N维空间几何体质心的计算方法

N维空间几何体质心的计算方法

摘要：本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题，通过微积分方面的知识来求解，从平面推广到空间，问题也由易到难。首先提出质心或形心问题，然后给出重心的定义，再由具体的例子来求解相关问题。

关键字：质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分

一．质心或形心问题：

这类问题的核心是静力矩的计算原理。

1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心：

静力矩的微元关系为

,

dMx yudl dMy xudl

==.

其中形如曲线L（

(),

y f x a x b

=≤≤）的形状体对x轴与y轴的静力矩分别

为(

b

a y

f x S

=

⎰

，

(

b

y a

M u f x

=⎰

设曲线AB

L

的质心坐标为（

,x y），则,,

y x

M M

x y

M M

==

其

中()

b

a

M u x d x u l

==

⎰

为AB

L

的质量，L为曲线弧长。

若在式

y

M

x

M

=

与式

x

M

y

M

=

两端同乘以2π，则可得

到22()

b

a y

xl f x S

ππ

==

⎰

,

22(

b

a x

yl f x S

ππ

==

⎰

,其中x

S 与y

S

分别表示曲线AB

L

绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。

2．均匀密度平面薄板的静力矩与质心：

设f(x)为

[],a b

上的连续非负函数，考虑形如区域

{}

(,),0()

D x y a x b y f x

=≤≤≤≤

的薄板质心，设M为其密度，利用微元法，小曲边梯形MNPQ的形心坐标为

1

(,()),

2

y f y x y x x

≤≤+∆

，当分割无限细化时，可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点

1

(,())

2

x f x

处的一个质点，将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有

1

()()

2

x

dM u f x f x dx

=

，

()

y

dM uxf x dx

=

.两个静力矩为2

1

()

2

b

x a

M u f x dx

=⋅

⎰

,

()

b

x a

M u xf x dx

=⎰.设质心坐标为(,)

x y，则有()

y b

a

M u

x xf x dx

M M

==⎰

，

2

1

()

2

y b

a

M u

y f x dx

M M

==⎰

.其中

()

b

a

M u f x dx MA

==

⎰

为该

均匀密度薄板的质量，A 为面积。 二．平面图形的重心： 给定一个曲线

12(),(),,y f x y f x x a x b ====围成的图形，它是一个物质平面图形，我

们考虑均匀的面密度，即单位面积的质量为常数，它在图形的各部分都等于δ.将所给图形用直线

1,,,n x a x x x x b ==== ，划分成宽为12,,,n x x x ∆∆∆ 的窄条，每个窄条的

质量等于它的面积和密度δ的乘积。如果每个窄条用以

i x ∆为底，高为21()()i i f f ξξ-的

矩形来代替，其中

12i i

i x x ξ-+=

，则这窄条的质量将近似等于

[]21()()(1,2,,)

i i i i m f f x i n δξξ∆=-∆= ，这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重

心上：

21()()(),()2i i i i i c f f x y ξξξ+==

现在把每个窄条用一个质点来代替，它的质量等

于对应窄条的质量，并且集中于该窄条的重心处，我们来求整个图形的重心坐标的近似

值。

[][]2

1

2

1

()()()()i

i

i

i

c i

i

i

f f x

x f f x

ξδξξδξξ-∆≈

-∆∑∑，

[][][]1221211

()()()()2()()i i i i i i c i i i

f f f f x y f f x ξξδξξδξξ+-∆≈

-∆∑∑当

max 0

i x ∆→时

取

极

限

，

则

得

[][]2

1

2

1

()()()()b a

c

b a

x f x f x dx x f x f x dx

-=

-⎰⎰，

[][][]2121211()()()()2()()b

a c b

a f x f x f x f x dx y f x f x dx

+-=-⎰⎰.这些公式任何均匀的平面图形都适用，可看

出重心的坐标是与密度无关的。例：求抛物线与直线所围成的重心的坐标（如图）

解：在这种情况下，

21()()f x f x ==因此

0520

235

2

5

a c x a x

=

=

= ,

0c y =.

三．重心

1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点，在生产实际中，常常要确定物体的重心。例如：炼钢用钢水包的包轴位置，就与钢水包的重心有关，如果包轴