分段函数的原函数与导函数论文
关于分段函数的原函数
第28卷第2期 Journal of Xiangfan University V ol.28 No.2关于分段函数的原函数樊孝菊（襄樊学院 数学系，湖北 襄樊 441053）摘要：文章主要讨论了连续分段函数、具有第一类间断点的分段函数、具有第二类间断点的分段函数三种情形的原函数问题.关键词：分段函数；间断点；原函数中图分类号：O172.1 文献标志码：A 文章编号：1009-2854(2007)02-0018-02分段函数()f x =12(),;(),.f x a x c f x c x b ≤≤⎧⎨<≤⎩ （1） 文章以式（1）为例，讨论()f x 在区间[],a b 上的原函数问题.1 分段函数)(x f 在区间[]b a ,上连续的情形下的原函数问题引理1[1] 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，若极限)0()(lim 0+′=′+→a f x f a x 存在，则)(x f 在a 点的右导数()f a +′存在，且()(0)f a f a +′′=+.对于左导数也有类似的结论.引理2 设)(x F 在区间(,]a b 上具有连续的导数，且 )0(+′a F 存在，则)0(+a F 存在.证明：定义=)(x g (),;(0),.F x a x b F a x a ′<≤⎧⎨′+=⎩则)(x g 是[]b a ,上的连续函数，于是)(x g 的原函数一定存在. 设它的原函数为)(*x F ，则)(*x F 在[]b a ,上一定连续.由于)(x F 为)(x g 在(,]a b 上的原函数，所以当],(b a x ∈时有)()(*x F c x F +=.令0+→a x ，则得)0()0(*++=+a F c a F ，这说明)0(+a F 存在. 证毕. 下面考查形如（1）式的分段函数)(x f 的原函数问题. 若)(x f 在[]b a ,上连续，就意味着)(1x f 在[]c a ,上连续，)(2x f 在],(b c 上连续，且)()0(12c f c f =+.有如下定理.定理 设分段函数=)(x f 12(),;(),.f x a x c f x c x b ≤≤⎧⎨<≤⎩在[]b a ,上连续，则 1)存在)(1x f 在[]c a ,上的一个原函数)(1x F 及)(2x f 在],(b c 上的一个原函数)(2x F ，使)0(2+c F 存在且)()0(12c F c F =+；2)=)(x F ⎩⎨⎧≤<≤≤.),(;),(21b x c x F c x a x F 就是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数. 证明：1)由于)(1x f 在[]c a ,上连续，所以存在原函数，设它的一个原函数为)(1x F .同样在],(b c 上存在)(2x f 的原函数，设它的一个原函数为)(*2x F ，显然，)(*2x F 在],(b c 上具有连续的导数，且)0()0(2*2+=+′c f c F 存在，由引理2知)0(*2+c F 存在.令)0()()()(*21*22+−+=c F c F x F x F (2 ) 则)(2x F 也是)(2x f 在],(b c 上的一个原函数，且)()0(12c F c F =+.收稿日期：2006-09-04 作者简介：樊孝菊(1963- ), 女, 湖北京山人, 襄樊学院数学系高级讲师.2)令=)(x F ⎩⎨⎧≤<≤≤.),(;),(21b x c x F c x a x F （3） 则)(x F 在[]b a ,上连续，当c x ≠时)()(x f x F =′. 由)(x F 的定义知)()()(1c f c f c F ==′−，又由引理1知)(c F ′+存在且)()(c f c F =′+，因此)()(c f c F =′. 故)(x F 就是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数. 证毕.进一步，对于无穷区间()+∞∞−,的情形定理也成立. 示例1：求分段函数=)(x f ⎩⎨⎧>+≤.0,1;0,x x x e x 的一个原函数.由于)(x f 为()+∞∞−,上的连续函数，所以其原函数一定存在. 当0≤x 时，x e 的一个原函数为x e x F =)(1；当0>x 时，1+x 的一个原函数为x x x F +=2)(2*2，由于1)0(01==e F ，0)00(*2=+F ， 由式(2)可得12)00()0()()(2*21*22++=+−+=x x F F x F x F ， 由式(3)可得=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤.0,12;0,2x x x x e x 即是)(x f 的一个原函数. 2 分段函数)(x f 在区间[]b a ,上c x =点处具有第一类间断点的情形[]31)分段函数)(x f 在区间[]b a ,上，除c x =点处具有第一类跳跃间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处无原函数.事实上，由于)0(1−c f ，)0(2+c f 均存在，但12(0)(0)f c f c −≠+. 若)(x f 在[]b a ,上有原函数，设它的一个原函数为)(x F ，则有20lim ()(0)x c F x f c →+′=+，10lim ()(0)x c F x f c →−′=−均存在. 由引理1知 2()(0)F c f c +′=+，1()(0)F c f c −′=−，所以)()(c F c F ′≠′−+，故)(x F 在c x =处不可导. 故)(x f 在c x =点处无原函数.2)分段函数)(x f 在区间[]b a ,上除c x =点处具有第一类可去间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处无原函数.事实上，由于)0(−c f ，)0(+c f 均存在且相等，但)()0()0(c f c f c f ≠+=−若)(x f 在[]b a ,上有原函数，设它的一个原函数为)(x F ，则)(c F ′存在，但)()(c f c F ≠′. 所以，)(x f 在c x =点处无原函数. 3 分段函数)(x f 在[]b a ,上c x =处具有第二类间断点的情形分段函数)(x f 在区间[]b a ,上，除在c x =点处具有第二类间断点外，在其它各点处处连续时，)(x f 在c x =点处是否有原函数是不确定的.示例2[2]：函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠−.0,0;0,1cos 1sin 2x x x x x 在0=x 处具有第二类间断点，其原函数为 =)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠.0,0;0,1sin 2x x x x（下转第31页）3.2 测试性能分析从以上的测试结果可以看出，本系统中频率、电压、电流的测量精度达到99%左右，无功功率和有功功率的测量精度达到了98%左右，经过补偿后的功率因数的测量精度也达到了98%左右，完全达到了预先设定的96%的技术指标，市场上同类产品的技术指标也就在96%~98%之间，所以本系统的成功设计也为后续研究工作的进一步拓展起到了很好的指导作用.参考文献：[1] 祝大卫. 功率因数校正控制器NCP1601[J]. 电子世界, 2005 (4):39-40.[2] PHIL ZUK. 采用功率因数校正(PFC)技术设计电源[J]. 电子产品世界, 2006 (5):110-111.[3] 王福瑞. 单片微机测控系统设计大全[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2006.[4] 曾庆虹, 杨时杰. 基于平均电流控制的有源功率因数校正技术[J]. 郑州大学学报(工学版), 2006 (1):75-77.[5] 陈特放, 石英春, 余明扬, 等. 基于数字控制的功率因数校正器的设计[J]. 郑州大学学报(工学版), 2006 (2): 98-101.The Study of Power-Factor Monitoring and Compensation Based on Chip CS5460ASUN Nan-hai, CAI Bing(Department of Physics and Electronic Information Technology, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)Abstract: This power-factor monitoring and compensation system was made up of electrical parameters detection system and compensation controlling system. One of electrical parameters detection functions was achieved by specialized chip CS5460A that coming from CirrusLogic Company in America. The monitoring and compensation systems were composed by this chip along with SCM. This kind of system can detect various electrical parameters and compensate reactive power, the real-time displaying by LCD as well.Key words: Power-factor; Detection system; Compensation controlling system（上接第19页）示例3：函数=)(x f 2sec ,0;2cos ,.2x x x x πππ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩在2π=x 处具有第二类间断点，但在2π=x 处无原函数. 以上对分段函数)(x f 在其分段点x c =处连续、具有第一类间断点两种情形的原函数问题从理论上进行了研究；但对分段函数)(x f 在其分段点x c =处具有第二类间断点情形的原函数问题仅给出了示例，有待于进一步作理论上的分析。
探究分段函数的导数
ｒ．一ｌ‘
ｒ＋一ｌ一
可导
在ｘ＝１处
由于ｌｉｍｆｒ（ｘ）＝ｌｉｍ（４ｘ一２）＝２
ｒ＋Ｉ＋ｒ．１＋
ｌｉＩＩｌｆ，（ｘ）＝ｌｉＩＩｌ２＝２
ｒ＋Ｉ—ｒ＋Ｉ‘
ｒ一４ｘ＋２
故得：ｆ，（ｘ）＝｛２
ｘ（一ｌ 一ｌ（ｘ≤ｌ
０４ｘ一２
ｘ）ｌ
参考文献 ［１］韩云瑞·微积分教程［Ｍ］．清华大学出版社 ［２］吉林大学数学系·数学分析（上册）［Ｍ］．人民出版社，
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万方数据
探究分段函数的导数
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
汪维红 安徽省邮电学校,安徽,合肥,230031
绥化师专学报 JOURNAL OF SUIHUA TEACHERS COLLEGE 2004，24(2) 1次
参考文献(3条) 1.韩云瑞 微积分教程 2.吉林大学数学系 数学分析(上) 1978 3.华罗庚 高等数学引论(第一卷,第二分册) 1979
分段函数的一般形式是区间Ｉ被分成若干个子区间Ｉ。，
（１）△ｘ＜０且△ｒ叼即△】—吣。
１２。……ｌＮ，在每个子区间上函数有不同的表达式。
（２）△ｘ＞０且△】广叼即△）ｆ＿叼＋
注：（１）分段函数虽然在不同的子区间上用不同的表达
并由此得到左、右导数的概念和重要结论
式，但不论分几段只代表一个函数。
重要结论：ｙ＝ｆ（ｘ）在】【ｏ处可导的充分必要条件是ｆ＋（殛）
可导的关系。
拓例Ｉ：Ｉ．求赍下下列万函ＩＩ数溻狮“ｆｘｒ）Ｔ＝、一 ｛一ｌ＋ＶｖＪ矗忑
＾≠‘ｕ的的ｆ，一ｒ（ｎｏ、）及 砝
……ｗＨ……＿，，一…Ｈ－…～…一 四、导函数的右极限不存在。则函数的右导数一定不存在
原函数解读
原函数解读摘要原函数是积分学理论的核心,必须深刻领会并牢固掌握.本文解读了在理解原函数的定义、存在条件、性质、求分段函数的原函数时的一些难点、疑点问题.关键词原函数;定义;存在条件;性质;分段函数原函数是积分学理论的核心,因此我们必须深刻领会其内在含义,牢固掌握其相关内容.然而,笔者发现大部分学习高等数学的人,对原函数这个知识点的理解很浅薄,因此,笔者根据自己的理解,解读有关原函数的定义、存在条件、性质、求分段函数的原函数的中的一些难点、疑点问题,供同行商榷。
1原函数的定义原函数的定义如果在区间I上有可导函数满足关系式或,那么称为在区间I 上的一个原函数。
注意:在说一个函数的原函数时,一定要说清在哪个区间上的原函数。
例如,函数在区间内的一个原函数是,函数在区间内的一个原函数是.在没有指明要求函数在哪个区间上的原函数时,就应理解为求在它的自然定义域内的原函数,例如,在它的自然定义域内的一个原函数为,可以简写为,因此通常就说的一个原函数是。
2原函数存在的条件原函数存在定理如果函数在区间I上连续,那么在区间I上的原函数一定存在,且就是它的一个原函数。
注意:千万不能认为一个在区间I上不连续的函数一定没有原函数。
例如,分段函数虽然在处不连续,但就有原函数事实上,当时,当时,因此,的导数为,即在它的定义域区间内有原函数,且它的一个原函数为。
3原函数的性质原函数的性质1如果函数在区间I上存在一个原函数,那么它在区间I上:(1)存在无穷多个原函数。
(2)函数在区间I的任何两个原函数之差为一常数。
注意:如果把区间I换成的定义域,上述结论不一定成立。
例如,设,那么是的一个原函数,也是的一个原函数,然而,两者之差却不是一个常数。
原函数的性质2如果函数是在区间I的原函数,那么在区间I上连续。
事实上,因为函数是在区间I的原函数,所以在区间I上可导,根据可导与连续的关系,在区间I上一定连续.4求分段函数的原函数的方法求分段函数的原函数步骤如下:1)先分别求出函数的各分段在相应区间内的原函数的一般表达式;2)检查函数在分界点处的连续性.如果连续,那么在包含该点的区间内,原函数一定存在.3)根据原函数的连续性来调整各分段原函数中的任意常数之间的关系.例如,求函数的原函数解先求在和内的原函数,得由于在分界点处连续,根据原函数的存在定理,在内的原函数存在,再根据原函数的性质2,在处连续.因此有,即故因而所求的原函数为参考文献[1]同济大学、天津大学、浙江大学、重庆大学编.教育部高职高专规划教材《高等数学》上册.。
经济数学分段函数案例教学论文-案例教学论文-教育论文
经济数学分段函数案例教学论文-案例教学论文-教育论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——一、案例教学（一）案例教学的内涵对于案例教学，不同的教育工作者给出了不同的定义，不一而足。
笔者认为，经济数学的案例教学，是指教师以案例为基本素材，创设（问题）情境，通过师生、生生间多向互动，激发学生有意义的学习，使其加深对基本原理和概念的理解，以达到建构知识与提高分析、解决问题能力的目的的一种特定的教学方法，是一种理论与实际有机切合的重要教学形式。
（二）案例应用方式分类依据案例在经济数学概念（原理）教学过程中应用的方式和出现的位置，可将其分为以下四类。
1.概念（原理）前案例。
在进入教学主题之前，先引入若干简单、特殊的案例，然后以不完全归纳的形式呈现概念（原理）的教学方式称为概念（原理）前案例教学。
概念（原理）前案例数量以二三为宜。
如：在导数（边际）定义前引入变速直线运动物体的速度问题、曲线在一点处的切线的斜率问题，在定积分定义前引入曲边梯形的面积问题等。
2.概念（原理）中案例。
通过引入贴合教学主题、难度适中的案例，随剖析随呈现概念（原理）的教学方式称为概念（原理）中案例教学。
经济数学中的弹性概念适合概念（原理）中案例教学。
3.概念（原理）后案例。
在呈现概念（原理）后，再抛出相对较难的案例，以演绎的形式再现或者应用概念（原理），以加深学习者对概念（原理）的理解、内化、迁移能力的教学方式称为概念（原理）后案例教学。
概念（原理）后案例涉及的知识面比较广，难度较大，可以分为课上、课下两部分实施。
课上以教师为主导，课下以作业的形式，促使有兴趣的学生翻阅资料钻研探索，锻炼其分析综合、解决问题的能力。
概念（原理）后案例教学具有普适性。
4.前后呼应式案例。
在进入教学主题之前，先抛出案例题干激发学生的学习兴趣，而后呈现概念（原理），最后剖析案例，应用概念（原理）解决案例的教学方式称为前后呼应式案例教学。
前后呼应式案例教学适合于复杂概念（原理），如微分方程理论、差分方程理论、级数理论等。
分段函数在分段点处求导方法初探
分段函数在分段点处求导方法初探摘要：本文利用微分中值定理对分段函数在分段点处的导数进行了讨论，并给出了一种求导方法。
关键词：分段函数，分段点，导数，微分中值定理。
一、问题的提出在《微积分》教材及很多高等数学参考书中，分段函数的导数一般按下面方法来求：（1）在各个部分区间内用导数公式与运算法则求导。
（2）在分段点处按导数定义求导，即求分段点处的左、右导数。
而分段点处可导的充分必要条件是左、右导数存在且相等。
但是，我在教学过程中经常发现：一些学生在求分段函数在分段点处的导数时，不按导数定义去求左、右导数，而是利用导函数在分段点处的左、右极限得出左、右导数。
例如：设函数：讨论在分段点处的可导性时，一些学生这样来求左、右导数：而这样做得结果与按导数定义求左、右导数所得结果相同，那么这样做对不对呢？下面我们来讨论这一问题。
二、问题探讨定理：设分段函数其中，均为初等函数，在a点右邻域可导，在点左邻域可导，在处连续，若极限，存在，则有：,证：因为在处连续，则当时，因在点右邻域可导，故在内可导，又为初等函数，故在上连续，从而在上满足微分中值定理的条件，由微分中值定理有：故由导数定义有：又因为，则当时，有从而可得：当时，虽然在处无定义，但因为在处连续，则可以补充定义，令：又为初等函数，故在上连续，又在点的左邻域可导，故在上可导，从而由微分中值定理可得：完全类似地可推得：综上所述，我们有：关于该定理，我们进一步说明以下几点：1、在满足该定理条件之下，可利用该定理结论求出与，然后比较与是否相等，从而得出在处是否可导的结论。
这样，就避免了用导数定义求左、右导数的麻烦。
2、该定理要求在处连续。
事实上，若在处不连续，由连续与可导关系知，不连续一定不可导，由此可得出在处不可导的结论。
因此应用该定理结论时，应判断在处是否连续。
否则，即使有，也不一定在处可导。
例：虽然有，但在处不可导，因为在处不连续。
3、若与极限至少有一个不存在时，在处可能可导，也可能不可导，需用导数定义判断。
探究分段函数小论文
探究分段函数的过程有人说，宇宙是浩瀚无边的，而我认为，数学的世界也是浩瀚无边的；有人说，星星是数不尽的，而我认为数学中需要人们去解答的难题也是数不尽的；有人说，大海是没有尽头的，而我认为，数学带给我的乐趣也是无穷无尽的。
拿破仑曾经说过: “一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。
数学的发展与善和国家繁荣昌盛密切有关。
”虽然并不是每个人天生就对数学感兴趣，但数学，真的不可不学！而我认为学好数学的关键在于能够冷静沉着地去审题、做题、验题。
身为一名初二的学生，对我来说，最熟悉不过的就是函数了。
下面是我在学习过程中所遇到的一个实例，题目如下:某市出租车计费标准如下:行程不超过3千米，收费8元；超过3千米部分，按每千米1.60元计算，求车费p和行驶路程s之间的函数关系式，并分别求出当路程为2.5千米和7千米时应付的车费。
这道题看上去似乎难度不小，但如果能细细地去审题，仔细地去思考，再结合老师平时讲解过的方法和公式，要解出这道题，也就没有想象中的那么难了。
接下来开始分析题目所提供的条件:1.从“行程不超过3千米，收费8元”这个条件中，可得出“当s≤3时，p=8”的结论。
假如单从这个条件分析的话，很快就能列出解析式，问题就能迎刃而解了，但如果再加上后面这个条件“超过3千米部分，按每千米1.60元计算”的话，这道题无疑增加了些许难度，更加耐人寻味了。
但别放弃，别就此止步在这里，这会让你与仅剩一步之遥的正确结题思路及答案失之交臂。
如果你再仔细地将这个条件翻来覆去地多看几遍，就不难得出之后这个结论了: “当s＞3时，p=8+1.60×﹝s-3﹞=1.6s+3.2”因为当s＞3时就说明p肯定大于8.因为当s≤3时，p=8.而按每千米1.60元来分析，就会看出此题的难点在于多少千米的求法。
而在经过反复推敲后，很快就会得出千米数得用﹝s-3﹞来得出，因为题目中有提到“超过3千米部分”，所以综合起来，便会得出之前的那个结论。
分段函数（范文模版）
分段函数（范文模版）第一篇：分段函数（范文模版）RD辅导Feel good Feel dream Feel hope 心存美好心存梦想心存希望主题一函数分段函数专篇在新课标中，对分段函数的要求有了进一步的提高，在近几年的高考试题中，考察分段函数的题目频频出现，分段函数已经成为高考的必考内容。
一.分段函数的定义在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
例：1.已知函数y=f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y=x，当x∈(1,2]时，对应法则为y=2-x，试用解析式法与图像法分别表示这个函数。
2.写出下列函数的解析表达式，并作出函数的图像：（1）设函数y=f(x)，当x<0时，f(x)=0；当x≥0时，f(x)=2（2）设函数y=f(x)，当x≤-1时，f(x)=x+1；当-1<x<1时，f(x)=0；当x≥1时，f(x)=x-1-1RD辅导Feel good Feel dream Feel hope 心存美好心存梦想心存希望三、分段函数的应用例：1.在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0<x≤100)的信应付多少分邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图像，并求出函数的值域。
2.某市的空调公共汽车的票价制定的规则是：（1）乘坐5km以内，票价2元；（2）乘坐5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）。
已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1km，如果在某条路线上（包括起点站和终点站）设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图像。
3.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，∆ABP的面积为y=f(x)。
分段函数的若干问题研究
本科生毕业论文题目分段函数的若干问题研究系别数学与应用数学班级112班姓名张伟学号104131231答辩时间2015年5月新疆农业大学数理学院目录摘要 (1)1 分段函数的基本定义 (2)1.1 基本定义 (2)1.2 定义域、值域 (3)1.3 性质 (3)1.3.1 分段函数的单调性 (3)1.3.2 分段函数奇偶性的判断 (4)1.3.3 分段函数周期性的判断 (4)1.4 分段函数的特点 (5)2 分段函数连续性、可导性和可积性 (5)2.1 分段函数连续性 (5)2.2 分段函数在分段点处的可导性 (6)2.2.1 基本定理 (6)2.2.2 导数的计算方法 (7)2.3分段函数的可积性 (9)2.3.1可积性与原函数的存在性 (9)2.3.2 不定积分的求法 (10)2.3.3定积分的例子 (11)3 其他计算问题 (13)3.1幂级数 (13)3.2微分方程 (15)3.3 二元分段函数连续性问题 (15)4 结论 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)分段函数的若干问题研究张伟指导教师：程霄摘要：函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。
在自然科学与工程技术中，经常会遇到分段函数。
本文从分段函数的基本性质入手，分析了分段函数的特点。
进而重点总结了分段函数在分段点外的连续性，可导性，可积性等重要性质与计算方法。
同时，还探讨了的分段函数的其它若干计算问题。
关键词：分段函数；连续性：可导性；积分运算函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。
一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并不对分段函数进行严格地定。
对其特征、性质等都没有作出任何说明;并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。
正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。
因此，应适当地加强分段函数的讨论，在相关知识中融人分段函数的内容，并给出较详细的说明。
中考分段函数论文
谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
它是考查分类思想，读取、搜集、处理图像信息等综合能力的综合题。
这些分段函数都是直线型。
通常是正比例函数的图像和一次函数的图像构成。
下面我们归纳分析如下，供学习时参考。
1、二段型分段函数1.1 正比例函数与一次函数构成的分段函数解答这类分段函数问题的关键,就是分别确定好正比例函数的解析式和一次函数的解析式。
例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．图1（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？解析：设正比例函数的解析式为：y=k1x，因为图象经过点（3，），所以，=k1×3，所以k1=，所以y=x，0＜x＜3设一次函数的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（是常数）因为图象经过点（3，），（5，），所以，由待定系数法得：，解得：．一次函数的表达式为，所以，当时，，解得完成此房屋装修共需9天。
方法2解：由正比例函数解析式可知：甲的效率是，乙工作的效率：甲、乙合作的天数：（天）甲先工作了3天，完成此房屋装修共需9天（2）由正比例函数的解析式：y=x，可知：甲的工作效率是，所以，甲9天完成的工作量是：，甲得到的工资是：（元）评析：在这里未知数的系数的意义是表示他们的工作效率。
1.2 常数函数与一次函数构成的分段函数例2、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是_______元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为_______元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，当0≤t≤100时，话费金额y=20；当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，且函数经过点（100，20）和（200，40），所以，,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,当0≤t≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙公司；2、四段型分段函数例3、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。
分段函数论文
分段函数论文
分段函数探究
摘要:本文就中学数学中分段函数的性质及有关的问题作一探究,使学生能够更好地理解分段函数并掌握分段函数的有关性质及应用。
关键词:分段函数;性质;问题;应用
正文:
有些函数在其定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应关系也不同,这样的函数就叫作分段函数,例如:。
分段函数是一个函数,不是几个函数。
在自然科学与工程技术中,经常会遇到分段函数。
分段函数一般属于非初等函数,是高等数学中常见的一类函数也是近年来高考考查的热点。
这类函数的性质与解题方法较之初等函数要繁杂得多。
对于这类问题,通常要分区间、分类别进行讨论。
本文就其性质及有关应用,作如下的探讨。
1、分段函数的定义域
例1、求函数的定义域。
解:的定义域是不等式解集的并集,故:的定义域为:。
小结:分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集。
2、分段函数的函数值或分段函数的自变量的值(或范围)
例2、已知函数的值。
分析:求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中的。
关于分段函数的原函数存在性的讨论
证明 于是有
设 IY A 显然 E 函数 G 在Z 上满足拉格朗日中值定理的条件 E I E I B E A I B I E I U "? T " " G A I B? G A I B " QG H A [ B E I\ [ \I " I? I "
收稿日期 > ( ) ) ) ?( ( ?! @ 作者简介 > 沙萍 E 女E 讲师 ’ # L岁 E
长春大学通过对导函数ghaib性质的讨论得到了原函数gaib存在第二类间断点中图分类号函数naib的带有任常数项的原函数称为naib在区间naibpi由不定积分的定义可知求不定积分的关键是求被积函数naib的一个原函数gaibeghaibqnaib那么对于已知的函数naibe当它满足什么条件时了当函数naib在某一区间当函数naib设函数gaibai
证明 ! + # 从略 ( 证明 ! 即在区间 &上存在函数 , 使, " # 假设 $ ! % #在区间 &上存在原函数 ’ ! % # ’ ! % #. 由函数 在区间 上有定义 可知原函数 在 上可导 由定理 则区间 上不 $ ! % # ’ $ ! % # & ’ , ! % # & ’ " ’ & 的第一类间断点 这与已知条件矛盾 故函数 在 上不存在原函数 存在 $ ! % #. , ! % # ’ ’ $ ! % # & ( 证明 ! 使1 且$ 在区间 & 上存在原函数 , 于是 ) # 假设存在 % ’ 2 3$ ! % # . 5’ ! % # ! % # ’ /0 &
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分段函数分析性质的讨论
本科毕业论文论文题目：分段函数分析性质的讨论姓名：学号：系（部）：数学系专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成时间： 2011 年 4 月摘要：本文主要是探讨了数学分析中分段函数在分段点处分析性质，采用不同类型的题目例举分析了分段函数的连续性、可导性、可积性及在不同问题上的具体应用，使我们能够更熟练的掌握分段函数的解题思路和技巧。
关键词：分段函数；连续性；可导性；可积性AbstractThis paper is the mathematical analysis of sub-sub-point function of the nature of the subject with examples of different types of analysis of piecewise continuity, differentiability, integrability and the different issues Specific applications, so that we can grasp more skilled problem-solving ideas to separate function and skills.Key words: piecewise function; continuity; differentiability; integrability前 言分段函数是数学分析中一类重要的函数，从函数的极限、连续到可导、可微、可积，从一元函数到多元函数的讨论，都涉及到了分段函数的问题，理解和掌握分段函数的性质对学好数学分析课程有重要的辅助作用。
由于课本没有系统讨论分段函数的的分析性质，只以例题、习题的形式出现，不少学生对它的性质认识肤浅模糊，以致使学生解题常常出错。
本文较为系统的讨论了分段函数的连续性、可导性、可积性，通过不同类型的题目例举讨论了这些性质在不同问题上的具体应用，使我们能够更好的理解、掌握分段函数的性质，更熟练的掌握分段函数的解题思路，解题技巧。
分段函数在分段点处几个问题论文
分段函数在分段点处几个问题论文
分段函数在分段点处几个问题讨论
【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。
【关键词】分段函数；导数；不定积分；的定分数
分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。
一、分段函数在分段点的连续性
根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。
因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。
基准1：探讨分段函数：
在处的连续性。
因此，所以函数在处的连续性。
例2：设函数：
先行研究在处的连续性。
分段函数论文
分段函数初探（三门峡实验高中河南三门峡 472000）摘要：本文就分段函数在高中数学中的应用做了初步的探究。
关键词：分段函数；求值；解析式；最值；奇偶性；单调性；方程；不等式【中图分类号】g623.5高中数学新课标人教必修一课本提到了分段函数，但并没有明确给出定义，学生对其认知不够深入，而在近几年高考中分段函数屡屡出现，有的试题还有一定难度。
本文就分段函数相关问题作一探讨，供大家参考。
所谓分段函数，即在定义域内不同部分上，有不同的对应法则；它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集.一、分段函数的求值问题分段函数求值关键是搞清楚自变量取值范围，然后代入到对应的解析式求值即可。
例1、（2009山东卷）定义在r上的函数f（x）满足f（x）= ，则f（3）的值为（）a. b. c.1 d.2解：f（3）=f（2）—f（1）=[f（1）—f（0）]—[f（0）—f （—1）]=f（1）—2f（0）+f（—1）=[f（0）—f（—1）]—2f（0）+f（—1）=—f（0）=—log24=—2二、分段函数的解析式问题求分段函数的解析式问题，关键是利用函数的奇偶性等性质然后根据所给的定义域等条件来求得另外部分定义域的解析式。
例2、已知奇函数f（x）（x∈r），当x>0时，f（x）=x（5—x）+1.求f（x）在r上的表达式。
解∵f（x）是定义域在r上的奇函数，∴f（0）=0.又当x0，故有f（—x）=—x[5—（—x）]+1=—x（5+x）+1。
再由f（x）是奇函数，当x1时，y= f（x）=—x+5，此时y无最大值.比较可得当x=1时，ymax=4.方法2利用函数的单调性由函数解析式可知，f（x）在x∈（∞，0）上是单调递增的，在x∈（0，1）上也是递增的，而在x∈（1，+∞）上是递减的，由f（x）的连续性可知f（x）当x=1时有最大值4方法3 利用图像，数形结合求得作函数y= f（x）的图像（图1），显然当x=1时ymax=4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.四、分段函数的单调性问题考虑分段函数的单调性应该是研究每一段的单调性，然后在考虑在整个定义域内的单调性（注意函数的连续性）。
导函数与原函数的性质讨论-文献综述.doc
摘要：导函数与原函数是由产牛方式不同而给予不同定义的同一种数学工具，在数学的分析研究和解题屮都有着不可替代的重耍作用。
在本文屮，首先，对导函数、原函数的定名做了说明；接着介绍了导函数的几个性质(连续性，间断点性质等)，使读者认识到导函数之于一般函数的特殊性；随后，简单了解了一些函数性质(奇偶性, 周期性等)在导函数和原函数之间的交互情况；最后，由导函数出发，讨论了函数可积性与原函数存在性之间的关系。
这些都是在解题与分析屮十分重要的数学内容，这里只做简单的说明，以为深入的学习和探讨做打下基础。
关键字：导函数，原函数，可积性。
1弓I言：导函数，顾名思义是以函数的导数来定义的函数。
导数的直接反应则是用以描述函数的变化情况(随自变量运动所反映的因变量的运动快慢)。
导函数定义的定向性(以特定的函数而对应得到)，决定了它在数学分析研究屮的重要作用。
导函数的应用，使得函数的的变化情况(快慢，程度)得以量化分析，并且这个度量又以函数的形式来表现，从而又可以抽象出通用特征来分析，使得函数的能量进一步的提升和增强。
利用函数将显示模型抽象出来的基础丄乂得以利用函数这一数学工具本身来对这一抽彖模型进行深入研究和分析，易见，对导函数的深入学习和研究，不论是对于我们解决理论与实际问题还是锻炼我们的学习思维能力都是大有益处的。
2导函数的定义“导数的出现是为对函数变化性质进行描述，可巧妙的是，以导数关系作为对应关系吋其本身又能作为一个函数来考察。
定义⑴ 若函数在区间I上处处可导，*&厶令尸’(x)=f(x)区间端点, 仅考虑相应的单侧导数)，则称f (x)为/上尸®的导函数。
定义(2) 若函数丿与尸&丿在区间/JL都有定义，若尸(x)二f(x), xEl,则称F(x)为丿在区间/上的一个原函数。
伴随着导函数的定义，与之相对应函数则被称为“原函数”。
3导函数的性质函数的导数(记为f (x)),尸“丿仍然是一个函数，可以将它作为通常的函数来对待。
高考中分段函数论文
高考中分段函数论文摘要：高中数学分段函数作为高考的一大重点，需要我们较好掌握。
不管是老师，还会学生都应采取相应的措施帮助学生有效学习分段函数，提高学习效果，为顺利高考打下基础。
分段函数最为高考中的一大重点，也是学习的一大难点。
因此，在老师的指导下，我们应如何掌握正确的学习方法，是我们有效学习分段函数的关键。
一、分段函数分段函数，指基于不同的定义域，存在不同的对应法则的函数，在学习分段函数时应注意以下两点：1.分段函数属于一个函数，不要错认为是几个函数的总和。
2.分段函数的定义域包括各段定义域的并集，各段值域的并集是分段函数的值域。
二、分段函数学习过程中易出现的问题在我学习这部分内容的基础上，我总结了几点在学习中同学们易出现的问题：第一，新授课是难以接受老师的讲解方式，很难与老师的思维融入，对新授课的知识掌握不牢靠，整堂课处于懵懵懂懂的状态，使得我们的学习效果急剧下滑，从而难以提起对学习数学的兴趣。
第二，知识点掌握不牢固。
在课后作业中，通过同学的探讨和参照书本，可以顺利解决作业难题。
但始终存在知识点掌握不牢固的问题，使得我们在考试中，因缺乏同学之间的讨论和书本的参照，导致试卷中的分段函数问题难以找到正解。
第三，缺乏自主学习、自我探讨的能力。
对于我们而言，除了课堂上老师讲解，课下作业完成中，存在接触分段函数的机会，在其余时间由于许多科目的作业需要解决，所以没有机会去进行分段函数的自我学习，进而难以提高对数学分段函数的掌握。
三、分段函数解题时应注意的问题（一）作图像分段函数中的作图像题型是较基础，相对简单的题型，但也需要注意几方面的问题：第一是每段自变量的范围；第二是间断函数图像每一端点的虚实；第三是作出需规范，不能随意乱作。
（二）求函数值求函数值时需注意的是必须确定自变量的取值在定义域的哪个子范围，从而找到对应的法则，求出函数值。
（三）求自变量的取值范围在解决这一问题时需要注意的是，该过程通常会在假设的基础上进行，假设所求值在分段函数的定义域上，然后进行各段定义域的求解。
《高等数学》教学中分段函数有关问题的探究
，
式 出现 的 ． 并未深 入讲解 。 因此 学 生 往 往 对 此 认 识 比较
肤浅 ． 学 习高等数 学时 ． 按惯性把 分段函数误认 为是初 等 函数 ． 讨 论分段 函数 在分段 点上 的极 限 、 导数、 积分 时会 出现 一些问题 ． 所 以专 门去探究 此问题 ． 便 于学生
１ ， ｘ ＝ Ｏ
Байду номын сангаас
在点 ｘ ＝ Ｏ 处 的 连 续性 。
例 ４ 确 ６ 使 函 数 － ｛ １
在 ＝ １ 处有连续的导数。
解｜ 厂 （ ） 在 ＝ Ｏ 的两侧虽有 相同的表达式 ， 但
ｌ ｉ ａ ｒ ｅ ＝ ＋∞ ． １ ｉ ｍ ｅ ＝ ０ ： 一：
方 法 。便 于 学 生 更 好地 解 决 学 习 中遇 到 的 概 念 混 淆 、 思路 不 清 、 解 题 困难 等 问题 ， 将对提 高
他 们 综 合 利 用知 识 的 能 力起 到很 好 的 作 用 。 关 键 词 ：分段 函 数 ；分段 点 ；极 限 ；导数 ；积 分
０ 引 言
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｉ ｍ． Ｘ ２ ， － ￣ － １
ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｉ ｍ
一 一
＝ １
又， （ １ ） ＝ １ ， 所 以当 ａ ＋ ｂ ＝ ｌ 时 Ｙ － ｆ ＋ ） ＝ ＝
＝ ２
） 在ｘ ＝ ｌ 处连续 。 ＝ 。
《 高等数 学》 教学 中 ， 分段 函数 的讨论是 重要 的一
个 内 容 在 中学 教 学 中关 于 分 段 函 数 基 本 上 以 例 题 形
—
ｓ ｉ ｎ
． ＞ ０
例 １ 设－ 厂 （ ） ＝
分段函数论文
分段函数探究摘要:本文就中学数学中分段函数的性质及有关的问题作一探究,使学生能够更好地理解分段函数并掌握分段函数的有关性质及应用。
关键词:分段函数;性质;问题;应用正文:有些函数在其定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应关系也不同,这样的函数就叫作分段函数,例如:。
分段函数是一个函数,不是几个函数。
在自然科学与工程技术中,经常会遇到分段函数。
分段函数一般属于非初等函数,是高等数学中常见的一类函数也是近年来高考考查的热点。
这类函数的性质与解题方法较之初等函数要繁杂得多。
对于这类问题,通常要分区间、分类别进行讨论。
本文就其性质及有关应用,作如下的探讨。
1、分段函数的定义域例1、求函数的定义域。
解:的定义域是不等式解集的并集,故:的定义域为:。
小结:分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集。
2、分段函数的函数值或分段函数的自变量的值(或范围)例2、已知函数的值。
分析:求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中的范围,然后按相应的对应法则求值。
是分段函数,要求的值,需确定的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。
小结:求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式去求值逐步求解直到求出函数值。
例3、设,求满足的x的值。
解:方法一、令,但此时,应舍去。
令满足,所以令x=3。
方法二、当时, 当时,。
只需令。
小结:根据给出的分段函数的函数值求对应的自变量的值(或范围)时。
先假设所求的解在分段函数定义域的各段上,然后分别求出在各段定义域上的解(范围),再求它们的并集即可。
注意,只有满足它的自变量的范围才能用与之对应的解析式。
3.分段函数的值域(最值)例4、对,记,求函数的最小值。
解:方法一、先求每个分段区间上的最值,后比较求值。
方法二、利用函数的单调性由函数解析式可知,在上是单调递减的,在上是递增的,由的连续性可知方法三、利用图像,数形结合求得。
浅谈对分段函数的认识
浅谈对分段函数的认识分段函数在数学上是指由不同的公式在不同的区间内描述的函数，它在不同的区间内可以有不同的定义域和值域。
分段函数是很重要的一类函数，其在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将对分段函数进行简单的介绍和探讨。
首先，分段函数的定义通常是这样的：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果它在某一区间[a,b]内具有不同的解析式，那么我们称f(x)在这一区间内为一分段函数。
像这种形式的函数可以用数学符号表示为：f(x) = {f1(x), a ≤ x < b{f2(x), b ≤ x ≤ c{f3(x), c < x ≤ d…其中，f1(x)，f2(x)，f3(x)等为该函数在不同区间内的定义式。
分段函数的定义包含了区间的概念，因此它描述的是针对不同的自变量（x）取值范围所分别定义的函数值。
例如，考虑如下的分段函数：这是一个用解析式表示的分段函数，对于不同的自变量x，它的函数值在不同的区间内有不同的表达式。
例如，当x小于-1时，函数f(x)等于x+1；当x不小于-1但不大于0时，函数f(x)等于x^2-1，而当x大于0时，函数f(x)等于x-1。
分段函数的讨论需要考虑它在不同区间的性质。
具体来说，我们通常需要考虑以下几个方面：1. 奇偶性和周期性：当分段函数在某个区间内是偶函数或奇函数时，有助于简化计算和证明结论。
在某些情况下，还需要探讨它是否有周期性。
2. 连续性和可导性：分段函数在不同区间内的连续性和可导性也是很重要的性质。
对于某些分段函数，例如绝对值函数，它在分段处不连续但在其他地方是连续的。
在计算导数时，我们还需要讨论分段函数的可导性。
3. 定义域和值域：分段函数的定义域和值域是很重要的性质，它们通常需要在具体的问题中求出。
当分段函数的定义域和值域较为特殊时，意味着它有着特殊的性质。
4. 图像和性质：分段函数的图像对于理解它的性质也是很有帮助的。
在绘制图像时，我们需要考虑分段函数在不同区间内的表达式和定义域、值域的限制等。
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数学与统计学学院中期报告学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2009 题目: 分段函数的原函数与导函数学生姓名: 马颖峰学号:09063207 指导教师姓名:俞诗秋职称:副教授2011年6月1日目录摘要 ........................................................................ 1 关键词 ...................................................................... 1 引言 ........................................................................ 2 1. 分段函数 ............................................................... 2 2.分段函数的原函数 ....................................................... 2 2.1 分段函数()f x 在区间[,]a b 上连续的情形下的原函数问题 ................ 2 2.2 分段函数()f x 在区间[,]a b 上x c =点处具有第一类间断点的情形 ......... 3 2.3 分段函数()f x 在[,]a b , 上x c =处具有第二类间断点的情形[3] (4)3.关于分段函数求导问题的探究 ............................................. 5 3.1 函数在分界点处不连续的情况 ......................................... 5 3.2函数在分界点处连续的情况 (5)结论 ........................................................................ 9 参考文献 (9)分段函数的原函数与导函数摘要:文章主要讨论了什么是分段函数。
分段函数的原函数与导数问题。
在讨论分段函数原函数时又分为连续分段函数、具有第一类间断点的分段函数、具有第二类间断点的分段函数三种情形的原函数来分类讨论。
分段函数在高等数学中既是重点也是难点,“难”在于讨论它的可导性,尤其是在求一个分段函数导函数时对分界点处的可导性判断上。
由于高等数学中涉及的分段函数通常是除去分界点外各段上都是初等函数,故分段函数的导数是先按段求导,后单独讨论分界点处的导数(可能存在,也可能不存在) 。
对分界点可导性的讨论,一般采用导数“增量比”形式的定义。
虽然这种方法具有一般性,但是遇到解析式复杂的函数往往就不方便了。
下文将分几种情况,对分段函数的求导问题进行探讨,从而得出一种通用的解题方法。
关键词：分段函数；原函数；分段函数求导Original Function and Derived Function of SegmentationFunctionAbstract：The article mainly talked about what is a segmentation function.The original function ofsegmentation function with lead few questions.Is again divided into continuous segmentation function, has the segmentation function that no 1 interrupteds a dot and have the original function of segmentation function three kinds of situations that second interrupteds a dot to categorize a discussion while talking about original function of segmentation function.The segmentation function is a point and is a crux in Gao Deng's mathematics, "difficult" lie in talk about it of can lead sex, particularly is begging a segmentation function derived function vs canning lead sex criterion of cut - off point up. Because the segmentation function involved in Gao Deng mathematics usually is remove outside each all of tops of cut - off point are elementary functions, past leading of segmentation function number is to press the segment first to beg to lead, behind talk about a leading of cut - off point number alone.(possible existence, also may nonexistent)Can lead a sexual discussion to the cut - off point, generally adopt the definition of leading the number "quotient of difference" form.Although this method has general,this method's meeting the function of analysis type complications is getting more inconvenient. The continuation will divide a few conditions, lead a question progress study to the segmentation function's begging and get the solution of a kind of universal method thus.Key words：segmentation function；Original function；derived function引言分段函数是一类常见的函数.虽然在每一段上函数的表达式都不复杂，但它的连续性、可导性、原函数的存在性等问题的判断都比一般的初等函数要复杂.1 分段函数对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
它是一个函数,而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
分段函数一般分为两种类型：1、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值；2、分界点左右的数学表达式不一样。
2 分段函数的原函数分段函数12(),,()(),,f x a x c f x f x c x d ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （1）文章以（1）为例，讨论()f x 在区间[,]a b 上的原函数问题。
2.1 分段函数()f x 在区间[,]a b 上连续的情形下的原函数问题引理1[1]:设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，在[,]a b 内可导，若极限0lim ()(0)x a f x f a →+''=+存在，则()f x 在a 点的右导数()f a +'存在，且()(0)f a f a ++''=+。
对于左导数也有类似的结论。
引理 2[2]：设()F x 在区间(,]a b 上具有连续的导数，且(0)F a '+存在，则(0)F a +存在。
证明：定义()g x (),.(0),.F x a x b F a x a '≤≤⎧=⎨'+=⎩则()g x 是[,]a b 上的连续函数于是()g x 的原函数一定存在。
设它的原函数为()F x '，则()F x '在[,]a b 上一定连续。
由于()F x 为()g x 在(,]a b 上的原函数，所以当(,]x a b ∈时有()()F x c F x '=+。
令0x a →+，则得(0)(0)F a c F a '+=++，这说明(0)F a +存在。
证毕。
下面考察形如（1）式的分段函数()f x 的原函数问题。
若()f x 在[,]a b 上连续，就意味着1()f x 在[,]a c 上连续，2()f x 在[,]c d 上连续，且21(0)()f c f c +=。
有如下定理。
定理 设分段函数12(),,()(),,f x a x c f x f x c x b ≤≤⎧=⎨<≤⎩在[,]a b 上连续，则1) 存在1()f x 在[,]a c 上的一个原函数1()F x 及2()f x 在(,]c d 上的一个原函数2()F x ，使2(0)F c +存在且21(0)()F c F c +=；2) 12(),,()(),,F x a x c F x F x c x b ≤≤⎧=⎨<≤⎩就是()f x 在[,]a b 上的一个原函数。
证明：1）由于1()f x 在[,]a b 上连续，所以存在原函数，设它的一个原函数为1()F x 。
同样在(,]c d 上存在2()f x 的原函数，设它的一个原函数为*2()F c ，显然，*2()F c 在(,]c d 上具有连续的导数，且*22(0)(0)F c f c '+=+存在，由引理2知*2(0)F c '+存在。
令**2212()()()(0)F x F x F c F c =+-+ （2）则2()F x 也是2()f x 在(,]c b 上的一个原函数，且21(0)()F c F c +=。
2）令12(),,()(),.F x a x c F x F x c x b ≤≤⎧=⎨<≤⎩则()F x 在[,]a b 上连续，当x c ≠时()()F x f x '=。