第十章第3节格林公式及应用
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高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用
y
(1) 当( =0 由格林公式知 ∫L 2 2 x +y
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
记 D1 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
x
∫
L+ l −
xdy − ydx =0 2 2 x +y
N
1 0 a = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
x2 y2 例5 计算椭圆 D = {( x , y ) : 2 + 2 ≤ 1}的面积。 a b y 1 L 解 A = ∫ xdy − ydx ， x 2L O L : x = a cos t , t : 0 → 2π y = b sin t ,
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
d d
y
=
∫
CBE
Q( x , y )dy − ∫
CAE
Q( x , y )dy
d
x = ψ 1( y)
E D B
x = ψ 2 ( y)
第三节格林公式及其应用.
例4. 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则
原式
L AO
( x 3 y ) d x ( y x) d y
OA
2
2
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y
A
D
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
d d c c
o a
C
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y
CBE
Q( x, y )d y
EAC
l
o D1
L
x
L l
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关
设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一 阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A 到点B的任意两条曲线L1、L2 等式
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
格林公式的应用
1. 简化二重积分
例1. 计算 解: 令 P 0, Q xe
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
格林公式及其应用
思考：如果L 取负向呢?
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}
P ( x , y )dx
L
L1
L2
L3
P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b
Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则
L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x
P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2
P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}
P ( x , y )dx
L
L1
L2
L3
P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b
Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则
L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x
P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2
P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx
高等数学教学课件-2019 第三节 格林公式及其应 用
F 是
保 u (x 守 ,y)(场 x ,y) P (x ,y)d x Q (x ,y)d是 y x ,y 的
二 .
u(xx,y)u(x,y)(x 0,y0)
lim
x 0
x
l x 0 i 1 x m ( ( x x 0 ,y 0 x ) ,y ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d ( ( x y x 0 , , y y ) 0 ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d y
LL
(xy)3
y3x 3yx
D
x((xy)3
) ( y (xy)3
)d
xdy
3 ( x y ) 3 ( y 3 x ) 3 ( x y ) 2 3 ( x y ) 3 ( 3 y x ) 3 ( x y ) 2
[
D
( x y ) 6
( x y ) 6
] d xd
L x2y2
c x2y2
2 0 co t((c so itt))2 n s (ssiti(tn )n 2 co t)d s t022co2ts22si2ntdt
2
0 dt2.
例 3、 计算 (ey1x 2)d y x(xyecoy)d s,其 y L 是 中 L 曲y线 11x2上A 从 (1,1)到 B (1,1)一.段
则
L
P(x,
y)dxQ(x,
y)dy
D(Qx
P)dxd.y y
证明 由 引 1 理 LP(x,y)dx D P ydxdy
由引 2 理 LQ (x,y)dy D Q xdxdy
LP(x,y)d xQ (x,y)d yD Q x P y dxdy
用第二型曲线积分表示区域的面积公式：
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
10[1]3格林公式及其应用2010423
![10[1]3格林公式及其应用2010423](https://img.taocdn.com/s3/m/5cfcce5f1eb91a37f1115cf7.png)
的三角形闭区域.
解 令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy
OA
1 xe x2 dx
0
1 (1 e1 ). 2
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1.曲线积分与路径无关的定义
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲
L3
线所围成.添加直线段 AB,CE.
E
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
L
(2)在G内存在u(x,y),使得 称为Pdx+Qdy的原函数
du P(x, y)dx Q(x, y)dy
(3) (x,y) G, P Q ; y x
(4) 对G 内任意闭曲线C: Pdx Qdy 0 .
C
证明 (1)
(2)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
P Q y x
证明 (3)
(4)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在D上
P Q
D
y x
利用格林公式 , 得
解 令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy
OA
1 xe x2 dx
0
1 (1 e1 ). 2
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1.曲线积分与路径无关的定义
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲
L3
线所围成.添加直线段 AB,CE.
E
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
L
(2)在G内存在u(x,y),使得 称为Pdx+Qdy的原函数
du P(x, y)dx Q(x, y)dy
(3) (x,y) G, P Q ; y x
(4) 对G 内任意闭曲线C: Pdx Qdy 0 .
C
证明 (1)
(2)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
P Q y x
证明 (3)
(4)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在D上
P Q
D
y x
利用格林公式 , 得
13格林公式及其应用
§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做格林(green)公式。
【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。
D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
第三节 格林公式及其应用
第三节 格林公式及其应用 ㈠．本课的基本要求掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 ㈡．本课的重点、难点格林公式、平面上的曲线积分与路径无关的条件为本课重点，求全微分为难点 ㈢．教学内容一．格林公式及其应用微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式确立了函数f(x)在闭区间上的定积分与它的原函数F(x)在这个区间的端点上的值之间的关系。
相仿的，在平面闭区域D 上的二重积分与沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分之间也有类似的关系。
格林（Green ）公式就是阐明它们之间关系的一个重要公式。
定义（单连通域） 一个平面区域D ，如果全落在此区域内的任何一条封闭曲线都可以不经过D 以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域D 为单连通的，否则为复连通的。
（如图） 我们首先规定区域D 的边界曲线L 的正向：当观察者沿L 的某个方向行走时，区域D 总在它的左边（如图），则该方向即为L 的正方向。
定理1（格林定理） 设D 是以分段光滑曲线L 为边界的平面有界闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D 上具有一阶连续的偏导数，则⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂LQdy Pdx d yPx Q σ)(⑴其中符号⎰L表示沿L 正方向的曲线积分。
公式⑴称为格林公式。
证 先假设穿过区域D 内部且平行坐标轴的直线与D 的边界曲线L 的交点恰好为两点，即区域D 既是X ─型又是Y ─型的情形。
设}),()(|),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ϕϕ。
因为yP∂∂连续，所以由二重积分的计算法有 ⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂b a x x b a Ddx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y P))}(,())(,({),(12)()(21ϕϕϕϕ 另一方向，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰⎰⎰⎰⎰+=+=abbaL L Ldx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx ))(,())(,(2121ϕϕ⎰⎰-=babadx x x P dx x x P ))(,())(,(21ϕϕ因此，=∂∂-⎰⎰Ddxdy y P⎰L Pdx ⑵ 设}),()(|),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ，类似地可证=∂∂⎰⎰Ddxdy x Q⎰LQdy ⑶由于D 既是X ─型又是Y ─型的，⑵、⑶同时成立，合并后即得公式⑴。
格林公式及其应用【高等数学PPT课件】
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
它与L 所 围
原式
例5. 验证 数 , 并求出它.
证: 令
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
则 由定理 2 可知存在原函数
或
例6. 设质点在力场
由
移动到
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
第十一章
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一. Green公式 闭曲线L的正向: 当沿此方向前进时,L所 围的区域 总在左边.
(Green公式)
格林公式 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
例如, 椭圆
所围面积
例1 解
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Qdy在域 D 内的原函数:
取定点
及动点
则原函数为
或
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与路径无关, 只与起止点有关.
10.3 格林公式及其应用
解
I 2 a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
0 2 0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 tdt
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a b )sin t b d (( a b )sin t b ) 2 2 0 2(a b )
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解
y 2 I y 1 ( ) dy 2 2
2
0.
y2 4 x
例3 求 I xyzds ，其中
: x a cos , y a sin , z k
的一段 (0 2 ) 解
I a cos sin k a k d
2 2 2 0
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
杨建新
第一节
对弧长的曲线积分
例4 求
2
I x ds,
2
其中 为圆周
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x y z a , x y z 0.
2 2 2
解 由对称性, 知
2 2 2 x ds y ds z ds.
x y 2 y
2 2
解1 L的极坐标方程为
2sin ， 0
x sin 2 从而L的参数方程为 2 y 2sin
于是 ds
x ' y ' d 2d
2 2
2 0 2 2
故
L
x y ds 2 sin 2 4sin d 8
I 2 a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
0 2 0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 tdt
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a b )sin t b d (( a b )sin t b ) 2 2 0 2(a b )
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解
y 2 I y 1 ( ) dy 2 2
2
0.
y2 4 x
例3 求 I xyzds ，其中
: x a cos , y a sin , z k
的一段 (0 2 ) 解
I a cos sin k a k d
2 2 2 0
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
杨建新
第一节
对弧长的曲线积分
例4 求
2
I x ds,
2
其中 为圆周
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x y z a , x y z 0.
2 2 2
解 由对称性, 知
2 2 2 x ds y ds z ds.
x y 2 y
2 2
解1 L的极坐标方程为
2sin ， 0
x sin 2 从而L的参数方程为 2 y 2sin
于是 ds
x ' y ' d 2d
2 2
2 0 2 2
故
L
x y ds 2 sin 2 4sin d 8
格林公式
【例 6】 计算抛物线( x + y )2 = ax ( a > 0) 与 x 轴所 围成的面积.
【解】 ONA 为直线 y = 0 .
M
A(a ,0)
N
曲线 AMO 由函数 y = ax − x , x ∈ [0, a ]表示,
1 ∴ A = ∫ xdy − ydx 2 L 1 1 = ∫ONA xdy − ydx + ∫AMO xdy − ydx 2 2 1 a 1 0 = ∫AMO xdy − ydx = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax 2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 2 2 = ∂x ( x + y ) ∂y
当(0,0) ∉ D时,
设L所围区域为D,
由格林公式知
xd y − yd x ∫L x2 + y2 = 0
y o
L x
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当(0,0) ∈ D 时,由于P,Q在 (0,0)点无定义，不满足格林公式条件
L
［证毕］
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【应用格林公式时应注意】
1.积分曲线L必须是封闭曲线，取D的正向边界. 2. P , Q 在区域 D及其边界上具有一阶连 续偏导数 . 3.D可为单连通域，也可为复连通域； 当D为复连通域时，L包括D的所有正向边界. （三条缺一不可）
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【证明】 (1) 线, 则
(2)
设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
∫L
=∫
1
格林公式及其应用
a
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C
x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4),在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M
到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功.
( 1990 考研 )
解: 由图知 F ( y , x) , 故所求功为
注:若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到
思考: 如何解方程
积分因子.
内容小结
1. 格林公式 2. 等价条件
Q P d xd y L P d x Q d y D x y
D L O 1 2x
2. 设
提示: d u ( x, y ) ( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y ) d y
4 3 2 2 4
( x 4 xy ) dx (6 x y 5 y )d y C
x 4 y x d x (6 x 2 y 2 0 0
4
3
(5 x 4 3x y 2 y3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 法1 取 x0 0, y0 0, 则有
2 2 2 u ( x, y ) 5 x d x 0 (3 x y 3x y y ) d y 4 0 x y
思考与练习
1. 设
2
y
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5 π 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2π
第三节格林公式及应用分析
例11验证表达式 为全微分，并求原函数.
解
．
故一定有 ，使 ．
下面用两种方法来求 ．
解法一用折线法：
=
故 = .
解法二不定积分法：
由于 故两边对 积分可得:
=
= ，
又因为
所以 ，
故 = .
3.4教材习题解答
1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：
（1） ，其中 是由抛物线 所围成的区域的
解法一据题设可知，曲线积分满足格林公式的条件，记 是 围成的闭区域，于是
（4）
解：因为 ，所以是某个函数 的全微分
（5） .
解因为 ，所以已知表达式是某个函数 的全微分.
7.设有一变力在坐标轴上的投影为 ，这变力确定了一个力场.证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关.
证明场力所做的功为：
因为 ，所以上面积分与路径无关
从而场力所做的功与路径无关.
8.判断下列方程中那些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解
3.3典型例题与方法
基本题型I：利用格林公式求第二类曲线积分
例1填空题
(1)设 在 内具有连续的二阶偏导数， 为顺时针方向的椭圆 ，则 ．
(2)设质点在力 作用下沿圆周 的顺时针方向运动一周，则力 所作的功 ．
解（1）由格林公式，注意到曲线 为顺时针方向，得
故应填 ．
（2）设曲线 围成的区域为 ，则
（4）
解
所以，在 面内，原方程为全微分方程．利用折线法，得
故原方程的通解为为
9.确定常数 ，使在右半平面上 的向量 为某个二元函数的梯度，并求 。
解：在单连通区域内，若 ， ,具有一阶连续偏导数，则向量 为某个二元函数的梯度的充分必要条件是 在 内恒成立.本题中，
解
．
故一定有 ，使 ．
下面用两种方法来求 ．
解法一用折线法：
=
故 = .
解法二不定积分法：
由于 故两边对 积分可得:
=
= ，
又因为
所以 ，
故 = .
3.4教材习题解答
1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：
（1） ，其中 是由抛物线 所围成的区域的
解法一据题设可知，曲线积分满足格林公式的条件，记 是 围成的闭区域，于是
（4）
解：因为 ，所以是某个函数 的全微分
（5） .
解因为 ，所以已知表达式是某个函数 的全微分.
7.设有一变力在坐标轴上的投影为 ，这变力确定了一个力场.证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关.
证明场力所做的功为：
因为 ，所以上面积分与路径无关
从而场力所做的功与路径无关.
8.判断下列方程中那些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解
3.3典型例题与方法
基本题型I：利用格林公式求第二类曲线积分
例1填空题
(1)设 在 内具有连续的二阶偏导数， 为顺时针方向的椭圆 ，则 ．
(2)设质点在力 作用下沿圆周 的顺时针方向运动一周，则力 所作的功 ．
解（1）由格林公式，注意到曲线 为顺时针方向，得
故应填 ．
（2）设曲线 围成的区域为 ，则
（4）
解
所以，在 面内，原方程为全微分方程．利用折线法，得
故原方程的通解为为
9.确定常数 ，使在右半平面上 的向量 为某个二元函数的梯度，并求 。
解：在单连通区域内，若 ， ,具有一阶连续偏导数，则向量 为某个二元函数的梯度的充分必要条件是 在 内恒成立.本题中，
格林公式
y
当(0, 0)D时，由格林公式得
L
xdy x2
ydx y2
0；
D O
L x
D
Q x
P y
dxdy
=
L
Pdx
Qdy
．
例
4
计算
L
xdy x2
ydx y2
，其中
L
为一条无重点、分段光滑且不
经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向．
解 记L 所围成的闭区域为D．当(0, 0)D时，选取适当小的
格林公式：
定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成，函数P(x, y)及 Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
=
L
Pdx
Qdy
，
其中L是D的取正向的边界曲线．
应注意的问题： 对复连通区域D，格林公式右
端应包括沿区域D的全部边界的曲 线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向．
因为
Pdx Qdy Pdx Qdy ，
L1
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0
L1
L2
L1
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
Pdx Qdy 0，
LL11
LL22
充分性：
已知 P y
Q x
在
G
内恒成立，则积分 L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
在G内与路径无关．设(x0, y0)为G内一定点，(x, y)为G内的动点，
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x2(y) Cy1(x)
oa
bx
D { x , y ) ( 1 ( x ) y 2 ( x ) a , x b }
D { x , y ) ( 1 ( y ) x 2 ( y ) c , y d }
只要证明:
DQ xdxdyLQ(x,y)dy和 D P yd
x dL yP(x,y)d
2
2、边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边.
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成
单连通域边界曲向线为的逆正时针. 方向
3
二、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在D 上具有一阶连
解 : P(x, y) y2 xe2y, Q(x, y)x2e2y x2
所以由格林公式
(y2x2y e )d x (x2e2yx2)d y (QP)dxdy
L(2x2y)dxdy2 2 d04co rsD2(cxo ysin )dr
D132 2 8 2(c4o sco 3ss2 in )d16
同理可证 D P ydx dL yP(x,y)docx
C
x2(y)
x
两式相加得 D( Q x P y)dx dLyPdQ x dy
其它情况类似可证 .
6
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例 1 计(y 算 2 x2 ye )d x (x 2 e 2 y x 2 )d,y L
其L 为 中闭 (x 曲 2)2y 线 24的正 . 向
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 a 2 ,
记 D 1由 L和 l所 围 成 ,
应 用 格 林 公 式 ,得
xdy ydx
L x2 y2
Ll
xdy x2
ydx y2
l
xdy ydx x2 y2
12
Q P
D1 (x y)dxdy
l
xdy ydx x2 y2
l
(2)L为正x方 y形 1的正 . 向 解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
11
(1)L为圆 (x1)周 2(y1)21的正 . 向
由格林公式知
L
xdy x2
yy2dx0
(2)L为正x方 y形 1的正 . 向
BO
1
1
(exsiy n y )d x (exco y y s)d y(cosy y)dy
OA
0
sin1 1
2
原 式 (s1 i1 n )1 si1 n
4
22 4
10
注意:应用格林公式要注条意件其 .
例4 计算Lxxd2y yy2dx,
(1)L为圆 (x1)周 2(y1)21的正 . 向
续偏导数, 则有
Q
D
(
x
P )dxdy y
L Pdx
Qdy
(1)
其中L是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
4
D( Q x P y)dx dLyPd yQ x dy
证明
若区域D 既是X 型 又 是Y 型 ,即 平 行 于
d
x1(y)
E y2(x)
D
B
坐标轴的直线和L 至
多交于两点.
A c
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x 取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx
16
格林公式 D Q x P ydxdyLPdxQdy
正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
7
例2. 计算 (x23y)d x(y2x)d,y其中L为上半圆周 L
y 4xx2 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). y
L
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段
AO , 它与L 所围区域为D , 则
D
原式 (x2 3y)dx (y2x)dyo L AO
Ax
(x23y)dx(y2x)dy AO
5
x
Qdx ddydy2(y)Qdx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
CBE
CAE
y
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy d
CBE
EAC
E
x1(y)
D
LQ(x,y)dy
(QP)dxdy 4 x 2 d x
D x y
0
4dxd
D
y
64 3
8
64 3
8
例 3计( 算 e x sy i n y )d ( x e x cy o y ) s dy A 弧 B
其中 AB弧为A从 (0,1)到B(1,0)第一象限的单. 位
y
解 引 入 辅 助 曲 线 L,
A
L O A B BO
xdy x2
ydx y2
2 0 asit( a n 2 a cs2 o itt) n s a a 2 c so it2ta n c so tdst
0
dt 2 2
13
2. 简化二重积分
y
例5 计算
ey2dxdy,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1),B(0,1)为顶点
A弧 B A弧 B B O OABOOA
o
Bx
(exsinyy)dx(excoysy)dy
A弧 BBO OA
D(Q xP y)dxdy
9
y
(excoy sexcoy s1)dxdAy
D
dxdy
D
4
o
Bx
(exsiy n y )d x (exco y y s)d y0 0 dx 0
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xey2 ,
则QPey2, x y
A
1
x
14
应 用 格 林 公 式 , 有
y
ey2dx dy x ey2dy B
D
OA A B BO
D
xe y2d y1xe x2dx
OA
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
1(1e1). 2
A
x
15
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
第二节 格林公式及其应用
一、几个概念 二、格林公式 三、平面曲线积分与路径无关的定义 四. 平面曲线积分与路径无关等价条件
1
一、几个概念
1、设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线 所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通 区域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
单连通区域是无“洞”区域复连通区域是有“洞”区域