机械故障诊断学钟秉林第4章动态系统特性的频谱分析
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机械故障诊断理论与方法
第4章 动态系统特性的频域分析
傅里叶变换 随机信号的功率谱 极大熵谱、 倒谱
2020/10/24
1
概述
特征分析的目的： ✓ 去伪存真（研究特征量的变化规律） ✓ 去粗取精（选择对工况最敏感的特征量） 特征分析的手段： ✓ 时域 ✓ 频域及其各种变换域 ✓ 时频域
2020/10/24
2020/10/24
13
傅里叶变换公式：
=2πf
或：
2020/10/24
0为重复频率 X(f) = 2X()
14
（例题）求矩形窗函数w(t)的频谱。
w(t) 1
w(t
)
1
0
t T 2 t T 2
W ( f ) T sin fT TsincfT fT
-T/2 0 T/2 t
W(f ) T
31
2
在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单 的运算，常常采取一种变换手段。
对数变换
数量的乘积或商
对数的和或差
原数量的乘积或商
反对数
积分变换（傅氏变换、拉氏变换）也是如此。
2020/10/24
3
一、傅里叶级数及频谱
傅里叶变换： X ( f ) x(t)e j2 ftdt ,
x(t) X ( f )e j2 ftdf
22
船用柴油机润滑油泵压油管振动 和压力脉动间的相干分析
润滑油泵转速为n=781rpm，油泵齿轮的齿数为z=14，测得 油压脉动信号x(t)和压油管振动信号y(t)，压油管压力脉动 的基频为f0=nz/60=182.24(Hz).
由图c可以看到，当f =f0 =182.24Hz时，γ2xy (f) =0.3；当 f =2f0 =361.12Hz时， γ2xy (f)=0.37；当f =3f0 =546.54 Hz时， γ2xy (f)=0.4；当f =4f0 =722.24Hz时； γ2xy (f)=0.75...，齿轮引 起的各次谐频对应的相干函数值都比较大，而其它频率对 应的相干函数值很小，由此可见，油管的振动主要是由油 压脉动引起的。从x(t)和y(t)的自谱图也明显可见油压脉动 的影响(图a,b所示）。
➢ 周期信号的傅里叶级数及幅值谱
一个周期为T0且满足狄利克雷（Dirichlet）条件的周
期函数x(t)可以展开成如下的傅里叶级数（Fourier
series）
其中，
x(t)
a0 2
n1
an
cos
n0t
Fra Baidu bibliotek
bn
sin
n0t
狄利克雷（Dirichlet）条件：①连续或只有有限个第 一类间断点；②只有有限个极值点。
11
时域矩形周期信号
时域矩形周期信号 （周期增大）
时域矩形周期信号 （周期增大） 时域矩形周期信号 （周期∞）
2020/10/24
傅里叶级数系数Fn 傅里叶级数系数Fn Fn/ 0波形 周期∞时的频谱
12
从上图可知，当矩形脉冲的重复周期愈大， 谱线愈靠近，即谱线间的间隔0=2π/T0变小， 当T0—>∞时， 0—>0，则离散谱就变成连续谱了。 这是我们就不能再利用傅里叶级数的方法来说明 非周期信号频谱，而必须采用频谱密度的概念
Cy Cx Ch
上式表明，时域中信号的卷积关系在倒谱上表 现为信号迭加。
2020/10/24
32
钢带速度的检测
v d /d
2020/10/24
33
地下管道泄漏的检测
漏损处K视为向两侧传播声响的声源,漏油的音响传至 两传感器就有时差,在互相关图上时差处有最大值.
S
1 2
v m
2020/10/24
Cp F 1 ln S f
工程上实测的振动、噪声信号往往不是振源信
号本身，而是振源/音源信号 xt 经传递系统 ht 到测点输出信号 yt 。
2020/10/24
31
yt
xt ht
0
x
ht
d
Sy f Sx f H f 2
ln Sy f ln Sx f ln H f 2
34
司机坐振动源分析
2020/10/24
发动机与司机座的振动相关性较差，而后桥与司 机座振动互相关较大，即：司机座的振动主要由 汽车后轮的振动引起的。
35
管路系统振动传递途径分析
主管路上测点A的压力正常，分支管路的输出点B 的压力异常，将A、B传感器的输出信号进行相关 分析，便可以确定哪条途径对B点压力变化影响最 大（各条途径的长度不同）
x(t) 准周期信号
• 信号中各简谐成分
的频率比为无理数
非
• 具有离散频谱
周
期
信
号
瞬变信号
0
t
准周期信号 x(t)=Asin9t+ Asin[sqrt(31)t]
x(t)
x(t)
• 在一定时间区间内
存在或随时间的增
0
长衰减至零
0
t
t
瞬变信号 I x(t)=exp(-t)*sin t
瞬变信号 II
2020/10/24
2020/10/24
17
2020/10/24
可以证明：
S
x
(
f
)
lim
T
1 T
X( f )2
即可以通过时域信号的傅氏变换获得 Sx (f ) 。
实际根据上式计算自谱时，只能在有限时间长
度上获得Sx (f )的估计值，这种方法称为周期图 法。由于FFT的出现，使得该方法十分方便、
快捷，甚至在计算信号的自相关函数时通常也
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 8:32:58 08:32:5 808:32 10/24/2 020 8:32:58 AM
•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2408 :32:580 8:32Oc t-2024- Oct-20
•
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。08:32:5808 :32:580 8:32Saturday , October 24, 2020
e
ik
k j
2 a
j
G
j
eij
k
G
j
k
e
i
(
j
k
)
2 a
G
j
eij
G
j
k
e
i
(
j
k
)
j
jk
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28
注意到： H x () G jeij j
因此有：
S
x
(
)
2 a
Hx
(
)
H
* x
(
)
2 a
Hx ( ) 2
即ARMA(n,m)模型的自谱函数为：
2020/10/24
4
常
值
分
量：
2 a0 T0
T0 / 2 x(t)dt
T0 / 2
余弦分量幅值：an
2 T0
TT00/
2 /2
x(t) cos n0t
dt
正弦分量幅值： bn
2 T0
TT00/
2 /2
x(t ) sin
n0t
dt
重
复
频
率：
0
2
T0
x(t)
a0 2
n1
an
cos n0t
bn
2020/10/24
36
2020/10/24
汽车变速箱振动频谱分析
汽车变速箱上加速度 信号的功率谱图。图 （a）是变速箱正常 工作谱图，（b）为 机器运行不正常时的 谱图。可以看到图 （b）比（a）增加了 9.2Hz和18.4 Hz两个 谱峰，这两个频率为 设备故障的诊断提供 了依据。
37
•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2420 .10.24Saturday , October 24, 2020
13
TT
TT
20
2
f
T
T
(f )
3 2 10 1 2 3 f T T T TT T
2020/10/24
15
二、随机信号的功率谱
自功率谱(自谱)密度函数
Sx (
rx (
f )
)
rx (
Sx ( f
)e j2f d
)e j2f df
rx Ext xt 为自相关函数
定义Sx(f )为x(t)的自功率谱密度函数 （自谱或自功率谱）。
要条件为：
hx 0, rk
k n
2020/10/24
26
极大熵谱：Sx ()
2 a
n
2
1
eik k
k 1
ARMA模型的自谱函数
Sx ()
rx (k )eik
k
2 a
G
jG
jk
e ik
k
j 0
2020/10/24
27
因为j<0时，Gj=0，故有：
S
x
(
)
2 a
G
j
G
jk
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16
注意到：
lim rx (0)
T
1 T
T 0
x2 (t)dt
2 x
Sx ( f )df
即Sx(f )曲线与频率轴所包围的面积等于信号的平 均功率（均方值），因此，Sx(f )反映了信号平均 功率对频率的变化率，表达了信号在单位频带宽
度内的功率。故称为自功率谱密度函数。
m
2
1 v e iv
S
ARMA x
(
)
2 a
v 1
n
2
1 u e iu
u1
2020/10/24
29
AR谱：
S
AR x
(
)
2 a
n
2
1 u e iu
u1
极大熵谱：Sx ()
2 a
n
2
1
eik k
k 1
若AR模型适用，则AR谱与极大熵谱等价。
2020/10/24
30
四、倒谱
倒谱分析也称为二次频谱分析，是检测复杂谱 图中周期分量的有力工具
•
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020 年10月 上午8时 32分20 .10.240 8:32Oc tober 24, 2020
2020/10/24
21
相干函数（凝聚函数）
2
2 xy
(
f
)
Sxy ( f ) Sx( f )Sy(
f
)
0
2 xy
(
f
)
1
相干函数是在频域内鉴别两信号相关程度的指
标。例如对于测试系统，可以通过相干函数评
价其输入信号与输出信号间的因果性，即输出
信号的功率谱中有多少是由所测试输入信号所
引起的响应。
2020/10/24
•
安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 2420.1 0.2408:32:5808 :32:58 October 24, 2020
•
踏实肯干，努力奋斗。2020年10月24 日上午8 时32分 20.10.2 420.10. 24
•
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月24 日星期 六上午8 时32分 58秒08 :32:582 0.10.24
差函数 rn1, rn2 , 也假定为零。
2020/10/24
25
1967年Burg提出了这个问题，他的解决思路是
用外推法计算 rn1, rn2 , ，因为 rn1, rn2 ,
是未知的，我们并没有任何先验信息，因此它
们的取值是最随机的，即对 rn1, rn2 , 的熵
或熵率，应取最大值，若从数学上描述，其必
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19
2020/10/24
20
互功率谱(互谱)密度函数
Sxy ( f )
rxy
(
)e
j
2f
d
rxy ( )
S xy
(
f
)e
j 2f
df
rxy E xt yt 为互相关函数
由于互相关函数非偶函数，因而Sxy(f )为复数。
对线性系统，Sxy(f )=H(f ) Sx(f )。
首先通过该方法获得自谱，然后再经由傅氏反
变换获得rx()，以提高rx()的计算速度。
18
自谱的应用：
✓ 线性系统幅频特性辨识
Y( f ) H( f )X( f ) Sy( f ) H( f )2Sx( f )
✓ 检测信号中的周期成分 周期信号的频谱是脉冲函数，但实际处理时， 用矩形窗函数对信号进行了加窗截断，在频 域成为陡峭的sinc函数，从而可以根据自谱 中的陡峭谱峰确定相应的周期信号。
2020/10/24
23
船用柴油机润滑油泵压 油管振动和压力脉动间 的相干分析:
润滑油泵转速n=781rpm， 油泵齿轮齿数z=14。 油压脉动的基频为 f0=nz/60=182.24Hz。 结论： 油管振动由油压脉动引起。
三、极大熵谱
传统的功率谱估计是从已知的 r0 , r1,, rn 等
n+1 个自协方差函数的估计值作傅里叶变换求 得，此法的优点是简单便于实现，缺点是估计 的方差较大，谱的分辨率与数据长度的倒数有 关，不适宜于短数据段。这些缺点都来自于窗 函数之外的数据为零，在窗函数之外的自协方
1) 0t
0
2
T0
A()
0
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幅值谱 4A
4A 3
()
4A
n
/2
4A 5
0 30 50
0 0
相位谱 30 50
7
x(t) 0
2020/10/24
方波信号可以看成一系列频率 不等的正弦波叠加而成。
T0 t
8
周期方波信号的时域、频域（幅值、相位）描述
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9
傅立叶级数的复指数形式：
sin
n0t
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5
（例题）方波信号 x(t) x(t nT0 )
x(t)
A
A
0 t T0 2 T0 2 t 0
x(t)
…
T0
T0
…
2
2
T0
0
T0
t
2020/10/24
6
x(t)
4A
sin
0t
1 sin 3
30t
1 5
sin
50t
4A
n0
1 sin(2n 2n 1
n = 0, 1, 2,…
其中，傅里叶级数系数：
Fn
1 T0
T0 / 2 x(t )e jn0t dt
T0 / 2
Fn FnR jFnI Fn e jn
幅频谱图：|Fn| —— 实频谱图： FnR—— 虚频谱图： FnI —— 相频谱图： n ——
2020/10/24
10
➢ 非周期信号的傅里叶变换
第4章 动态系统特性的频域分析
傅里叶变换 随机信号的功率谱 极大熵谱、 倒谱
2020/10/24
1
概述
特征分析的目的： ✓ 去伪存真（研究特征量的变化规律） ✓ 去粗取精（选择对工况最敏感的特征量） 特征分析的手段： ✓ 时域 ✓ 频域及其各种变换域 ✓ 时频域
2020/10/24
2020/10/24
13
傅里叶变换公式：
=2πf
或：
2020/10/24
0为重复频率 X(f) = 2X()
14
（例题）求矩形窗函数w(t)的频谱。
w(t) 1
w(t
)
1
0
t T 2 t T 2
W ( f ) T sin fT TsincfT fT
-T/2 0 T/2 t
W(f ) T
31
2
在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单 的运算，常常采取一种变换手段。
对数变换
数量的乘积或商
对数的和或差
原数量的乘积或商
反对数
积分变换（傅氏变换、拉氏变换）也是如此。
2020/10/24
3
一、傅里叶级数及频谱
傅里叶变换： X ( f ) x(t)e j2 ftdt ,
x(t) X ( f )e j2 ftdf
22
船用柴油机润滑油泵压油管振动 和压力脉动间的相干分析
润滑油泵转速为n=781rpm，油泵齿轮的齿数为z=14，测得 油压脉动信号x(t)和压油管振动信号y(t)，压油管压力脉动 的基频为f0=nz/60=182.24(Hz).
由图c可以看到，当f =f0 =182.24Hz时，γ2xy (f) =0.3；当 f =2f0 =361.12Hz时， γ2xy (f)=0.37；当f =3f0 =546.54 Hz时， γ2xy (f)=0.4；当f =4f0 =722.24Hz时； γ2xy (f)=0.75...，齿轮引 起的各次谐频对应的相干函数值都比较大，而其它频率对 应的相干函数值很小，由此可见，油管的振动主要是由油 压脉动引起的。从x(t)和y(t)的自谱图也明显可见油压脉动 的影响(图a,b所示）。
➢ 周期信号的傅里叶级数及幅值谱
一个周期为T0且满足狄利克雷（Dirichlet）条件的周
期函数x(t)可以展开成如下的傅里叶级数（Fourier
series）
其中，
x(t)
a0 2
n1
an
cos
n0t
Fra Baidu bibliotek
bn
sin
n0t
狄利克雷（Dirichlet）条件：①连续或只有有限个第 一类间断点；②只有有限个极值点。
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时域矩形周期信号
时域矩形周期信号 （周期增大）
时域矩形周期信号 （周期增大） 时域矩形周期信号 （周期∞）
2020/10/24
傅里叶级数系数Fn 傅里叶级数系数Fn Fn/ 0波形 周期∞时的频谱
12
从上图可知，当矩形脉冲的重复周期愈大， 谱线愈靠近，即谱线间的间隔0=2π/T0变小， 当T0—>∞时， 0—>0，则离散谱就变成连续谱了。 这是我们就不能再利用傅里叶级数的方法来说明 非周期信号频谱，而必须采用频谱密度的概念
Cy Cx Ch
上式表明，时域中信号的卷积关系在倒谱上表 现为信号迭加。
2020/10/24
32
钢带速度的检测
v d /d
2020/10/24
33
地下管道泄漏的检测
漏损处K视为向两侧传播声响的声源,漏油的音响传至 两传感器就有时差,在互相关图上时差处有最大值.
S
1 2
v m
2020/10/24
Cp F 1 ln S f
工程上实测的振动、噪声信号往往不是振源信
号本身，而是振源/音源信号 xt 经传递系统 ht 到测点输出信号 yt 。
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31
yt
xt ht
0
x
ht
d
Sy f Sx f H f 2
ln Sy f ln Sx f ln H f 2
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司机坐振动源分析
2020/10/24
发动机与司机座的振动相关性较差，而后桥与司 机座振动互相关较大，即：司机座的振动主要由 汽车后轮的振动引起的。
35
管路系统振动传递途径分析
主管路上测点A的压力正常，分支管路的输出点B 的压力异常，将A、B传感器的输出信号进行相关 分析，便可以确定哪条途径对B点压力变化影响最 大（各条途径的长度不同）
x(t) 准周期信号
• 信号中各简谐成分
的频率比为无理数
非
• 具有离散频谱
周
期
信
号
瞬变信号
0
t
准周期信号 x(t)=Asin9t+ Asin[sqrt(31)t]
x(t)
x(t)
• 在一定时间区间内
存在或随时间的增
0
长衰减至零
0
t
t
瞬变信号 I x(t)=exp(-t)*sin t
瞬变信号 II
2020/10/24
2020/10/24
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2020/10/24
可以证明：
S
x
(
f
)
lim
T
1 T
X( f )2
即可以通过时域信号的傅氏变换获得 Sx (f ) 。
实际根据上式计算自谱时，只能在有限时间长
度上获得Sx (f )的估计值，这种方法称为周期图 法。由于FFT的出现，使得该方法十分方便、
快捷，甚至在计算信号的自相关函数时通常也
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 8:32:58 08:32:5 808:32 10/24/2 020 8:32:58 AM
•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2408 :32:580 8:32Oc t-2024- Oct-20
•
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。08:32:5808 :32:580 8:32Saturday , October 24, 2020
e
ik
k j
2 a
j
G
j
eij
k
G
j
k
e
i
(
j
k
)
2 a
G
j
eij
G
j
k
e
i
(
j
k
)
j
jk
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注意到： H x () G jeij j
因此有：
S
x
(
)
2 a
Hx
(
)
H
* x
(
)
2 a
Hx ( ) 2
即ARMA(n,m)模型的自谱函数为：
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4
常
值
分
量：
2 a0 T0
T0 / 2 x(t)dt
T0 / 2
余弦分量幅值：an
2 T0
TT00/
2 /2
x(t) cos n0t
dt
正弦分量幅值： bn
2 T0
TT00/
2 /2
x(t ) sin
n0t
dt
重
复
频
率：
0
2
T0
x(t)
a0 2
n1
an
cos n0t
bn
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汽车变速箱振动频谱分析
汽车变速箱上加速度 信号的功率谱图。图 （a）是变速箱正常 工作谱图，（b）为 机器运行不正常时的 谱图。可以看到图 （b）比（a）增加了 9.2Hz和18.4 Hz两个 谱峰，这两个频率为 设备故障的诊断提供 了依据。
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•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2420 .10.24Saturday , October 24, 2020
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TT
TT
20
2
f
T
T
(f )
3 2 10 1 2 3 f T T T TT T
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二、随机信号的功率谱
自功率谱(自谱)密度函数
Sx (
rx (
f )
)
rx (
Sx ( f
)e j2f d
)e j2f df
rx Ext xt 为自相关函数
定义Sx(f )为x(t)的自功率谱密度函数 （自谱或自功率谱）。
要条件为：
hx 0, rk
k n
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26
极大熵谱：Sx ()
2 a
n
2
1
eik k
k 1
ARMA模型的自谱函数
Sx ()
rx (k )eik
k
2 a
G
jG
jk
e ik
k
j 0
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因为j<0时，Gj=0，故有：
S
x
(
)
2 a
G
j
G
jk
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16
注意到：
lim rx (0)
T
1 T
T 0
x2 (t)dt
2 x
Sx ( f )df
即Sx(f )曲线与频率轴所包围的面积等于信号的平 均功率（均方值），因此，Sx(f )反映了信号平均 功率对频率的变化率，表达了信号在单位频带宽
度内的功率。故称为自功率谱密度函数。
m
2
1 v e iv
S
ARMA x
(
)
2 a
v 1
n
2
1 u e iu
u1
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AR谱：
S
AR x
(
)
2 a
n
2
1 u e iu
u1
极大熵谱：Sx ()
2 a
n
2
1
eik k
k 1
若AR模型适用，则AR谱与极大熵谱等价。
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四、倒谱
倒谱分析也称为二次频谱分析，是检测复杂谱 图中周期分量的有力工具
•
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020 年10月 上午8时 32分20 .10.240 8:32Oc tober 24, 2020
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相干函数（凝聚函数）
2
2 xy
(
f
)
Sxy ( f ) Sx( f )Sy(
f
)
0
2 xy
(
f
)
1
相干函数是在频域内鉴别两信号相关程度的指
标。例如对于测试系统，可以通过相干函数评
价其输入信号与输出信号间的因果性，即输出
信号的功率谱中有多少是由所测试输入信号所
引起的响应。
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 2420.1 0.2408:32:5808 :32:58 October 24, 2020
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踏实肯干，努力奋斗。2020年10月24 日上午8 时32分 20.10.2 420.10. 24
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追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月24 日星期 六上午8 时32分 58秒08 :32:582 0.10.24
差函数 rn1, rn2 , 也假定为零。
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1967年Burg提出了这个问题，他的解决思路是
用外推法计算 rn1, rn2 , ，因为 rn1, rn2 ,
是未知的，我们并没有任何先验信息，因此它
们的取值是最随机的，即对 rn1, rn2 , 的熵
或熵率，应取最大值，若从数学上描述，其必
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互功率谱(互谱)密度函数
Sxy ( f )
rxy
(
)e
j
2f
d
rxy ( )
S xy
(
f
)e
j 2f
df
rxy E xt yt 为互相关函数
由于互相关函数非偶函数，因而Sxy(f )为复数。
对线性系统，Sxy(f )=H(f ) Sx(f )。
首先通过该方法获得自谱，然后再经由傅氏反
变换获得rx()，以提高rx()的计算速度。
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自谱的应用：
✓ 线性系统幅频特性辨识
Y( f ) H( f )X( f ) Sy( f ) H( f )2Sx( f )
✓ 检测信号中的周期成分 周期信号的频谱是脉冲函数，但实际处理时， 用矩形窗函数对信号进行了加窗截断，在频 域成为陡峭的sinc函数，从而可以根据自谱 中的陡峭谱峰确定相应的周期信号。
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船用柴油机润滑油泵压 油管振动和压力脉动间 的相干分析:
润滑油泵转速n=781rpm， 油泵齿轮齿数z=14。 油压脉动的基频为 f0=nz/60=182.24Hz。 结论： 油管振动由油压脉动引起。
三、极大熵谱
传统的功率谱估计是从已知的 r0 , r1,, rn 等
n+1 个自协方差函数的估计值作傅里叶变换求 得，此法的优点是简单便于实现，缺点是估计 的方差较大，谱的分辨率与数据长度的倒数有 关，不适宜于短数据段。这些缺点都来自于窗 函数之外的数据为零，在窗函数之外的自协方
1) 0t
0
2
T0
A()
0
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幅值谱 4A
4A 3
()
4A
n
/2
4A 5
0 30 50
0 0
相位谱 30 50
7
x(t) 0
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方波信号可以看成一系列频率 不等的正弦波叠加而成。
T0 t
8
周期方波信号的时域、频域（幅值、相位）描述
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傅立叶级数的复指数形式：
sin
n0t
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（例题）方波信号 x(t) x(t nT0 )
x(t)
A
A
0 t T0 2 T0 2 t 0
x(t)
…
T0
T0
…
2
2
T0
0
T0
t
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x(t)
4A
sin
0t
1 sin 3
30t
1 5
sin
50t
4A
n0
1 sin(2n 2n 1
n = 0, 1, 2,…
其中，傅里叶级数系数：
Fn
1 T0
T0 / 2 x(t )e jn0t dt
T0 / 2
Fn FnR jFnI Fn e jn
幅频谱图：|Fn| —— 实频谱图： FnR—— 虚频谱图： FnI —— 相频谱图： n ——
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➢ 非周期信号的傅里叶变换