直线与圆相切、弦长问题(学生)

直线与圆的位置关系（复习）

复习要求 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．

直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

方法

位置关系几何法代数法

相交d0

相切d＝r Δ＝0

相离d>r Δ<0

[难点正本疑点清源]

1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”

是从不同的方面和思路来判断的．

2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法

几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．

2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．

3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________

题型一直线与圆的位置关系

例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．

(2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________．

题型二圆的切线问题

例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．

探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．

已知点A(1，a)，圆x 2＋y 2＝4. （a>0）若过点A 的圆的切线只有一条，

求a 的值及切线方程；

方法与技巧

1．过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1

k ，由点斜式方程可求切线方

程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法

(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．

(2)代数方法：设切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3．圆的弦长的求法

(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2

. (2)代数法：设直线与圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点,两点间距离公式。 失误与防范

1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．

2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．

基础训练

1．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为______________．

2．若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则a＝___________．

3．设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n 的取值范围是____________．

4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．

5．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a＝________.

6．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围是______________．