标1.了解人民币的基本知识，如名称、币值、图案、发行单位等。

2.认识人民币对于国家和人民的重要性。

3.培养学生的金融意识，增强财经常识。

二、教学内1.人民币的介绍本节课主要介绍人民币的基本信息。

人民币是由中央银行发行的，是中华人民共和国的货币。

人民币的币值有1元、5元、10元、20元、50元和100元六种。

人民币图案包括国徽、人民大会堂、人民英雄纪念碑、碧波荡漾的滨江公园和景色宜人的桂林山水等。

2.认识人民币的重要性人民币对于一个国家的重要性是不言而喻的。

作为一种货币，它可以在市场上流通，促进商品的交换。

同时，人民币也是中国的象征之一，一枚人民币上印有的“中华人民共和国”几个大字，代表了中国的国家主权和尊严。

在国际上，人民币也日益受到认可，其地位不断上升，这对于中国的国际地位和国际影响力都起到了很大的推动作用。

3.培养学生的金融意识人民币的发行和使用，涉及到许多的金融知识。

通过本节课学习，可以让学生了解金融市场，了解货币的价值和重要性，不仅可以帮助学生在日常生活中更好的管理自己的财务，同时也可以增强他们的财经常识，为将来的职业发展打下坚实的基础。

三、教学流程1.课前准备教师准备相关教材，准备好人民币样品和图片，以便在课堂上让学生观看和了解。

2.课堂互动3.1：引导学生分析人民币图案及名称用意教师先介绍人民币图片和名称，引导学生思考人民币上的图案和名称的意义，让学生看到它们所代表的更深的含义，了解国家和人民对于人民币的重视。

4.2：组织小组讨论教师将学生分成小组，每组成员均有选择发挥主题的权利，共同探讨人民币的重要性和价值，该话题还可以与国家和社会话题相结合。

5.3：角色扮演教师组织同学们进行角色扮演。

同学们可以把自己扮成商家或消费者，在教师的引导下，体验用人民币进行金融业务，如购物、缴费等操作。

6.4：出题考核为巩固学生已学习和了解的内容，教师可在课堂结束时，出一些与人民币相关的考题，作为本节课程的总结。

初中数学71个知识点总结

初中数学71个知识点总结初中数学71个知识点总结前言数学是一门重要的学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力的培养起着关键的作用。

初中数学是数学学科中的重要阶段，其中包含了众多的知识点。

本文将对初中数学中的71个知识点进行总结，帮助学生更好地掌握和理解数学知识。

正文代数与函数1.有理数的加减乘除2.整式的加减乘除3.分式的四则运算4.整式的乘方5.一次函数与一次方程6.二次函数与二次方程7.不等式与不等关系几何1.角的概念与性质2.三角形的概念与性质3.四边形的概念与性质4.圆的概念与性质5.相似与全等6.平行与垂直7.坐标表示与位置关系测量1.长度、面积和体积的单位换算2.角度的单位换算3.直线与角的度量4.多边形的内角和外角5.直线与平面的位置关系6.长方体、正方体与棱柱的表面积和体积7.圆的周长和面积数据与统计1.统计的基本概念2.统计调查与分组统计3.数据的图表表示4.取舍与估算5.几何概率与统计概率6.一元统计值实数1.实数的概念与性质2.正数、负数与零3.小数与分数的比较4.分数与小数的互化5.幂的运算6.根式的运算7.逻辑运算与集合论结尾初中数学的71个知识点涵盖了代数与函数、几何、测量、数据与统计以及实数等多个方面。

通过系统地学习和掌握这些知识点，学生可以在数学学科中取得较好的成绩，并在日后的学习和生活中能够应用数学解决实际问题。

希望本文能够帮助学生更好地理解和掌握初中数学知识，取得成功。

代数与函数8.二次函数的图像与性质9.反比例函数的图像与性质10.指数函数与对数函数的概念与性质11.一元一次不等式的解法12.一元一次方程组的解法13.二元一次方程组的解法14.分式方程的解法几何8.三角形的相似定理与判定9.圆的切线与切点10.相似三角形的应用11.平行线与比例12.直角三角形的性质与定理13.加法定理与余弦定理14.正弦定理与面积公式测量8.圆的表面积和体积9.平移、旋转和翻折10.三视图的绘制11.三角形的中线和高线12.圆锥、圆台和球的表面积和体积13.长度的比较14.线段的垂直平分线数据与统计8.两个统计图之间的联系9.概率的加法定理与乘法定理10.事件的互斥与独立性11.正态分布与相关性12.一元线性回归方程13.样本与总体的关系14.抽样与估计实数8.实数的运算性质9.实数的大小比较10.根式与分式的运算11.幂与对数的运算12.二次根式与二次根式方程13.数集的并、交、差与补14.逻辑运算与集合论的应用结尾本文总结了初中数学中的71个知识点，涵盖了代数与函数、几何、测量、数据与统计以及实数等多个方面。

(北京专版)中考数学第7单元圆第28课时圆的有关概念与性质作业-人教版初中九年级全册数学试题

圆的有关概念与性质1．[2014·] 如图J28－1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A °，OC ＝4，CD 的长为( )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8图J28－1图J28－22．[2010·] 如图J28－2，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接OOC ＝5，CD ＝8，则AE ＝________．3．[2009·] 如图J28－3，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC ︵上的一点．若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝________°.图J28－31．[2014·西城一模] 如图J28－4，表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5 cm ，水面宽AB 为8 cm ，则水的最大深度CD 为( )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm图J28－4图J28－52．[2015·西城一模] 如图J28－5，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，如果∠BOC ＝70°，那么∠BAD 等于( )A ．20°B ．30°C ．35°D ．70°3．[2015·海淀一模] 如图J28－6，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若∠B ＝60°，AC ＝3，则CD 的长为( )A ．6B ．2 3 C. 3 D ．3图J28－6图J28－74．[2015·某某一模] 如图J28－7，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC ＝40°，则∠CDB 的度数为________．5．[2014·房山期末] 如图J28－8，点A 是半圆上的一个三等分点，点B 是AN ︵的中点，点P是直径MN 上一动点．若⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值是________．图J28－8图J28－96．[2014·怀柔期末] 如图J28－9，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A (0，1)．过点P (0，－7)的直线l 与⊙B 相交于C ，D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值有________个，它们是________．7．[2013·海淀一模] 如图J28－10(1)所示，圆上均匀分布着11个点A 1，A 2，A 3，…，A 11.从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k ＋1阶正十一角星”，其中1≤k ≤8(k 为正整数)．例如，图J28－10(2)是“2阶正十一角星”，那么∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A 11＝________°；当∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A 11＝900°时，k ＝________．图J28－108．[2014·丰台期末] 如图J28－11，在⊙O中，C，D为⊙O上的两点，AB是⊙O的直径．已知∠AOC＝130°.求∠D的度数．图J28－119．[2014·东城期末] 如图J28－12，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O 于点E，连接EAB＝8，CD＝2，求EC的长．图J28－12一、选择题1．如图J28－13，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵C ．OE ＝DE D ．∠DBC ＝90°图J28－13图J28－142．[2015·东城一模] 如图J28－14，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接OC ，A C.若∠D ＝50°，则∠A 的度数是( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )图J28－154．[2013·大兴一模] 如图J28－16，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( )A ．－4和－3之间B ．3和4之间C ．－5和－4之间D ．4和5之间图J28－16图J28－175．如图J28－17，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．如图J28－18，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内一点，∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为( )A．6 B．5 C．3 D．3 2图J28－18图J28－197．[2012·丰台一模] 如图J28－19是X老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示X老师家的位置，则X老师散步行走的路线可能是( )图J28－208．如图J28－21，半圆O的直径AB＝10 cm，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )图J28－21A．4 5 cm B．3 5 cmC．5 5 cm D．4 cm二、填空题9．若直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是________．10．[2012·昌平一模] 如图J28－22，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器________台．图J28－2211．如图J28－23，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连接AC，则∠A的度数是________°.图J28－23图J28－2412．[2013·房山一模] 如图J28－24，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于点A1，A2，A3，A4，…，则点A31的坐标是________．三、解答题13．[2015·某某期末] 如图J28－25，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2，3)为圆心的⊙A 交x轴于点B，C，BC＝8，求⊙A的半径．图J28－2514．[2014·房山期末] 已知：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D.图J28－26(1)如图J28－26，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，连接BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC＝________∠CBE.(2)如图J28－27，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O 交于点E，连接BE，(1)中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图J28－2715．[2015·西城期末] 如图J28－28，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称．E 为半径OC 上的一点，OC ＝3OE ，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M .(1)请依题意补全图形；(2)求证：∠AOC ＝∠DBC ；(3)求BM BC的值．图J28－2816．[2013·西城一模] 先阅读材料，再解答问题：图J28－29小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图J28－29，点A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，则有∠C ＝∠D .小明还发现，若点E 在⊙O 外，且与点D 在直线AB 同侧，则有∠D >∠E .请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1)如图J28－30(a )，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，7)，点B 的坐标为(0，3)，点C 的坐标为(3，0)．①在图(a )中作出△ABC 的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；②若在x 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB ＝∠ADB ，则点D 的坐标为________．(2)如图J28－30(b )，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，其中m >nP 为x 轴正半轴上的一个动点，当∠APB 达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．图J28－30参考答案真题演练1．C [解析] ∵∠A °，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝2 2，∴CD ＝2CE ＝4 2. 2．2 [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝12CD ＝4. 在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3，∴AE ＝OA －OE ＝5－3＝2.3．28 [解析] 本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．由垂径定理可知AC ︵＝AD ︵，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD ＝∠CEA ＝28°. 模拟训练1．C [解析] ∵输水管的半径为5 cm ，水面宽AB 为8 cm ，水的最大深度为CD ，∴DO ⊥AB ，AO ＝5 cm ，∴AC ＝4 cm ，∴CO ＝52－42＝3(cm)，∴水的最大深度CD 为5－3＝2(cm)．故选C.2．C 3.D4．20° 5. 2 [解析] 作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，则此时PA ＋PB 最小，连接OA ′，OB .∵点A 与点A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，∴∠A ′ON ＝∠AON ＝60°，PA ＝PA ′.∵点B 是AN ︵的中点，∴∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝∠A ′ON ＋∠BON ＝90°.又∵OA ＝OA ′＝1，∴A ′B ＝ 2.∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B ＝ 2.6．3 8，9，10 [解析] 当CD 过圆心B 时，此时CD 为⊙B 的直径，CD ＝10；当CD ⊥y 轴时，CD 为过点P 的最短弦．∵点A (0，1)，BA ＝5，∴点B 的坐标为(0，－4)．∵点P 的坐标为(0，－7)，∴BP ＝－4－(－7)＝3.∵BP ⊥CD ，∴PC ＝PD.在Rt △PBC 中，BC ＝5，BP ＝3，∴PC ＝BC 2－BP 2＝4，∴CD ＝2PC ＝8，∴过点P 的最短弦长为8，最长弦长为10，∴弦CD 长的所有可能的整数值有3个，为8，9，10.7．1260 2或78．解：由∠AOC ＝130°，得∠BOC ＝50°.又∵∠D ＝12∠BOC ，∴∠D ＝12×50°＝25°. 9.解：如图，∵OD ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝4. 设AO ＝x .在Rt △ACO 中，AO 2＝AC 2＋OC 2，∴x 2＝42＋(x －2)2.解得x ＝5.∴AE ＝10，OC ＝3.连接BE .∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°.由OC 是△ABE 的中位线可得BE ＝2OC ＝6.在Rt △CBE 中，CE 2＝BC 2＋BE 2，∴EC ＝BC 2＋BE 2＝16＋36＝213.自测训练1．C2．A3．B [解析] ∵直径所对的圆周角是直角，∴直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断弧为半圆的是选项B.故选B.4．A [解析] ∵点P 的坐标为(－2，3)，∴OP ＝22＋32＝13.∵点A ，P 均在以点O 为圆心，以OP 为半径的圆上，∴OA ＝OP ＝13.∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.又∵点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的横坐标介于－4和－3之间．5．C [解析] ∵⊙O 的直径是AB ，∴∠ACB ＝90°.又∵AB ＝2，弦AC ＝1，∴sin ∠CBA ＝AC AB ＝12， ∴∠CBA ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝60°.故选C.6．C [解析] ∵四边形ABMO 是圆内接四边形，∠BMO ＝120°，∴∠BAO ＝60°.∵∠AOB ＝90°，点A ，B 均在⊙C 上，∴AB 为⊙C 的直径，∠ABO ＝90°－∠BAO ＝90°－60°＝30°.∵点A 的坐标为(0，3)，∴OA ＝3，∴AB ＝2OA ＝6，∴⊙C 的半径＝12AB C. 7．D [解析] 根据函数图象可知，X 老师离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后离家越来越近直至回家，分析四个选项只有D 符合题意． 8．A9．30°或150°10．3 [解析] ∵∠A ＝65°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°，∴共需安装360°÷130°≈3(台)．11．35 [解析] 连接O C.∵BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，∴OC ⊥CD ，OB ⊥BD ，∴∠OCD ＝∠OBD ＝90°.∵∠BDC ＝110°，∴∠BOC ＝360°－∠OCD －∠BDC －∠OBD ＝70°，∴∠A ＝12∠BOC ＝35°. 12．(－4 2，－4 2) [解析] ∵31÷4＝7……3，∴点A 31在第三象限．∵在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，…，∴OA 31＝8.∴A 31的横坐标是－8sin45°＝－4 2，纵坐标是－4 2.13．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AB .由题意知BD ＝12BC ＝4. ∵点A 的坐标是(2，3)，∴AD ＝3.在Rt △ABD 中，AB ＝BD 2＋AD 2＝5，∴⊙A 的半径为5.14．解：(1)2(2)(1)中∠BAC 与∠CBE 的数量关系成立．证明：如图，连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，∴∠AEB ＋∠ADB ＝180°.∵∠AEB ＋∠ADB ＋∠CBE ＋∠EAD ＝360°，∴∠CBE ＋∠EAD ＝180°.∵∠DAC ＋∠EAD ＝180°，∴∠CBE ＝∠DAC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝2∠DAC ，∴∠BAC ＝2∠CBE .15．解：(1)补全图形如图，(2)证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称，∴∠DBC ＝2∠AB C.又∵∠AOC ＝2∠ABC ，∴∠AOC ＝∠DBC .(3)∵BF ︵＝BF ︵，∴∠A ＝∠D .又∵∠AOC ＝∠DBC ，∴△AOE ∽△DBM ，∴OE OA ＝BM BD .∵OC ＝3OE ，OA ＝OC ，∴BM BD ＝OE OA ＝OE OC ＝13. ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称，∴BC ＝BD ，∴BM BC ＝BM BD ＝13.16．解：(1)①如图所示．②(7，0)(2)当以AB 为弦的圆C 与x 轴正半轴相切于点P 时，∠APB 的值最大，作CD ⊥y 轴于点D ，连接CP ，CB .∵点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，∴点D 的坐标是(0，m ＋n 2)，即BC ＝PC ＝m ＋n 2. 在Rt △BCD 中，BC ＝m ＋n 2，BD ＝m －n 2，则CD ＝BC 2－BD 2＝mn ，则OP ＝CD ＝mn ，故点P 的坐标是(mn ，0)．。

初中数学必须掌握的150个知识点大全

初中数学必须掌握的150个知识点大全一、代数与函数1.整数与有理数的概念及性质2.同位角与同旁内角3.图形的对称性及性质4.代数式的域5.多项式的含义和基本性质6.多项式的加法与减法7.一元一次方程及其解法8.一元一次方程的应用9.一元二次方程的含义及一些特殊情况10.平方根与1比开方11.二次函数的含义及性质12.二次函数与解析式13.判断一元二次不等式的真假及其应用14.线性规律与线性关系15.平方根与平方数16.等差数列的概念及性质17.等差数列的通项与前n项和18.平方数与平方根的关系19.不等式在解集中的应用20.余数与循环节21.真分数与带分数的相互转化22.百分数与百分数、小数与小数、百分数与小数的相互转化23.一元一次不等式的解集及表示法24.一次函数的性质及解方程25.一次函数与线性函数26.一次函数之间的关系27.按比例增长与按表布置28.负指数、分式指数29.指数的运算法则30.指数运算与对数运算的相互关系二、几何与空间31.图形的基本概念及性质32.图形的分类及特征33.平面直角坐标系34.点与直线的性质及关系35.平行线与垂直线的判定及运用36.三角形的定义及性质37.三角形的分类及特征38.三角形的内角和定理及外角和定理39.三角形的中线定理40.三角形的中位线定理41.三角形的角平分线定理42.判断直角三角形条件及性质43.判断等腰三角形的条件及性质44.判断等边三角形和等角三角形的条件及性质45.相似三角形的性质及判定46.相似三角形的应用47.应用勾股定理求解问题48.内切圆与外接圆49.二维坐标系中的图形的运动50.空间中图形的投影及旋转等三、数据分析与概率51.直方图的概念及绘制52.频数、频率和频率密度的计算53.平均数的概念及计算54.极差与中位数的概念及计算55.四分位数与百分位数的概念及计算56.用平均数确定总和与频数57.双变量数据的统计分析58.概率的定义及基本性质59.试验、样本空间及基本事件60.事件的概念及代数运算61.事件的发生与不发生的方式计数62.互斥事件的概念及计算63.事件的和与积64.独立事件的概念及计算65.条件概率的概念及计算66.随机现象的模拟及应用67.单项式、多项式及其运算68.分式的概念及运算69.分式的乘除运算70.分式方程的解与应用四、数学思想方法与解题策略71.计数原理及其应用72.排列与组合73.函数的概念及应用74.函数的图象与性质75.应用函数解决问题76.过程与方法（如：逆向思维、递归思想、等比思想等）77.推理与证明（如：归纳法、递推法等）78.近似与估算（如：舍去法、增减法等）79.探究与发现（如：图形的勾股定理、数列的通项公式等）。

加法与减法的基本概念

加法与减法的基本概念加法和减法是数学中最基本的运算之一，广泛应用于日常生活和各个领域中。

无论是计算购物金额、测量长度还是解决更复杂的数学问题，对于加法和减法的基本概念的理解都是必不可少的。

本文将介绍加法和减法的概念、性质以及其在现实生活中的应用。

一、加法的基本概念加法是一种将两个或多个数值相加得到一个总和的运算。

在加法中，数值被称为“加数”，总和被称为“和”。

最常见的加法运算是两个数相加的二元运算，表示为“A + B = C”，其中A和B是两个加数，C是它们的和。

加法有以下几个基本概念：1. 交换律：加法满足交换律，即改变加数的顺序不会改变和的结果。

例如，2 + 3 = 3 + 2 = 5。

2. 结合律：加法满足结合律，即对于三个以上的数相加，无论怎样加括号改变计算顺序，最终的和是相同的。

例如，(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9。

3. 零元素：对于任何数A，加0不会改变A的值，即A + 0 = A。

0被称为加法的零元素。

二、减法的基本概念减法是一种从一个数中减去另一个数得到差的运算。

在减法中，被减数减去减数得到差。

最常见的减法运算是两个数相减的二元运算，表示为“A - B = C”，其中A是被减数，B是减数，C是它们的差。

减法有以下几个基本概念：1. 减法的定义：减法是加法的逆运算。

即将减数B与差C相加，得到被减数A。

例如，5 - 3 = 2，因为2 + 3 = 5。

2. 减法的零元素：对于任何数A，减去0不会改变A的值，即A - 0 = A。

0被称为减法的零元素。

3. 减法的性质：减法不满足交换律和结合律。

改变减数和被减数的位置会改变差的结果。

例如，5 - 3 ≠ 3 - 5。

三、加法和减法的应用加法和减法在我们的日常生活中扮演着重要的角色。

以下是一些加法和减法在现实生活中的应用场景：1. 购物结账：当我们购买商品时，需要将商品的价格相加来计算总金额。

例如，如果有三个商品，价格分别为20元、30元和50元，我们可以使用加法来计算总金额：20 + 30 + 50 = 100元。

圆的有关概念及性质

第一课时圆的有关概念及性质知识要点概括：1．圆、圆心角、圆周角的定义。

2．圆的性质：①对称性（轴对称，中心对称）②旋转不变性。

3．圆的确定：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4．垂径定理及其推论（知“二”推“三”）5．在同圆或等圆中：等弦等弧等弦心距等圆心角。

6．圆周角定理及其推论。

7．三角形的内心与外心。

典型例题剖析：例1．如图，⊙O的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（）A ．5B ．4C ．3D ．2例2．两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形面积为16cm 2，则半圆的半径为________.单元目标训练：一、填空题 1．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝_________.（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图） 2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD=6，那么BD=_______.3．如图，⊙O 的直径CD=10，弦AB=8，AB ⊥CD ，垂足为点M ，则DM 的长为__________.4．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°，若PE 2+PF 2=8，则AB 等于_________.5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上运动，设∠ACP=x ，则x 的取值范围是________. 二、选择题6．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=28°，则∠C 的大小为（）A ．28°B ．36°O MA B（C ．60°D ．62°7．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD=22，BD=3，则AB 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（）A ．()a 12- B ．a 212- C ．a 422- D ．()a 22- 9．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ∥OC.（1）求证：AC 平分∠OAB（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ，若AB=2，∠AOE=30°，求PE 的长.10．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD=24m ，OE ⊥CD 于点E. 已测得sin ∠DOE=1312 （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？第二课时与圆有关的位置关系知识要点概述：1．点与圆的位置关系：①点在圆内<=>d ＜r ②点在圆上<=>d ＝r ③点在圆外<=>d ＞r2．直线与圆的位置关系：①相交<=> d ＜r ②相切<=> d ＝r ③相离<=> d ＞r 3．切线的性质和判定：三种判定方法，五个性质 4．切线长定理5．圆与圆的位置关系：①外离<=>d ＞R ＋r ②外切<=>d ＝R ＋r③相交<=>R －r ＜d ＜R ＋r ④内切<=>d ＝R －r ⑤内含<=>d ＜R －r典型例题剖析：例1．在数轴上，点A 表示实数3，点B 表示实数a ，⊙A 的半径为2，下列说法不正确的是（） A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外例2．两圆的圆心距为3，两圆半径分别为方程0342=+-x x 的两根，则两圆位置关系是（）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切单元目标训练：一、选择题1．图中圆与圆之间不同的位置关系是（） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（） A ．与x 轴相离、与y 轴相切B ．与x 轴、y 轴都相离C ．与x 轴相切、与y 轴相离D ．与x 轴、y 轴都相切3．将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（） A ．1圈 B ．1.5圈C ．2圈D ．2.5圈4．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是（） A ．8≤AB ≤10 B ．AB ≥8C ．8＜AB ≤10D ．8＜AB ＜105．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB=2，OD=3，则BC 的长为（） A ．32 B ．23 C ．23 D ．22 二、填空题6．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若∠APB=60°，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为____________.（第6题图）（第7题图）（第8题图）7．如图，在Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA 、BC为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积为__________. 8．如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使AB BP 21=，PC 切半圆O 于点C ，点D 是AC 上和点C 不重合的一点，则∠D 的度数为__________.9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC 、AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连接BF ，与直线CD 交于点G. 求证：BC 2=BG ·BF.10．如图，点C 是半圆O 的半径OB 上的动点，作PC ⊥AB 于C ，点D 是半圆上位于PC 左侧的点，连接BD 交线段PC 于E ，且PD=PE. 求证：（1）PD 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为34，38=PC ，设OC=x ，PD 2=y. ①求y 关于x 的函数关系式；②当3=x 时，求tan ∠DBA 的值.（第三课时圆中的计算问题知识要点概述：1．正多边形与圆的概念2．正多边形的性质3．圆中的弦长与扇形面积：180R n π= R R n S 213602==π扇形 4．圆柱和圆锥的侧面积： R S π2=圆柱（为圆柱高）R S π=圆锥（为母线长）典型例题剖析：例1．如图，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A ．π4cm 2B ．π6 cm 2C ．π9cm 2D ．π12 cm 2例2．如图，三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A ′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为_________.单元目标训练：一、选择题1．边长为a 的正六边形的面积等于（） A ．243a B ．a 2 C ．2233a D ．233a2．挂钟分针的长为10cm ，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（） A ．cm215π B ．π15cm C ．275πcm D ．π75cm 3．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（） A ．125 B ．135 C ．1310 D ．13124．如图，水平面上有一面积为30πcm 2的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（） A ．20cm B ．24cmC ．40πcmD ．30πcm5．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ），点O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB=300m ，CD=50m ，则这段弯路的半径是________m.7．将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO=________度. 8．若一个圆锥的底面积是侧面积的31，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______度.9．如图，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆. 求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（第7题图）（2）求∠BAC 的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）10．将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图①放置，图②是由他抽象出的几何图形，其中点B 在半圆O 的直径DE 的延长线上，AB 切半圆O 于点F ，且BC=OD. （1）求证：DB ∥CF.（2）当OD=2时，若以O 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求OB.（第四课时圆的综合问题知识要点概述：图中常见辅助线：1．遇到直径时，常构造直径所对圆用角，即直角。