高中数学第二讲参数方程课件新人教A版44
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高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.3直线的参数方程
π 1 + ������cos , 3 π (t 为参数), 3 + ������sin 3
它是标准形式 , 所以参数 t 具有标准形式中参数的几何意义, 即参数 t 的绝对值是有向线段������0 ������ (点 M 为直线 l 的任一点 )的长 度. ������ = 1 + ������, 而方程 (t 为参数 )不是标准形式 , ������ = 3 + 3������ 所以参数 t 不具有标准形式中参数的几何意义.
答案：(1)
������ = 1 + ������, ������ = 5 +
3 ������ 2
1 2
(t 为参数)
(2)50°
做一做2 若直线的参数方程为 截式方程为 .
1 ������ = 2 + ������, 2 3 ������ = 3 + ������ 2
(t为参数),则它的斜
解析：消去参数 t 可得 y=3+ 3(x-2), 化为斜截式方程为 y= 3x+3-2 3.
π 3
即
������ = 1 + ������, ������ = 5 +
3 ������ 2
1 2
3
(t 为参数). ������ = -1 + ������cos50 °, (t 为参数 ), ������ = 3 + ������sin50 °
(2)直线的参数方程可化为 故倾斜角等于 50°.
三
直线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 直线参数方程的标 准形式,理解 参数 t 的几何 直线的参数方程 直线的参数方程 意义. 2.能 利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用 解决简单的实际问题.
高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44
数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。
高中数学人教A版选修44参数方程一曲线的参数方程PPT课件
即2x-7-y=0（直线）
（2）由x=t+1/t， y=t-1/t 得
x2
(t
1)2 t
t2
1 t2
2
所以
y2
(t
1)2 t
t2
1 t2
2
x2
y2
(t2
1 t2
2) (t2
1 t2
2)
4
（双曲线）
2.分别在下列两种情况下， 把参数方程
x
1 2
(et
et
) cos
y
1 2
(et
et
) sin
2
（圆心随a的变化而移动）
将曲线的参数方程化为普通方程，有 利于识别曲线的类型.
1.把下列参数方程化为普通方程，并说明 它们各表示什么曲线.
（1） x=3-2t, y=-1-4t （t为参数）
（2） x=t+1/t y=t-1/t （t为参数）
解:（1）由x=3-2t,得
t 3 x 2
将此式代入y=-1-4t ，得y=-7+2x,
过程与方法
从实际问题中感知参数方程的作用.
情感态度与价值观
能够在已有的经验（生活经验，数 学学习经验）的基础上，更好的了解参 数方程的概念.
高中数学人教A版选修44参数方程一曲 线的参 数方程 PPT课 件
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教学重难点
重点
参数的概念.
难点
1.根据几何性质选取适当的参数建立曲线 的参数方程 .
2.参数方程和普通方程的互化.
似乎直接判断该方程代表的曲线类型并 不容易，但如果将参数方程转化为我们熟悉的 普通方程，即：
高中数学 第2讲 参数方程高效整合课件 新人教A版选修4
设P是椭圆4x2＋9y2＝36上的一个动点，求x＋2y的 最大值和最小值．
解析： 方法一：令x＋2y＝t，且x，y满足4x2＋9y2＝36， 故点(x，y)是方程组4x＋x2＋2y9＝y2t＝36 的公共解． 消去x得25y2－16ty＋4t2－36＝0， 由Δ＝(－16t)2－4×25×(4t2－36)≥0， 即t2≤25，解得－5≤t≤5， ∴x＋2y的最大值为5，最小值为－5.
x＝12sin2α， y＝－21sinαcosα，
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为x－412＋y2＝116. 故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．
圆锥曲线的参数方程及应用
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．对于椭圆的参数 方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭 圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双 曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们 的参数方程都有多种形式．
到直线l距离的最大值．
解析： (1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ，4sinθ)坐
标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通 方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．
已知直线 C1：xy＝＝1ts＋inαtcosα， (t 为参数)， C2：yx＝＝scionsθθ， (θ 为参数)． (1)当 α＝π3时，求 C1 与 C2 的交点坐标； (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点．当 α 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解析：
(1)由已知，M点的极角为
π 3
，且M点的极径等于
高中数学第二讲二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程课件新人教A版选修44
∴－2 5≤f(θ)≤2 5. ∴－2 5≤b≤2 5. 答案：[－2 5，2 5]
第二十页，共22页。
6．曲线
x＝acos θ， y＝bsin θ
(a＞b＞0)上一点M与两焦点F1，F2所成
角为∠F1MF2＝α.
求证：△F1MF2的面积为b2tanα2. 证明：∵M 在椭圆上，
∴由椭圆的定义，得：
θ， θ
(θ 为参数)．
设 P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有
x＝4cos2θ＋6， y＝3sin 2θ＋6，
x＝2cos θ＋3，
即y＝32sin θ＋3
(θ 为参数)．
∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求轨迹方程．
第十二页，共22页。
4．设F1，F2分别为椭圆C：
第十四页，共22页。
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ， 3sin θ)，线
段F1P的中点坐标为(x，y)，则
xHale Waihona Puke 2cos2θ－1，y＝3sin 2
θ＋0，
所以x＋12＝cos θ， 2y3＝sin θ.
消去θ，得x＋122＋43y2＝1.
即为线段F1P中点的轨迹方程.
第十五页，共22页。
第九页，共22页。
[解] 由题意知A(6,0)，B(0,3)．由于动点C在椭圆上运 动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为 (x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
x＝6＋0＋36cos θ， y＝0＋3＋33sin θ，
即
x＝2＋2cos θ， y＝1＋sin θ.
x－h2 a2
＋
y－k2 b2
＝
1，则其参数方程为 xy＝＝kh＋＋bascionsφφ.，(φ是参数)．
第二十页，共22页。
6．曲线
x＝acos θ， y＝bsin θ
(a＞b＞0)上一点M与两焦点F1，F2所成
角为∠F1MF2＝α.
求证：△F1MF2的面积为b2tanα2. 证明：∵M 在椭圆上，
∴由椭圆的定义，得：
θ， θ
(θ 为参数)．
设 P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有
x＝4cos2θ＋6， y＝3sin 2θ＋6，
x＝2cos θ＋3，
即y＝32sin θ＋3
(θ 为参数)．
∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求轨迹方程．
第十二页，共22页。
4．设F1，F2分别为椭圆C：
第十四页，共22页。
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ， 3sin θ)，线
段F1P的中点坐标为(x，y)，则
xHale Waihona Puke 2cos2θ－1，y＝3sin 2
θ＋0，
所以x＋12＝cos θ， 2y3＝sin θ.
消去θ，得x＋122＋43y2＝1.
即为线段F1P中点的轨迹方程.
第十五页，共22页。
第九页，共22页。
[解] 由题意知A(6,0)，B(0,3)．由于动点C在椭圆上运 动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为 (x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
x＝6＋0＋36cos θ， y＝0＋3＋33sin θ，
即
x＝2＋2cos θ， y＝1＋sin θ.
x－h2 a2
＋
y－k2 b2
＝
1，则其参数方程为 xy＝＝kh＋＋bascionsφφ.，(φ是参数)．
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.1曲线的参数方程
名师点拨若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, (θ 为参数,0≤θ<2π). ������ = ������0 + ������sin������ 【做一做2】 圆x2+y2=16的参数方程为 ������ = 4cos������, 答案： ������ = 4sin������ (θ为参数).
名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、 纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐 标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的 x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值 范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选 取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言 的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通 过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程 是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互 化.
特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的 值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代 入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利 用代数恒等式的方法消去参数.
������ = cos2 ������, 做一���� = sin2 ������ 是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .
名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、 纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐 标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的 x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值 范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选 取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言 的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通 过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程 是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互 化.
特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的 值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代 入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利 用代数恒等式的方法消去参数.
������ = cos2 ������, 做一���� = sin2 ������ 是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .
第二讲 抛物线的参数方程课件 新人教A版选修4-4课件
y x
a sec b tan
(为参数)
思考:抛物线参数方程是什么?
前面曾经得到以时刻 t作为参数的抛 物线的参数方程 :
x 100 t ,
y
500
1 2
g
t2
.
t为参数, 且0 t
1000 g
对于一般的抛物线,怎样建立相应的
参数方程呢 ?
看点M运动形成轨迹的过程.
解 根据条,设点M , A, B
B
图2 13
的坐标为 x, y, 2 pt12,2 pt1 ,
2 pt22,2 pt2 t1 t2,且t1 t2 0,则OM x, y,
OA 2 pt12,2 pt1 ,OB 2 pt22,2 pt2 ,
所以xt1 t2 y 0,即t1 t2 y x 0. ⑨
x
因为AM x 2 pt12, y 2 pt1 ,
y
MB 2 pt22 x,2 pt2 y ,
A M
且A, M , B三点共线,所以
O
x
x 2 pt12 2 pt2 y y 2 pt1 2 pt22 x ,
x2 2 py( p 0)的参数方程?
x
y
2p
tan
2p
tan2
(为参数）
x y
2 2
pt pt
2
(t为参数)
用不同的参数方程动态 描述轨迹形成过程.
1、若曲线x 2 pt 2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
高中数学 2 双曲线的参数方程课件 新人教A选修44
12、首先是数教学师品格的陶高冶，考行总为复的习教人育教，A然版后·才(理是)专门知识和技能的训练。
13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18 、 人 自 身 有 一 种 力 量 ， 用 许 多 方 式 按 照 本 人 意 愿 控 制 和 影 响 这 种 力 量 ， 一 旦 他 这 样 做 ， 就会 影 响 到 对 他 的 教 育 和对 他 发 生 作 用 的 环 境 。 2022/1/182022/1/18
这 是 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 。
双曲线的参数方程
y
x2-y2=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 ： a a2 b2
定 stae nc [(o ,为 2 参 )且 数 )， 3 。 b
oB
A' x
22
说明：
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
⑵se双c2曲线的1 参t数an方2程相可比以较由而方得程到，ax 22所 以by 22双曲1 与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
例2、如 图 ， 设 M 为 双 曲 线 a x2 2b y2 2 1 (a0 ,b0 )任 意 一 点 ， O 为 原 点 ，
13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18 、 人 自 身 有 一 种 力 量 ， 用 许 多 方 式 按 照 本 人 意 愿 控 制 和 影 响 这 种 力 量 ， 一 旦 他 这 样 做 ， 就会 影 响 到 对 他 的 教 育 和对 他 发 生 作 用 的 环 境 。 2022/1/182022/1/18
这 是 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 。
双曲线的参数方程
y
x2-y2=1(a>0,b>0)的 参 数 方 程 为 ： a a2 b2
定 stae nc [(o ,为 2 参 )且 数 )， 3 。 b
oB
A' x
22
说明：
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
⑵se双c2曲线的1 参t数an方2程相可比以较由而方得程到，ax 22所 以by 22双曲1 与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
例2、如 图 ， 设 M 为 双 曲 线 a x2 2b y2 2 1 (a0 ,b0 )任 意 一 点 ， O 为 原 点 ，
2020-2021学年高二数学人教A版选修4-4 坐标系与参数方程 第二讲 直线的参数方程 精品课件
2020-2021学年高二数学人教A版选修4 -4 坐标系与参数方程 第二讲2.3 直线的参数方程 课件（共37张PPT）
核心问题
引进恰当的参数，探究直线的参数方程及 参数的几何意义
2020-2021学年高二数学人教A版选修4 -4 坐标系与参数方程 第二讲2.3 直线的参数方程 课件（共37张PPT）
（t 为参数， 为常量）
参数
1 典型例题
例1 已知 直线 l：x y 1 0 与抛物线y x2 交于A , B 两点 , 且M（-1, 2）.求 AB 和 MA MB
解：由题知，直线 l 过M 点，倾斜角为 3π 4
所以：有参数方程
x
1 t
cos
二 解决问题
2020-2021学年高二数学人教A版选修4 -4 坐标系与参数方程 第二讲2.3 直线的参数方程 课件（共37张PPT）
直线的普通方程
直线的点斜式方程
y y0 k(x x0 ) tan (x x0 )
直线的两点式方程
[0, π ) ( π , π)
22
y y1 y2 y1
3π 4
1
2 t， 2
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
（t 为参数）
解：由题知，直线 l 过M 点，倾斜角为 3π 4
所以：有参数方程
x
1
t
cos
3π 4
1
2 t，
2 （t 为参数）
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
又抛物线为y x2 , 所以t2 2t 2 0
6
A.
x
1
3t 2
y
1
1 2
t
高中数学 第二章 参数方程 2.2 圆锥曲线的参数方程课
x
2pt
2，(t为参数)
中参数t的几何意义是什么?
y 2pt
提示:由抛物线参数方程的推导过程可知,参数t表示抛
物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
【归纳总结】
x acos， 1方从.程椭椭圆圆xy参的数参rrscio方数ns程方，的程中推的y导参过b数si程nθ可意以中义看的的出参区参数别数φφ与是圆椭的圆参上数
二 圆锥曲线的参数方程
【自主预习】 椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程
圆锥曲线 椭圆
普通方程 (xaa22 >bby>220)1
参数方程
___xy__ab_cs_oin_s_，____ (φ为参数)
圆锥曲线 双曲线
普通方程
(xaa22>0,byb22 &g求点A,B,C,D的直角坐标. (2)求曲线C1的普通方程,判断曲线形状. (3)设P为C1上任意一点,求 |PA|2 | PB|2 | PC|2 | PD|2 的取 值范围.
【解题探究】(1)典例(1)中如何求各点的直角坐标? 提示:先求A点的直角坐标,由对称性求其余各点的坐标. (2)曲线C1的形状是什么? 提示:将曲线C1的参数方程化为普通方程,是椭圆.
类型一 椭圆的参数方程与应用 【典例】已知曲线C1的参数方程是 x 2cos,(φ为参数) 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极y轴 3建sin立, 极坐标系, 曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2 上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 (2, )，
(3)如何求距离平方和的取值范围? 提示:利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题.
【解析】(1)由曲线C2的极坐标方程ρ=2,可知曲线C2
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程
3 2 26 2 =4tan θ-6 2tan θ+ 11= 4 tan������+ , 4 4 3 2 3 2 26 当 tan θ- =0,即 tan θ= 时 ,|M0M| 2 取最小值 , 4 4 4 26 此时有 |M0M|= . 2 26 故点 M0 到双曲线的最小距离为 . 2
2
专题一
|PA|=
式 asin θ+bcos θ= ������2 + ������ 2 sin(θ+φ)求解 .
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利���� = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ), 解： (1)曲线 C 的参数方程为 则点 P 到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|,
专题一
专题二
例1求下列条件下普通方程4x2+y2=16对应的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 分析：对于(1),可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x 即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任意一点的坐标之间的关系来 求解. 解：(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性, 可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此4x +y =16的参数方程是 ������ = 4sin������ (θ 为参数).
2
专题一
|PA|=
式 asin θ+bcos θ= ������2 + ������ 2 sin(θ+φ)求解 .
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利���� = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ), 解： (1)曲线 C 的参数方程为 则点 P 到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|,
专题一
专题二
例1求下列条件下普通方程4x2+y2=16对应的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 分析：对于(1),可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x 即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任意一点的坐标之间的关系来 求解. 解：(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性, 可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此4x +y =16的参数方程是 ������ = 4sin������ (θ 为参数).
高三数学一轮复习第2课时参数方程课件文新人教A选修44.ppt
数方程为x＝ 3＋21t，
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)，曲线 C 的参
数方程为xy＝＝44scionsθθ， (θ 为参数)． (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求线段 AB
的长．
解析： (1)x2＋y2＝16.
(2)将x＝ 3＋21t
x＝3＋2t， y＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．
解析： (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：6x42 ＋y92＝1. C1 为圆心是(－4,3)，半径为 1 的圆．
C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半
轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
(2)当 t＝π2时，P(－4,4)、Q(8cos θ，3sin θ)，
值 tM＝t1＋2 t2(由此可求|M2M|及中点坐标)．
已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6， (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A，B，求
点 P 到 A，B 两点的距离之积．
解析： (1)直线的参数方程为
x＝
1＋tcos
π， 6
以下两种情况：
x＝acosφ
椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程是__y_＝__b_s_in__φ_，
其中 φ 是参数．
x＝bcos φ
椭圆xb22＋ay22＝1(a>b>0)的参数方程是__y_＝__a_s_in__φ_，
其中 φ 是参数．
参数方程化为普通方程
1．将参数方程化为普通方程的过程就是消 去参数的过程．常用的消参方法有代入消参、 加减消参、三角恒等式消参等． 2．往往需要对参数方程进行变形，为消参 创造条件．
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程
其中OA,OB分别是以原点O为圆心,a,b为半径的圆的半径. 2.当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数方程的
(������-������)2 (������-������)2 形式 .如 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程可表示为 ������ ������
������ = ������ + ������cos������, (φ 为参数). ������ = ������ + ������sin������
二
圆锥曲线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 椭圆、双曲线、抛物 线的参数方程,了解 参数方 圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程及其应用 程中参数的几何意义. 2.能够 运用椭圆、双曲线、 双曲线的参数方程及其应用 抛物线的参数方程解决简 抛物线的参数方程及其应用 单问题.
1.椭圆的参数方程
������ = ������cos������, 数方程是 ������ = ������sin������ (φ 为参数).通常规定参数 φ 的取值范围为 φ ∈ [0,2π).
������2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆 2 ������
������2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 ������
答案：C
)
3.抛物线的参数方程 ������ = 2������������ 2 , (1)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为 ������ = 2������������ (t为参数,t∈(∞,+∞)). (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线 的斜率的倒数.
做一做3 抛物线y2=7x的参数方程为( ������ = 7������, A. (t 为参数) ������ = 7������ 2
(������-������)2 (������-������)2 形式 .如 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程可表示为 ������ ������
������ = ������ + ������cos������, (φ 为参数). ������ = ������ + ������sin������
二
圆锥曲线的参数方程
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 椭圆、双曲线、抛物 线的参数方程,了解 参数方 圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程及其应用 程中参数的几何意义. 2.能够 运用椭圆、双曲线、 双曲线的参数方程及其应用 抛物线的参数方程解决简 抛物线的参数方程及其应用 单问题.
1.椭圆的参数方程
������ = ������cos������, 数方程是 ������ = ������sin������ (φ 为参数).通常规定参数 φ 的取值范围为 φ ∈ [0,2π).
������2 (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆 2 ������
������2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 ������
答案：C
)
3.抛物线的参数方程 ������ = 2������������ 2 , (1)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为 ������ = 2������������ (t为参数,t∈(∞,+∞)). (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线 的斜率的倒数.
做一做3 抛物线y2=7x的参数方程为( ������ = 7������, A. (t 为参数) ������ = 7������ 2
高考数学 第二节 参数方程课件 理 新人教A版选修44
5sin
(x-1)2+y2=25,表示圆心为C(1,0)，半径为5的圆，直线CP的
斜 k 0 1 1,
1 2
率
弦所在直线的斜率为1，所以弦所在直线的
普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.
答案: x-y-3=0
(2)若直线l: x 3y 0 与曲线C：x a 2cos , (φ为参数，a
x
33
方法二:由曲线C：xy
2 sin
c(oθs为,参数)得(x+2)2+y2=1,
令 k 即y , y=kx，代入圆的方程，得(x+2)2+(kx)2=1，即
x
(1+k2)x2+4x+3=0，
由题意，得Δ=42-3×4(1+k2)≥0，
即 k2 解1，得 3 k 3，
3
3
3
所以
y的取值范围是
y 3x 斜3率 2， k 3，
即 tan 又 α3，∈［0，π)，故直线的倾斜角为
x 1 t,
方法二：直线 (t为参数)
y 2 3t
即直线
x
1
1 2t,
2(t为参数)，令t′=2t，得
y 2
3 (2t) 2
故直线的倾斜角为 2 .
3
2 . 3
x
1
tcos
2， 3
y
2
tsin
x
［
3， 3 ］. 33
答案: ［ 3， 3 ］
33
【拓展提升】直线与圆的位置关系
(1)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的普通
方程联立所求得的一元二次方程的根的判别式为Δ，则
(x-1)2+y2=25,表示圆心为C(1,0)，半径为5的圆，直线CP的
斜 k 0 1 1,
1 2
率
弦所在直线的斜率为1，所以弦所在直线的
普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.
答案: x-y-3=0
(2)若直线l: x 3y 0 与曲线C：x a 2cos , (φ为参数，a
x
33
方法二:由曲线C：xy
2 sin
c(oθs为,参数)得(x+2)2+y2=1,
令 k 即y , y=kx，代入圆的方程，得(x+2)2+(kx)2=1，即
x
(1+k2)x2+4x+3=0，
由题意，得Δ=42-3×4(1+k2)≥0，
即 k2 解1，得 3 k 3，
3
3
3
所以
y的取值范围是
y 3x 斜3率 2， k 3，
即 tan 又 α3，∈［0，π)，故直线的倾斜角为
x 1 t,
方法二：直线 (t为参数)
y 2 3t
即直线
x
1
1 2t,
2(t为参数)，令t′=2t，得
y 2
3 (2t) 2
故直线的倾斜角为 2 .
3
2 . 3
x
1
tcos
2， 3
y
2
tsin
x
［
3， 3 ］. 33
答案: ［ 3， 3 ］
33
【拓展提升】直线与圆的位置关系
(1)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的普通
方程联立所求得的一元二次方程的根的判别式为Δ，则
高中数学 参数方程的概念(区性公开课)课件 新人教A选修44
•
参数方程的应用
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准 确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何 确定投放时机呢？
y
解：建立如图所示平面直角坐标系，物资出仓后， 设在时刻t,水平位移为x，垂直高度为y，则
500
y
M（x,y）
x 100t,
平面中点的坐标 （x,y）可以用同一个
θ 变量 来表示
xy
r r
cos sin
P(x, y)
r 1 y , y
Ox, x A
x
在平面直角坐标系中能，否点用P的分坐别标表为示x与，y ∠AOP为
OP=r(r为定值)如图，
温故知新
平抛运动：匀变速曲线运动，可分解为水平方向的匀速直线运动
和竖直方向的自由落体运动，水平方向速度大小Vx=V0 在时刻t ，
y
500
1 2
gt2.
ox
令y 0,
x
所以，飞行员在离救援点的水平距离为1000m时投放物资 可以使其准确落在指定位置
回顾：
在引例1中，若︱OP︱= r ( r为常数),点P的坐标x、y可用表示为：
y
r P(x, y)
O
Ax
结论： 点p的参数方程为
时，轨迹是圆
所以，圆心在原点，半径为r的圆的参数方程可以用上式表示。
选修 4 - 4
第二讲 参 数 方 程
参数 方 程 的 概 念
华侨中学： 苏洁容 授课班级：高二（2）班
问题1
如图，依据三角函数定的义在单位圆中sin
θ
=
y, 1
若点P标 的点 坐y）P）的 , O坐P=r
参数方程的应用
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准 确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何 确定投放时机呢？
y
解：建立如图所示平面直角坐标系，物资出仓后， 设在时刻t,水平位移为x，垂直高度为y，则
500
y
M（x,y）
x 100t,
平面中点的坐标 （x,y）可以用同一个
θ 变量 来表示
xy
r r
cos sin
P(x, y)
r 1 y , y
Ox, x A
x
在平面直角坐标系中能，否点用P的分坐别标表为示x与，y ∠AOP为
OP=r(r为定值)如图，
温故知新
平抛运动：匀变速曲线运动，可分解为水平方向的匀速直线运动
和竖直方向的自由落体运动，水平方向速度大小Vx=V0 在时刻t ，
y
500
1 2
gt2.
ox
令y 0,
x
所以，飞行员在离救援点的水平距离为1000m时投放物资 可以使其准确落在指定位置
回顾：
在引例1中，若︱OP︱= r ( r为常数),点P的坐标x、y可用表示为：
y
r P(x, y)
O
Ax
结论： 点p的参数方程为
时，轨迹是圆
所以，圆心在原点，半径为r的圆的参数方程可以用上式表示。
选修 4 - 4
第二讲 参 数 方 程
参数 方 程 的 概 念
华侨中学： 苏洁容 授课班级：高二（2）班
问题1
如图，依据三角函数定的义在单位圆中sin
θ
=
y, 1
若点P标 的点 坐y）P）的 , O坐P=r
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