第五节高阶偏导数
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第5节高阶偏导数
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x 2 z
(2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
7
例6 已知 u eu xy ，求 2u ， xy
解 设 F ( x, y, z) u eu xy ，
Fx y , Fy x , Fu 1 eu ,
y0 )表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
•
一般地,(h k )m x y
f (x0 ,
y0 ) 表示
m
Cmp
p0
h
pk
m
p
x
m f p ym
p
(x0 ,
y0 )
定理1. 设 z f (x, y) 在点(x0, y0 ) 的某一邻域内有直
6x2
y
9 y2
1.
2
例2 设 u eax cos by ，求二阶偏导数.
解 u aeax cosby , u beax sinby ;
x
y
2u x 2
a 2eax
cos
by
,
2u y 2
b2eax
cos by
,
2u abeax sinby , 2u abeax sinby .
xy
yx
一般地,若 2z 与 2z 是连续函数,则必相等. xy yx
a2 ( x
ay)
a 2
( x
ay)
a2
2u x 2
.
4
例4 证明函数 u ln x2 y2 z2 满足方程
第五节高阶偏导数
解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6xy 6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2
y
2z 3x2 18xy2 xy
2z 3x2 18xy2 . yx
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u e xy sin z xye xy sin z xy
例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
连续偏导,求 xy .
x
x
x
x
解f u v
f u
v
y
y
y
y
zx
1 x2
f
1 x
f x
y x
1 x2
f
y x
f
y
zxy
1 x2
f y
1 x
f
y x
(
f
)y
y( )y
yf y
例6 设 z f (2x y) g( x, xy), 其中 f (t)二阶
e xy (1 xy)sin z
3u e xy (1 xy)cos z. xyz
例3 x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
zy
xy
解 令 F(x, y, z) x z ln z z ln y
则 Fx 1
Fy
z y
Fz ln z 1 ln y
(
y x
)
(
y ), x
求
x 2 zxx
2xyzxy
y 2 zyy .
高阶偏导数及泰勒公式
求
x 2
z 2
.
解: (1) 记F (x, y, z) x2 y2 tgz ez
由隐函数求导公式 z Fx , x Fz
有Fx 2x, Fz sec2 z ez .
z
2x
从而, x ez sec2 z
z
2x
x ez sec2 z
,等等.
例1. 设z
x2 y2
x sin
y 3,求全部二阶偏导和3z 源自x3.x解:
z
2 y x 1, 2
y
z
2x y 2
cos
y.
x
2
z
2y , 2
2
xy z 4xy.
2
y
2
z
2x sin y, 2
2
x
3
z
0.
3
yx z 4xy,
2
xy
f1 y
1 x2
f2
y x2
f2 y
2w xy
2
xf1
2
xy
f1 y
1 x2
f2
y x2
f2 y
2 xf1
1 x2
f2 2xy( f11 x2
f12
记 A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0 +x , y0)] – [ f (x0, y0 +y) – f (x0 , y0)]
(x) = f (x , y0 +y ) – f (x , y0), 有 A = (x0 +x) – (x0)
第5节高阶偏导数资料讲解
第5节高阶偏导数资料讲解高阶偏导数指的是一个多元函数的某个变量对应的偏导数再次进行偏导数运算的结果，即对偏导数求导。
这是微积分中的一个重要概念，其在数学和工程中都有广泛应用。
一阶偏导数是指函数在该变量处的变化率，二阶偏导数是指函数在该变量处变化率的变化率，以此类推。
具体来说，设函数f(x,y)含有两个自变量x和y，f对x的偏导数为fx，对y的偏导数为fy，则f的二阶偏导数分别为fxx，fyy，以及两个偏导数的混合导数fxy和fyx。
混合导数fxy和fyx并不相等，它们是对同一函数f(x,y)在不同自变量处求偏导数得到的结果。
具体计算方法为先对x求偏导数fx，再对fx关于y进行求偏导数，得到fxy；同理，对y求偏导数fy，再对fy关于x进行求偏导数，得到fyx。
高阶偏导数的计算方法同样可以采用类似的方式：先求出函数的一阶偏导数，然后对一阶偏导数进行求偏导数，即可得到高阶偏导数。
以二阶偏导数为例，设函数f(x,y)的一阶偏导数分别为fx和fy，则f的二阶偏导数fxx，fyy和fxy可以通过以下公式进行计算：fxx = ∂²f / ∂x²这些公式可以进一步推广到高阶偏导数的情况下。
例如，若f的二阶混合导数fxy在一个区域上连续，那么f的二阶偏导数fxx和fyy也存在，且它们相等，即：fxx = ∂²f / ∂x² = ∂/∂x(∂f / ∂x) = ∂/∂x(fx)此外，高阶偏导数具有一些基本性质，如连续性、可交换性和与区间交换极限的等式等。
这些性质为高阶偏导数的计算和应用提供了一定的便利。
总之，高阶偏导数是微积分理论中的重要概念，在许多数学和工程问题中都有广泛的应用。
通过对偏导数的反复求导，我们可以进一步研究函数的性质和变化规律，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
高阶偏导数与全微分
y
z y
(1, 2)
(3x 2 y) (1,2)
7
dz z dx z dy x y
dz 1,2 8dx 7dy
例7 求 z xexy的全微分
解 z exy xexy y exy 1 xy
x
z xexy x y
dz z dx z dy exy 1 xy dx x2exydy
yx x
2z
y 2
y
x3 4xy 9 y2
4x 18 y
问题: 在什么条件下混合偏导数相等?
定理 若 f xy (x, y) 和 f yx (x, y) 在点 ( x, y) 处连续,则 fxy (x, y) f yx(x, y).
此定理说明，二阶混合偏导数在连续条 件下与求导的次序无关.
dy
z
z y y
称为函数关于 y 的偏微分.
d z dx z dy z
这与物理中的叠加原理相符.
例6 求 z x3 y2 在点 (2, 1) 处, 当x 0.03, y 0.02
时的全增量和全微分.
解
z x
3x2 y2
z 2x3 y
y
dz z x z y (3x2 y2 )x (2x3 y)y x y
高阶偏导数
一元函数的高阶导数
yx
dy dx
二元函数的高阶导数
z
z
xx yz
y
x
d2y
dx2
x 2z
x2
y 2z
xy
x 2z
yx
y 2z
y 2
定义 函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
z y
(1, 2)
(3x 2 y) (1,2)
7
dz z dx z dy x y
dz 1,2 8dx 7dy
例7 求 z xexy的全微分
解 z exy xexy y exy 1 xy
x
z xexy x y
dz z dx z dy exy 1 xy dx x2exydy
yx x
2z
y 2
y
x3 4xy 9 y2
4x 18 y
问题: 在什么条件下混合偏导数相等?
定理 若 f xy (x, y) 和 f yx (x, y) 在点 ( x, y) 处连续,则 fxy (x, y) f yx(x, y).
此定理说明，二阶混合偏导数在连续条 件下与求导的次序无关.
dy
z
z y y
称为函数关于 y 的偏微分.
d z dx z dy z
这与物理中的叠加原理相符.
例6 求 z x3 y2 在点 (2, 1) 处, 当x 0.03, y 0.02
时的全增量和全微分.
解
z x
3x2 y2
z 2x3 y
y
dz z x z y (3x2 y2 )x (2x3 y)y x y
高阶偏导数
一元函数的高阶导数
yx
dy dx
二元函数的高阶导数
z
z
xx yz
y
x
d2y
dx2
x 2z
x2
y 2z
xy
x 2z
yx
y 2z
y 2
定义 函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
9.5 多元函数的高阶偏导数
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
,
例4. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
(1) u u r x r x
u
2
sin
r
cos
2
u sin2
r r
2u y2
2u r 2
sin
2
2
2u
r
sin cos
r
2u
2
cos2 r2
2u x2
2u y2
2u r 2
u
2
sin
r
cos
2
u cos2
r r
1 r2
2u
2
1 r2
r
r
(r
u r
)
2u
2
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
例1. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) y x
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
f xy (0,0)
5-高阶偏导数泰勒展开式_文档
5. 高階偏導數;泰勒展開式P1835.1 (4) 計算 xy y x f =),( 的 22x f ¶¶,y x f ¶¶¶2,x y f ¶¶¶2,22y f ¶¶ Hint:)(22x f x xf ¶¶¶¶=¶¶Ans:2)(ln y y x , )1ln (1+-y x y x , )1ln (1+-y x y x ,2)1(--x y x x5.3 )sin ,(cos ),,(q q ==u y x f z r , 說明q q q q 222222222sin sin cos 2cos )(y f y x f x f u u f uf ¶¶+¶¶¶+¶¶=¶¶¶¶º¶¶r r rHint:q q sin cos ),(yf x f u y x f ¶¶+¶¶=¶¶r º),(y x Fq q sin cos ),()(22y F x F u y x F u f u uf ¶¶+¶¶=¶¶=¶¶¶¶=¶¶r r r r 再將代入即可),(y x FP1845.4 (5) 如果),(y x f 滿足2222yf x f ¶¶+¶¶=0則稱為諧和函數. 檢驗)ln(),(22y x y x f +=是否為諧和函數Hint:)ln(21),(22y x y x f += , 22y x y x f +=¶¶ , 2222222)(y x x y x f +-=¶¶=－22yf ¶¶Ans: 是P1875.8 (1) 求 32233),(y xy y x x y x f +-+= 在(1,2)展開的三階泰勒多項式 Hint:f x =3x 2+2xy-3y 2f y =x 2-6xy+3y 2f xx =6x+2yf xy =2x-6yf yy =－6x+6yf xxx =6f xxy =2f xyy =－6f yyy =6 再將點(1,2)代入三階泰勒展式即可Ans:－1+[-5(x-1)-2(y-2) ] +21[10(x-1)2-20(x-1)(y-2)+6(y-2)2]+ !31[6(x-1)3+6(x-1)2(y-2)-18(x-1)(y-2)2+6(y-2)3)]5.9 利用單變數的泰勒展開式，先猜猜看下述函數在指定點的泰勒展式，再驗算之至第三階(3) )0,0(,cos sin y x (6) )0,0(,122y x ++Hint: (3) )!4!21)(!5!3(4253L L ++-++-y y x x x (6) L +++!2122y xAns: (3) L +--!3!232x xy x (6) L +++)(!21122y x6. 極值測試與應用P1906.2 找出下列函數的候選點，決定其極值性質(即使D=0)(4) )(22y xxe +-Hint: )(22),(y x xe y x f +-=, 候選點滿足0)21(2)(22=-=¶¶+-x e x f y x 且 0)2()(22=-=¶¶+-xy e yf y xAns: (0,21) 極大值 (0,21-) 極小值6.3 (4) 討論R y xy x y x f Î++=l l ,),(22 依不同l 值，討論其候選點及極值性質Hint:候選點滿足 02=+=¶¶y x x f l 且 02=+=¶¶y x yf l 再利用定理6.2判別，考慮úûùêëé22l lAns:l >2時，(0,0)為鞍點。
高阶偏导数
∂z . 的二阶偏导数及 2 ∂y∂x ∂z = 2ex+2y ∂y ∂2 z x+2y = 2e ∂x∂y
3
例12.1.11
f (x, y) =
x2 − y2 xy 2 , x2 + y2 ≠ 0 x + y2 0, x2 + y2 = 0
f x (x, y) =
x4 + 4x2 y2 − y4 y , x2 + y2 ≠ 0 (x2 + y2 )2
证: 记 ϕ ( x ) = f ( x , y0 + ∆y ) − f ( x , y0 ),
ψ ( y ) = f ( x0 + ∆x , y ) − f ( x0 , y ),
f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x , y 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) I= . ∆ x∆ y
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
下页 结束
练习题： 练习题： 设
确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 解: 求
方程
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练习题
一 、填空题: 填空题: 1 、设 z = ln tan
x ∂z ∂z ,则 = ________; = _________. ∂x y ∂y ∂z ∂z 2 、设 z = e xy ( x + y ), 则 = _______; = ________. ∂x ∂y y ∂u ∂u 3 、设 u = x z , 则 = __________; = __________; ∂x ∂y ∂u = ____________. ∂z ∂2z y ∂2z 4 、设 z = arctan , 则 2 = ________; 2 = _______; x ∂x ∂y ∂2z = ____________. ∂x∂y
高阶导数与高阶偏导数
高阶导数可以描述曲线的弯 曲程度，例如二阶导数表示 曲线的凹凸程度，三阶导数 表示曲线的拐点变化趋势。
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线 斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述 函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某 一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复 进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速 率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、 极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸 性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线 斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述 函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某 一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复 进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速 率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、 极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸 性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词
高等数学：第五讲高阶偏导数
2z xy
fxy (x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
混合偏导数
混合偏导数
高阶偏导数
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z f (x, y) 关于 x 的三阶偏导数为
3z 2z x3 x ( x2 )
z f (x, y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数，再关于 y 的一阶偏导数为
1 x
2z x 1 xy xy y
3z x2y 0
3z xy 2
-
1 y2
内容小结
高阶偏导数
二阶偏导数
( z ) x x
2z x 2
fxx(x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
பைடு நூலகம்
y
( z ) x
2z xy
f xy (x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
谢谢
例题1中，两个二阶混合偏导数相等，即 2 z 2 z . xy yx
这是由于多项式函数在其定义区域内都是连续的函数.
例题2：
设
z x ln(xy),
求
2z , 2z , 3z , 3z . x2 xy x2y xy2
解
z ln( xy) x y ln(xy) 1
x
xy
2z x 2
y xy
y
n1z ( xn1
)
nz x n 1y
二阶及二阶以上的偏导数统称为函数的高阶偏导数.
z ，z x y
高等数学中的 偏导数
RT V2
R V RT p R pV
1.
xy
例4.
设
f
( x,
y)
x2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解: 当 ( x, y) (0,0) 时,
fx(x, y)
y( x2 y2 ) 2x xy ( x2 y2 )2
f (x, y,z),
fz(x, y,z)
lim
z0
f ( x, y, z z) z
f (x, y,z).
有关偏导数的几点说明：
1. 偏导数 u 是一个整体记号，不能拆分; x
2. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定 义求；
2. 偏导数的几何意义
z f (x, y)
z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
y2
e xy e
)x xy )2
2 xe x2 y2 ye xy 1 (e x2 y2 e xy )2 ,
f y
2 ye x2 y2 1 (e x2 y2
xe xy e xy )2
.
例6. 已知函数 f ( x, y) x ( y 1)arcsin
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2 ,
f y ( x,
y)
x(x2 y2) 2 y ( x2 y2 )2
xy
x( (x
x
2
2 y
y2) 2 )2
,
当 ( x, y) (0,0) 时, 按定义可知：
偏导数的定义及其计算法-PPT
ln x
例4例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数
解 解 r
x
x r
y
y
x x2 y2 z2 r y x2 y2 z2 r
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)
p V
V T
T p
1
证 证 因为 p RT V
p V
RT V2
V RT V R p T p
z x
x x0 y y0
f x
x x0 y y0
zx xx0 或 fx(x0 y0)
y y0
类似地 函数zf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数 >>>
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f x (x0,
y0)
lim
x0
f
(x0 x, y0) x
f (x0, y0)
❖偏导数的符号
z x
在区域 D 内连续
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例7例 7 验证函数 z ln
x2 y2
满足方程 2z x2
2z y2
0
证 证 因为 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2) 所以 2
z x
x2
x
y2
z y
y x2 y2
2z x2
(x2 y2) x2x (x2 y2)2
证明函数 u
1 r
满足方程
2u x2
2u y2
2u z2
0
其中 r x2 y2 z2
证 证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
2u x2
1 r3
高中数学(人教版)偏导数课件
在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数 必相等. 注 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.
2u 2u 2u 1 例8 证明函数 u 满足拉普拉斯方程 2 2 2 0 x y z r 2 2 2 r x y z . 其中
z 2z ( ) 2 f x x ( x , y ); x x x
z 2z ( ) f y x ( x , y ); x y y x
2z z ( ) f x y ( x, y) y x x y
z 2z ( ) 2 f y y ( x, y) y y y
结论 偏导数存在 连续
偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
概念 设 z = f (x , y)在区域 D 内具有偏导数
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f (x, y) 的 二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数
z
M0
z f ( x , y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
z f ( x, y ) 在点M 处的切线 是曲线 M 0T y 对 y 轴的斜率. 0 x x0
0 0 0
y y0
y y0
0
定义2 如果函数z=f (x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在 , 那么这个偏导数就是x 、y的函数，它就称为函数z=f (x,y)对 自变量x的偏导函数，记作： z f , , zx , f x x x 类似地，可以定义函数z=f (x,y)对自变量y的偏导函数, z f 记作： , , zy , f y y y 通常把偏导函数简称为偏导数
高阶偏导数
∂r x x 2 2 2 ∵ = ( x + y + z )′x = 解： = ∂x x2 + y 2 + z 2 r ∂r y ∂r z = 由对称性 ⇒ = , ∂y r ∂z r x +y +z ⎛ x⎞ ⎛ y⎞ ⎛ z⎞ ∴ 左边 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = = 1 = 右边 2 r ⎝r⎠ ⎝r ⎠ ⎝r⎠
⎧ z = f ( x, y ) 何意义， f x′( x 0 , y 0 ) = 曲线 Γx： 上在点 ( x 0 , y 0 , z 0 )处切线 ⎨ ⎩ y = y0 M 0Tx 关于 x 轴的斜率，即： f x′( x 0 , y 0 ) = tan α ⎧ z = f ( x, y ) 同理： f y′ ( x 0 , y 0 ) = 曲线 Γ y： 上在点 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) 处 ⎨ ⎩ x = x0
2 3
′ ( 2 ,1) = (16 y + 3 y 2 ) | y =1 = 19 ⇒ fy
4. 例子
例5
∂z ∂z 设z = f ( x, y ) = x sin 2 y 求： , ∂x ∂y
∂z 解： = ( x sin 2 y )′x = sin 2 y ∂x ∂z = ( x sin 2 y )′y = x (sin 2 y )′y = 2 x cos 2 y ∂y
3. 可偏导数与连续的关系
由以上两例可得如下结 论： ⇒ / f ( x, y )在( x0 , y0 )连续 f ( x, y )在( x0 , y0 )可偏导 ⇐ /
4. 例子
例3
y2 −1 设 z = f ( x , y ) = arctan 2 + y 2 ln( x + 1 + x 2 ) x + y2 求： f x′ ( 0 ,1) 和 f y′ ( 0 ,1)
高阶偏导数、方向导数与梯度PPT课件
有
而初等 说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. (与求导次序无 关. )
7/30
二、方向导数
f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处 定义: 若函数
沿方向
0
l
, , ) 存在下列极 l (方向角为
6/30
r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 ) f y x ( x0 , y0 )
(证明在P29-30)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , 当三阶混合偏导数 y , (z 在点 x) ,, y , z) 连续时,
n
3/3
3 例1. 求函 z x2y . ze 的二阶偏导数及 2 数 y x z z 解 : 2 e x2y e x2y y x
z x2y e 2 x 2 2 z z x2y x2y 4e 2e 2 y x y 3 2 z z x2y ( ) 2 e y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
导 数: z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x y x x x x
2 z z ( ) f y x ( x, y) f 21 ( x, y); x y x y 2 z z ( ) f y y ( x, y) f 22 ( x, y) 2 y y y
5/30
高阶偏导数与高阶全微分
2 f2 y2 f11 4xyf12 4x2 f22 ,
2z xy
f1
y
f11
u y
f
22
v y
2
x
fy[ xf11 2 yf12 ] 2x[ xf21 2 yf22]
f1 xyf11 2( x2 y2 ) f12 4xyf22 .
例3 设由方程 x 2 y z e x yz 确定的隐函数 为 z z(x, y), 求 2z .
2
,
x 1 x 2 y z 1 x 2 y z
z x 2 y z 2 1
1
.
y 1 x 2 y z
1 x2y z
从而
2z xy
(1
2 2 z y x2y
z)2
2( x 2 y z) (1 x 2 y z)3
.
二、高阶全微分
考虑 z f (x, y) 的全微分 dz f x( x, y)dx f y( x, y)dy
xy 解 方程 x 2 y z ex yz 两边求全微分, 得
dx 2dy dz ex yz (dx dy dz)
因此
( x 2 y z)(dx dy dz)
dz x 2 y z 1dx x 2 y z 2dy 1 x2y z 1 x2y z
由此可得
z x 2 y z 1 1
[1
2x3 y ( xy)2
]2
d2z zxxdx2 2zxydxdy zyydy2
[1
1 ( xy)2
]2
[2
xy 3dx 2
2(1
x2
y2
)dxdy
2
x3
ydy
2
].
三、二元函数的泰勒公式
高阶偏导数和高阶全微分
2e 2 xy [ y sin(x 2 y) x cos(x 2 y)];
z z u z v y u y v y
e u sinv2 x e u cosv e u (2 xsinv cosv )
e 2 xy [2 x sin(x 2 y) cos(x 2 y)].
z f u f . y u y y
x u y z x y
z f z 注意：这里 与 是不同的， 是把复合函数 x x x
， z f [( x, y) , x , y ] 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
f 是把 f ( u , x , y)中的 u, y 看作不变而对 x 的偏导数 . x
zபைடு நூலகம்
u v w
x x x
dz 例 1．已知 z uv arctan t ， 而 u e ， v cos t ， 求 . dt
t
d z z d u z d v z 解法 1： d t u d t v d t t
ve u( sint )
t
1 1 t2 1
例 2．设 z e u sinv ，而u 2 xy ，v x 2 y ， z z 求 ， . x x y
z z u z v 解: x u x v x
z
u y v x y
e u sinv2 y e u cosv2 x 2e u ( ysinv xcosv )
z z x y xy xF(u) yF (u) xy yF (u) z xy . x y
例 4．设 u f ( x , y ,z ) e
u u 求 和 . x y
z z u z v y u y v y
e u sinv2 x e u cosv e u (2 xsinv cosv )
e 2 xy [2 x sin(x 2 y) cos(x 2 y)].
z f u f . y u y y
x u y z x y
z f z 注意：这里 与 是不同的， 是把复合函数 x x x
， z f [( x, y) , x , y ] 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
f 是把 f ( u , x , y)中的 u, y 看作不变而对 x 的偏导数 . x
zபைடு நூலகம்
u v w
x x x
dz 例 1．已知 z uv arctan t ， 而 u e ， v cos t ， 求 . dt
t
d z z d u z d v z 解法 1： d t u d t v d t t
ve u( sint )
t
1 1 t2 1
例 2．设 z e u sinv ，而u 2 xy ，v x 2 y ， z z 求 ， . x x y
z z u z v 解: x u x v x
z
u y v x y
e u sinv2 y e u cosv2 x 2e u ( ysinv xcosv )
z z x y xy xF(u) yF (u) xy yF (u) z xy . x y
例 4．设 u f ( x , y ,z ) e
u u 求 和 . x y
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′′ f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z = f ( x , y ) 三阶偏导数
∂ z 2 ∂x
2
x
y
∂ ∂ 2z ∂ 3z 2= 3 ∂x ∂x ∂x
∂3z ∂ ∂ 2z 2= 2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ ∂2z ∂3z 2= 2 ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y 2x y , = 2 − 2 2 2 2 x + y (x + y )
x 2x y ′ f y ( x, y) = 2 , − 2 2 2 2 x + y (x + y )
3 3 2
2
4
当 ( x , y ) = (0,0) 时,
0 f (∆x,0) − f (0,0) = lim = 0, ′ f x (0,0) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0,0) 0 ′ f y (0,0) = lim = lim = 0, ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y
∂z Fx′ 故 = − =− ∂x Fz′
Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
z = x+z x+z − 2 1 z 2 z y =− x+z = y( x + z ) − 2 z
∂z ∂z ( x + z) − z 2 z ∂ ∂ z ∂y ( ) = ∂y = ∂y x + z ∂ x∂ y ( x + z )2 z′y =
v f u′ = 2 1 + ( uv )
u f v′ = 2 1 + ( uv )
}
还是
u, v
的函数! 的函数
有连续的二阶偏导数, 例4 设 f ( u, v ) 有连续的二阶偏导数
∂ z ∂ z , . z = f ( xy , x + y ), 求 2 ∂ x ∂ x∂ y
2 2
2
2
解 令 u = xy v = x 2 + y 2 则 z = f ( u, v )
第五节 高阶偏导数
本节主要讲两个问题： 本节主要讲两个问题： 一、什么是高阶偏导数 二、在什么条件下混合偏导数相等
多元函数的高阶偏导数与一元函数 的高阶导数类似: 的高阶导数类似 一般情况下, 一般情况下 函数 z = f ( x , y ) 的 偏导数
∂z , 果 ∂x
∂z ∂z , 还是 x, y 的函数 如 的函数, ∂x ∂y ∂z 的偏导数还存在, 的偏导数还存在 则称它们 ∂y
′y = xf ′( y ) ⋅ 1 + ϕ ′ ( y ) ⋅ 1 = f ′( y ) + 1 ϕ ′( y ) z
x x x x
x
x
x
′ z ′xx = f ′( y )( − y2 ) [− y f ′( y ) + y f ′′( y )( − y )] − 2 2
x x x x x 2y y y y y − [− 3 ϕ ′( ) + 2 ϕ ′′( )( − 2 )] x x x x x x x
y y 2y y y y = 3 f ′′( ) + 3 ϕ ′( ) + 4 ϕ ′′( ) x x x x x x y y y y y z′ = f ( ) − f ′( ) − 2 ϕ′( ) x x x x x x ′ z ′xy = f ′( y ) 1 − 1 f ′( y ) − y2 f ′′( y ) x x x x x x 1 y y y − 2 ϕ ′( ) − 2 ϕ ′′( ) x x x x y y 1 y y y = − 2 f ′′( ) − 2 ϕ ′( ) − 3 ϕ ′′( ) x x x x x x y 1 y 1 1 y y ′ z′ = f ′( ) + ϕ′( ) z ′yy = f ′′( ) + 2 ϕ ′′( ) y x x x x x x x
的偏导数为 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 的二阶偏导数.
依此类推,可定义多元函数的更高阶 依此类推 可定义多元函数的更高阶 的偏导数. 的偏导数 函数一阶偏导数的偏导数,称为原来函数 即: 函数一阶偏导数的偏导数 称为原来函数 的二阶偏导数. 的二阶偏导数 函数二阶偏导数的偏导数,称为原来函数 函数二阶偏导数的偏导数 称为原来函数 的三阶偏导数. 的三阶偏导数
+ ϕ ′( x + y ) + yϕ ′′( x + y )
= yf ′′( xy ) + ϕ ′( x + y ) + yϕ ′′( x + y )
例6 设 z = f ( 2 x − y ) + g ( x , xy ), 其中 f (x)二阶
∂ z 可导, 二阶偏导连续,求 可导 g ( u, v ) 二阶偏导连续 求 . ∂ x∂ y
z ∂z x⋅ x y( x + z ) ∂y = = 2 2 ( x + z) ( x + z)
2
z y( x + z)
2
xz = 3 y( x + z )
2
注意:抽象复合函数求高阶偏导数时 注意 抽象复合函数求高阶偏导数时, 抽象复合函数求高阶偏导数时
f v′( u, v ) 仍为抽象复合函数 仍为抽象复合函数. u = ϕ ( x, y) 例: z = f ( u, v ) = arctan( uv ) v = ψ ( x, y) f u′ ( u, v ),
z ′x = yf u′ + 2 xf v′
′ z ′xx = y( f u′ )′x + 2 f v′ + 2 x ( f v′)′x
′′ ′′ ′′ ′′ = y ( yf uu + 2 xf uv ) + 2 f v′ + 2 x ( yf vu + 2 xf vv ) ′′ ′′ ′′ = y 2 f uu + 4 xyf uv + 2 f v′ + 4 x 2 f vv
′′ ′′ ′ = f u′ + xyf uu + 2( x + y ) f uv + 4 xyf vv′ .
2 2
1 例5 设 z = x f ( xy ) + yϕ ( x + y ), f , ϕ 具有二阶 2 ∂ z 连续偏导,求 连续偏导 求 ∂x∂y .
解
y 1 z ′x = − 2 f ( xy ) + f ′( xy ) + yϕ ′( x + y ) x x 1 ′′ = − 2 f ′( xy ) x+ 1 f ′( xy ) + y f ′′( xy ) x z xy x x x
y
的二阶偏导数. 的二阶偏导数
二阶偏导数的记号: 二阶偏导数的记号
∂ ∂z ∂x ∂x ∂ ∂z ∂y ∂x
∂ ∂x
∂z ∂y
∂ ∂y
∂z ∂y
′′ f xx ( x , y )
′′ f xy ( x , y )
3
∂ 2z 所确定的函数 z = f ( x , y ), 求 . 例3 ∂ x∂ y x x z 解 F ( x, y, z ) = − ln = − ln | z | + ln | y |
x z = ln z y z y
z
则
1 Fx′ = z
1 Fy′ = y
1 z
x 1 x+z Fz′ = − 2 − = − 2 z z z
2
解 记 u = 2x − y
z ′x = 2 f ′( u) + g1 + yg′ ′ 2
z ′′ = − 2 f ′′( u)+ g11 ⋅ 0 + xg12 + g ′ + xyg ′′ ′′ ′′ xy 2 22
′′ = −2 f ′′( u) + xg12 + g′ + xyg′′ 2 22
2
问题: 问题 例2 求
混合偏导数都相等吗? 混合偏导数都相等吗
x y 2 f ( x, y) = x + y 2 0
3பைடு நூலகம்
( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) ( x , y ) = ( 0 ,0 )
在 (0,0) 处的二阶混合偏导数. 处的二阶混合偏导数 解 当 ( x , y ) ≠ (0,0) 时,
z′′ xx
∂ z 2 ∂x
2
z′′ xy
′′ f yx ( x , y )
′′ f yy ( x , y )
′ z′yx
2
′ z′yy
∂ 2z 2 ∂y ∂2 f ∂y 2
∂ 2z ∂x∂y
∂ f ∂ x∂ y
2
∂ z ∂y∂x
∂ f ∂x 2
2
′′ f 11
′′ f12
∂ f ∂y∂x
2
′′ f 21
∂ ∂z ∂ 2 z = ∂y ∂x ∂x∂y
∂ 2z ∂ ∂z = ∂x ∂y ∂y∂x
z = f ( x, y)对
∂z ∂y
x
y
x, y 的混合 二阶偏导数. 二阶偏导数