N维空间几何体质心的计算方法

N维空间几何体质心的计算方法摘要：本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题，通过微积分方面的知识来求解，从平面推广到空间，问题也由易到难。

首先提出质心或形心问题，然后给出重心的定义，再由具体的例子来求解相关问题。

关键字：质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分一．质心或形心问题：这类问题的核心是静力矩的计算原理。

1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心：静力矩的微元关系为,dMx yudl dMy xudl==.其中形如曲线L（(),y f x a x b=≤≤）的形状体对x轴与y轴的静力矩分别为(ba yf x S=⎰，(by aM u f x=⎰设曲线ABL的质心坐标为（,x y），则,,y xM Mx yM M==其中()baM u x d x u l==⎰为ABL的质量，L为曲线弧长。

若在式yMxM=与式xMyM=两端同乘以2π，则可得到22()ba yxl f x Sππ==⎰,22(ba xyl f x Sππ==⎰,其中xS 与yS分别表示曲线ABL绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。

2．均匀密度平面薄板的静力矩与质心：设f(x)为[],a b上的连续非负函数，考虑形如区域{}(,),0()D x y a x b y f x=≤≤≤≤的薄板质心，设M为其密度，利用微元法，小曲边梯形MNPQ的形心坐标为1(,()),2y f y x y x x≤≤+∆，当分割无限细化时，可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点1(,())2x f x处的一个质点，将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有1()()2xdM u f x f x dx=，()ydM uxf x dx=.两个静力矩为21()2bx aM u f x dx=⋅⎰,()bx aM u xf x dx=⎰.设质心坐标为(,)x y，则有()y baM ux xf x dxM M==⎰，21()2y baM uy f x dxM M==⎰.其中()baM u f x dx MA==⎰为该均匀密度薄板的质量，A 为面积。

二．平面图形的重心： 给定一个曲线12(),(),,y f x y f x x a x b ====围成的图形，它是一个物质平面图形，我们考虑均匀的面密度，即单位面积的质量为常数，它在图形的各部分都等于δ.将所给图形用直线1,,,n x a x x x x b ==== ，划分成宽为12,,,n x x x ∆∆∆ 的窄条，每个窄条的质量等于它的面积和密度δ的乘积。

如果每个窄条用以i x ∆为底，高为21()()i i f f ξξ-的矩形来代替，其中12i ii x x ξ-+=，则这窄条的质量将近似等于[]21()()(1,2,,)i i i i m f f x i n δξξ∆=-∆= ，这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重心上：21()()(),()2i i i i i c f f x y ξξξ+==现在把每个窄条用一个质点来代替，它的质量等于对应窄条的质量，并且集中于该窄条的重心处，我们来求整个图形的重心坐标的近似值。

[][]2121()()()()iiiic iiif f xx f f xξδξξδξξ-∆≈-∆∑∑，[][][]1221211()()()()2()()i i i i i i c i i if f f f x y f f x ξξδξξδξξ+-∆≈-∆∑∑当max 0i x ∆→时取极限，则得[][]2121()()()()b acb ax f x f x dx x f x f x dx-=-⎰⎰，[][][]2121211()()()()2()()ba c ba f x f x f x f x dx y f x f x dx+-=-⎰⎰.这些公式任何均匀的平面图形都适用，可看出重心的坐标是与密度无关的。

例：求抛物线与直线所围成的重心的坐标（如图）解：在这种情况下，21()()f x f x ==因此052023525a c x a x=== ,0c y =.三．重心1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点，在生产实际中，常常要确定物体的重心。

例如：炼钢用钢水包的包轴位置，就与钢水包的重心有关，如果包轴低于重心，用天平调动钢包时就会翻转，如果包轴高于重心过多，则倒出钢水时翻转困难。

因此，我们总是将包轴安装于略高于重心的地方，这时显然需要确定重心的位置。

本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置，显然，若于其重心处支持之，则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。

设均匀薄板是由曲线1()y y x =，2()y y x =和直线x b =围成的平面图形，我们要求此平面的重心(,)G x y ，用u 表示此薄板单位面积的重量，则微面积s d 的重量为12()u y y dx -，其重心G 的坐标为12(,)2y y x +，显然整个薄板的重量为12()b a u y y dx -⎰，由力学知，合力对任一轴的力矩，等于各分力对该轴力矩之和，取对y 轴的力矩，得1212()()b b a a u y y dx x ux y y dx ⎡⎤-⋅=-⎣⎦⎰⎰,取对x 轴的力矩得121212()()2b ba a y y u y y dx y u y y dx +⎡⎤-⋅=-⋅⎣⎦⎰⎰,由此两式，即得确定薄板重心坐标的公式：1212122222121212()()()(1)11()()22()b b a ab ab b aaba x y y dx x y y dxx s y y dxy y dx y y dx y s y y dx⎫--⎪==-⎪⎪⎬--⎪⎪==⎪-⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中s 标薄板的面积，由公式(1)知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关，而与薄板单位面积的重量无关。

特别，若2()0y x ≡，则得曲边梯形薄板重心坐标公式:b ab a xydx x ydx =⎰⎰,212b ab a y dx y ydx =⎰⎰.例：试求半径为R 的半圆形均匀薄板的重心。

解：由于22R s π=,1y =2y =故知重心G 的坐标(,)x y 为：120232222()222()40.42332b R aRx y y dxx sR R x RR R πππ-==-=-⋅=≈⎰⎰，22121()20b ay y dx y s -==⎰.四．利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心设有非均匀平面薄板D ，其上每点的密度为(,)x y ρρ=，设薄板D 的重心坐标为(,)x y ，考虑D 中微面积dD ，它的微质量为： (,)dm x y dD ρ=，它关于y 轴与x轴的力矩分别为：(,)xdm x x y dD ρ=与(,)ydm y x y dD ρ=把这些微质量的力矩加起来，即得薄板D 关于y 轴与x 轴的力矩为：(,)(,)DDDxdm x x y dD x x y dxdyρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰与(,)(,)DDDydm y x y dD y x y dxdyρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰薄板的总质量，于是根据重心的定义，得求重心坐标的公式：(,)(,)(2)(,)(,)DDDD D D xdm x x y dxdy x mx y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy ρρρρ⎫⎪==⎪⎪⎪⎬⎪⎪==⎪⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰特别，若薄板是均匀的，即(,)x y ρ=常数，则得求均匀薄板重心坐标公式：Dxdxdyx D=⎰⎰，Dydxdyy D=⎰⎰.对于均匀薄板，我们有[]21()()21()()y x bb ay x a Dxdxdy dx xdy x y x y x dx==-⎰⎰⎰⎰⎰，[][]{}2211()2()()()222121()()2y x y x b ba y x a D y xb a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰故()21b ax y y dxx D-=⎰，()222112b ay y dx y D -=⎰.五．设一立体在空间占据区域T ，那么立体的体积为TV d x d y d z=⎰⎰⎰设(,,)x y z ρρ=,(,,)x y z T ∈是立体在点(,,)x y z 的密度，其中T 是它所占据的空间区域，那么该立体的质量为 (,,)TM x y z dxdydz ρ=⎰⎰⎰立体重心的坐标公式为：1Tx xdxdydzV=⎰⎰⎰，1Ty ydxdydzV=⎰⎰⎰，1Tz zdxdydzV=⎰⎰⎰.这里x ，y ，z 是区域T 的几何重心的坐标。

例：求平面0x =,0z =,1y =,3y =,23x z +=所围之棱柱的重心坐标。

解：先求棱柱的体积3332013330103203(3)21(3)292z TV dxdydz dx dy dzxdx dy x dx x x -==-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰现在求重心的坐标338201022199xT x xdxdydz xdx dy dz -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 338201022299x T y ydxdydz dx ydy dz -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 3382010221992x T z zdxdydz dx dy zdz -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.参考文献：1.《微积分与解析几何》，电子工业出版社，1985年11月出版，作者：R E⋅⋅约翰逊F L⋅⋅基奥克斯特。

⋅2．《微分与积分学》，吉林人民出版社，1983年9月出版，作者：N PISKUNOV3.《数学分析》，山东科学技术出版社，1985年出版，作者：郭大钧陈玉妹袭卓明4．《高等数学解题手册》，天津科学技术出版社，1983年12月出版，作者：丹科波波夫科热夫尼科娃。