全国中考数学平行四边形的综合中考模拟和真题汇总附详细答案

∴ AO＝ 16 cm， 5
∴ BO＝
AB2
AO2
＝ 12 5
cm，
∴ BB′＝2BO＝ 24 cm， 5
∴ 在 Rt△ BB'C 中，B′C＝
BC2
BB2
＝ 18 5
cm，
由题意可知四边形 OEFB′是矩形，
∴ EF＝OB′＝ 12 ， 5
∴ S△ B′EC＝ 1 B C*EF 1 18 12 108 ．
1 证明：∵ AF / / BC ，
∴ AFE EDC ， ∵ E 是 AC 中点， ∴ AE EC ， 在 AEF 和 CED 中， AFE CDE AEF CED ， AE EC ∴ AEF CED ， ∴ EF DE ，∵ AE EC ， ∴ 四边形 ADCF 是平行四边形， ∵ AD BC ， ∴ ADC 90 ， ∴ 四边形 ADCF 是矩形．
2．如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO=CO，BO=DO，且 ∠ ABC+∠ ADC=180°． （1）求证：四边形 ABCD 是矩形． （2）若∠ ADF：∠ FDC=3：2，DF⊥AC，求∠ BDF 的度数．
【答案】(1)见解析；（2）18°. 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，求出∠ ABC=90°，根据矩形 的判定得出即可； （2）求出∠ FDC 的度数，根据三角形内角和定理求出∠ DCO，根据矩形的性质得出 OD=OC，求出∠ CDO，即可求出答案． 【详解】 （1）证明：∵ AO=CO，BO=DO ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ ABC=∠ ADC， ∵ ∠ ABC+∠ ADC=180°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形；
（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2 3 ，当△ POF 为等腰三角形时，请直接写出线段 OP 的长．
【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP 的长为 6 2 或 2 3.
3
【解析】 【分析】（1）如图 1 中，延长 EO 交 CF 于 K，证明△ AOE≌ △ COK，从而可得 OE=OK，再 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得 OF=OE； （2）如图 2 中，延长 EO 交 CF 于 K，由已知证明△ ABE≌ △ BCF，△ AOE≌ △ COK，继而可 证得△ EFK 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得 OF⊥EK，OF=OE； （3）分点 P 在 AO 上与 CO 上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图 1 中，延长 EO 交 CF 于 K，
∴ AF＝DF＝DE＝ 1 AD＝ 1 CD， 22
即点 E 是 CD 的中点． （3）延长 AE，BC 交于点 P，由（2）知 DE＝CD，
∠ ADE＝∠ ECP＝90°，∠ DEA＝∠ CEP， ∴ △ ADE≌源自文库△ PCE（ASA） ∴ AE＝PE， 又 CE∥ AB， ∴ BC＝PC， 在 Rt△ BGP 中，∵ BC＝PC，
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条 件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.
4．如图（1）在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一动点，连接 AE，作 BF⊥AE，垂足为 G 交 AD 于 F （1）求证：AF＝DE； （2）连接 DG，若 DG 平分∠ EGF，如图（2），求证：点 E 是 CD 中点； （3）在（2）的条件下，连接 CG，如图（3），求证：CG＝CD．
∴ CG＝ 1 BP＝BC， 2
∴ CG＝CD． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性 质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问
题，属于中考压轴题．
5．现有一张矩形纸片 ABCD（如图），其中 AB＝4cm，BC＝6cm，点 E 是 BC 的中点．将纸 片沿直线 AE 折叠，点 B 落在四边形 AECD 内，记为点 B′，过 E 作 EF 垂直 B′C，交 B′C 于 F． （1）求 AE、EF 的位置关系； （2）求线段 B′C 的长，并求△ B′EC 的面积．
2
2 5 5 25
【点睛】 考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要 理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大 小不变，只是位置变化．
6．在 ABC 中， AD BC 于点 D ，点 E 为 AC 边的中点，过点 A 作 AF / / BC ，交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF ．
1 如图1，求证：四边形 ADCF 是矩形； 2 如图 2 ，当 AB AC 时，取 AB 的中点 G ，连接 DG 、 EG ，在不添加任何辅助线
和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形 ADCF ）．
【答案】(1) 证明见解析；（2）四边形 ABDF 、四边形 AGEF 、四边形 GBDE 、四边形 AGDE 、四边形 GDCE 都是平行四边形．
由（1）得∠ 1＝∠ 3，∠ BGA＝∠ AND＝90°，AB＝AD ∴ △ BAG≌ △ ADN（AAS） ∴ AG＝DN，
又 DG 平分∠ EGF，DM⊥GF，DN⊥GE， ∴ DM＝DN， ∴ DM＝AG，又∠ AFG＝∠ DFM，∠ AGF＝∠ DMF ∴ △ AFG≌ △ DFM（AAS），
（2）解：∵ ∠ ADC=90°，∠ ADF：∠ FDC=3：2， ∴ ∠ FDC=36°， ∵ DF⊥AC， ∴ ∠ DCO=90°﹣36°=54°， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OC=OD， ∴ ∠ ODC=54° ∴ ∠ BDF=∠ ODC﹣∠ FDC=18°． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推 理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
∵ |CF﹣AE|=2，EF=2 3 ，AE=CK，∴ FK=2， 在 Rt△ EFK 中，tan∠ FEK= 3 ，∴ ∠ FEK=30°，∠ EKF=60°，
3 ∴ EK=2FK=4，OF= 1 EK=2，
2
∵ △ OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有 OF=FP=2，
在 Rt△ PHF 中，PH= 1 PF=1，HF= 3 ，OH=2﹣ 3 ， 2
∵ AE⊥BE，CF⊥BE，∴ AE∥ CK，∴ ∠ EAO=∠ KCO， ∵ OA=OC，∠ AOE=∠ COK，∴ △ AOE≌ △ COK，∴ OE=OK，
∵ △ EFK 是直角三角形，∴ OF= 1 EK=OE； 2
（2）如图 2 中，延长 EO 交 CF 于 K，
∵ ∠ ABC=∠ AEB=∠ CFB=90°， ∴ ∠ ABE+∠ BAE=90°，∠ ABE+∠ CBF=90°，∴ ∠ BAE=∠ CBF， ∵ AB=BC，∴ △ ABE≌ △ BCF，∴ BE=CF，AE=BF， ∵ △ AOE≌ △ COK，∴ AE=CK，OE=OK，∴ FK=EF， ∴ △ EFK 是等腰直角三角形，∴ OF⊥EK，OF=OE； （3）如图 3 中，点 P 在线段 AO 上，延长 EO 交 CF 于 K，作 PH⊥OF 于 H，
在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠ BAD＝∠ D＝90o， ∴ ∠ 2+∠ 3＝90° 又∵ BF⊥AE， ∴ ∠ AGB＝90° ∴ ∠ 1+∠ 2＝90°， ∴ ∠ 1＝∠ 3 在△ BAF 与△ ADE 中， ∠ 1=∠ 3 BA=AD ∠ BAF=∠ D，
∴ △ BAF≌ △ ADE（ASA） ∴ AF＝DE． （2）证明：过点 D 作 DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点 M，N．
【答案】（1）见解析；（2）S△ B′EC＝ 108 ． 25
【解析】 【分析】 （1）由折线法及点 E 是 BC 的中点，可证得△ B'EC 是等腰三角形，再有条件证明∠ AEF=90° 即可得到 AE⊥EF； （2）连接 BB′，通过折叠，可知∠ EBB′=∠ EB′B，由 E 是 BC 的中点，可得 EB′=EC， ∠ ECB′=∠ EB′C，从而可证△ BB′C 为直角三角形，在 Rt△ AOB 和 Rt△ BOE 中，可将 OB，BB′ 的长求出，在 Rt△ BB′C 中，根据勾股定理可将 B′C 的值求出. 【详解】 （1）由折线法及点 E 是 BC 的中点， ∴ EB＝EB′＝EC，∠ AEB＝∠ AEB′， ∴ △ B'EC 是等腰三角形， 又∵ EF⊥B′C ∴ EF 为∠ B'EC 的角平分线，即∠ B′EF＝∠ FEC， ∴ ∠ AEF＝180°﹣（∠ AEB+∠ CEF）＝90°，即∠ AEF＝90°， 即 AE⊥EF； （2）连接 BB'交 AE 于点 O，由折线法及点 E 是 BC 的中点， ∴ EB＝EB′＝EC， ∴ ∠ EBB′＝∠ EB′B，∠ ECB′＝∠ EB′C； 又∵ △ BB'C 三内角之和为 180°， ∴ ∠ BB'C＝90°； ∵ 点 B′是点 B 关于直线 AE 的对称点， ∴ AE 垂直平分 BB′； 在 Rt△ AOB 和 Rt△ BOE 中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2 将 AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm，
2
∴ OP= 12 2 3 6 2 .
如图 4 中，点 P 在线段 OC 上，当 PO=PF 时，∠ POF=∠ PFO=30°， ∴ ∠ BOP=90°，
∴ OP= 3 OE= 2 3 ，
3
3
综上所述：OP 的长为 6 2 或 2 3 . 3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰 直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析． 【解析】 【分析】 （1）证明△ BAF≌ △ ADE（ASA）即可解决问题． （2）过点 D 作 DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点 M，N．想办法证明 AF＝DF，即可解决 问题． （3）延长 AE，BC 交于点 P，由（2）知 DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要 证明 BC＝CP 即可． 【详解】 （1）证明：如图 1 中，
【解析】 【分析】
（1）由△ AEF≌ △ CED，推出 EF=DE，又 AE=EC，推出四边形 ADCF 是平行四边形，只要证 明∠ ADC=90°，即可推出四边形 ADCF 是矩形． （2）四边形 ABDF、四边形 AGEF、四边形 GBDE、四边形 AGDE、四边形 GDCE 都是平行四 边形． 【详解】
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在△ ABC 中，AB=BC，点 O 是 AC 的中点，点 P 是 AC 上的一个动点（点 P 不与点 A， O，C 重合）．过点 A，点 C 作直线 BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点 F，连接 OE，OF． （1）如图 1，请直接写出线段 OE 与 OF 的数量关系； （2）如图 2，当∠ ABC=90°时，请判断线段 OE 与 OF 之间的数量关系和位置关系，并说明 理由
3．如图，△ ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，过点 A 作 AE∥ BC，过点 D 作 DE∥ AB，DE 与 AC、AE 分别交于点 O、点 E，连接 EC． （1）求证：AD=EC；
（2）当∠ BAC=Rt∠ 时，求证：四边形 ADCE 是菱形．
【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）先证四边形 ABDE 是平行四边形，再证四边形 ADCE 是平行四边形即可； （2）由∠ BAC=90°，AD 是边 BC 上的中线，得 AD=BD=CD，即可证明. 【详解】 (1)证明：∵ AE∥ BC，DE∥ AB ， ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形， ∴ AE=BD， ∵ AD 是边 BC 上的中线， ∴ BD=DC， ∴ AE=DC， 又∵ AE∥ BC， ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. (2) 证明：∵ ∠ BAC=90°，AD 是边 BC 上的中线. ∴ AD=CD ∵ 四边形 ADCE 是平行四边形， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 【点睛】