高一数学必修一 基本初等函数知识点总结
初等基本函数知识点总结
初等基本函数知识点总结函数是数学中最基本的概念之一,它在数学的各个分支中都有着重要的应用。
初等基本函数是指在初等数学范围内常见的基本函数,包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
本文将对这些初等基本函数的概念、性质等进行总结和介绍。
一、常数函数常数函数的定义是f(x) = c (c为常数)。
这里的c就是常数函数的函数值,它是一个常数,和x的取值无关。
在坐标系中,常数函数的图象是一条水平的直线,它的斜率为0。
常数函数的性质有:1. 常数函数的图象是一条水平的直线。
2. 常数函数的定义域是全体实数集R,值域为{c}。
3. 常数函数的导数为0,即f'(x) = 0。
4. 常数函数是一个一一对应的函数。
5. 常数函数是奇函数,偶函数,周期函数,增函数,减函数等的特殊情况。
二、一次函数一次函数的定义是f(x) = kx + b (k和b为常数,k≠0)。
在坐标系中,一次函数的图象是一条通过点P(k,b)的直线,它的斜率为k,截距为b。
一次函数的性质有:1. 一次函数的图象是一条直线,斜率k决定了直线的倾斜程度,截距b决定了直线与y轴的交点位置。
2. 一次函数的定义域是全体实数集R,值域是一切实数集R。
3. 一次函数的导数为k,即f'(x) = k。
4. 当k>0时,一次函数是增函数;当k<0时,一次函数是减函数;当k=0时,一次函数是常数函数。
5. 一次函数是一个奇函数,因为f(-x) = -kx + b = -f(x)。
三、二次函数二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c (a、b和c为常数,a≠0)。
二次函数的图象是一个开口向上或者向下的抛物线,它的开口方向由a的正负决定。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
二次函数的性质有:1. 二次函数的图象是一个抛物线,它关于y轴对称,对称轴方程为x = -b/2a。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y>1(x > 0), y=1(x=0), 0 < y<1(x < 0)
y> 1(x < 0), y=1(x=0), 0 < y< 1(x > 0)
在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ;
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ,并注明反函数的定义域.
( 8)反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称.
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域. ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上.
③根式的性质: (n a )n a ;当 n 为奇数时, n an
a ;当 n 为偶数时, n an | a |
a (a 0)
.
a (a 0)
( 2)分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是: a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) . 0 的正分数指数幂等于 0.②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ,且 x1 x2 .令 f ( x) ax 2 bx c ,从以下四个方
面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x
高一数学必修1第一章第二节基本初等函数
精心整理第二章:函数及其表示第一讲:函数的概念:知识点一:函数的概念:典型例题:判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数:A=z,B=Z,A=Z,B=Z,A={-1,1},B={0},f:)))巩固练习:已知函数f(-3),的值时,求知识点三:函数相等:如果两个函数的定义域相等,并且对应关系完全一致,那么我们称这两个函数一致。
典型例题3:下列函数中,f(x)与g(x)相等的是()A、B、C、D、巩固练习:)(2))(4)知识点四:区间的表示:零售量是否为月份的函数?为什么?知识点二:分段函数:典型例题1:作出下列函数的图像:(1)f(x)=2x,x∈Z,且|x|≤2(2)y=|x|典型例题2:某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定:(1)5公里以内(含5公里),票价2元(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加一元(不足5公里按5f:(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f:数轴上的点所代表的实数对应。
(2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B={(x,y)|x ∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)集合A={x|x是三角形};集合B={x|x是圆};对应关系f:每个三角形都有对应它的内切圆。
课堂练习:1、如图,把截面半径为25cm的圆形木头据成矩形木料,如果中元素作业布置:1、求下列函数的定义域:(1)2、下列哪一组中的函数f(x)与g(x)相等?3、画出下列函数的图像,并说明函数的定义域和值域(1)y=3x(2)(3)y=-4x+5(4)x2-6x+74、已知函数f(x)=3x2-5x+2,求的值。
高一函数知识点总结
高一函数知识点总结高一函数知识点总结1一、函数的概念与表示1、映射(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
注意点:(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射,多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据:(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的'被开方数不小于零,零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;⑦利用对号函数⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。
主要是含绝对值函数四.函数的奇偶性1.定义:设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为奇函数。
2.性质:①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇某奇=偶偶某偶=偶奇某偶=奇[两函数的定义域D1,D2,D1∩D2要关于原点对称]3.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1、函数单调性的定义:2设是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则在M上是增函数。
高中数学必修一知识点归纳
高中数学必修一知识点归纳一、函数的概念与性质1. 函数的定义- 函数:从一个数集A(定义域)到另一个数集B(值域)的映射。
- 函数的表示:f(x) = y,其中x∈A,y∈B。
2. 函数的性质- 单调性:函数值随自变量增加而增加或减少。
- 奇偶性:f(-x) = f(x)(偶函数),f(-x) = -f(x)(奇函数)。
- 周期性:存在最小正数T,使得f(x+T) = f(x)。
- 有界性:函数的值在某个范围内。
3. 函数的图像- 坐标轴:x轴和y轴。
- 函数图像:表示函数关系的图形。
二、基本初等函数1. 幂函数- 定义:f(x) = x^n,n为实数。
- 性质:正整数幂、负整数幂、分数幂。
2. 指数函数- 定义:f(x) = a^x,a>0且a≠1。
- 性质:增长速度、指数律。
3. 对数函数- 定义:f(x) = log_a(x),a>0且a≠1。
- 性质:对数律、换底公式。
4. 三角函数- 正弦、余弦、正切函数:sin(x), cos(x), tan(x)。
- 性质:周期性、奇偶性、最值。
三、函数的运算1. 函数的四则运算- 加法、减法、乘法、除法。
2. 复合函数- 定义:f(g(x))。
- 性质:复合函数的值域。
3. 反函数- 定义:f(x)的反函数为g(x),满足f(g(x)) = x。
- 求法:通过解方程。
四、方程与不等式1. 一元一次方程- 解法:移项、合并同类项、系数化为1。
2. 一元二次方程- 解法:因式分解、配方法、公式法、图像法。
3. 不等式- 解法:移项、合并同类项、系数化为1。
- 性质:不等式的基本性质。
五、数列的概念与表示1. 数列的定义- 数列:按照一定顺序排列的一列数。
2. 等差数列- 定义:相邻两项之差为常数的数列。
- 通项公式:an = a1 + (n-1)d。
3. 等比数列- 定义:相邻两项之比为常数的数列。
- 通项公式:an = a1 * q^(n-1)。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结1.常数函数:常数函数是指函数的值在定义域内都保持不变的函数。
表示为f(x)=c,其中c是常数。
常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。
常数函数的性质是恒等性,即f(x)=f(x'),对于任意x和x'都成立。
2.平方函数:平方函数是指函数的值与自变量的平方成正比的函数。
表示为f(x)=x²。
平方函数的图像是一条开口向上的抛物线。
平方函数的性质是奇偶性,即f(-x)=f(x),对于任意实数x都成立。
3.立方函数:立方函数是指函数的值与自变量的立方成正比的函数。
表示为f(x)=x³。
立方函数的图像是一条通过原点且存在于所有象限的曲线。
立方函数的性质是单调性,即在定义域内,当x₁<x₂时,有f(x₁)<f(x₂)或f(x₁)>f(x₂)成立。
4.绝对值函数:绝对值函数是指函数的值与自变量的绝对值成正比的函数。
表示为f(x)=,x。
绝对值函数的图像是一条以原点为顶点且对称于y轴的V字形曲线。
绝对值函数的性质是非负性,即对于任意实数x,有f(x)≥0成立。
5.指数函数:指数函数是指函数的值与自变量的指数幂成正比的函数。
表示为f(x)=aˣ,其中a是一个正实数且a≠1、指数函数的图像是一条通过点(0,1)且与x轴和y轴都无交点的曲线。
指数函数的性质是增长性,即在定义域内,当x₁<x₂时,有f(x₁)<f(x₂)成立。
6. 对数函数:对数函数是指函数的值与自变量的对数成正比的函数。
表示为f(x)=logₐ(x),其中a是一个正实数且a≠1、对数函数的图像是一条通过点(1, 0)且与x轴和y轴都无交点的曲线。
对数函数的性质是单调性,即在定义域内,当x₁<x₂时,有f(x₁)<f(x₂)成立。
7. 三角函数:三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
正弦函数表示为f(x)=sin(x),余弦函数表示为f(x)=cos(x),正切函数表示为f(x)=tan(x)。
数学必修一基本初等函数知识点
数学必修一基本初等函数知识点
1. 线性函数:y = kx + b(k和b为常数),其中k称为斜率,b称为截距。
2. 幂函数:y = x^n(n为常数),其中n可以是正整数、零、负整数。
3. 指数函数:y = a^x(a为正实数且a≠1)。
4. 对数函数:y = loga(x)(a为正实数且a≠1),其中x为正实数。
5. 三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等):y = sinx,y = cosx,y = tanx,y = cotx等。
6. 反三角函数(反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数等):y = arcsinx,y = arccosx,y = arctanx,y = arccotx等。
7. 绝对值函数:y = |x|。
8. 双曲函数(双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等):y = sinh(x),y = cosh(x),y = tanh(x)等。
9. 分段函数:根据不同条件定义函数的不同表达式,例如:y = f(x) =
{ x+1, (x≤0)
{ x^2, (0<x≤1)
{ 2x-1, (x>1)
10. 复合函数:将一个函数的输出作为另一个函数的输入进行运算,例如:f(g(x))。
以上是数学必修一中较为基本的初等函数知识点,只覆盖了一部分内容。
学习初等函数的重点是掌握其基本性质、图像和应用。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结1.多项式函数多项式函数是由常数和幂函数通过加减乘除运算得到的函数,它的一般形式是f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+...+a1x+a0,其中an,...,a0是常数,n是非负整数。
多项式函数的最高次数决定了函数的增长速度,函数的图像通常是一个平滑的曲线。
2.指数函数指数函数的形式是f(x)=a^x,其中a是一个正实数且不等于1、指数函数的图像呈现出递增或递减的趋势,具有不断增长的特点。
指数函数的特点是:当a>1时,函数递增;当0<a<1时,函数递减;当a=1时,函数恒为1;当x=0时,函数的值为13.对数函数对数函数的形式是f(x)=log_a(x),其中a是一个正实数且不等于1,x是一个正实数。
对数函数与指数函数是互逆的关系,即对数函数是指数函数的逆函数。
对数函数的特点是:当a>1时,函数递增;当0<a<1时,函数递减;当a=1时,函数恒为0;当x=1时,函数的值为0。
4.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
它们的图像是周期性的,周期为2π。
三角函数是以圆上的点的坐标来定义的,它们与三角关系密切相关,具有很多重要的应用,如波动、振动、旋转等。
5.反三角函数反三角函数是三角函数的逆函数,如反正弦函数arcsin(x),反余弦函数arccos(x),反正切函数arctan(x)等。
它们的定义域是[-1,1],值域是[-π/2,π/2]。
反三角函数可以用来解三角方程和求解三角函数的值,也在三角函数应用中起到重要作用。
6.指数对数函数指数对数函数是指数函数和对数函数的组合,如指数函数的反函数指数对数函数f(x)=log_a(x),对数函数的反函数指数对数函数f(x)=a^x。
指数对数函数具有特定的增长速度和性质,广泛应用于科学、金融、工程等领域。
总结起来,基本初等函数是初等函数的基础知识,包括多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
大一基本初等函数知识点总结
大一基本初等函数知识点总结大一的学生经常会接触到一些基本初等函数,这些函数非常重要,因为它们是数学知识的基础。
让我们一起来总结一下大一学生需要掌握的所有基本初等函数知识点。
首先,线性函数是基本初等函数中最常见的一类函数,它们对应一条直线,这条直线可以用y=ax+b的形式表示,其中a是斜率,b是y轴上的截距。
另外,给定两个点(x1,y1)和(x2,y2),它们连接成的直线也是一条线性函数,即y=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)+y1。
其次,指数函数是另一类常见的初等函数,它们形式为y=a*b^x,其中a和b是常数,x是变量。
当b>1时,指数函数为单调递增函数;当0<b<1时,指数函数为单调递减函数。
第三,幂函数是另一类常见的基本函数,它们形式为y=x^n,其中n是常数,x是变量,x>0。
当n>1时,幂函数为单调递增函数;当0<n<1时,幂函数为单调递减函数。
第四,平方根函数是另一类常见的基本函数,它们的形式为y=x^0.5,其中x是变量,x>0。
平方根函数是一种单调递增函数。
最后,反比例函数是另一类基本函数,它们可以用y=k/x的形式表示,其中x是变量,k是常数。
反比例函数是一种单调递增函数,它限制了x可能取值的范围,因为当x=0时函数会无穷大,所以x > 0。
综上所述,大一学生需要掌握的基本初等函数有:线性函数、指数函数、幂函数、平方根函数和反比例函数。
学习这些函数可以帮助大一的学生更好的理解数学的基础知识,从而更好地掌握数学相关的知识。
在学习这些函数时,学生们需要努力理解其特点,以便灵活运用。
高一必修一数学知识总结(4篇)
高一必修一数学知识总结第1篇【基本初等函数】一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1、根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数。
此时,的次方根用符号表示。
式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand)。
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数。
此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号—表示。
正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0)。
由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
注意:当是奇数时,当是偶数时,2、分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。
3、实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量,函数的定义域为R。
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1。
2、指数函数的图象和性质高一必修一数学知识总结第2篇二次函数I.定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
高一上册数学函数知识点归纳总结
高一上册数学函数知识点归纳总结1. 函数的定义和性质函数是一种具有特定关系的映射关系,包括定义域、值域、对应关系等。
函数可以表示为数学表达式、图像或者数据集合。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 基本初等函数常见的基本初等函数包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们各自具有不同的特性和性质,在数学中有广泛的应用。
3. 函数的图像与性质函数的图像是通过绘制函数的各个点而形成的曲线。
通过观察函数的图像,可以了解函数的特点、性质和变化趋势。
常见的图像包括直线、抛物线、指数增长曲线等。
4. 函数的运算与复合函数函数之间可以进行加减乘除等运算,得到新的函数。
函数的复合指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入,从而得到一个新的函数。
函数的运算和复合可以通过代数运算和函数图像来进行研究。
5. 函数的零点和极限函数的零点是函数取值为零的点,也就是方程 f(x)=0 的解。
函数的极限是指当自变量趋向于某个值时,函数取值的趋势和趋向。
寻找函数的零点和研究函数的极限是解决各种数学问题的基础。
6. 反函数与反比例函数如果函数 f(x) 和函数 g(x) 互为反函数,那么对于 f(g(x))=x 和g(f(x))=x 成立。
反比例函数指的是函数的值和自变量成反比例的关系,可以表示为 y=k/x,其中 k 是常数。
7. 函数的导数与微分导数是函数在某一点的变化率,表示为 f'(x),可以用来解决函数的最值、曲线的切线和函数的变化趋势等问题。
微分是刻画函数局部变化的工具,通过求取函数在某一点的微分来研究函数的性质。
8. 函数的应用函数在实际问题中有广泛的应用,如模拟、建模、最优化、曲线拟合等。
通过函数的定义和性质,可以将实际问题转化为数学模型,并用函数来解决相关的数学和实际问题。
通过以上对高一上册数学函数知识点的归纳总结,我们可以更好地理解函数的基本概念、性质和运用,进而提升数学解题能力和问题解决能力。
基本初等函数知识点大一
基本初等函数知识点大一初等函数是数学中最基础的一类函数,也是我们在大一学习数学中首要接触的内容。
初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。
本文将以大一课程中的基本初等函数知识点为重点,进行全面的介绍和细致的解析。
一、常数函数常数函数是最简单的初等函数形式,其表达式为f(x) = c,其中c为常数。
常数函数的图像始终平行于x轴,例如当函数为f(x) = 3时,其图像为一条平行于x轴且与x轴距离为3的直线。
常数函数的特点是在定义域上的每一个点的函数值都相等。
二、幂函数幂函数是形如f(x) = x^n的函数,其中n为常数。
幂函数的图像形状与n的正负、奇偶有关。
当n为正数时,随着x的增大,函数值也随之增大,图像呈现出右上方向延伸的趋势;当n为负数时,随着x的增大,函数值变小,图像呈现出右下方向延伸的趋势;当n为偶数时,图像关于y轴对称;当n为奇数时,图像则不对称。
三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数,其中a为底数,且a不等于0且不等于1。
指数函数的图像与底数a的大小有关。
当0<a<1时,函数值随着x的增大而迅速减小,图像接近于x轴;当a>1时,函数值随着x的增大而迅速增大,图像上升较快。
指数函数的特点是它们增长或减小的速度非常快,因此在许多领域中有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指满足f(x) = logₐ(x)的函数,其中a为底数。
对数函数是指数函数的反函数,它们具有互为反函数的关系。
对数函数的图像与底数a的大小和函数定义域相关。
当0<a<1时,函数图像下降;当a>1时,函数图像上升。
对数函数的特点是其定义域为正实数集合,值域为实数集合。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数是以弧度为单位的角度度量的三角函数。
它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
高中数学必修一知识点总结完整版
高一数学必修1知识点总结集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆()元素与集合的关系:属于()和不属于()()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:若 ,则,即是的子集。
、若集合中有个元素,则集合的子集有个, 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集,即 、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。
真子集:若且(即至少存在但),则是的真子集。
集合相等:且 定义:且交集性质:,,,运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃,定义:或并集性质:,,,,, 定义:且补集性质:,,,, ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义:设,是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素, 在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应:为从集合到集合的一个映射传统定义:如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值,定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
高一必修1函数知识点总结
高一必修1函数知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一个映射关系,它将自变量的取值映射到因变量的取值。
通俗地讲,函数就是一种"输入-输出"的关系。
1.2 函数的表示函数通常用 f(x) 或 y=f(x) 这样的形式来表示,其中 x 是自变量,f(x) 或 y 是因变量。
1.3 定义域和值域在映射的过程中,自变量的取值范围称为函数的定义域,因变量的取值范围称为函数的值域。
1.4 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示,它以自变量和因变量为横纵坐标构成图像。
1.5 基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
1.6 函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、最值等。
二、函数的运算2.1 函数的加减乘除函数可以进行加减乘除运算,也可以进行函数与常数的乘除运算。
2.2 复合函数复合函数是指将一个函数的结果作为另一个函数的自变量进行运算的函数。
2.3 反函数反函数是指与原函数相反的函数,其自变量与原函数的因变量互换。
三、函数的图像与性质3.1 函数的图像函数的图像可以反映函数的性质,如奇偶性、周期性、单调性等。
3.2 函数的奇偶性奇函数:f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
偶函数:f(-x)=f(x),图像关于y轴对称。
3.3 函数的周期性周期函数:f(x+T)=f(x),其中 T>0。
3.4 函数的单调性增函数:f(x₁)<=f(x₂),x₁<x₂。
减函数:f(x₁)>=f(x₂),x₁<x₂。
3.5 函数的最值函数的最大值和最小值。
四、函数的应用4.1 函数的建模利用函数描述实际问题,在数学中模拟现实问题。
4.2 函数的解析式函数的解析式是函数的表达式形式,通常可以从实际问题中提炼出来。
4.3 函数的应用问题利用函数解决实际问题,如求最值、求导数等。
4.4 函数的图像分析通过函数的图像分析函数的性质及实际问题。
高一必修一基本初等函数知识点总结归纳
高一必修一函数知识点(12.1)〖1.1〗指数函数(1)根式的概念n 叫做根指数,a 叫做被开方数.②当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当na =;当n 为偶数时,(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈(4)指数函数例:比较〖1.2〗对数函数(1)对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N叫做真数.②对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a xN a N a a N =⇔=>≠>.(2)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…).(3)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.(4)对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>,那么①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aMM N N-=③数乘:log log ()naa n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 (5)对数函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响 在第一象限内,a 越大图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越大图象越靠高,越靠近y 轴 在第一象限内,a 越小图象越靠低,越靠近x 轴 在第四象限内,a 越小图象越靠高,越靠近y 轴(6) 反函数的求法①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;③将1()xf y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(7)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.即,若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.〖1.3〗幂函数(1)幂函数的图象(需要知道x=,1,2,3与y=的图像) (2)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.②过定点:图象都通过点(1,1).〖1.4〗二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: ②顶点式: ③两根式:(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.(3)二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为 ,顶点坐标是 。
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第二章基本初等函数知识点整理
〖2.1〗指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果,,,1n
x
a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n
表示;当n 是偶数时,正数a 的正的n
n
次方根用符号表示;0的n 次方根是0;负数
a 没有n 次方根.
n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.
③根式的性质:n a =;当n
a =;当n 为偶数时,
(0)
|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
.
(2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m
n
a
a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数
指数幂的意义是: 1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底
数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s r s a
a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a
b a b a b r R =>>∈
2.1.2指数函数及其性质
(4)指数函数
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义
①若(0,1)x
a
N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x
N =,其中a 叫做底数,N
叫做真数.
②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>.
(2)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a
a =,log
b a a b =.
(3)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…).
(4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a
a M N >≠>>,那么
①加法:log log log ()a
a a M N MN += ②减法:log log log a a a
M
M N N
-=
③数乘:log log ()n
a
a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤log log (0,)b n
a a n M M
b n R b
=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数
(6)反函数的概念
设函数
()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中
的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数,函
数()x
y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=.
(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=;
③将1()x
f y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.
(8)反函数的性质
①原函数
()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称.
②函数
()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.
③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.
④一般地,函数
()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.
〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数
y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α
是常数.
(2)幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于
y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α
>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)
+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与
y 轴.
④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q
p
α
=
(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q
p
y x
=是奇函数,若
p 为奇数q 为偶数时,则q
p
y x =是偶函数,若
p 为偶数q 为奇数时,
则
q p
y x
=是非奇非偶函数.
⑤图象特征:幂函数
,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象
在直线
y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.
〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:
12()()()(0)f x a x x x x a =--≠
(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便.
(3)二次函数图象的性质
①二次函数
2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2b
x a
=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --
②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-
上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a
=-时,
2
min 4()4ac b f x a
-=
;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-
上递增,在[,)2b
a
-+∞上递减,当2b
x a
=-
时,2max 4()4ac b f x a -=.
③二次函数
2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点
11221212(,0),(,0),||||||
M x M x M M x x a =-=
. (4)一元二次方程2
0(0)ax
bx c a ++=≠根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程2
0(0)ax
bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方
面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2b
x a
=-
③判别式:∆ ④端点函数值符号. (5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值
设
()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01
()2
x p q =
+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上)
①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a
=- ③若2b q a ->,则()m f q =
①若02b x a -≤,则()M f q = ②0
x ->,则()M f p =
(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a
=- ③若2b q a ->,则()M f q =
①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a
->,则()m
f p =.
x
x
x
x
x x
(q)0x x
f
x
f
x x
x。