第五节高阶偏导数

′′ f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z = f ( x , y ) 三阶偏导数
∂ z 2 ∂x
2
x
y
∂ ∂ 2z ∂ 3z 2= 3 ∂x ∂x ∂x
∂3z ∂ ∂ 2z 2= 2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ ∂2z ∂3z 2= 2 ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y 2x y , = 2 − 2 2 2 2 x + y (x + y )
x 2x y ′ f y ( x, y) = 2 , − 2 2 2 2 x + y (x + y )
3 3 2
2
4
当 ( x , y ) = (0,0) 时,
0 f (∆x,0) − f (0,0) = lim = 0, ′ f x (0,0) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0,0) 0 ′ f y (0,0) = lim = lim = 0, ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y
∂z Fx′ 故 = − =− ∂x Fz′
Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
z = x+z x+z − 2 1 z 2 z y =− x+z = y( x + z ) − 2 z
∂z ∂z ( x + z) − z 2 z ∂ ∂ z ∂y ( ) = ∂y = ∂y x + z ∂ x∂ y ( x + z )2 z′y =
v f u′ = 2 1 + ( uv )
u f v′ = 2 1 + ( uv )
}
还是
u, v
的函数! 的函数
有连续的二阶偏导数, 例4 设 f ( u, v ) 有连续的二阶偏导数
∂ z ∂ z , . z = f ( xy , x + y ), 求 2 ∂ x ∂ x∂ y
2 2
2
2
解 令 u = xy v = x 2 + y 2 则 z = f ( u, v )
第五节 高阶偏导数
本节主要讲两个问题： 本节主要讲两个问题： 一、什么是高阶偏导数 二、在什么条件下混合偏导数相等
多元函数的高阶偏导数与一元函数 的高阶导数类似: 的高阶导数类似 一般情况下, 一般情况下 函数 z = f ( x , y ) 的 偏导数
∂z , 果 ∂x
∂z ∂z , 还是 x, y 的函数 如 的函数, ∂x ∂y ∂z 的偏导数还存在, 的偏导数还存在 则称它们 ∂y
′y = xf ′( y ) ⋅ 1 + ϕ ′ ( y ) ⋅ 1 = f ′( y ) + 1 ϕ ′( y ) z
x x x x
x
x
x
′ z ′xx = f ′( y )( − y2 ) [− y f ′( y ) + y f ′′( y )( − y )] − 2 2
x x x x x 2y y y y y − [− 3 ϕ ′( ) + 2 ϕ ′′( )( − 2 )] x x x x x x x
y y 2y y y y = 3 f ′′( ) + 3 ϕ ′( ) + 4 ϕ ′′( ) x x x x x x y y y y y z′ = f ( ) − f ′( ) − 2 ϕ′( ) x x x x x x ′ z ′xy = f ′( y ) 1 − 1 f ′( y ) − y2 f ′′( y ) x x x x x x 1 y y y − 2 ϕ ′( ) − 2 ϕ ′′( ) x x x x y y 1 y y y = − 2 f ′′( ) − 2 ϕ ′( ) − 3 ϕ ′′( ) x x x x x x y 1 y 1 1 y y ′ z′ = f ′( ) + ϕ′( ) z ′yy = f ′′( ) + 2 ϕ ′′( ) y x x x x x x x
的偏导数为 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 的二阶偏导数.
依此类推,可定义多元函数的更高阶 依此类推 可定义多元函数的更高阶 的偏导数. 的偏导数 函数一阶偏导数的偏导数,称为原来函数 即: 函数一阶偏导数的偏导数 称为原来函数 的二阶偏导数. 的二阶偏导数 函数二阶偏导数的偏导数,称为原来函数 函数二阶偏导数的偏导数 称为原来函数 的三阶偏导数. 的三阶偏导数
+ ϕ ′( x + y ) + yϕ ′′( x + y )
= yf ′′( xy ) + ϕ ′( x + y ) + yϕ ′′( x + y )
例6 设 z = f ( 2 x − y ) + g ( x , xy ), 其中 f (x)二阶
∂ z 可导, 二阶偏导连续,求 可导 g ( u, v ) 二阶偏导连续 求 . ∂ x∂ y
z ∂z x⋅ x y( x + z ) ∂y = = 2 2 ( x + z) ( x + z)
2
z y( x + z)
2
xz = 3 y( x + z )
2
注意:抽象复合函数求高阶偏导数时 注意 抽象复合函数求高阶偏导数时, 抽象复合函数求高阶偏导数时
f v′( u, v ) 仍为抽象复合函数 仍为抽象复合函数. u = ϕ ( x, y) 例: z = f ( u, v ) = arctan( uv ) v = ψ ( x, y) f u′ ( u, v ),
z ′x = yf u′ + 2 xf v′
′ z ′xx = y( f u′ )′x + 2 f v′ + 2 x ( f v′)′x
′′ ′′ ′′ ′′ = y ( yf uu + 2 xf uv ) + 2 f v′ + 2 x ( yf vu + 2 xf vv ) ′′ ′′ ′′ = y 2 f uu + 4 xyf uv + 2 f v′ + 4 x 2 f vv
′′ ′′ ′ = f u′ + xyf uu + 2( x + y ) f uv + 4 xyf vv′ .
2 2
1 例5 设 z = x f ( xy ) + yϕ ( x + y ), f , ϕ 具有二阶 2 ∂ z 连续偏导,求 连续偏导 求 ∂x∂y .
解
y 1 z ′x = − 2 f ( xy ) + f ′( xy ) + yϕ ′( x + y ) x x 1 ′′ = − 2 f ′( xy ) x+ 1 f ′( xy ) + y f ′′( xy ) x z xy x x x
y
的二阶偏导数. 的二阶偏导数
二阶偏导数的记号: 二阶偏导数的记号
∂ ∂z ∂x ∂x ∂ ∂z ∂y ∂x
∂ ∂x
∂z ∂y
∂ ∂y
∂z ∂y
′′ f xx ( x , y )
′′ f xy ( x , y )
3
∂ 2z 所确定的函数 z = f ( x , y ), 求 . 例3 ∂ x∂ y x x z 解 F ( x, y, z ) = − ln = − ln | z | + ln | y |
x z = ln z y z y
z
则
1 Fx′ = z
1 Fy′ = y
1 z
x 1 x+z Fz′ = − 2 − = − 2 z z z
2
解 记 u = 2x − y
z ′x = 2 f ′( u) + g1 + yg′ ′ 2
z ′′ = − 2 f ′′( u)+ g11 ⋅ 0 + xg12 + g ′ + xyg ′′ ′′ ′′ xy 2 22
′′ = −2 f ′′( u) + xg12 + g′ + xyg′′ 2 22
2
问题: 问题 例2 求
混合偏导数都相等吗? 混合偏导数都相等吗
x y 2 f ( x, y) = x + y 2 0
3பைடு நூலகம்
( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) ( x , y ) = ( 0 ,0 )
在 (0,0) 处的二阶混合偏导数. 处的二阶混合偏导数 解 当 ( x , y ) ≠ (0,0) 时,
z′′ xx
∂ z 2 ∂x
2
z′′ xy
′′ f yx ( x , y )
′′ f yy ( x , y )
′ z′yx
2
′ z′yy
∂ 2z 2 ∂y ∂2 f ∂y 2
∂ 2z ∂x∂y
∂ f ∂ x∂ y
2
∂ z ∂y∂x
∂ f ∂x 2
2
′′ f 11
′′ f12
∂ f ∂y∂x
2
′′ f 21
∂ ∂z ∂ 2 z = ∂y ∂x ∂x∂y
∂ 2z ∂ ∂z = ∂x ∂y ∂y∂x
z = f ( x, y)对
∂z ∂y
x
y
x, y 的混合 二阶偏导数. 二阶偏导数
z = f ( x , y )对
∂ ∂z ∂ 2 z = 2 ∂y ∂y ∂ y
∂ u 例2 设 u = e sin z , 求 . ∂x∂y∂z
xy
3
∂u xy 解 = ye sin z ∂x ∂ 2u = (e xy + xye xy ) sin z = (1 + xy )e xy sin z ∂ x∂ y ∂ u = (1 + xy )e xy cos z . ∂x∂y∂z
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数. 二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数
二元函数 z = f ( x , y ) 二阶偏导数
∂z ∂x
2
x
y
∂ ∂z ∂ z z = f ( x , y )对 x = 2 ∂x ∂x ∂x 的二阶偏导数 的二阶偏导数.
2
∂x = ∂x ⋅ ∂x ∂ y 2 = ∂ y ⋅ ∂y
2 3
3 ∂ 2z ∂ ∂ z = ∂y∂x ∂y∂x 2 ∂x
4
∂ z ∂y∂x
2
x
y
∂ ∂2z ∂3z ∂y∂x = ∂y∂x∂y ∂y
二元函数 z = f ( x, y)的三阶偏导数共23=8项. =8项
的二阶偏导数. 例1 求 z = x y − 3 x y 的二阶偏导数
在什么条件下混合偏导数相等? 在什么条件下混合偏导数相等
′′ ′′ 若 f xy ( x , y ) 和 f yx ( x , y ) 在点 ( x , y )
′′ 处连续,则 ′′ 处连续 则 f xy ( x , y ) = f yx ( x , y ).
这样以来, 这样以来,如果二元函数对 x 次k 求 ,对 次的混合高阶偏导数连续, 求 y 次的混合高阶偏导数连续, l 对自变量求偏导时可不分顺序, 它们 对自变量求偏导时可不分顺序, 都是相等的(反复利用上述定理).其它多元 ).其它多 都是相等的(反复利用上述定理).其它多元 函数类似. 函数类似
′ ′ f x (0, ∆y) − f x (0,0) ′′ f xy (0,0) = lim = 0, ∆y→0 ∆y
′′ f yx (0,0) = lim
′ ′ f y (∆x,0) − f y (0,0) ∆x
∆x→0
= 1.
显然
′′ ′′ f xy (0,0) ≠ f yx (0,0).
问题: 问题 定理
z′′′ xxx
1
2
∂ z ∂y 2
2
x
y
∂ ∂ 2z ∂ 3z 2= 3 ∂y ∂y ∂y
′′ z′yyy
3
∂ z ∂ x∂ y
2
x
∂ ∂ 2z ∂ 3z ∂x∂y = ∂x∂y∂x ∂x
y
∂ ∂ z ∂ z ∂x∂y = ∂x∂y 2 ∂y
3 2 3
∂z 解 = 3 x 2 y − 6 xy 3 ∂x
∂z = x3 − 9x2 y2 ∂y
∂ z = − 18 x 2 y ∂y 2
2
∂ z 3 = 6 xy − 6 y 2 ∂x
2
∂ z = 3 x 2 − 18 xy 2 ∂x∂y
2
∂ z 2 2 = 3 x − 18 xy . ∂y∂x
y y z = xf ( ) + ϕ ( ), 求 x 2 z ′xx + 2 xyz ′xy + y 2 z ′yy . ′ ′ ′ 例7 设 x x
解
y y y y y z ′x =f ( ) + xf ′( )( − 2 ) + ϕ ′( )( − 2 ) x x x x x y y y y y = f ( ) − f ′( ) − 2 ϕ ′( ) x x x x x
令 u = xy
v = x + y 则 z = f ( u, v )
2 2
z ′x = yf u′ + 2 xf v′
z ′′ = f u′ + y( f u′ )′y + 2 x ( f v′)′y xy
′′ ′′ ′′ ′′ = f u′ + y ( xf uu + 2 yf uv ) + 2 x ( xf vu + 2 yf vv )