非线性模糊间接和直接自适应控制器的设计和稳定性分析

Abstract Fuzzy indirect and direct adapt ive contr ol alg or ithms ar e developed fo r nonlinear systems. T hese alg or it hms substitute “D - contr oller ”fo r super v isor y contr oller , r ela x the squar ed integ rity co ndit ion of a ppro x imation er r or in refer ences [ 1, 2] , w hich g uara ntees the sta bility of the closed loo p sy st em. It is pr ov ed t ha t these alg or ithms not o nly ha ve the stability , but also hav e the ro bustness fo r ex ter nal distur bances. T he simulation results co nfirm the accur acy of t hem . Key words fuzzy adaptiv e contr ol, nonlinear sy st ems, stability analy sis
控制目标是使 y 跟踪一有界的参考信号 y m( 即
lime( t) = lim( y m - y ) = 0) , 并保证闭环系统渐近
t→∞
t→∞
稳定。
设计模糊间接自适应控制器为
其中
u = uc + uD
( 2. 2)
uc =
gd(
1 x ûH)
[
-
fd( xûH)
+
y ( n) m
+
kT e]
0
1
0 …0
0
0
1 …0
+c =



0
0
0 …1
õ
V= -
1 2
eT
Qe
+
g ( x) e TP bcuD +
eT Pbcw +
eTP bcd +
I 1e TP bc
UTf Hf HTf N( ûHf û2
x)
+
I 2eT Pbc
UTg Hg HTg N( x) ûHg û2
uc
( 2. 13)
知的外界干扰并假设有界。 设模糊直接自适应控制为
u = uc( xûH) + uD
( 3. 2)
其 中 uc( xûH) 取 文 献[ 1] 的 模 糊 逻 辑系 统, uD = kd sg n ( eT P bc ) 为D 控制 , kd ≥0 。把 ( 3 . 2) 式 代入
( 3. 1) 式, 整理得误差方程 ea= + e + bcUT N( x) -
* 国家自然科学 基金项目( 69874020) 和辽 宁省教委科学技术基金项目 1999 - 05 - 20 收稿, 1999 - 07 - 28 修回
29 4
控 制 与 决 策
2 0 00 年
的影响。
- C1eT PbcN( x)
2 模糊间接自适应控制器的 设计与稳定性分析
- kn - kn- 1 - kn- 2 … - k1 bc = [ 0 … 0 1] - 1
文献[ 2] 已证明式( 2. 12) 的最后两项非负, 所 以有
选择适当的k i( i = 1, 2, …, n) 使得 +c 为稳定矩
阵, 即 ûsI -
+cû=
s( n) +
k
s( n-
1
分, 有
∫∞ eT Qedt ≤ V ( 0) - V ( ∞) 0
( 2. 16)
由( 2. 16) 式可得 Hf , Hg , e ∈ L ∞ , 再根据( 2. 5) 式得 ea
∈ L ∞。由于
d dt
ûeû2
=
eT ea ûeû2
≤
ûeû
∈
L
∞
( 2. 17)
根据 Barbal at 引理可得limûe( t) û = 0。 t→∞ 用如下定理总结模糊间接自适应控制器所具有
( 2. 8)
其中
Pf [ - C1eT PbcN( x) ] =
-
C1e TP bcN( x) +
C1eT Pbc
Hf HTf N( x) ûHf û2
( 2. 9)
Pg [ - C2eTP bcN( x) uc] =
-
C2e TP bcN( x) uc +
C2e TP bc
HgHTg N( x) uc ûHg û2
bcus - bcw - bcd
( 3. 3)
参数向量 H的自适应律取为 CeTp nN( x)
ûHû < M Hor ûHû = M H&
õ
H= eT p n HT N( x) ≤ 0
P r [ CeT P nN( x) ] ûHdû = M H& CeTP nN( x) > 0
其中 P r [ * ] 定义为
第D1O5I：卷10第.13319期5/j.cd.2000.03.37.tongshch.009 控 制 与 决 策
Vo l. 15 N o. 3
CON T ROL A N D D ECI SI ON
2000 年 5 月
M ay 2000
非线性模糊间接和直接自适应控制器的 设计和稳定性分析*
t→∞
闭环系统的渐近稳定性。然而, 由于不一定存在最优 参 数 H* 使得limw ( t ) = 0, 所以难以真正保证闭环
t→∞
系统的渐近稳定性。另外, [ 3] 的方法不适于对模糊 间接自适应控制的设计与稳定性分析, 控制器也不 具有鲁棒性。
本文提出一种稳定的非线性模糊直接和间接自 适应控制的统一设计方法。此方法把[ 1, 2, 4] 中的 监督控制器用 D — 控制来取代, 在闭环系统的渐近 稳定性分析中取消了要求逼近误差平方 可积的条 件, 模糊控制器能够克服外界干扰对系统输出误差
பைடு நூலகம்
1 2
eT
Qe
+
eT Pbc[ w -
第 15 卷 第 3 期
佟绍成等: 非线性模糊间接和直接自适应控制器的设计和稳定性分析
295
g( x) kd sg n( eTP bc) + d] ≤
-
1 2
eT
Qe
+
ûeT Pbcû( s upt≥0ûw û +
M - ûg ( x) ûkd)
2) 闭环系统渐近稳定性的条件是模糊系统的 最优逼近误差 w ( t ) 平方可积, 此条件很难满足, 且 无法观测也无法事先检验, 因此限制了该方案的应 用。
3) 当系统具有外界干扰时, 控制器无法消除它
对系统输出误差的影响。 对模糊直接自适应控制方案[ 1] , 文献[ 3] 提出 去掉监督控制项, 在limw ( t ) = 0 的条件下, 可保证
P r [ CeT Pn N( x) ] =
CeTp n N( x) -
CeT P
n
HHTN( x) ûHû2
取李亚普诺夫函数为
( 3. 4) ( 3. 5)
的性质:
定理 1 考虑式( 2. 1) 的控制对象, 其中控制量
为式( 2. 2) , uc 取式( 2. 3) , uD 取式( 2. 4) 。设参数向 量 Hf 和 Hg 的自适应律由式( 2. 7) 和式( 2. 8) 来调节。
在假设 1 成立的条件下, 则总体控制方案具有如下
性能:
1) ûHf û≤ Mf , ûHg û≤ M g, x ( t) ∈ L ∞ , u( t) ∈
( 2. 1) 中的 f ( x) , g( x) , 并把式( 2. 2) 代入式( 2. 1) ,
ûHf û = Mf & eT PbcHTf N( x) > 0
- C2eT PbcN( x) uc
( 2. 7)
ûHg û < Mg or ûHg û = M g &
õ
Hg = eT PbcHTg N( x) uc ≤ 0 P g [ - C2 eTP bcN( x) uc] ûHg û = Mg & eTP bcHTg N( x) uc > 0
佟绍成 周 军
( 辽宁工学院基础部 锦州 121001)
摘 要 提出一种非线性模糊直接和间接自适应控制的统一设计方法, 该方法把文献[ 1, 2] 中的监 督控 制器用 D —控制来取代, 在闭环系统的渐近 稳定性分析中取消了要求逼近误差平方可积的条件, 模 糊控 制器能克服外界干扰对系统误差的影响。仿真结果验证了该控制方案的有效性。 关键词 模糊自适应控制, 非线性系统, 稳定性分析 分类号 T P 273
L ∞;
2) limûe( t) û = 0。 t→∞
3 模糊直接自适应控制器的 设计与稳定性分析
与上节所用的方法相似, 考虑如下系统 x ( n) = f ( x , xa, …, x ( n- 1) ) + bu + d ( 3. 1) y= x
式中, f 为未知连续函数, b 为未知正的常数, d 为未
( 2. 1)
y= x
其中, f 和 g 为未知的连续函数, u ∈ R 和 y ∈ R 分 别为系统的输入和输出, x = ( x 1 , …, x n) T = ( x , xa, …, x ( n- 1) ) T 为系统的状态向量, 且设可通过量测得
到; 不失一般性, 设 g( x) > 0; d 是外界干扰, 设 d 未 知但有界。
1 引 言
王立新分别提出了稳定的非线性模糊直接和 间接自适应控制方法[ 1, 2] , 为用模糊逻辑系统研究未 知的非线性系统的控制问题开辟了新的途径。但这 种模糊直接和间接自适应控制方法存在以下问题:
1) 为保证系统闭环渐近稳定, 要求对等价控制 加入监督控制项, 但监督控制项取值很大, 给实际应 用造成了困难。
ûHf û < Mf or ûHf û= M f &
õ
Hf = eT PbcHTf N( x) ≤ 0 P [ - C1eT PbcN( x) ]
考虑如下 n 阶非线性系统 x ( n) = f ( x , xa, …, x ( n- 1) ) + g( x , xa, …, x (n- 1) ) u + d
1)
+
…+
kn 为稳定
的。因此, 一定存在一个唯一 n × n 阶的正定对称矩
阵 P , 满足李亚普诺夫方程
+Tc P + P +c = - Q
( 2. 6)
取自适应向量参数 Hf , Hg 的调节律为
õ
V≤
-
1 2
eT
Qe
-
g( x) eT PbcuD +
e TP bcw + eTP bcd =
-
( 2. 3)
为[ 2] 中的等价控制器; fd( xûHf ) = HTf N( x) , gd( xûHg)
= HTg N( x) 为[ 2] 中的模糊逻辑系统; 而
uD = kd sgn( eP bc)
( 2. 4)
是 D 控制项, k d 是非负常数。 用模糊逻辑系统 fd( xûHf ) , gd( xûHg) 分别逼近式
可得误差方程 ce - bcg( x) uD + bcw + bcd + \ = bc[ UTf N( x) + UTg N( x) uc]
1 C2
UTg [
õ
Hg
+
C2 eTP bcN( x) uc]
( 2. 12)
( 2. 5) 根据( 2. 7) ～ ( 2. 10) 式, 有
其中 w 为[ 2] 中所定义的模糊逼近误差, 且
设李亚普诺夫函数为
( 2. 10)
V=
1 2
eTP
e
+
21C1UTf Uf +
21C2UTg Ug
( 2. 11)
求 V 沿式( 2. 5) 的时间导数, 有
õ
V= -
1 2
e
TQ
e
+
g ( x) eTP bcus +
eTP bcw +
eT Pbcd +
1 C1
UTf
[
õ
Hf
+
C1eT PbcN( x) ] +
( 2. 14)
假设 1 存在一个已知函数 gL ( x) 和常数 M,
使得 g ( x) ≥ gL ( x) , ûdû ≤ M 成立。
只要取
kd
≥
supt≥0 ûw û + gL ( x)
M , 就有
õ
V ≤-
1 2
eT Q
e
( 2. 15)
由( 2. 15) 式得 V ∈ L ∞ , e ∈ L ∞ 。对( 2. 15) 式两边积
Design and Stability of Fuzzy Indirect and Direct Adaptive Control for Nonlinear System
T ong S haocheng, Zhou J un
( L iaoning Institute o f T echnolog y)