高数BC三重积分

( y z ) dxdydz

其中
2
是由曲面
1 2 2 x ( y z) R , z 0 2
以及
z h 所围成的立体。
（预赛2014） 计算三次积分
I dx dy ye
0 x y
1
1
1
1 z
4
dz
(精选)计算

1
1
dx
1 x
2
0
dy
三重积分
问题一：利用对称性化简三重积分（ 的表示）
问题二：利用投影计算三重积分（附：柱坐标） 问题三：利用截面法计算三重积分 问题四：球坐标法介绍 问题五：变“限”重积分的处理
练习: 将 I

f ( x, y , z ) d v
用三次积分表示,其中 由五个平面
x 0 , y 1, x 2 y 4 ,
(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; 2 (2) 证明 t > 0 时, F (t ) G (t ) . π
例：记 为 z x
2
y
2
在点
1,0,1 处的切平面,立体
由 z 1 x y
2

2
及平面
所围, 求 的体积.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z
例. 求半径为a 的球面 与半顶角为的内接
2a
O x

M
y
锥面所围成的立体的体积.
例. 求曲面
( x y z ) a z (a 0)
z a
2
2
2 2
3
所围立体体积.
r
O x
y
(预赛2016)设扇形区域
D : 0 r a, (0 )
G (t )
f (x2 y2 z 2 ) d v
z
D(t )
2 2 2 2 ( t ) {( x , y , z ) x y z t }, 其中
t
t
f (x2 ) d x
2 2 2
x
O t y (t )
D(t ) {( x, y ) x y t }.
2 2
1 2 2 x y 由z x y , z 2
2 2
和平面
z 1 所围的闭区域.
练习： 设 由锥面 和球面
所围成 , 计算：
(冲刺)计算
2
x y z 2 z

2
x dv
2
2
（练习）计算
( x y z ) dxdydz
2 2 2
其中
其中 F (t )
x2 y2 z 2 t 2

f ( x y z )d xd yd z
2 2 2
例. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,
(t ) F (t ) 2 2 f ( x y ) d D(t ) 2 2 f ( x y ) d D(t )
1 1 x y
2
2
dz x y z
2 2 2
1
例: {( x, y, z) x y r ,0 z h}
2 2 2
(r , h) f ( x y , z )dv
2 2
其中 f (u , v ) 连续,
求:

" rh
例.
1 求 : lim 4 F (t )， t 0 π t
2
是由曲面
2 2
x y z 2( x y z) 所围
例： 证明:
x2 y 2 z 2 1

f z dv f u 1 u du
1 2 1
2 2
[ f x y

?; f x y z ?]
2 2 2
（练习）计算
O
x
例: 均匀圆柱体 的底圆半径为 R,
高为 H ,密度为 . (1)求对它的一条母线的转动惯量; (2)求 对它的底圆直径的转动惯量.
备用题
设有一高度为 h(t ) ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其
2( x 2 y 2 ) , 设长度单位为厘米, 侧面满足方程 z h(t ) h(t ) 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积成正比
(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
z
多少小时? (2001考研)
O
x
y
(预赛2016)求积分
I ( x y z)dv

其中 : 0 z 1 x y
(考研2015)设

是由平面
x y z 1 与三个坐标平面
所围成的空间区域, 则
( x 2 y 3 z ) dxdydz

1 4
例: 计算
( x y ) dv ,
则 D 绕极轴旋转而得的立体之
体积为
2 a (cos cos ) 3
3
(练习)设有一高为 H 的圆柱形容器，
2 盛有 H 高的水，放在离心机上高 3
速旋转，因受离心力的作用，水面
呈旋转抛物面形状，问当水刚要溢
出容器时，水面的最低点在何处。
(练习)一种物质分布在半径为 R
的球体内，分布密度与球体内的 点到球表面上一定点 P0 的距离立
方成正比，求该球体的重心位置。
例. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线
的方程为 若炉内储有高为 h 的均质钢液, 不计炉体的自重, 求它的质心.
O
z
x
例. 求半径为R的均匀球
z a M0 R
O
x
y
对位于点
的单位质量质点的引力.
例.求密度为 的均匀球体
对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.
z l
y
z x, z 2
所围成 ,
其中 f ( x, y, z ) C ( ) .
例. 计算三重积分 其中 由抛物面 x y 4 z 与平面
2 2
z h (h 0) 所围成 .
例. 计算三重积分
其中 为由柱面 x
2
y 2x
2
及平面 z 0, z a (a 0), y 0 所围成半圆柱体.