28.1锐角三角函数(第3课时)-人教版九年级数学下册课堂互动训练
锐角三角函数(第三课时)(导学案)-九年级数学下册同步备课系列(人教版)
28.1锐角三角函数（第三课时）导学案学习目标1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应锐角度数；2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式；3.结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换.重点难点突破★知识点1：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：核心知识一、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：引入新课【提问】简述正弦、余弦、正切的概念？新知探究【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？典例分析例1如果α是锐角，푠� �=32，那么cosα的值是（）A．12B．22C．32D．33【针对训练】1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣3＝0，则∠A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3.在实数0、−3、푡� 45°、−1中，最大的是（）A．0B．−3C．푡� 450D．-14.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝22，你认为△ABC最确切的判断是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．锐角三角形5.已知△ABC的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－32|＝0，判断△ABC的形状例2求下列各式的值：(1)cos260°+sin260°(2)푐�푠45°푠� 45°-tan45°【针对训练】1.计算sin245°+cos30°·tan60°，其结果是()A．2B．1C．52D．542.计算：（12）﹣1﹣tan60°•cos30°＝（）A．﹣12B．1C．12D．323.21+(−12)−2−2푠� 45°=______．4.计算：4푠� 30°−2푐�푠45°+푡� 60°=___________.5.计算：1）4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘2）|﹣3|+3tan30°﹣8+2cos45°﹣（2018﹣π）06.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-3tan(α+15°)的值．感受中考1．（2023·天津·中考真题）sin45°+2的值等于（）2A．1B．2C．3D．2 2．（2023·四川眉山·中考真题）计算：23−�0−1−3+3tan30°+−1223．（2023·四川内江·中考真题）计算：(−1)2023+122+3tan30°−3−�0+32−2cos60°．4．（2023·内蒙古·8−2+(�−2023)0+−122课堂小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2.简述30°、45°、60°角的三角函数值？【参考答案】新知探究【问题一】下面两块三角尺有几个不同的锐角？30°、60°、45°【问题二】在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30°，求：sin30°，cos30°，tan30°.假设30°角所对的边AC=a，则AB=2a，由勾股定理得BC=퐴 2−퐴 2=3a sin30°=퐴 퐴 =�2�=12cos30°= 퐴 =3�2�=32tan30°=퐴 =�3�=33【问题三】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60°，求：sin60°，cos60°，tan60°.假设30°角所对的边AC=a，则AB=2a，由勾股定理得BC=퐴 2−퐴 2=3a sin60°= 퐴 =3�2�=32cos60°=퐴 퐴 =�2�=12tan60°= 퐴 =3��=3【问题四】在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45°，求：sin45°，cos45°，tan45°.假设AC=BC=a，由勾股定理得AB=퐴 2+ 2=2asin45°=퐴 퐴 =�2�=22cos45°= 퐴 =�2�=22tan45°=퐴 =��=1由此我们得出：30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：【问题五】观察特殊角的三角函数值，你发现了什么？1）α为锐角，对于sinα与tanα，角度越大，函数值越大；对于cosα，角度越大，函数值越小. 2）互余的两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，即一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.cosA=sinB，即一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.tanA·tanB=1，即一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数.典例分析例1如果α是锐角，푠� �=32，那么cosα的值是（A）A．12B．22C．32D．33【针对训练】1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣3＝0，则∠A的大小为（A）A．30°B．45°C．60°D．无法确定2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（C）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°3.在实数0、−3、푡� 45°、−1中，最大的是（C）A．0B．−3C．푡� 450D．-14.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tanA ＝1，sinB ＝22，你认为△ABC 最确切的判断是（B ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形5.已知△ABC 的∠A 与∠B 满足(1－tanA)2＋|sinB －32|＝0，判断△ABC 的形状解：∵(1－tanA)2＋|sinB －32|＝0∴tanA ＝1，sinB ＝32∴∠A ＝45°，∠B ＝60°则∠C ＝180°－45°－60°＝75°∴△ABC 是锐角三角形．例2求下列各式的值：(1)cos 260°+sin 260°(2)푐�푠45°푠� 45°-tan45°解：1）cos 260°+sin 212+32=12）푐�푠45°푠� 45°-tan45°=22÷22-1=0【针对训练】1.计算sin 245°+cos 30°·tan 60°，其结果是(A )A ．2B ．1C ．52D ．542.计算：（12）﹣1﹣tan60°•cos30°＝（C ）A ．﹣12B ．1C ．12D ．323.21+(−12)−2−2푠� 45°=___3___．4.计算：4푠� 30°−2푐�푠45°+푡� 60°=_____1+3______.5.计算：1）4cos30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cos45∘2）|﹣3|+3tan30°﹣8+2cos45°﹣（2018﹣π）0解：1)原式=4×32-3×3+2×22×22=1-32）原式＝3+3×33﹣22+2×22﹣1=3+1−22+2−1=3−2．6.已知α为锐角，且tanα是方程x 2+2x-3=0的一个根，求2sin 2α+cos 2α-3tan (α+15°)的值．解：解方程x 2+2x-3=0，得x 1=1，x 2=-3.∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.∴2sin 2α+cos 2α－3tan (α+15°)=2sin 245°+cos 245°－tan60°=2（22）2+（22）2－3×3=-32感受中考1．（2023·天津·中考真题）sin 45°+22的值等于（B ）A ．1B ．2C ．3D ．22．（2023·四川眉山·中考真题）计算：23−�0−1−3+3tan 30°+−122解：原式=1−3−1+3×33+4=1−3+1+3+4=6．3．（2023·四川内江·中考真题）计算：(−1)2023+122+3tan 30°−3−�+32解：−12023+122+3tan 30°−3−�+32=−1+4+3×33−1+2−3=1+4+3−1+2−3=4．4．（2023·内蒙古·8−2+(�−2023)0+−122−2cos 60°．解：原式=8−2+1+4−2×12=22−2+1+4−1=22+2。
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值课时训练新人教版
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值课时训练（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值课时训练（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3课时特殊角的三角函数值关键问答①求特殊角的三角函数值的方法是什么？②特殊角的三角函数的运算常用到什么知识？1．①sin60°的值为（）A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!2．②计算：sin30°＋cos30°·tan60°＝________.3．在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，若sin A＝错误!，cos B＝错误!，则∠C的度数是________．命题点 1 直接求特殊角的三角函数值[热度：96％］4．③如图28－1－35，以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO的长为半径画弧,两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB 的值为( ）图28－1－35A.错误!B.错误!C.错误! D。
错误!解题突破③本题中所作的△AOB是一个等边三角形．5．正方形网格中，∠AOB如图28－1－36放置，则tan∠AOB的值为( ）图28－1－36A。
错误! B．1 C。
错误! D。
错误!6.④如图28－1－37，等边三角形ABC中,D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G,则错误!的值为________．图28－1－37解题突破④通过证明△CBD与△ACE全等，结合全等三角形的对应角相等，可得∠AFG的度数为定值。
2022--2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)
2022--2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．sin30°＜cos16°＜cos43°B．cos43°＜sin30°＜cos16°C．sin30°＜cos43°＜cos16°D．sin16°＜cos30°＜cos43°3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是（）A．B．C．D．4．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）A．0＜sin A＜B．0＜cos A＜C．＜tan A＜1D．1＜cot A＜5．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．没有变化C．缩小为原来的D．不能确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．9．若tan B＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．15°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．二．填空题12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，则AC＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC．（1）若D为AB中点，且CD＝2，则AB＝．（2）当CD＝AB时，∠A＝α，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是．15．若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的取值范围是．16．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝．三．解答题17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．19．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．参考答案一．选择题1．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．2．解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．3．解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝，故选：D．4．解：A．∵sin30°＝，∴0＜sin25°＜，故A符合题意；B．∵cos30°＝，∴cos25°＞，故B不符合题意；C．∵tan30°＝，∴tan25°＜，故C不符合题意；D．∵cot30°＝，∴cot25°＞，故D不符合题意；故选：A．5．解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，则cos A＝，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a，3b，3c，那么cos A＝＝，所以余弦值不变．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：D．7．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．10．解：∵tan B＝，∴∠B＝60°．故选：B．11．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，所以sin B＝＝＝，所以AC＝4，故答案为：4．13．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝AC tan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．14．解：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD＝2×2＝4；故答案为：4；（2）当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点（点A、B除外），则点D必为AB的中点，∴CB≤CD或CA≤CD，∵CD＝AB，∴CB≤AB或CA≤AB∵sin A＝≤或sin B＝≤，即sinα≤sin30°或sin B≤sin30°，∴α≤30或∠B≤30°，∴α≤30°或α≥60°，∴α的取值范围为0°＜α≤30°或60°≤α＜90°．故答案为：0°＜α≤30°或45°或60°≤α＜90°．15．解：∵0＜＜，又cos60°＝，cos90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∴当cos A＝时，60°＜∠A＜90°．故答案为：60°＜∠A＜90°．16．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAO＝∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA＝tan∠BAO＝＝2．故答案为：2．三．解答题17．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．19．解：（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＞AB2＞AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．（2）由（1）可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．故答案为：＝，＜，＞．20．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，即：m2﹣2（2m﹣2）＝25解得，m1＝7，m2＝﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．∴m＝7，当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，解得，x1＝3，x2＝4，不妨设a＝3，则sin A＝＝，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，当α＝90°时，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，设BC中点为点G，连接EG，∴BG＝6，当α变化时，OB的长度不变，∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，令圆弧与BC交于点F，∴BF＝4，此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，当点D，E，F三点共线时，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．。
【人教版】九年级数学下册28锐角三角函数28.1锐角三角函数第3课时学案
28.1 锐角三角函数锐角三角函数(第3课时)学习目标1.熟记30°,45°,60°角的各个三角函数值,会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子;2.会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数;3.加深对锐角三角函数的认识,了解特殊与一般的关系,进行逆向思维的训练.学习过程一、复习准备1.一个直角三角形中,一个锐角正弦是怎么定义的?一个锐角余弦是怎么定义的?一个锐角正切是怎么定义的?答:2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,求∠B的锐角三角函数值.解:二、探究新知(一)探究1请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺,思考并回答下列问题:1.这两块三角尺各有几个锐角?它们分别等于多少度?答:2.每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系?如果设每块三角尺较短的边长为1,请你说出未知边的长度.(二)探究2三、尝试应用1.求下列各式的值:-tan 45°(1)cos260°+sin 260°;(2)cos45°sin45°2.(1)如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=√6,BC=√3,求∠A的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的√3倍,求α.解:四、补偿提高1.计算:(1)2sin 45°+2cos 60°-√3tan 60°+√18;)-1+√8+|1-√2|0-2sin 60°tan 60°.(2)(122.已知2cos α-√3=0(α为锐角),求tan α的值.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=√7,AC=√21,求∠A,∠B的度数..求∠A的度数及4.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=4√2,BD平分∠ABC,且cos∠CBD=√32AB的长.五、学后反思本节学习了哪些特殊角的三角函数值,有什么应用? 答:评价作业(满分100分)1.(6分)cos 60°的值等于( ) A.12 B.√22C.√32D.√332.(6分)计算√2sin 45°的结果等于( ) A.√2 B.1 C.√22D.123.(6分)在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且sin A=12,cos B=√32,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定4.(6分)点M (-sin 60°,cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A.(√32,12) B.(-√32,-12) C.(-√32,12) D.(-12,-√32)5.(6分)若α为锐角,且3tan(90°-α)=√3,则α为 ( )A.30°B.45°C.60°D.75°6.(8分)若sin α=√22,则锐角α= .若2cos α=1,则锐角α= . 7.(8分)计算sin 30°cos 30°-tan 30°= . 8.(8分)在△ABC 中,若锐角A ,B 满足|cos A -12|+(sin A -√22)2=0,则∠C=.9.(12分)计算.(1)|2-√3|-(2 015-π)0+2sin 60°+(13)-1;(2)(14)-1+|1-√3|-√27tan 30°.10.(10分)如图所示,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6.求BC 的长.(结果保留根号)11.(10分)如图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,∠B=60°,∠C=45°,BC=2,求AC 的长.12.(14分)阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题. sin 30°=12,cos 30°=√32,则sin 230°+cos 230°= ;① sin 45°=√22,cos 45°=√22,则sin 245°+cos 245°= ;② sin 60°=√32,cos 60°=12,则sin 260°+cos 260°= .③……观察上述等式,猜想:对任意锐角A ,都有sin 2A+cos 2A= .④(1)如图所示,在锐角三角形ABC 中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想;(2)已知∠A 为锐角(cos A>0)且sin A=35,求cos A.参考答案学习过程一、复习准备1.sin A=∠A 的对边斜边=A Acos A=∠A 的邻边斜边=A Atan A=∠A 的对边∠A 的邻边=AA .2.sin B=513,cos B=1213,tan B=512.二、探究新知 (一)探究11.答:都有两个锐角,分别等于30°,60°和45°,45°.2.答:图1中三边之比为:1∶2∶√3,图2中三边之比为:1∶1∶√2;图1中未知边的长度为:2和√3,图2中未知边长度为:√2.(二)探究2三、尝试应用1.解:(1)cos 260°+sin 260°=(12)2+(√32)2=1.(2)cos45°sin45°-tan 45°=√22÷√22-1=0. 2.解:(1)∵sin A=AA AA=√3√6=√22,∴∠A=45°. (2)∵tan α=AAAA =√3AAAA=√3,∴α=60°.四、补偿提高1.解:(1)2sin 45°+2cos 60°-√3tan 60°+√18=2×√22+2×12−√3×√3+3√2 =√2+1-3+3√2 =4√2-2;(2)(12)-1+√8+|1-√2|0-2sin 60°tan 60°=(12)-1+√8+|1-√2|0-2×√32×√3 =2+2√2+1-3 =2√2.2.解:∵2cos α-√3=0, ∴cos α=√32, ∴α=30°,∴tan α=tan 30°=√33.3.解:∵∠C=90°,BC=√7,AC=√21,∴tan A=AAAA =√33,tan B=AA AA=√3,∴∠A=30°,∠B=60°.4.解:在Rt △BCD 中,∠C=90°,cos∠CBD=√32,∴∠CBD=30°,∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBA=60°, ∴∠A=30°, AB=AAcos∠AAA =8√2.五、学后反思答:学习了30°,45°和60°角的三角函数值,应用主要有两点:(1)求含有特殊角的三角函数的代数式;(2)已知特殊的三角函数值求特殊角.评价作业1.A2.B3.C4.B5.C6.45° 60°7.-√3128.75° 9.解:(1)原式=2-√3-1+2×√32+3=1+3=4. (2)原式=4+√3-1-3√3×√33=4+√3-1-3=√3. 10.解:如图所示,过点A 作AD ⊥BC 于点D ,在Rt △ABD 中,∠B=45°,∴AD=BD.设AD=x ,∵AB=6,∴x 2+x 2=62,解得x=3√2,即AD=BD=3√2.在Rt △ACD 中,∠ACD=60°,∴∠CAD=30°,tan 30°=AAAA ,即3√2=√33,∴CD=√6.∴BC =BD+DC=3√2+√6.11.解:在Rt △ACD 中,cos C=AA AA ,∴CD=AC cos C ,∵∠C=45°,∴CD=√22AC ,∴AD=CD=√22AC ,∵∠B=60°,∴tan B=AAAA=√3,∴BD=√22AA √3=√66AC ,∵BC=BD+DC=2,∴√22AC+√66AC=2,解得AC=3√2−√6.12.解:1 1 1 1 (1)过点B 作BD ⊥AC 于D ,在Rt △ADB 中,sin A=AA AA ,cos A=AAAA ,由勾股定理得BD 2+AD 2=AB2,∴(AA AA )2+(AA AA)2=1,∴sin 2A+cos 2A=1. (2)∵∠A 为锐角(cos A>0),sin A=35,sin 2A+cos 2A=1,∴cos A=√1-AAA 2A=45.。
九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值作业课件新版新人教版
A．2
B．1
C．
5 2
D．
5 4
4．(8分)(教材P67练习T1变式)计算：
(1)sin ＝1＋2
2
(2)cos 30°·tan 30°－tan 45°；
解：原式＝
3 2
×
3 3
－1＝12
－1＝－12
(3)sin245°＋cos245°；
解：原式＝(
21．(12分)(归纳推理)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： sin2A1＋sin2B1＝__1__；sin2A2＋sin2B2＝__1__；sin2A3＋sin2B3＝_1___；
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，若∠C＝90°， 则都有sin2A＋sin2B＝__1__； (2)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
A．30° B．45° C．60° D．90°
13．(孝感中考)式子2cos 30°－tan 45°－ （1－tan 60°）2 的值
是( B )
A．2 3 －2
B．0 C．2 3 D．2
14．(易错题)若∠A是锐角，且cos A＝34 ，则(B ) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
(3)已知∠A＋∠B＝90°，且 sinA＝153 ，求 sin B 的值.
解：(2)证明：在 Rt△ABC 中，∵sin A＝ac ，sin B＝bc ，a2＋b2＝c2， ∴sin2A＋sin2B＝(ac )2＋(bc )2＝a2＋c2 b2 ＝1 (3)∵∠A＋∠B＝90°，∴sin2A＋sin2B＝1.∵sin A＝153 ，sin B>0， ∴sin B＝ 1－sin2A ＝ 1－（153）2 ＝1123
28.1.3特殊角的三角函数值-学年1春九年级数学下册习题课件人教版
6．【2020·宜宾】如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，若△ OBC 是 3
等边三角形，则 cos A＝__2______．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
*9.已知锐角 α 满足 2sin (α＋20°)＝1，则锐角 α 的度数为( B )
A．10°
B．25°
C．40° D．45°
【点拨】∵ 2sin(α＋20°)＝1，∴sin (α＋20°)＝ 22.∵α 为锐角， ∴α＋20°＝45°，∴α＝45°－20°＝25°.
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提示：点解击 ：进如入习图题 ，连接 DF.
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第3课时 特殊角的三角函数值
第二十八章 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
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第二十八章 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数
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Байду номын сангаас
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12．已知 α，β 都是锐角，如果 sin α＝cos β，那么 α 与 β 之间满
足的关系是( B )
A．α＝β
B．α＋β＝90°
C．α－β＝90°
D．β－α＝90°
13．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ 3，求 sin
A2 的值．
小明给出了他自己的解答过程：∵sin A＝BACB＝ 23，∴
人教版九年级下册数学课件特殊角的三角函数值
课堂导练
10．在△ABC 中，∠C＝90°，则： (1)sin2A＋cos2A＝____1____；
sin A (2)tan A＝__c_o_s_A___； (3)sin A＝__c_o_s_B___．
课堂导练
11．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列式子不．一．定．成立的是( A )
A．tan
卒子过河，意在吃帅。
鸟不展翅膀难高飞。
志当存高远。
石看纹理山看脉，人看志气树看材。
志不立，天下无可成之事。
立志是事业的大门，工作是登门入室的旅程。
海纳百川有容乃大壁立千仞无欲则刚
心随朗月高，志与秋霜洁。
精彩一题 (2)求楼 CD 的高度(结果保留根号)．
解：在 Rt△AED 中，DE＝AE＝30 3米， ∴CD＝CE＋ED＝(30＋30 3)米． 即楼 CD 的高度为(30＋30 3)米．
长和 sin B 的值．
【点拨】由(1)得sin ∠ABACB＝siBnCA＝2R，得到 AB＝4 2，2R＝8， 过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，解直角三角形得到 AC＝AH＋CH＝ 2( 2＋ 6)，再根据(1)的结论可求出 sin∠ABC 的值．
课后训练
解：由(1)得sin ∠ABACB＝siBnCA＝2R，即sinAB45°＝si4n 630°＝2R.
课后训练
∵tan∠1＝25，∴EB＝DE·tan∠1＝2. ∵∠1＝∠2，∴tan∠2＝25. ∴AE＝tanDE∠2＝225. ∴AB＝AE＋EB＝229. ∴⊙O 的半径为249.
精彩一题
16．(2020·宜宾)如图，AB 和 CD 两幢楼地面距离 BC 为 30 3米， 楼 AB 高 30 米，从楼 AB 的顶部点 A 测得楼 CD 的顶部点 D 的仰角为 45°.
人教版九年级数学下册特殊角的三角函数值课时训练题
第2章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数 特殊角的三角函数值1. 如果△ABC 中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是锐角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是直角三角形 2. 计算cos 245°＋sin 245°等于( ) A.12 B ．1 C.14 D.22 3. -tan60°+2sin45°的值等于( ) A ．2-1 B ．1 C ．2−33D ．-3+2 4. 用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是( ) A ．0.90 B ．0.72 C ．0.69 D ．0.665. 如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 相交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值等于( )A ．12B 2C 336. 用计算器求tanA ＝0.5234时的锐角A(精确到1°)，按键的顺序正确的是( )A ．2nd ，tan ，.，5，2，3，4B ．0，.，5，2，3，4，＝2nd ，tanC ．tan ，0，.，5，2，3，4，＝D ．tan ，2nd ，.，5，2，3，4 7. 若∠A 是锐角，且cosA ＝34，则( )A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°8. 点M（tan60°，-cos60°）关于x轴的对称点M′的坐标是( )A．(−3，12) B．(3，12) C．(3，−12) D．(−3，−12)9. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为( )A．(2，1) B．(1，2) C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)10. 如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB 的长为( )A．2 B．3．33+1 D3+111. 若∠A是锐角，tanA＝33，则∠A＝________．12. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若3cosB= 12，则∠C= ．13. 已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则α＝________.14. 已知2cos （α-10°），则锐角α的度数是 ．15. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝____． 16. 若a ＝3－tan 60°，则(1－2a －1)÷a 2－6a ＋9a －1＝________.17. 已知一个等腰三角形，顶角的度数为150°，腰长为4cm ，则该等腰三角形的面积为________cm 2 ．18. 计算：（1）（tan45°）2016－cos60°+|cot30°－1|;（2）sin 230°－cos45°•tan60°+ sin60cos30︒︒−tan45°19.已知a 是锐角，且sin （α+15°）4cos α－（π－3.14）0+tan α+(13)−1的值．20. 已知锐角α，关于x 的一元二次方程x 2－2x sin α＋3sin α－34＝0有相等实数根，求α.21. 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算，作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC= 3，∠ABC=30°，∴tan30°=AC BC = 333．在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究：tan15°与tan75°的值.答案：1---10 CBDBC ABBCD 11. 30° 12. 60° 13. 30° 14. 40° 15. 75° 16. －33 17. 418. 9.解：（1）原式=1－12－－12．（2）原式=14−2−1=14−2．19. 解：∵sin60°α+15°=60°，∴α=45°，∴原式－4－1+1+3=3． 20. 解：由题意得Δ＝(2sin α)2－4(3sin α－34)＝0，解得sin α＝32，∴α＝60°21. 解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E ，∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，设CD=x ，则AD=1－x ，AE=2－BC=2－BE=2－ 3，在Rt △ADE 中，CD 2+AE 2=AD 2,x 2+（2－ 3）2=（1－x ）2，解得：x=23－3，∴tan15°=2333-=2－ 3，tan75°= BCCD = 3233-=2+3.。
2023-2024学年人教版九年级数学下册28.1.3锐角三角函数第三课时教案
4. 锐角三角函数值的互化及其在解三角形中的应用；
5. 练习相关典型题目，巩固所学知识，提高解题能力。
核心素养目标
1. 让学生通过探索锐角三角函数的性质和应用，培养数据分析与空间想象能力，形成数学抽象与逻辑推理素养；
2. 培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高数学建模与问题解决的核心素养；
答案：sinA=5/13，cosA=12/13，tanA=5/12
5. 数学建模题型：实际问题转化为数学模型
例题5：如图，从A点观测到B点的仰角为30°，从C点观测到B点的仰角为45°，已知AC=10米，求AB和BC的长度。
答案：AB=5√3米，BC=10米
补充说明：
1. 在计算题型中，要熟练掌握正弦、余弦、正切函数的定义和性质，以及它们之间的关系。
重点题型整理
1. 计算题型：求直角三角形中的未知边或角
例题1：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6cm，求AB和AC的长度。
答案：AB=12cm，AC=3√3cm
2. 应用题型：实际问题中的锐角三角函数应用
例题2：小明站在距离树50米的地方，测得树梢的仰角为30°，求树的高度。
（3）拓展题
5. 如图，从A点观测到B点的仰角为α，从C点观测到B点的仰角为β，已知AC=a，求AB和BC的长度。
（注：此题要求学生自行设定角度和长度，求解并分析结果）
3. 答案与解析
（1）基础题
1. AB=6cm，AC=6√2cm
2. sinA=5/13，cosA=12/13，tanA=5/12
（2）提高题
2. 解直角三角形时，如何灵活运用锐角三角函数？
专题28.1 锐角三角函数-2020-2021学年九年级数学下册课时同步练(人教版)(解析版)
第28章锐角三角函数锐角三角函数一、基础巩固1.若cosα＝，则锐角α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵cosα＝，∴α＝60°．故选：C．【知识点】特殊角的三角函数值2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．tan B＝【解答】解：A、sin A＝＝，故原题说法正确；B、cos A＝＝，故原题说法错误；C、tan A＝＝，故原题说法错误；D、tan B＝＝，故原题说法错误；故选：A．【知识点】锐角三角函数的定义3.在△ABC中，若∠C＝90°，cos A＝，则∠A等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，∴∠A＝60°．故选：C．【知识点】特殊角的三角函数值4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cos A＝，则AC的长为（）A．5B．8C．12D．13【解答】解：∵cos A＝，即＝，AB＝13，∴AC＝AB•cos A＝5，故选：A．【知识点】锐角三角函数的定义5.下列说法正确的是（）A．若a2＝b2，则a＝bB．sin45°+cos45°＝1C．代数式a2+4a+5的值可能为0D．函数y＝（a2+1）x2+bx+c﹣2b是二次函数【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，故选项错误；B、sin45°+cos45°＝+＝；C、代数式a2+4a+5＝（a+2）2+1＞0，故选项错误；D、∵a2+1≠0，∴函数y＝（a2+1）x2+bx+c﹣2b是二次函数，故选项正确．故选：D．【知识点】特殊角的三角函数值、配方法的应用、非负数的性质：偶次方、二次函数的定义6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a＝3b，那么∠A的余切值为（）A．B．3C．D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3b，∴cot A＝＝．故选：A．【知识点】锐角三角函数的定义7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos B＝【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin A＝sin∠BCD＝，故选：A．【知识点】锐角三角函数的定义8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cos A＝，那么AB的长是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，又∵cos A＝＝，∴AB＝，故选：B．【知识点】锐角三角函数的定义9.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan C的值是（）A．2B．C．1D．【解答】解：如图在RtACD中，tan C＝，故选：B．【知识点】锐角三角函数的定义10.若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tan β）2＝0，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵|sinα﹣|+（﹣tan β）2＝0，∴sinα﹣＝0，﹣tan β＝0，∴sinα＝，tanβ＝，又∵α，β都是锐角，∴α＝60°，β＝60°，∴此三角形的形状是等边三角形．故选：C．【知识点】非负数的性质：偶次方、三角形内角和定理、特殊角的三角函数值、非负数的性质：绝对值11.计算：|2﹣|﹣2sin30°﹣（π﹣3）0＝﹣．【解答】解：原式＝2﹣2﹣2×﹣1＝2﹣2﹣1﹣1＝2﹣4．故答案为：2﹣4．【知识点】实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值12.在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则cos A＝．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，∴AC＝＝，∴cos A＝＝，故答案为：．【知识点】锐角三角函数的定义13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，若cos A＝，则BC的长为．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，cos A＝，∴cos A＝＝，∴AB＝5，则BC的长为：＝4．故答案为：4．【知识点】锐角三角函数的定义14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，∴∠BAC＝60°，AC＝1，AB＝2，若点F在线段BC上，∠AFE＝90°时，由折叠可得：BD＝DF，∠B＝∠EFD＝30°，∴∠AFC＝60°，∵tan∠AFC＝＝，∴CF＝，∴BD＝（BC﹣CF）＝，若点F在BC的延长线上，∠EAF＝90°，如图，由折叠可得：BD＝DF，∵cos∠ABF＝＝，∴BF＝，∴BD＝，故答案为：或．【知识点】含30度角的直角三角形、翻折变换（折叠问题）、锐角三角函数的定义15.若关于x的方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为．【解答】解：∵x的方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣）2﹣4×1×sinα＝0，解得：sinα＝，∴锐角α的度数为30°；故答案为：30°．【知识点】根的判别式、特殊角的三角函数值16.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是．【解答】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴AP＝6+4＝10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，在Rt△APB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴AP＝6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．【知识点】旋转的性质、锐角三角函数的定义、平行四边形的性质二、拓展提升17.计算：tan30°++（﹣）﹣1+（﹣1）2020【解答】解：原式＝×+2﹣2+1＝1+2﹣2+1＝2．【知识点】实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值18.计算：（）2+（﹣）0﹣12+2（tan60°﹣1）﹣1【解答】解：原式＝2+1﹣2+2×（﹣1）﹣1＝2+1﹣2+2×＝2+1﹣2++1＝．【知识点】负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算、分数指数幂19.先化简，再求值：，其中x＝4cos30°﹣2tan45°．【解答】解：原式＝[﹣]•，＝•，＝，当x＝4×﹣2×1＝2﹣2时，原式＝＝．【知识点】特殊角的三角函数值、分式的化简求值20.（1）计算（2017﹣π）0+﹣2cos45°+（）﹣1（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分別是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．【解答】（1）解：原式＝1+2﹣2×+2，＝1+2﹣+2，＝3+；（2）证明：∵D，E，F分別是BC，AB，AC的中点，∴ED∥AC，ED＝AC，DF∥AB，DF＝AB，∵ED∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝FD，∴四边形AEDF是菱形．【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的运算、菱形的判定、等腰三角形的性质、零指数幂、三角形中位线定理21.（1）已知角a和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝a，腰长AB＝c，要求仅用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹．（不写作法）（2）若a＝45°，c＝2，求此三角形ABC的面积．【解答】解：（1）；（2）∵a＝45°，c＝2，∴∠C＝∠B＝45°，∴∠A＝90°，∴三角形ABC的面积为×2×2＝2．【知识点】特殊角的三角函数值、三角形的面积、作图—复杂作图22.已知在▱ABCD中，点E为AB边上一点，过点E作EF⊥BC于点F．（1）如图1，连接EC，若点E为AB中点，tan∠B＝，AB＝10，EC＝4，求▱ABCD的周长；（2）如图2，作∠AEF的平分线交CD于点G，连接FG，若∠EGF＝2∠GFC，△EGH为等边三角形，且FG⊥HG，求证：AE+BF＝AG．【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD，∵AE＝EB＝5，EF⊥BF，tan B＝，∴EF＝4，BF＝3，在Rt△ECF中，CF＝＝8，∴BC＝11，∴平行四边形的周长＝2（10+11）＝42．（2）证明：如图2中，作GT∥CB交AB于T，交EF于K．∵△EGH是等边三角形，∴CE＝CH，∠EGH＝∠GEH＝∠EHG＝60°，∵FG⊥GH，∴∠FGH＝90°，∴∠EGF＝30°，∵∠EGF＝2∠GFC，∴∠GFC＝15°，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠EFG＝75°，∴∠FEG＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵GT∥BC，EF⊥BC，∴GT⊥EF，∴EK＝KF，∴ET＝TB，∵∠AEG＝∠GEF＝75°，∴∠BEF＝30°，∴BF ＝BE＝ET＝TB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵∠EAH+∠EGH＝180°，∴A，E，G，H四点共圆，∴∠EAG＝∠EHG＝60°，∵TG∥BC，∴∠ATG＝∠B＝60°，∴△AGT是等边三角形，∴AT＝GA，∴AE+ET＝AG，∴AE+BF＝AG．【知识点】平行四边形的性质、锐角三角函数的定义。
(最新整理)2018版九年级数学下册锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数课后练习新人教版
2018版九年级数学下册锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数课后练习新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版九年级数学下册锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数课后练习新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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28。
1 锐角三角函数第3课时特殊的三角函数值1．2018·大庆2cos60°＝（ )A ．1 B. C 。
D 。
Error!22．在△ABC 中,若∠C ＝90°，tan A ＝，则sin B 的值为( )3A .B .C 。
D .Error!123．如果在△ABC 中，∠A,∠B 为锐角，且sin A ＝cos B ＝，那么下列对△ABC 最确切的描述是（ )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形4．在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角,且有|tan B －Error!|＋(2sin A －Error!)2＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰（非等边)三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形作/A(这是边文，请据需要手工删加)5．2017·深圳南山三模分别写有数0，2－1,－2，cos 30°，3的五张卡片，除数不同外其他均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是( )A .B .Error!C .Error!D .6．如图，钓鱼竿AC 长6 m ,露在水面上的鱼线BC 长3 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长3 m ，则鱼竿转过的角度是3（ ）A．60°B．45°C．15°D．90°7．2017·深圳福田期末计算：|1－tan60°|－（－sin30°）－2＋tan45°＝________．8．点 M(－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是________．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 ,AC＝5 Error!，则∠A＝________°.10．如图，小明爬一土坡,他从A处到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.11．已知∠AOB＝60°,P是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上，且OM＝4，则点P 到点M与到边OB的距离之和的最小值是________．12．计算：(1)2017·深圳龙华二模｜－｜－（－Error!）0－2cos30°＋(Error!）－2；3（2)2017·深圳宝安二模cos45°＋（)－1＋Error!－4sin60°；2(3）2017·深圳福田期末sin30°－2cos230°＋(－tan45°）2018;(4）2016·深圳宝安期末sin 30°－2sin 60°＋tan 45°＋cos 245°.13．已知α为锐角，sin (α＋15°)＝,求－4cos α＋tan α＋（）－1的值．1314．如图，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C,从C 处测得树梢A 的仰角为45°,沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°。
人教版-数学-九年级下册-28.1 锐角三角函数 第三课时 练习(含答案) 赵磊
28.1 锐角三角函数(3)班级 姓名 座号 月 日主要内容:掌握特殊角三角函数值,能用它们进行计算,会由三角函数值说出相应锐角的大小 一、课堂练习:1.(课本83页)求下列各式的值: (1)12sin30cos30-o o(2)3tan30tan 452sin60-+o o o(3)cos6011sin 60tan 30++oo o 2cos60-oo2.(课本83页)在Rt ABC ∆中,90C ∠=o ,BC ,AC =求A ∠、B ∠的度数.3.已知α为锐角,且sin(10)α-︒=则α等于( )A.50oB.60oC.70oD.80o 4.如图,现有一扇形纸片,圆心角∠AOB 为120o ,弦AB 的长为侧面(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( ) A.23cm B.2π3cm C.32cm D.3π2cm二、课后作业:1.(课本85页)求下列各式的值:(1)sin 45o (2)12sin30cos30+o o(3)sin 45cos60sin 45⋅+o o o (4)2cos 45tan 60cos30+o o o2.如图,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限内,点B 的坐标为(3,0),2OA =,60AOB ∠=o .(1)求点A 坐标；(2)若直线AB 交y 轴于点C ,求AOC ∆的面积.3.如图是一个中心对称图形,A 为对称中心,若90C ∠=o ,30B ∠=o ,1BC =,则BB '的长为( ) A.44.若A ∠是锐角,且3sin 4A =,则( )A.030A <∠<o oB.3045A <∠<o oC.4560A <∠<o oD.6090A <∠<o o 5.计算:1sin 60cos302⋅-=o o _______.6.在ABC ∆中,若sin cos 0A B 2||+(-=,则C ∠=_______.三、新课预习:1.用计算器求下列锐角三角函数值:(1)cos6317'≈o ______ (2)tan 27.35≈o _________ (3)sin35576'''≈o ________ 2.已知下列三角函数值,用计算器求其相应的锐角A (精确到0.01o ): (1)sin 0.9861A = (2)cos 0.8067A = (3)tan 0.189A =C'B 第3题参考答案一、课堂练习:1.(课本83页)求下列各式的值:(1)12sin30cos30-o o解:原式1122=-⨯1=-(2)3tan30tan452sin60-+o o o解:原式312=-+1=(3)cos6011sin60tan30++oo o2cos60-oo解:原式12=+=+22=-=解:原式2212⨯=-12=-12=-=2.(课本83页)在Rt ABC∆中,90C∠=o,BC,AC=求A∠、B∠的度数. 解:∵tan BCAAC===∴30A∠=o∴90903060B A∠=-∠=-=o o o o3.已知α为锐角,且sin(10)α-︒=则α等于( C)A.50oB.60oC.70oD.80o4.如图,现有一扇形纸片,圆心角∠AOB为120o,弦AB的长为侧面(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( A)A.23cm B.2π3cmC.32cm D.3π2cm二、课后作业:1.(课本85页)求下列各式的值:(1)sin45o(2)12sin30cos30+o o解:原式=+解:原式1122=+⨯⨯=1=+(3)sin45cos60sin45⋅+o o o(4)2cos45tan60cos30+o o o解:原式12=+解:原式2=+=2=2.如图,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限内,点B 的坐标为(3,0),2OA =,60AOB ∠=o .(1)求点A 坐标；(2)若直线AB 交y 轴于点C ,求AOC ∆的面积. 解:(1)过点A 作 AD x ⊥轴于点D ,则1cos60212OD OA ==⨯=o,sin 602AD OA ==⨯=o ∴点A 坐标为(1(2)设直线AB 的关系式为y kx b =+∵直线AB 过点A (1)和点B (3,0)∴30k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AB的关系式为y x =+ 由0x =,得y =∴OC =∴112AOC S ∆==3.如图是一个中心对称图形,A 为对称中心,若90C ∠=o ,30B ∠=o ,1BC =,则BB '的长为( D )A.44.若A ∠是锐角,且3sin 4A =,则( C )A.030A <∠<o oB.3045A <∠<o oC.4560A <∠<o oD.6090A <∠<o o5.计算:1sin 60cos302⋅-=o o 14 .6.在ABC ∆中,若sin cos 0A B 2||+(-=,则C ∠=105o .三、新课预习:1.用计算器求下列锐角三角函数值: (1)cos6317'≈o . 04496 (2)tan 27.35≈o . 05172(3)sin35576'''≈o . 058712.已知下列三角函数值,用计算器求其相应的锐角A (精确到0.01o ): (1)sin 0.9861A = (2)cos 0.8067A = (3)tan 0.189A = 解:80.44A ∠≈o 解:36.23A ∠≈o 解:10.70A ∠≈oC'B 第3题。
人教版九年级数学下册第28章28.1锐角三角函数课时作业.docx
初中数学试卷桑水出品新人教版数学九年级下册第28章28.1锐角三角函数课时作业一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，则sinB 的值为（ ）A.12B. 22C. 32D.1知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：∵Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ， ∴sinA=2BC BC AB BC=12； ∴∠A=30° ∴∠B=60° ∴sinB=32故选C ．分析：本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题时，直接利用正弦的定义求解即可． 根据AB=2BC 直接求sinB 的值即可．2. 如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A.12 B. 32 C. 35 D. 45知识点：锐角三角函数定义 解析：解答：连接CD ，如图所示： ∵∠COD=90°， ∴CD 为圆A 的直径，又∵∠CBO 与∠CDO 为»CO所对的圆周角， ∴∠CBO=∠CDO ， 又∵C （0，5）， ∴OC=5，在Rt △CDO 中，CD=10，CO=5，根据勾股定理得：OD=22CD OC =53，∴cos ∠CBO=cos ∠CDO=OD CD =5310=32．故选B分析：此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．连接CD，由∠COD为直角，根据90°的圆周角所对的弦为直径，可得出CD为圆A的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠CBO=∠CDO，在直角三角形OCD中，由CD及OC的长，利用勾股定理求出OD的长，然后利用余弦函数定义求出cos∠CDO的值，即为cos∠CBO的值．3.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③DE EFAB AF=；④AD=BD cos45°．其中正确的一组是（）答案：B知识点：锐角三角函数定义解析：解答：①∵△ABD为直角三角形，∴BD2=AD2+AB2，不是BD=AD2+AB2，故说法错误；②根据折叠可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF，故说法正确；③根据②可以得到△ABF∽△EDF，∴DE EFAB AF=，故说法正确；④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BDcos45°，故说法错误．所以正确的是②③．故选B．分析：此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质及三角函数的定义，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加强训练．①直接根据勾股定理即可判定是否正确；②利用折叠可以得到全等条件证明△ABF≌△EDF；③利用全等三角形的性质即可解决问题；④在Rt△ABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确．4.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：由图形知：tan ∠ACB=26=13，知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：∵∠C=90°，BC=6，AC=8，知识点：特殊角的三角函数值 解析：解答：∵， ∴∠A=∠B=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C．分析：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确的记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键．根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．7.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧¼AmB上的一点，则tan∠APB的值是（）A. 1B.22C.33D.3知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：由题意得：∠AOB=90°，∴∠APB=12∠AOB=45°，∴tan∠APB=tan45°=1．故选A．分析：此题考查了圆周角定理与特殊角的三角函数值问题．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．由题意可得：∠AOB=90°，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠APB的度数，又由特殊角的三角函数值，求得答案．8.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的3C．扩大为原来的3倍D．不能确定答案：A知识点：锐角的三角函数的定义解析：解答：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A．分析：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．由于△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A 的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A 的正弦函数值也不变． 9. 已知△ABC 中，∠C=90°，tanA=12，D 是AC 上一点，∠CBD=∠A ，则sin ∠ABD=（ ）A.35 B. 105 C. 310D. 1010 知识点：锐角的三角函数的定义 解析：解答：作DE ⊥AB 于点E ．∵∠CBD=∠A ， ∴tanA=tan ∠CBD=BC CD DE AC BC AE ===12， 设CD=1，则BC=2，AC=4， ∴AD=AC-CD=3， 在直角△ABC 中，AB=2241625AC BC +=+=，在直角△ADE 中，设DE=x ，则AE=2x ， ∵AE 2+DE 2=AD 2， ∴x 2+（2x ）2=9， 解得：x=355， 则DE=355，AE=655． ∴BE=AB-AE=25-655=455， ∴tan ∠DBA=34DE BE =，知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：解：2sin30°-sin 245°+cot60°， =2×12-（2）2+3，知识点：特殊角的三角函数值 解析：解答：解：原式=1+2-1=2． 故选A ．分析：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂及0指数幂的运算法则，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及0指数幂计算出各数，再根据从左到右的顺序进行计算即可．12.数字2，13，π，38，cos45°，..0.32中是无理数的个数有（）个．A.1B.2C.3D.4答案：C知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：38=2，cos45°=22，所以数字2，13，π，38，cos45°，..0.32中无理数的有：2，π，cos45°，共3个．故选C．分析：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给的数据判断即可．13.如图，在4×4的正方形网格中，tanα=（）A.1B.2C.12D.52知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：如图，在直角△ACB中，令AB=2，则BC=1；∴tanα=221ABBC==故选B．分析：本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．求一个角的正切值，可将其转化到直角三角形中，利用直角三角函数关系解答．14.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A.12B.13C.14D.24知识点：锐角的三角函数的定义解析：解答：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=13CDBD∴tanB′=tanB=13．故选B．分析：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD 中求tanB．15.点M（-sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A. (32,12) B.(-32,-12) C. (-32,12) D.(-12,-32)知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：∵sin60°=32，cos60°=12，∴点M（-32,12）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（-32,12）故选B．分析：考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．1.计算：cos245°+tan30° sin60°=____．答案：1知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：cos245°+tan30°sin60°=12+33=12+12=1．故答案为：1．分析：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．将cos45°=22，tan30°=33，sin60°=32代入即可得出答案．2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____答案：m≥52．解析：解答：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=5，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC=52 OCAC，随着C的移动，∠BOC越来越大，∵C在第一象限，∴C不到x轴点，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥52，故答案为：m≥52．分析：本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC=∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．3.如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=12，则∠D的度数是____答案：30°．解析：解答：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；又∵sinA=12，∴∠CAB=30°，∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=OBC=60°，∴∠COB=60°，∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）；又∵DE⊥AB，∴∠D=90°-60°=30°．故答案是：30°．分析：本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值．解题时，注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用．由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°；然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得∠D 的度数．4.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=____答案：33．解析：解答：∵△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，AB=BC，∵BF⊥AC，∴∠ABF=12∠ABC=30°，∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE，∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO，∵在△BAO和△EAO中∵AB AEBAO EAOAO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAO≌△EAO，∴∠AEO=∠ABO=30°，∴tan∠AEO=tan30°=33，故答案为：33．分析：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中．根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=60°，推出AB=AE，根据SAS证△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．5.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=____答案：55．解析：解答：过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F．∵EF ⊥l 1，l 1∥l 2∥l 3∥l 4，∴EF 和l 2、l 3、l 4的夹角都是90°，即EF 与l 2、l 3、l 4都垂直，∴DE=1，DF=2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC=90°，AD=CD ，∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠α+∠ADE=90°，∴∠α=∠CDF ．∵AD=CD ，∠AED=∠DFC=90°，∴△ADE ≌△DFC ，∴DE=CF=1，∴在Rt △CDF 中，CD=22CF DF +=5，∴sinα=sin ∠CDF=1555CF CD ==． 分析：本题考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识． 过D 作EF ⊥l 1，交l 1于E ，交l 4于F ，易证△ADE ≌△DCF ，可得∠α=∠CDF ，DE=CF ．在Rt △DCF 中，利用勾股定理可求CD ，从而得出sin ∠CDF ，即可求sinα．1. 已知⊙O 的弦CD 与直径AB 垂直于F ，点E 在CD 上，且AE=CE ．（1）求证：CA 2=CE CD ；（2）已知CA=5，EA=3，求sin ∠EAF ．知识点：锐角三角函数的定义解析：解答：（1）证明：在△CEA 和△CAD 中，∵弦CD ⊥直径AB ，∴»»AC AD =，知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：原式=4+2-1-22×22=5-2=3． 分析：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点的运算． 本题涉及绝对值、负整数指数幂、0指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．3. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：AB=DF ；（2）若AD=10，AB=6，求tan ∠EDF 的值．解析： 解答：（1）证明：在矩形ABCD 中，BC=AD ，AD ∥BC ，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB ．∵DF ⊥AE ，AE=BC ，∴∠AFD=90°，AE=AD ．∴△ABE ≌△DFA ；∴AB=DF ；（2）解：由（1）知△ABE ≌△DFA ．∴AB=DF=6．在Rt △ADF 中，AF=22AD DF -=22106-=8，∴EF=AE-AF=AD-AF=2．∴tan ∠EDF=13EF DF =． 分析：本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE ，∠DAF=∠EAB ．再结合一对直角相等即可证明△ABE ≌△DFA ；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF ；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．4.计算(-1)2011-(12)-3+(cos68°+5π)0+|33-8sin60°|；答案：-8+3知识点：特殊角的三角函数值解析：解答：原式=-1-8+1+|33-8×3 2|=-8+3；分析：本题考查的是实数混合运算的法则解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．分别根据有理数的乘方、负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；5.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：BD CD BE BC=；（3）若BC=32AB，求tan∠CDF的值．解析：解答：∠CBD与∠CEB相等，证明：∵BC切⊙O于点B，件推出△EBC∽△BDC；（3）关键在于通过求证△DCF∽△BCD，根据对应边成比例的性质求出tan∠DBF的值．（1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等；（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论；（3）通过设BC=3x，AB=2x，根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值．。
人教版九年级数学28.1 锐角三角函数第3课时 特殊角的三角函数值
6．在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，若 cosA＝ 23，sinB＝12，则∠C ＝__1_2_0_°__.
7．已知 α，β 均为锐角，且满足|sinα －12|＋ （tanβ －1）2＝0，则 α ＋β＝__7_5_°___.
知识点❸：特殊角的三角函数值的计算
8．式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2的值是( B )
数学
九年级下册 人教版
第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的三角函数值
知识点❶：特殊角的三角函数值
1．下列式子中正确的是( B )
A．sin30°＝
3 2
B．cos45°＋sin45°＝ 2 C．sin60°＝sin(2×30°)＝2sin30°
D．tan60°＋tan30°＝2 3
18．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD＝10 2，AB＝20.求∠A 的度数．
解：∵在 Rt△BDC 中，∠BDC＝45°，BD＝10 2，∴BC＝BD·sin ∠BDC＝10 2× 22＝10，∵∠C＝90°，AB＝20，∴sinA＝BACB＝1200＝12， ∴∠A＝30°
知识点❷：由三角函数值求特殊角
4．(2019·怀化)已知∠α 为锐角，且 sinα ＝12，则∠α ＝( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．李红同学遇到了这样一道题： 3tan(α＋20°)＝1，则锐角 α 的度数
应是( D )
A．40° B．30° C．20° D．10°
16．如图，△ABC 内接于⊙O，AB，CD 为⊙O 的直径，DE⊥AB 于 点 E，sinA＝12，则∠D 的度数是__3_0_°__.
秋九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数练习 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级下册数学
第二十八章 锐角三角函数28．1 锐角三角函数第1课时 正弦01基础题知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.1．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A 的值为(D )A.512B.125 C.1213D.5132．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则sin A ＝(A )A.35B.45C.53D.343．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么sin α的值是(A )A.35B.45C.34D.43第3题图 第4题图4. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝35.5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是34.6．根据图中数据，求sin C 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝34， ∴sinC ＝AB BC ＝53434，sinB ＝AC BC ＝33434.7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，a∶c ＝2∶3，设a ＝2k ，c ＝3k.(k>0)∴b ＝c 2－a 2＝5k. ∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝53.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长8．(来宾中考)在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB 边的长是9.9．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC＝0.8，则BC ＝6.易错点 对正弦的概念理解不清10．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定02中档题11．已知Rt △ABC∽Rt △A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，且AB ＝2A′B′，则sin A 与sin A′的关系为(B )A ．sin A ＝2sin A ′ B．sin A ＝sin A ′ C ．2sin A ＝sin A ′ D．不确定12．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为(C )A.12B.22C.32D ．1 13．在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3a ，则sin A 的值是(A )A.13B.233 C ．3 D ．以上都不对14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为(A )A.53 B.255 C.52 D.23第14题图 第16题图15．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A ＝12.16．(某某中考)如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，且AB⊥CD，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP＝35.17．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点，求∠OBC 的正弦值．解：连接OA 并延长交⊙A 于点D ，连接CD.∴∠OBC ＝∠ODC， ∠OCD ＝90°.∴sin∠OBC ＝sin∠ODC ＝OC OD ＝510＝12.03综合题18．(某某中考)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin 2A 1＋sin 2B 1＝1；sin 2A 2＋sin 2B 2＝1；sin 2A 3＋sin 2B 3＝1.(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝1；(2)如图4，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝513，求sin B .解：(2)∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2＋b 2c2.∵∠C ＝90°， ∴a 2＋b 2＝c 2. ∴sin 2A ＋sin 2B ＝1.(3)∵sinA ＝513，sin 2A ＋sin 2B ＝1，且sinB ＞0，∴sinB ＝1－（513）2＝1213.第2课时 锐角三角函数01基础题 知识点1 余弦如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.1．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A.35B.45C.34D.432．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，cos A ＝35，AC ＝6 cm ，那么BC 等于(A )A ．8 cm B.245 cmC.185 cm D.65cm 3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，求cos A 和cos B 的值．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5.cosA ＝AC AB ＝25＝255，cosB ＝BC AB ＝15＝55.知识点2 正切如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b.4．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A.34B.43C.35D.455．在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan ∠ABC 的值为(D )A.31313 B.21313 C.32 D.23第5题图 第6题图6．(某某中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是12.7．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，则底角的正切值为115.知识点3 锐角三角函数∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．8．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝17.第8题图 第9题图9．(崇左中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是(A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝12510．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sinA ＝BC AB ＝2425，cosA ＝AC AB ＝725，tanA ＝BC AC ＝247.02中档题11．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B ＝(C )A.512 B.125C.513 D.121312．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是(B )A.45B.35C.34D.4313．将△AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A 的坐标为(2，1)，则tan ∠A′OB′的值为(A )A.12B ．2 C.55 D.255第13题图 第14题图14．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．15．(某某中考)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 交于点E ，连接AC ，B D.若AC ＝2，则cos D ＝13.16．(某某中考)如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32，即AD ＝4. 又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10.∴sinB ＝CD BC ＝610＝35，cosB ＝BD BC ＝810＝45.∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75.17．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23.设CD ＝2x ，CF ＝3x (x>0)，∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.03综合题18．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tan α，即c tan α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)c tan 30°＝3；(2)如图，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求c tan A 的值．解：∵tanA ＝34，且tanA ＝BC AC，∴设BC ＝3x ，AC ＝4x. ∴ctanA ＝AC BC ＝4x 3x ＝43.第3课时 特殊角的三角函数值01基础题知识点1 特殊角的三角函数值填写下表：30° 45° 60° sin α 12 22 32 cosα 32 22 12 tanα33131．已知∠A＝30°，下列判断正确的是(A )A ．sin A ＝12B ．cos A ＝12C ．tan A ＝12D ．cot A ＝122．计算：cos 230°＝(D )A.12B.14C.32D.34 3．(某某中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A.12B ．1 C.14 D.224．计算：tan 45°＋2cos 45°＝2. 5．计算：(1)sin 30°＋cos 45°； 解：原式＝12＋22＝1＋22.(2)cos30°·tan30°－tan 245°； 解：原式＝32×33－12＝12－1＝－12. (3)22sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角6．(某某中考)在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是(D )A ．30° B．45° C．60° D．90° 7．如果在△ABC 中，sin A ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是(C ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形8．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝12，则α＝30°.9．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A＝60°.知识点3 用计算器计算三角函数值10．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(B )A ．0.90B ．0.72C ．0.6911．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D )A ．5÷tan26°＝B ．5÷sin26°＝C ．5×cos26°＝D ．5×tan26°＝12．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sinA ＝sin18°36′≈0.319 0，cosA ＝cos18°36′≈0.947 8， tanA ＝tan18°36′≈0.336 5.13．已知下列正(余)弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．(1)sin α＝0.822 1； 解：α≈55.3°.(2)cos β＝0.843 4. 解：β≈32.5°.02中档题14．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是(B )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(－32，12) D．(－12，－32)15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)A．40° B．30° C．20° D．10°16．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(D)A.12B.33C.22D.3217．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为(C) A．(2，1) B．(1，2)C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)第17题图第18题图18．(某某中考)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接C B.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝8.19．计算：(1)(某某中考改编)2 0180＋(－1)2－2tan45°＋4；解：原式＝1＋1－2×1＋2＝2.(2)(－1)－2＋|2－3|＋(π－3.14)0－tan60°＋8.解：原式＝1＋(3－2)＋1－3＋2 2＝2＋ 2.20．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0， 得x 1＝1，x 2＝ 3.由题意知tanA ＝1或tanA ＝ 3.∴∠A ＝45°或60°.21．(原创题)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1.(1)若BC ＝2，求△ABC 三个内角的度数； (2)若BC ＝3，求△ABC 三个内角的度数．解：(1)∵AB ＝AC ＝1，BC ＝2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(2)过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵AB ＝AC ＝1，AD⊥BC， ∴BD ＝12BC ＝32.∴cosB ＝BD AB ＝321＝32.∴∠B ＝30°.∴∠C ＝30°，∠BAC ＝120°.03综合题22．(某某中考)一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是6－24. 解直角三角形及其应用 28． 解直角三角形01基础题知识点1 已知两边解直角三角形如图，已知两边：(1)已知a ，b ，则c ＝a 2＋b 2，sin A ＝cos B ＝a c，sin B ＝cos A ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a；(2)已知a ，c ，则b ＝c 2－a 2，sin A ＝cos B ＝a c ，sin B ＝cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a. 1．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝4，b ＝3，则cos A 的值是(A )A.35B.45C.43D.543．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A＝45°，∠B ＝45°，b ＝20. 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tanA ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边一锐角解直角三角形如图，已知一边一角：(1)已知a ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sinA ，b ＝a tanA； (2)已知c ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，a ＝c·sinA .5．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB ＝8，则BC 的长是(D )A.433B ．4C ．8 3D ．4 36．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为(C )A ．12B ．18C ．24D ．487．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC ＝32，则AC ＝24.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(教材9下P 73例2变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：根据题意，∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. 根据正弦定义，sinB ＝AC AB，则AB ＝AC sinB ＝4sin55°≈4.9.根据正切的定义，tanB ＝AC BC，则BC ＝AC tanB ＝4sin55°≈2.8.所以△ABC 的另一个锐角度数为35°，另一条直角边长为2.8，斜边长为4.9. 易错点 忽视钝角三角形而致错9．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，∠B＝30°，则BC 的长为2或4.02中档题10. 如图，在△AB C 中，∠C＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC＝35，则BC的长是(A )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm11．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，则BC 边长为(D )A ．7B ．8C ．8或17D ．7或1712.(某某中考)如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝5，sin A ＝23，则tan B ＝43.第12题图 第13题图13．(某某中考)如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是2.14．(某某中考)如图，在△ABC 中，BD⊥AC，AB ＝6，AC ＝53，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值．解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt△ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝3BD ＝3 3.(2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23， 在Rt△BDC 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.15．(某某中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC 的长； (2)若sin A ＝45，求AD 的长．解：(1)∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，tanA ＝BE AB，∴BE ＝6·tan60°＝6 3.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，∠E ＝90°－60°＝30°， CD ＝4， ∴CE ＝2CD ＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2) ∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，sinA ＝45，∴BE AE ＝45. 设BE ＝4x ，则AE ＝5x (x ＞0)．∵AE 2－BE 2＝AB 2，∴(5x )2－(4x )2＝62.∴x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，CD ＝4，tanE ＝CD ED ，而在Rt△ABE 中，tanE ＝AB BE ＝68＝34，∴CD ED ＝34. ∴ED ＝43CD ＝163.∴AD ＝AE －ED ＝143.03综合题16. 如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5. (1)求∠B 的度数与AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．解：(1)作CE⊥AB 于E ，设CE ＝x ， 在Rt△ACE 中，∵tanA ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x.∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x. ∴5x ＝35，解得x ＝3. ∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt△BCE 中，∵sinB ＝22， ∴∠B ＝45°.∴△BCE 为等腰直角三角形． ∴BE ＝CE ＝3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.(2)∵CD 是边AB 上的中线，∴BD ＝12AB ＝4.5.∴DE ＝BD －BE ＝－3＝1.5. ∴tan∠CDE ＝CEDE＝错误!＝2，即tan∠CDB 的值为2.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D 为底边中点)的长是(C )A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米第1题图 第2题图2．(教材9下P 74例3变式)如图，某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R ，则航天飞船距离地球表面最近距离AP ＝Rsinα－R. 3．(某某中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．如图，在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CAB ＝30°， ∴AD ＝3CD. ∵∠CBA ＝60°，∴DB ＝33CD. ∵AB ＝AD ＋DB ＝30，∴3CD ＋33CD ＝30. ∴CD ＝1523＝152×1.73≈13(米)．答：河的宽度约为13米．知识点2 解与视角有关的实际问题4．(教材9下P 75例4变式)(某某中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为(A )A ．160 3 mB ．120 3 mC ．300 mD ．160 2 m5．(某某中考)如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB⊥BD，CD⊥BD，AB ＝15 m ，CD ＝20 m ，AB 和CD 之间有一景观池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°(点B ，E ，D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：由题意，得∠AEB ＝42°，∠DEC ＝45°.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°. ∵AB ＝15，∠AEB ＝42°， tan∠AEB ＝ABBE ，∴BE ＝15tan42°＝503.在Rt△DEC 中，∠CDE ＝90°，∠DEC ＝45°，CD ＝20.∴ED ＝CD ＝20.∴BD ＝BE ＋ED ＝503＋(m )．答：两幢建筑物之间的距离BD 约为36.7 m.易错点 混淆三点函数的数量关系而导致错误6．(某某中考)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C )A.30tanα米 B ．30sinα米 C ．30tanα米 D ．30cosα米 02中档题7. (某某中考)某某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．解：延长AD交BC所在直线于点E.由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE ，∴CE＝AE·tan60°＝153米．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAE＝17＋15315，∴∠BAE≈71°.答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°.8．(某某中考)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，∴AB＝APtan∠ABP ＝97tan30°＝9733＝973≈168.答：主桥AB的长度约为168 m.(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，∴PB＝2PA＝194.又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PB A＝30°，∴∠DBP＝∠DPB＝60°.∴△PBD是等边三角形．∴DB＝PB＝194.在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，∴BC＝DBtanC ＝194tan80°36′≈32.答：引桥BC的长约为32 m.03综合题9．(六盘水中考)为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：①小明的身高DC＝1.5米；②小明的影长CE＝1.7米；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9米；④旗杆的影长BF＝7.6米；⑤从D点看A点的仰角为30°.请你选择需要的数据，求出旗杆的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)情况一：选用①，②，④.∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF＝∠DCE＝90°.又∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC.则△ABF∽△DCE.∴ABDC＝FBEC.又∵DC ＝1.5 m ，FB ＝7.6 m ，EC ＝1.7 m ，∴AB≈6.7 m.即旗杆高度约为6.7 m. 情况二： 选用①，③，⑤. 过D 点作DG⊥AB 于G 点， ∵AB⊥FC，DC⊥FC，∴四边形BCDG 为矩形． ∴CD ＝BG ＝1.5 m ，DG ＝BC ＝9 m.在Rt△AGD 中，∠ADG ＝30°，tan30°＝AG DG，∴AG ＝3 3 m.又AB ＝AG ＋GB ，∴AB ＝33＋(m)．∴旗杆高度约为6.7 m.第2课时 与方位角、棱角有关的解直角三角形应用问题01基础题知识点1 解与方位角有关的实际问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A )A ．250米B ．2503米 C.50033米 D ．5002米第1题图 第2题图2．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．3．(某某中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？(精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)解：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，∠ACP ＝90°，∠PAC ＝60°.∴PC＝ 200×sin60°＝200 ×32＝1003(m)．∵在Rt△PBC中，sin37°＝PCPB ，∴PB＝PCsin37°＝错误!≈288(m)．答：小亮与妈妈相距约288米．知识点2解与坡角有关的实际问题4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A) A．12米 B．43米C．53米 D．63米第4题图第5题图5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是35米．6．(教材9下P77练习T2变式)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BEAE＝错误!，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝3CF＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203(米)．答：坝底AD的长度约为米．02中档题7．(某某中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(3≈1.732)解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.∴∠CAB＝∠ABD.∴BC ＝AC ＝200海里．在Rt△ACD 中，设CD ＝x ，则AC ＝2x ，AD ＝AC 2－CD 2＝（2x ）2－x 2＝3x. 在Rt△ABD 中，AB ＝2AD ＝23x ，BD ＝AB 2－AD 2＝（23x ）2－（3x ）2＝3x.又∵BD ＝BC ＋CD ，∴3x ＝200＋x ，解得x ＝100.∴AD ＝3x ＝1003≈173.2.海里＞170海里，且D 处距离A 处最近，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．8．(某某中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE∥BC，BD ＝1 700 m ，∠DBC＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m )解：过点D 作DF⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M. 由题意，得EM ⊥AC，DF ＝CM ，∠AEM ＝29°， 在Rt△DFB 中，sin80°＝DFBD，∴DF ＝BDsin80°.AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700sin80°.在Rt△AME 中，sin29°＝AM AE，∴AE ＝AM sin29°＝1 790－1 700sin80°sin29°(m )，答：斜坡的长度约为238.9 m. 03综合题9．(黔东南中考)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学测量学校附近一电线杆的高，如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD ＝4 m ，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解：延长AD交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥BG，垂足为点H，则∠G＝30°.∵在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，∴C H＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2.DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2 3.又∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝DHtanG ＝23tan30°＝6.∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8.设AB＝x m.又∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x.∴BG＝ABtanG ＝xtan30°＝3x.∵BG－BC＝CG，∴3x－x＝8.解得x≈11 m.答：电线杆的高(AB)约为11 m.小专题17解直角三角形的实际应用1．(某某月考)如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B)处6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：过点E作EC⊥AB于C.∵CE＝BD＝6 m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3＝63(m)．∴AB＝AC＋DE＝＋＝(m)．答：旗杆AB的高度约为11.9 m.2．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)．解：(1)如图．(2)AB＝30×＝15(海里)．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BC AB ，∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30° ＝15×33＝53(海里)．答：钓鱼岛C 到B 处距离为53海里．3．(某某中考)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道A B.如图，在山外一点C 测得BC 距离为200 m ，∠CAB ＝54°，∠CBA ＝30°，求隧道AB 的长．(参考数据： sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，结果精确到个位)解：过点C 作CD⊥AB 于D ，在Rt△BCD 中，∵∠B ＝30°，BC ＝200，∴CD ＝12BC ＝100，BD ＝1003≈173.在Rt△ACD 中，∵tan∠CAB ＝CD AD ，∴AD ＝100tan54°≈72.∴AB ＝AD ＋BD≈245.答：隧道AB 的长约为245米．4．(黔东南中考)如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，2，3≈1.73，4≈2.24)解：假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝CD·sin60°＝12×32＝63(米)， CE ＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．易知：四边形DEE′D′是矩形．∴DE ＝D′E′＝63米． ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈错误!≈12.8，∴EE′＝CE′－CE ＝－6＝(米)． ∴DD′＝EE′＝米．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动米才能保证教学楼的安全．5．(某某中考)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC ＝4米，AB ＝6米，中间平台宽度DE ＝1米，EN ，DM ，CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N ，M ，B ，∠EAB＝31°，DF⊥BC 于F ，∠CDF＝45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)解：设BM ＝x 米．∵∠CDF ＝45°，∠CFD ＝90°， ∴CF ＝DF ＝x 米．∴BF ＝BC －CF ＝(4－x )米． ∴EN ＝DM ＝BF ＝(4－x )米．∵AB ＝6米，DE ＝MN ＝1米，BM ＝x 米， ∴AN ＝AB －MN －BM ＝(5－x )米．在△AEN 中，∠ANE ＝90°，∠EAN ＝31°，∴EN ＝AN·tan31°，即4－x ＝(5－x )． ∴x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 的长度约为米．6．(某某中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m (踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m ．(计算结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？解：过C 点作CM⊥DF，CE⊥OD，垂足分别为M ，E ，∵在Rt△CEO 中，∠CEO ＝90°， ∠COE ＝55°， ∴cos∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC·cos∠COE ＝3·cos55°≈1.7 m. ∴ED ＝3＋－＝(m )．∴CM ＝ED ＝1.9 m ＜2 m.∴此人是安全的．章末复习(八) 锐角三角函数01分点突破知识点1 求锐角三角函数值1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BC C ．sin B ＝AD ACD ．sin B ＝CD AC第1题图第3题图2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是(D )A.13B ．3 C.24D ．2 2 3．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝23．知识点2 特殊角的三角函数值(某某2016T19、2015T19、2014T19) 4．在△ABC 中，若(3tan A －3)2＋|2cos B －3|＝0，则△ABC 为(A )A ．直角三角形B ．含60°角的任意三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形5．(某某中考改编)计算：(π－2 016)0＋|1－2|＋2－1－2sin 45°＝12．知识点3 解直角三角形及其应用(某某2017T22、2016T21、2015T21、2014T21、2013T21) 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan A 2＝33．7．如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H. 则AB ＝DH ＝米，BD ＝AH ＝6米．在Rt△ACH 中，∵∠CAH ＝30°，tan∠CAH ＝CH AH，∴CH ＝AH·tan∠CAH ＝6·tan30°＝23(米)． ∴CD ＝CH ＋HD ＝(23＋)米．在Rt△CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CDsin60°＝4＋3(米)．答：拉线CE 的长约为米．02中考题型演练8．(某某中考)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是(A )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米第8题图 第9题图9．(某某中考) △ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝110.(某某中考)如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为33．第10题图 第12题图11．(某某中考) △ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B＝30°，则△ABC 的面积是213或153.12．(某某中考)如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为1002米．(结果保留根号)13．(某某中考)如图，一楼房AB 后有一座假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF⊥BC 的延长线于点F ，EH⊥AB 于点H ， 在Rt△CEF 中，∵i ＝EFCF＝13＝tan∠ECF， ∴∠ECF ＝30°.∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米．∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt△AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米． ∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米．14．(某某中考)今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”某某行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为752海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)解：(1)过点B作BH⊥CA，交CA的延长线于点H.∵∠MBC＝60°.∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°.∴∠C＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°.∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×12＝75海里．答：B点到直线CA的距离是75海里．(2)∵在Rt△BDH中，BD＝752海里，BH＝75海里，∴DH＝BD2－BH2＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan∠BAH＝BHAH＝3，∴AH＝253海里．∴AD＝DH－AH＝(75－253)海里．答：执法船从A到D航行了(75－253)海里．。
锐角三角函数+第3课时+特殊角的三角函数值++课件+++2023--2024学年人教版九年级数学下册
解：原式 =
1 2
2 2
1 2
2.
(2) sin230° + cos230°－tan45°.
解：原式 =
1 2
2
2
3 2 1 0.
考点 2 利用三角函数值求特殊角
活动2： (1) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 6 ，
BC = 3，求∠A 的度数；
B
解：∵∠C = 90°，AB = 6， BC = 3， 6
解：∵ | tanB－ 3 |≥0， (2sinA－ 3 )2≥0， 且 | tanB－ 3 | ＋ (2sinA－ 3 )2＝0，
∴ tanB－ 3 =0， 2sinA－ 3 ＝0，
∴ tanB＝ 3 ，sinA＝ 3． 2
∴∠B＝60°，∠A＝60°.
当堂检测
1. 3 tan (α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是
2 2
3
3 3. 2
30°、45°、60° 角的三角函数值
特殊角的 三角函数值
根据特殊三角函数值求角度
6. 如图，在△ABC 中，∠A = 30°，tanB 3 ，AC 2 3， 2
求 AB 的长度.
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
∵∠A = 30°， AC 2 3 ，
∴ sin A CD 1，cos A AD 3 . C
解：解方程 x2 + 2x－3 = 0，得 x1 = 1，x2 =－3. ∵ α 为锐角，tanα＞0，∴ tanα = 1. ∴ α = 45°.
∴ 2sin2α + cos2α － 3 tan (α + 15°)
= 2sin245° + cos245°－ 3 tan60°
九年级数学下册 28.1 锐角三角函数(第3课时)学案 新人教版(2021年整理)
九年级数学下册28.1 锐角三角函数（第3课时）学案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册28.1 锐角三角函数（第3课时）学案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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28.1 锐角三角函数（第三课时)【学习目标】1．熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子;2．会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数；3．加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练．【重点难点】重点：会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子．难点：会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数．【新知准备】1。
一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的?2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12，求∠B的锐角三角函数值．【课堂探究】一、自主探究探究1请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系?如果设每块三角尺较短的边长为1,请你说出未知边的长度。
探究2二、尝试应用1、求下列各式的值：（1)22cos 60sin 60+； (2） cos 45tan 45sin 45-2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中,∠C =90°，AB 6BC 3，求∠A 的度数．(2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径)OB 3倍，求a ．三、补偿提高1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC =7，AC =21，求∠A 、∠B 的度数．2。
人教版九年级下册数学同步《28.1锐角三角函数(3)》第三课时导学案(无答案)
《28.1锐角三角函数（3）》导学案班级_______小组名_______姓名__________小组评价______教师评价_____一.学习目标1、熟练掌握锐角的正弦、余弦、正切的定义，记住特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值；2、了解用计算器求任意锐角的三角函数值的方法，能运用三角函数解决简单的计算问题；二.自主学习1、特殊角的三角函数值①观察自己的一对三角板，在草稿本上演算：30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值各是多少？②对照教材66页的表格，加强记忆（每个人必须记住）！！！sin30°=21，sin45°=22，sin60°=23；cos30°=23，cos45°=22，cos60°=21；tan30°=33，tan45°=1，tan60°=3。
2、运用：①例题，求下列各式的值（1）sin30°-tan45°+cos 230° （2）(tan45°-cos60°)÷sin60°⋅cos30°解：（1）sin30°-tan45°+cos 230° =21-1+2)23(=41 （2）(tan45°-cos60°)÷sin60°⋅cos30°=（1-21）÷23⋅23=12- ②教材66页例4学习提示：结合图形读懂题意，再演算。
3、通过阅读教材67—68页，了解用计算器求任意锐角的三角函数值的方法（用计算器实际操练）。
4、知识与方法小结①A 为锐角时，sinA 、tanA 的函数值都是随A 的增大而____；cosA 的函数值随A 的增大而______。
②已知锐角A 的函数值时，可求角A 的度数；如：∠A 是锐角，且tanA=1,则∠A=45°。
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如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯28.1 锐角三角函数（第3课时）自主预习1. 填写下表：2. 在△ABC 中，∠C =90°，cosB =，则∠B = .3. 当锐角A 是30°、45°或60°的特殊角时，可以求得这些角的三角函数值；但如果不是这些特殊角时，一般借助 或锐角三角函数表来求三角函数值.4. 用计算器计算：sin 10°= ；cos 42°= .5. 已知sinA =0.370 6，则锐角A = .互动训练知识点一：特殊角的三角函数值 1.sin 60°的值等于( )A. B. C. D.2.cos 45°的值是( )A. B. C. D.1212223332122233.计算：cos 2 30°=( )A. B. C. D.4.计算：tan 45°+cos 45°= .5.在等腰△ABC 中，∠C =90°，则tanA = .6.计算：(1)sin 30°+cos 45°； (2)cos 30°·tan 30°-tan 45°；(3)sin 260°+cos 260°； (4)sin 45°+sin 60°·cos 45°.知识点二：由三角函数值求特殊角7.已知α为锐角，且cos (90°-α)=，则α= .8.在△ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =2, 则∠A = .9.在△ABC 中，若|sinA -|+(cosB -)2=0，则∠C 的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.90° 10.如果在△ABC 中，sinA =cosB =，那么下列最确切的结论是( ) A.△ABC 是直角三角形 B.△ABC 是等腰三角形 C.△ABC 是等腰直角三角形 D.△ABC 是锐角三角形21412343222213212122知识点三： 特殊角的三角函数值的运用 11.下列各式不正确的是( )A. cos 30°=sin 60°B. tan 45°=2sin 30°C. sin 30°＋cos 30°=1D. tan 60o ·cos 60o =sin 60o 12.点(－cos 60°，tan 30°)关于x 轴对称的点的坐标是( )A. (12 B. ( －12C. (D. ( )13.在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA ，则∠A 的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°14.在Rt △ABC 中，cosA =12，那么sinA 的值是( )A.B. C. D. 1215.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 都是锐角，tanA =1，sinB =2，你认为最确切的判断是( )A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.锐角三角形 16.若某三角形的三个内角度数之比为1:2:3，则该三角形中最小内角的正切值 为 .17.在△ABC 中，∠C =90°，AC =1，AB ，则点B 的度数是 .18.已知菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，0C ，则点B 的坐标是 .18题图 19题图19.如图，在△ABC 中，∠B =60o ，sinC =45，AC =10，求AB 的长.知识点四：用计算器计算三角函数值20.用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是( )A.0.90B.0.72C.0.69D.0.66 21.用计算器求tanA =0.523 4时的锐角A (精确到1°)，按键的顺序正确的是( ) A. tan ，°，.， 5，2，3，4，= B. 0，.，5，2，3，4，=2ndf ，tan C. 2ndf ，tan ，.，5，2，3，4 D. tan ，2ndf ，.，5，2，3，4 22．当锐角a >60°时，cosa 的值（ ）A ．小于12B ．大于12 C D ．大于123.sin 272°+sin 218°的值是（ ）A ．1B ．0C ．12 D 24. 如果∠A 为锐角，那么sin ∠A ( )A ．小于1B ．等于1C ．大于1D ．大于零且小于1课时达标1.在△ABC 中，∠A =75°，sinB =，则tanC ＝( ) A.B. C.1D. 2.若α为锐角，且3tan (90°-α)=，则α为( )A.30°B.45°C.60°D.75° 3.式子2cos 30°-tan 45°( )A.2-2B.0C.2D.2 4. 下列各式中不正确的是（ ）A ．sin 260°+cos 260°=1B ．sin 30°+cos 30°=1C ．sin 35°=cos 55°D ．tan 45°>sin 45° 5. 计算2sin 30°-2cos 60°+tan 45°的结果是（ ）A ．2BCD ．16. 已知∠A 为锐角，且cosA ≤，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A <90° C ．0°<∠A ≤30° D ．30°≤∠A <90° 7.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC =45°，OC =，则点B 的坐标为( )A.(，1)B.(1，)C.(+1，1)D.(1，+1)233332333312222227题图 8题图8. 如图，C 为⊙O 外一点，CA 与⊙O 相切，切点为A ，AB 为⊙O 的直径，连接CB .若⊙O 的半径为2，∠ABC =60°，则BC = .9.若a =3-tan 60°，则(1-)÷= . 10.利用计算器求∠A =18°36′的三个锐角三角函数值.11.计算：(1) +(π-3)0-tan 45°；(2) |-|+sin 45°+tan 60°-()-1-+(π-3)0；1-a 21-a 96a -a 2+163231-12（3）;（4）-sin 60°（1-sin 30°）；（5）tan 45°·sin 60°-4sin 30°·cos·tan 30°；（6）+cos 45°·cos 30°.12.若tanA 的值是方程x 2-(1+)x +=0的一个根，求锐角A 的度数.13.如图，△ABC 表示学校内的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮. 已知某种草皮每平方米售价为200元，则购买这种草皮需花费多少元？13题图2cos 602sin 302︒︒-sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒sin 45tan 30tan 60︒︒-︒33拓展探究1. 已知等腰△ABC中，AB=AC=1.(1) 若BC=,求△ABC三个内角的度数；(2) 若BC=，求△ABC三个内角的度数.1题图2．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°， 这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“<”或“>”或“＝”）若∠α=45°，则sinα_____cosα；若∠α<45°，则sinα_____cosα；若∠α>45°， 则sinα______cosα．（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小．sin10°，cos30°，sin50°，cos70°2328.1 锐角三角函数（第3课时）答案自主预习1. 12,2, 2, 2, 2, 12, 3, 1,.2. 30°.3. 计算器.4. 0.173 6, 0.743 1,5. 21°45′9″ . 互动训练1. C.2. B.3. D.4. 2.5. 1.6.(1)原式=12+2=12+.(2)原式=2×3-1=12-1=-12. (3)原式=()2+(12)2=1. (4)原式7. 30°. 8. 60°.9. D. 解析：由|sinA -|+(cosB -)2=0，得|sinA -|=0，(cosB -)2=0，∴若sinA=，cosB=，∴∠A =30°,∠B =60°, ∴∠C=90°,选D.21212121212110. C. 解析：由sinA=cosB=，得∠A=∠B=45°, ∴∠C=90°,∴△ABC是等腰直角三角形，选C.11. C. 解析：cos30°=2，tan60°=2，所以A项正确；tan45°=l，2sin30°=1，所以B项正确；sin30°= 12，cos30°=2，所以C项错误；tan60°= ，cos60°=12，sin所以D项正确. 故选C.12. B. 解析：因为cos60°= 12，tan，所以点(－cos60°，tan30°)即(－12，根据关于x轴对称的两点的坐标关系：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可知选B.13. C.14. B. 解析：在Rt△ABC中，∵cosA= 12，∠A=60°，∴sinA=sin60°= ，故选B.15. B. 解析：∵∠A，∠B都是锐角，tanA=l，sinB= ，∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=180°－∠A－∠B=90°，∴△ABC是等腰直角三角形.故选B.16.3解析：由题意，得该三角形中最小内角的度数为180°×1123++=30°，而tan30°=3，所以最小内角的正切值为3.2217. 45°. 解析：由题意可得，在Rt △ABC 中，sinB = ACAB ，∴∠B =45°.18.1,1)解析：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵四边形OABC 是菱形，∴OA =AB =OC = ，AB ∥0C ，∴∠BAD =∠AOC =45°，∴BD =ABsin ∠BAD = ×=l ，AD =ABcos ∠BAD ，∴OD =OA ＋AD = ＋1，∴点B 的坐标是＋1，1).19. 解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ACD 中，sinC = ADAC = 45，∵AC =10，∴AD =8.在Rt △ABD 中，∠B =60°，sinB = ADAB ，∴ sin 60°= 8AB = 2，∴AB = 3.19题图20. B. 21. C. 22. A. 23. A. 24. D.课时达标1. C.2. C.3. B.4. B.5. D.6. B.7. C.8. 8.9. -3. 解析：a =3-tan 60°=3 原式=121a a ---÷2(3)1a a --=13a -，将a =3=10. sinA=sin18°36′≈0.319 0，cosA＝cos18°36′≈0.947 8，tanA＝tan18°36′≈0.336 5.11. (1)原式=4+1-1=4.(2)原式2(-3)--+1=5.（3）原式=1212112222⨯=-⨯-=-1（4）原式=221322+-⨯-2(1-12)=4-4=4.（5）原式=1×2-4×12×2×3=2=2（6）原式+2×2=2÷（-3）+4×（）（12. 解方程x2-x，得x1=1，x2.由题意知tanA=1或tanA. ∴∠A=45°或60°.13.解：如图，过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D，因为∠BAC=150°，所以∠BAD=30°.在Rt△ABD中，BD=ABsin∠BAD=20×sin30°=10(m)，所以S△ABC =12AC·BD=12×30×10=150(m2)，150×200=30000(元).所以购买这种草皮需花费30000元.13题图拓展探究1.(1)∵AB =AC =1，BC=AB 2+AC 2=BC 2.∴∠BAC =90°，∠B =∠C =45°.(2)过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D.∵AB =AC =1，AD ⊥BC ，∴BD =12BC∴cosB =BDAB=21.∴∠B =30°. ∴∠C =30°，∠BAC =120°.2．解：（1） 在图（1）中，令AB 1=AB 2=AB 3，B 1C 1⊥AC 于点C 1，B 2C 2⊥AC 于点C 2，B 3C 3⊥AC 于点C 3，显然有：B 1C 1>B 2C 2>B 3C 3，∠B 1AC>∠B 2AC>∠B 3AC ．∵sin ∠B 1AC=111B C AB ，sin ∠B 2AC=222B C AB ，sin ∠B 3AC=333B C AB ， 而111B C AB >222B C AB >333B C AB ．∴sin ∠B 1AC>sin ∠B 2AC>sin ∠B 3AC ．在图（2）中，Rt △ACB 3中，∠C=90°，cos ∠B 1AC=1ACAB ，cos ∠B 2AC=2AC AB ，cos ∠B 3AC=3ACAB ，∵AB 3>AB 2>AB 1，∴1AC AB <2AC AB <3ACAB ．即cos∠B3AC<cos∠B2AC<cos∠B1AC．（2）sin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sin18°cos88°<cos65°<cos52°<cos34°<cos18°（3）= < >（4）cos30°>sin50°>cos70°>sin10°一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。