第23章解直角三角形复习QQQ
沪科版九年级上册数学精品课件 第23章 解直角三角形 本章总结提升
• 15．(南京中考)如图，在港口A处的正东方向有两个相距6 km
的观测点B，C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D
处，在B，C处分别测得∠ABD＝45°，∠C＝37°.求轮船航行的
距离AD．(参考数据：sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan
26°≈0.49，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
• 11．(南通中考)如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底 部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角 仪的高度是1.5 m，7.5则建筑物AB的高度约为_________m.(结果 保留小数点后一位．参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64， tan 50°≈1.19)
(3)cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y；
(4)cos 15°＝
6－ 4
2 .
• 其中正确结论的个数为
C( )
• A．1个
B．2个
• C．3个
D．4个
5
• 10．(桂林中考13)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，
AC＝5，则cos A的值是_________.
在计算 tan 15°时，如图．在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延
长 CB 使 BD＝AB，连接 AD，得∠D＝15°，所以 tan 15°＝CADC＝2＋1
＝ 3
2－ 3 2＋ 32－
3＝2－
3.类比这种方法，计算 tan 22.5°的值为 (
B
)
A． 2＋1
B． 2－1
C． 2
AC 的长为
(B )
沪科版数学九年级上册 第23章 小结与复习
针对训练
1. 在 △ABC 中， ∠A、 ∠B 都是锐角，且 sin A = cos B， 那么 △ABC 一定是_直__角___三角形．
2. 如图，在网格中，小正方形的边
长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，
1
则 ∠ABC 的正切值是__2__.
例2 矩形 ABCD 中 AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，
考点一 求三角函数的值
例1 在 △ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ 4 ，则 tan B 的
5
值为
4
3
3
( B) 4
A. 3 B. 4
C. 5
D. 5
解析：根据 sin A＝ 4 ，可设三角形的两边长分别为
5
4k，5k，则第三边长为
3k，所以
tan
B＝
3k
3.
4k 4
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体 的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的 方法主要有： (1)根据特殊角的三角函数值求值； (2)直接运用三角函数的定义求值； (3)借助边的数量关系求值； (4)借助等角求值； (5)根据三角函数关系求值； (6)构造直角三角形求值．
西北
北 东北
45°
西
)
O
45°
B南
东西
45° O
东
西南
东南
南
(3) 坡度，坡角
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度.记作
i，即
i=
h l
.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，有 i = tan α.
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i =1 : 6.
【教育资料】沪科版九年级数学上册第23章 解直角三角形 复习题学习精品
第23章 解直角三角形类型之一 锐角三角函数的概念1．在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)和点B(3，0)，则sin ∠AOB 的值等于( )A . 2 55B . 55C . 52D . 122．［2019·滨州］如图23－X －1，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3图23－X －13．如图23－X －2，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值是________．图23－X －2类型之二 特殊锐角的三角函数值4．计算2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的结果是( )A ．2 3－2B ．0C ．2 3D ．25．若cos α＝32，则锐角α＝________°. 6．计算：sin 230°＋cos 260°－tan 245°＝________．类型之三 解直角三角形7．如图23－X －3，矩形ABCD 中，AD ＝2，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ＝20°，则AB ＝________．图23－X －38．如图23－X －4，在▱ABCD 中，BC ＝10，sin B ＝910，AC ＝BC ，则▱ABCD 的面积是________．图23－X －49．如图23－X －5，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BE ∶AB ＝3∶5，若CE ＝2，cos ∠ACD ＝45，求tan ∠AEC 的值及CD 的长． 图23－X －5类型之四 解直角三角形的实际应用10．［2019·重庆］如图23－X －6，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)．某同学从点C 出发，沿某一斜坡CD 行走195米至坡顶D 处．斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米图23－X －611．［2019·瑶海区一模］如图23－X －7，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断的树干AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断的部分AC 与未折断的树干AB 形成60°的夹角．树干AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得BE ＝6米，塔高DE ＝9米．在某一时刻的太阳光照射下，未折断的树干AB落在地面的影子FB长4米，且点F，B，C，E在同一条直线上，点F，A，D也在同一条直线上．求这棵大树折断前的高度．图23－X－712．［2019·蜀山区二模］如图23－X－8，在地铁某站通道的建设中，建设工人将坡长为20米(AB＝20米)，坡角为20°30′(∠BAE＝20°30′)的斜坡通道改造成坡角为12°30′(∠BDE＝12°30′)的斜坡通道，使斜坡的起点从点A处向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin12°30′≈0.22，sin20°30′≈0.35，sin69°30′≈0.94)图23－X－813．［2019·宿州埇桥区模拟］如图23－X－9，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6米到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求电线杆PQ的高度．图23－X－9类型之五数学活动14．在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C.利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.问题解决：如图23－X－10，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2海里．(1)连接A1B2，判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？图23－X－10教师详解详析1．A2．A [解析] 设AC ＝a ，则AB ＝2AC ＝2a ，BC ＝a÷tan 30°＝3a ，∴BD ＝AB ＝2a.∴tan ∠DAC ＝（2＋3）a a＝2＋ 3. 3. 22[解析] 如图，连接AB. ∵OA 2＝12＋32＝10，AB 2＝12＋32＝10，OB 2＝22＋42＝20，∴OA 2＋AB 2＝OB 2，OA ＝AB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝90°，∴∠AOB ＝45°，∴cos ∠AOB ＝cos 45°＝22. 4．B 5.306．－12 [解析] sin 230°＋cos 260°－tan 245°＝(12)2＋(12)2－1＝－12. 7. 6 [解析] ∵∠GAF ＝∠F ＝20°，∴∠AGC ＝∠ACG ＝40°，∴∠CAG ＝100°，∴∠DAC ＝60°，∴tan ∠DAC ＝DC AD ＝AB AD＝ 3. ∵AD ＝2，∴AB ＝ 6.故答案为 6.8．18 199．解：在Rt △ACD 与Rt △ABC 中，∵∠ABC ＋∠CAD ＝90°，∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACD ，∴cos ∠ABC ＝cos ∠ACD ＝45. 在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝BC AB ＝45，令BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k. 由BE ∶AB ＝3∶5，知BE ＝3k.则CE ＝k ，且CE ＝2，则k ＝2，AC ＝3 2.∴Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE＝3， ∵Rt △ACD 中，cos ∠ACD ＝CD AC ＝45， ∴CD ＝12 25. 10．A [解析] 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，解直角三角形CDE ，得DE ＝75米，CE ＝180米，根据BC ＝306米可求得BE ＝126米．过点A 作AF ⊥DE ，∴AF ＝BE ＝126米．∵∠DAF ＝20°，根据tan 20°≈0.364，即DF AF ＝DF 126≈0.364，求得DF ≈45.864米，∴AB ＝75－DF ≈29.1(米)．11．解：根据题意，得AB ⊥EF ，DE ⊥EF ，∴∠ABC ＝90°，AB ∥DE ，∴△ABF ∽△DEF ，∴AB DE ＝BF EF ，即AB 9＝44＋6，解得AB ＝3.6. ∵在Rt △ABC 中，cos ∠BAC ＝AB AC， ∴AC ＝AB cos 60°＝7.2米， ∴AB ＋AC ＝3.6＋7.2＝10.8(米)．答：这棵大树折断前的高度为10.8米．12．解：作BC ⊥DE 于点C.∵BC ⊥DC ，∠BAC ＝20°30′，AB ＝20米， ∴sin ∠BAC ＝BC AB，∴BC ＝AB·sin ∠BAC ＝20×sin 20°30′≈20×0.35＝7(米)． 在Rt △BDC 中，∵∠BDC ＝12°30′，sin ∠BDC ＝BC BD， 即sin 12°30′＝BC BD， ∴BD ＝BC sin 12°30′≈70.22≈31.8(米)． 答：改造后的斜坡通道BD 的长约为31.8米．13．解：如图，延长PQ 交直线AB 于点E ，设PE ＝x 米．在Rt △APE 中，∠A ＝45°，则AE ＝PE ＝x 米．∵∠PBE ＝60°，∴∠BPE ＝30°.在Rt △BPE 中，tan ∠PBE ＝tan 60°＝PE BE， ∴BE ＝x 3＝33x(米)． ∵AB ＝AE －BE ＝6米， ∴x －33x ＝6， 解得x ＝9＋3 3.则BE ＝(3 3＋3)米．在Rt △BEQ 中，QE ＝tan 30°·BE ＝33×(3 3＋3)＝(3＋3)米．∴PQ ＝PE －QE ＝9＋3 3－(3＋3)＝(6＋2 3)米．答：电线杆PQ 的高度是(6＋2 3)米．14．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明：由已知得A 2B 2＝10 2，A 1A 2＝30 2×2060＝10 2，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形．(2)∵△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知得∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.又∵∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.在△A 1B 2B 1中，由题中结论，得B 1B 2sin 45°＝A 1B 2sin 60°， ∴B 1B 2＝A 1B 2sin 60°·sin 45°＝10 232·22＝20 33. 因此，乙船的速度为20 33×6020＝20 3(海里/时)． 答：乙船每小时航行20 3海里．。
23章解直角三角形复习
B
c
a ┌ C
A
b
三、特殊角6 2 4
30°
1 2
45°
2 2 2 2
60°
3 2
75°
6 2 4 6 2 4
90°
0
1
0
没有
cosα
1
0
6 2 4
3 2
1 2
tanα
2 3
3 3
1
0< sinA<1 0<cosA<1
3
2 3
在0°~90°范围内正弦值和正切值随着角度的增大（减小）而增大（减小）， 在0°~90°范围内余弦值随着角度的增大（减小）而减小（增大）。
课 后练习
1. 在△ABC中∠C=90° ∠B=2∠A
3 则cosA=______ 2
2. 若tan(β+20°）= 则β=________ 40°
3
β为锐角
sin A cos A 3.已A是锐角且tanA=3,则 2 cos A 2 sin A
1 __ 4
2 4. 在Rt△ABC中，∠C=90° ,cosB= 3 5 则sinB的值为_______ 3
o o
☆ 应用练习
2.已知值，求角
1. 已知 tanA=
3 ，求锐角A . 30 , =
2. 已知2cosA -
求锐角A的度数 .
☆ 应用练习
1. 在Rt△ABC中 3. 确定值的范围 ∠C=90°，当 锐角 A>45°时，sinA的值 （ B ） 2 2
(A)0＜sinA＜
(C) 0＜sinA＜ 3
,
算一算
1、在Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，
23.2解直角三角形的应用(坡度)QQQ
如图，在Rt△ABC中：∠C=90° (1)∠A=30°，AB=4，解这个直角三角形；
2 (2)tanA= ， 求∠A的大小。 2
B
A
C
回顾 坡度的定义：
坡面的垂直高度h与水平宽度l之比 叫做坡度(或叫做坡比)，记作i
B
h i l
h
A
α l
E
注意：坡度（Slope）是地表单元陡缓的程度， 坡度是一个比值，它并不是表示一个度数。
A D
B
60°
(第4题)
A
(第3题)
C
D
当堂练习
5、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坡面AB 的坡度i=1︰1.5，坡面CD的坡度i=1︰3，试根据图 中数据求： (1)坡角α和β； (2)斜坡AB的长(精确B
α
6m
F
E
i=1︰3 β
C
当堂练习
6、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是 10m，坡角是45°。为了方便行人，决定降低坡 度，使新的坡角为30°。若新坡脚需留3m的人 行道，问离原坡底A处11m的建筑物是否要拆除？
h
图(2)
范例
例题：如图，在山坡上种树，要求株距(相邻 两树之间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾 斜角度是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距 离(精确到0.1m)。
cos24 0.9135
B
24°
C
5.5m
A
当堂练习
1、一段坡面的坡角为60°，则坡度 i= 。 2、小明沿着坡度i = 的山坡向上 走了50m，这时他离地面25m。
探究
如图是某一大坝的横断面： (2)坡度i与坡角α之间有什么 关系？
B
α
2024年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23
23.2 解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形知|识|目|标通过对直角三角形六个元素的分析与探究，了解解直角三角形的定义，会解直角三角形．目标会解直角三角形例1 ［教材例1针对训练］已知，如图23－2－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝5，∠A＝36°.按下列步骤，解这个直角三角形，边长精确到0.01.图23－2－1(1)依据直角三角形两个锐角互余，由∠A＝36°，得∠B＝90°－∠A＝________．(2)依据正弦和余弦的定义，由sin A＝ac，得a＝______·________＝________×________≈________；由cos A＝bc，得b＝________·________＝________×________≈________．综上所述，∠B＝________，a≈________，b≈________．【归纳总结】解直角三角形常见类型：在Rt△ABC中，∠C＝90°已知选择的边角关系斜边和一直角边c，a由sin A＝ac，求∠A；∠B＝90°－∠A，b＝c2－a2两直角边a，b 由tan A＝ab，求∠A；∠B＝90°－∠A，c＝a2＋b2斜边和一锐角c，∠A∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A，b＝c·cos A始终角边和一锐角a，∠A ∠B＝90°－∠A；b＝atan A，c＝asin A长．图23－2－2【归纳总结】对于一般三角形，依据已知条件求边或角的步骤： (1)添加协助线(作高)，构造直角三角形； (2)利用解直角三角形的学问求解．学问点一 解直角三角形在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 学问点二 利用边角关系，求直角三角形的边或角如图23－2－3，Rt △ABC 中的六个元素(三边长a ，b ，c ，三个角∠A ，∠B ，∠C )之间的关系：图23－2－3(1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系： sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ， cos B ＝a c，tan B ＝b a．在Rt △ABC 中，∠A 为锐角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝6，c ＝10，求sin A .解：∵a ＝6，c ＝10，∴sin A ＝a c ＝610＝35.上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解题过程．老师详解详析【目标突破】 例1 (1)54°(2)c sin A 5 sin 36° 2.94 c cos A 5 cos 36° 4.05 54° 2.94 4.05 例2 [解析] 过点A 作AD⊥BC 于点D.因为BC ＝CD ＋BD ，可先由∠B＝60°，AD ⊥BC ，AB ＝10，求得BD ＝5，AD ＝5 3.进而在△ADC 中依据勾股定理求得CD ＝11，即可求出BC 的长．解：如图所示，过点A 作AD⊥BC 于点D.在Rt △ABD 中，AB ＝10，∠B ＝60°. ∵cos B ＝BD10，∴cos 60°＝BD10，∴BD ＝10×cos 60°＝5， ∴AD ＝AB 2－BD 2＝5 3. ∵在Rt △ADC 中，AC ＝14， ∴CD ＝AC 2－AD 2＝11， ∴BC ＝BD ＋CD ＝16. 故BC 的长为16.【总结反思】[反思] 不正确，因为题目中没有明确说明哪个角是直角，也没有指出哪条边是斜边，因此应当进行分类探讨，以防漏解．正解：(1)当∠C＝90°时，sin A ＝a c ＝610＝35.(2)当∠B＝90°时，则b 是斜边， ∵a ＝6，c ＝10，∴b ＝a 2＋c 2＝62＋102＝136＝234， ∴sin A ＝a b ＝6234＝3 3434.。
九年级数学上册第23章解直角三角形知识点总结新版沪科版
解直角三角形一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即sin A =ca, （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即cos A =cb , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即tan A =ba， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即aA A A b的对边的邻边cot =∠∠=锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
否则，不存在上述关系注意:锐角三角函数的定义应明确(1)c a ， c b ，b a ，ab四个比值的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；（2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系：122sin=∂+COS α(2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：∂∂=∂∂∂=sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。
(2)()∂∂sin sin22是的简写，读作“∂sin 的平方”，不能将∂∂22sin 写成sin前者是a 的正弦值的平方，后者无意义；（3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,1223030cossin22=•=∂+∂，而1cossin 22=+∂β就不一定成立。
第23章解直角三角形期末复习PPT课件(沪科版)
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F， C
求sin∠BCF的值.
E A
B F
D
解：(1)在Rt△CDE中，
∵
cos∠D
=
DE CD
DE=30，
cos∠D
=
3 5
∴
30 CD
=
3 5
C
∴CD=50
E A
∵B点是CD的中点，
B F
∴BE=
1 2
CD
=25
D
∴AB=BE－AE=25－8.3 =18.7 (海里) ．
例4 如图，已知斜坡 AB长为80米，坡角为30°，
现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)，修
建一个平行于水平线 CA的平台 DE 和一条新的斜坡
BE.若修建的斜坡 BE的坡角为45°，求平台 DE 的长.
解： ∵修建的斜坡 BE的坡角为45°，
∴ ∠BEF=45°.
∵ ∠DAC=∠BDF=30°， AD=BD=40米，
A
D 54°
30
EC B
解：过D点作DF⊥AB，交AB于点F． A 在Rt△ECD中，CD=6，∠ECD=30°，
∴DE=3=FB， EC= 3 3
∴DF=CB＋EC =8＋3 3 ．
D 54°
在Rt△ADF中，tan∠ADF=
AF DF
，3E0°
C
F B
∴AF=DF×tan54°．
∴AF= (8＋3 3 )×1.38 ≈18.20．
∠ACD=23.5°，则山峰AD的高度为 480 米.
(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
A B
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形复习课件
B
FE
A
FE
B
DC
B
FE
近几年安徽中考真题
202X年15题： 202X年15题： 2013年15题：
2013年第19题：如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中 AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背 水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．( 结果保留根号)
独立完成作业的良好习惯，是成长过程中的良师益友。
边角之间的关系：
B
c
a
┏ bC
sin A a ,cos A b ,tan A a ；
c
c
b
正切值随着锐角的度数的增大而_增__大__； 正弦值随着锐角的度数的增大而_增__大__； 余弦值随着锐角的度数的增大而_减__小__.
特殊角的三角函数值表
三角函 数
正弦
锐角α sinα
30°
1 2
45°
∵DF⊥AF，
∴∠DFB=90°，
∴AC∥DF，
由已知l1∥l2，
∴CD∥AF， ∴四边形ACDF为矩形， CD=AF=AE+EF=30， 答：C、D两点间的距离为30m．
∵四边形BCEF是矩形， ∴EF=BC=156， ∴DE=DF+EF=423+156=579m． 答：DE的长为579m．
方法小结：
2 2
60°
3
2
余弦 cosα
3 2 2 2 1 2
正切 tanα
3 3 1
3
几个常见的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
九年级数学上册课件 第23章 解直角三角形及其应用 复习
图 25－6
·新课标
解：作CF⊥AB于F，则tan30°＝CAFF，tan60°＝CBFF， ∴AF＝taCn3F0°＝ 3CF，BF＝taCn6F0°＝ 33CF， ∵AF－BF＝AB＝4000 ， ∴ 3CF－ 33CF＝4000 ，∴CF＝2000 3 ， ∴海底黑匣子C点距离海面的深度为(500＋2000 3)米．
12 x
解得x=6
AF 6x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险 14
9．[2011·鄂州]如图 25－6，一艘舰艇在海面下 500 米 A 点处测得 俯角为 30°前下方的海底 C 处有黑匣子信号发出，继续在同一深 度直线航行 4000 米后再次在 B 点处测得俯角为 60°前下方的海底 C 处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 点距离海面的深度．(结 果保留根号)
分析：我们知道，在视线与水平线所
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
B
视线在水平线下方的是俯角，因此，
在图中，a=30°,β=60°
αD
Aβ
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
12
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
铅 垂
=tanα 线
）仰角 ）俯角
视线
水平线
北
A
30°
h
（3）方位角
（
α
西
）O
东
45°
l
B
南
五、夯实双基
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA等于( A )
3
1
A. 2
第23章解直角三角形复习课件
在 Rt△FGE 中，i＝EFGG＝1∶ 3，
例 4 答图
∴FG＝ 3EG＝10 3 m.
∴AF＝FG＋GH－AH＝(10 3－7) m. 答：加固后坝底增加的宽度为(10 3－7) m. (2)设防洪堤长为 l. 加宽部分的体积 V＝S 梯形 AFED·l＝12×(3＋10 3－7)×10×500＝(25 000 3－10 000) m3. 答：完成这项工程需土石(25 000 3－10 000) m3.
∴HC＝x，EC＝60 10，
在 Rt△ABC 中，tan 33°＝ABCC＝1x8＋0 6100＋10x，
∴x＝180
10tan 33°－60 1－tan 33°
10，
∴AC＝AE＋EC＝180
10tan 33°－60 1－tan 33°
10＋60
10＝1210－1ta0nta3n33°3°.
答：山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是1210－1ta0nta3n33°3° m.
常见类型： 类型一：如图 7，已知坝顶 a(上底)，坝高 h，两坡坡角，求坝底(即 BF)宽． 类型二：如图 8，在图 7 的基础上变成堤坝加固(加宽、加高)的问题．
图8
如图 9，某防洪指挥部发现长江边一处长 500 m、高 10 m、背水坡的坡 度为 45°的防洪大堤(横断面为梯形 ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家 组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 m，加固后背 水坡 EF 的坡比 i＝1∶ 3.
(1)求加固后坝底增加的宽度 AF； (2)求完成这项工程需要土石多少立方米(结果
图9 保留根号)．
解：(1)如答图，分别过点 E，D 作 EG⊥AB，DH⊥AB 交 AB 于点 G，H.
第23章-解直角三角形复习
PC PC PC tan30°= AC AB BC 3 PC
，
PC 3 3 3 3 , PC = ， 即 3 PC 2 3
PC>3． ∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
D
C
分析：渔船是否有触礁危险，关键是看渔船在其航线 上离小岛最近处是否超过18海里:若超过，则无危险； 若不超过，则有危险。
4、考点热点透析
解：过点P作PD⊥AC于点D，设 PD=x海里，由题意 得，∠PAC =30°， ∠PBC=45°。在 PD x Rt△PAD中,tan ∠PAC= AD = AD, x ∴AD= x =
去年“云娜”台风中心从我市（看成一个点 A）的 正东方向300km的B岛以每时25km的速度正面袭击我市， 距台风中心250km的范围内均受台风的影响.我市遭到了 严重的影响，那么影响时间有多长？
台风经过我市的路程-------刚好是一个半径为250km的圆的直径
解:
250 2 t 20 (小时） 25
题型3 解斜三角形
2.（2006，广安市）如图，海上有一 灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，• 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东 航行，行至A点处测得P在它的北偏 东60°的方向，继续行驶20分钟后， 到达B处又测得灯塔P在它的北偏东 45°方向，问客轮不改变方向继续 前进有无触礁的危险？
2．解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知：
问题三： 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端 的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为450，则这棵大树高是 米. （4 2 +4） 如果在大树的断点B上方2 米处(D),用一根支柱进行加固， 地面上的加固点为A，则支柱 AD长至少为 13 2 米。
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1. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， ∠B=45°，求△ABC的面积。
A
D
450 B
你知道如何构造直角三角形吗？
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⌒
60°
75° C
cosA＝ c
b
c
a
Ａ
tanA ＝ a b
b
Ｃ
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提高题
已知在△ABC中,AB+AC=9,AB和AC的夹角为30度, 设当AB=x时,△ABC面积为S (1)求S关于x的函数解析式. (2)问何时△ABC面积最大?最大面积是多少?
2.特殊角的三角函数值
30°，45°，60°的三角函数值
30° sina cosa tana 45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
300 450
1
1 2
3 2
3 3
2
600
1 2
2
450
1
3
┌
1 ┌
3
0°，90°的三角函数值你知道吗？
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3记法 锐角α 的正弦 sinα 锐角α 的余弦 cosα 锐角α 的正切 tanα 锐角α 的余切 cotα 锐角α 的取值范围 三角函数的取值范围 增减性α 从 0°↗90° 0°<α <90° 0<sinα <1 0<cosα <1 tanα >0 cotα >0 随着角度增大而增大 随着角度增大而减小 随着角度增大而增大 随着角度增大而减小
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1.锐角三角函数 如果∠A是直角三角形ABC的一个锐角， 则有 ∠A的对边 B
sinA
∠A 的 对 边
斜边 ∠A的邻边
斜边
cosA
斜边
tanA
A
∠A的邻边
C
∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、和正切统称 ∠A的三角函数. 目录 上页 下页 末页
4. 同一锐角α的三角函数之间的关系：
（1）平方关系：sin2α+cos2α=1
（2）比的关系： tan sin cos ， cot cos sin
（3）倒数关系： tan · cot 1或 tan
1 1 ， cot 。 cot tan
5. 互余两角的三角函数之间的关系：
sin(90° ) cos ， cos(90° ) sin ，
任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值.
6.解直角三角形的依据
三边之间的关系 锐角之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ｂ
边角之间的关系（锐角三角函数） a sinA ＝ c