平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理

平面几何的几个重要的定理

一、梅涅劳斯定理：

注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的

线段成比例的条件；

注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；

共线；

、、证明点引的垂线的垂足，

、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2∆

平面

几何的几个重要定理

――――塞瓦定理 塞瓦定理：

1:

=⋅⋅∆RB

AR

QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设1PC BP R Q P

AB CA BC ABC ABC l 1=⋅⋅RB

AR

QA CQ ，则、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理∆∆ C

B

A

1

A 1

B 1

C 三点共线；

、、依梅涅劳斯定理可知，

＝可得且将上面三条式子相乘，

证：易得：1111

1

1111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA

cos PB PAB

cos AP BC AC PAC cos AP PCA

cos CP AB CB ,

PCB

cos CP PBC cos BP CA BA ⋅⋅︒=∠+∠∠=∠∠=∠∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-=∠⋅∠⋅-= M

Q

R

A

C

；

相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝

于是：，

由塞瓦定理有：，

于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：

相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’

‘

M CR BQ AP R R AB R R RB AR

B R AR B

R AR QA CQ PC BP R AB CM M BQ AP RB AR QA CQ PC BP RB AR

QA CQ PC BP S S RB AR S S QA CQ S S S S S S PC BP M CR BQ AP BCM

ACM

ABM

BCM

ACM ABM

CMP BMP ACP ABP 111

=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

==

==∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆交于一点；：证明：三角形的中线例1

AB

CP P AN BM CK BL

BC

AC AL BL

BC

AC AL BL

BC

NB BK BKC BNL AC

AL

AK AM AKC AML NB

BK

AK AM P ⊥∴∴=⋅=⋅=⇒

∆≅∆=

⇒∆≅∆=⋅点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：1

1

1

1

平面几何的几个重要定理－－托勒密定理

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．

即：

；

内接于圆，则有：

设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅

一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点 (不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ， ∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ． 二、完善图形 借助托勒密定理 例2 证明“勾股定理”：

在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2

证明：如图，作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ，显然ABCD

是圆内接四边形． 由托勒密定理，有

AC ·BD=AB ·CD ＋AD ·BC ． ① 又∵ABCD 是矩形，

∴AB=CD ，AD=BC ，AC=BD ． ② 把②代人①，得AC 2=AB 2＋BC 2．

四点共圆时成立；、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似

和且又相似和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD

AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED

AC BC AED ABC EAD

BAC AD

AE

AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD

ABE CAD BAE E ABCD ⋅≥⋅+⋅∴+⋅=⋅+⋅∴⋅=⋅⇒=∴∆∆∴∠=∠=⋅=⋅⇒=∴∆∆∠=∠∠=∠)( E D

C B A

例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．

证明：连结CD，依托勒密定理，

有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．

∵∠1=∠2，∴BD=CD．

故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．

三、构造图形借助托勒密定理

例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．

求证：ax＋by≤1．

证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，

使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．

由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．

据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．

∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．

四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理

例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．

分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．

证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．

∵AD=BC，

∴∠ABD=∠BAC．

又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．

依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①

而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．②