数值分析第六章小结【计算方法】

第六章 数值积分学习小结

一、本章知识梳理 求积公式及其代数精度：

数值求积公式的一般形式：

()0

()()n

b

n k k a

k f x dx f x λ=≈∑⎰

截断误差：

)()(0

k b

a

n

k k n x f dx x f R ⎰∑=-=λ

数值求积公式是一种近似方法，因此，要求它对尽可能多的被积函数f 能准确计算积分的值，这就有了代数精度的概念。

定义：对于上面所列的求积公式，当()f x 为任何次数不高于m 的多项式时

都成为等式，而当()f x 为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m 次代数精度。

插值型求积公式：

()0

()()n

b

n k k a

k f x dx f x λ=≈∑⎰

其中()

()(0,1,...,)

b

n k

k a

l x dx k n λ

==⎰

截断误差：

(1)0

()[()](1)!n n

b

n j a

j f R x x dx n ξ+==-+∏⎰

定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。 Newton —Cotes 求积公式：

求积公式：

()0

()()n

b

n k

a

k b a f x dx f a k n

λ

=-≈+∑⎰

其中

()()

()(0,1,...,)n n k k b a c k n λ=-=

()00

(1)[()]!()!n k

n n n k

j j k

c

t j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ 2(1)

00

()[()](1)!n n n n n j h R f t j dt n ξ++==-+∏⎰

梯形公式(n=1)：

()[()()]2

b

a

b a f x dx f a f b -≈+⎰

3

1()''(),(,)12

b a R f a b ηη-=-∈

Simpson 公式(n=2)：

()[()4()+()]62

b

a

b a a b

f x dx f a f f b -+≈

+⎰

5(4)

2()(),(,)2880

b a R f a b ηη-=-∈

Simpson3/8公式(n=3)：

22()[()3()3()()]833b

a

b a a b a b

f x dx f a f f f b -++≈

+++⎰

5(4)3()(),(,)6480

b a R f a b ηη-=-∈

Cotes 公式(n=4)：

33()[7()32()12()32()7()]90424

b

a

b a a b a b a b

f x dx f a f f f f b -+++≈

++++⎰

7(6)

4()(),(,)1935360

b a R f a b ηη-=-∈

复化求积法：

复化梯形公式：

(0,1,...,),k b a x a kh k n h n

-=+==

1

1

()[()()2()]2n b

a

k h

f x dx f a f b f a kh -=≈+++∑⎰

2

()''(),[,]12

T b a R h f a b ηη-=-

∈ 复化Simpson 公式：

(0,1,...,2),2k b a

x a kh k m h m

-=+==

1

21211

()[()()4()2()]3m m b

i i a

i i h

f x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰

4(4)()(),[,]180

S b a R h f a b ηη-=-∈

Gauss 型求积公式：

一般理论：

1

()()()n

b

i i a

i x f x dx A f x ρ=≈∑⎰

()()

(1,2,...,)()'()

b

n i a

i n i x x A dx i n x x x ρωω==-⎰

()()

()()!

n b

n a

f R x x dx n ξρω=⎰

几种Gauss 型求积公式：

Gauss-Legendre 求积公式：

1

1

1

()()n

i i i f x dx A f x -=≈∑⎰

22

2

(1,2,...,)(1)['()]

i i n i A i n x L x =

=-