第3章 多元数据图表示法
《多元统计分析》第三章 判别分析
v (1) 回代法
Ø 令n(2|1)——样本中来自π1而误判为π2的个数，n(1|2)——样本中来自π2
而误判为π1的个数，则P(2|1) 和P(1|2) 可估计为
Pˆ
2
| 1
n
2
| 1
,
Pˆ 1 | 2 n 1 | 2
n1
n2
Ø 该方法简单、直观，且易于计算。但它给出的估计值通常偏低，当样
目标2（描述方面）：分离。 就是用图形（通常二维，有时三维或一维，一般 通过降维实现）方法或代数方法描述来自各组的 样品之间的差异性，最大限度地分离各组。
判别分类方法： 距离判别、贝叶斯 （Bayes）判别和 费希尔（Fisher） 判别等。
判别分离方法： 费希尔判别（它 更多地是用于分 离）。
1
x x
1 2
, ,
若d 2 x,1 d 2 x, 2 若d 2 x,1 d 2 x, 2
Σ1=Σ2=Σ时的判别
v省略的 步骤见 书中第 115页。
d 2 x,1 d 2 x,2 x μ1 Σ 1 x μ1 x μ2 Σ 1 x μ2
Ø 令n*(2|1)——样本中来自π1而误判为π2的个数，n*(1|2)——样本中来自
π2而误判为π1的个数，则两个误判概率P(2|1)和P(1|2)的估计量为
Pˆ 2 |1 n* 2 |1 , Pˆ 1 | 2 n* 1 | 2
n1
n2
v 以上所述误判概率的这三种非参数估计方法同样适用于其它的判别方
v μi可估计为
xi
1 ni
ni
xij
第3章 多元线性回归模型 《计量经济学》PPT课件
于是：
βˆ
ˆ1 ˆ 2
0.7226 0.0003
0.0003 1.35E 07
15674 39648400
01.0737.71072
⃟ 正规方程组 的另一种写法
对于正规方程组 XY XXβˆ
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或
ei 0
(**)
X jiei 0
i
(*) 或（ ** ）是多元线性回归模型正规方程 组的另一种写法。
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
• 多元线性回归模型 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 回归模型的其他形式
§ 3. 1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型 : 表现在线性回归模型 中的解释变量有多个。
的秩 =k+1 ，即 X 满秩。
假设 2. 随机误差项零均值，同方差。
0
0
0
E
(μ
μ
)
E
1
n
1
n
E
12
n 1
1 n
2 n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
0
2
i E(i )
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟ 随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏 估计量为：
ˆ 2
ei2 n k 1
ee n k 1
多元统计学课程设计
多元统计学课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解多元统计学的基本概念，掌握多元数据的描述性统计分析、推断性统计分析及相应的数学模型。
2. 学生能运用多元回归分析、主成分分析、因子分析等多元统计方法对实际问题进行数据分析和解释。
3. 学生能掌握多元统计软件的使用，对实际数据集进行有效处理和分析。
技能目标：1. 学生具备运用多元统计方法解决实际问题的能力，包括数据收集、整理、分析及结果解释。
2. 学生能够熟练运用统计软件进行多元数据分析，并撰写分析报告。
3. 学生能够通过小组合作，共同探讨解决复杂数据分析问题，提高团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到多元统计学在科学研究、社会生活中的重要作用，培养对统计学学习的兴趣和热情。
2. 学生能够树立正确的数据观，遵循科学、严谨的态度对待数据分析，避免数据误用和滥用。
3. 学生能够在多元统计分析过程中，培养批判性思维，敢于质疑，勇于探索，形成独立思考和判断的能力。
课程性质：本课程为高年级本科或研究生统计学相关专业的核心课程，旨在帮助学生掌握多元统计方法，培养数据分析能力。
学生特点：学生具备一定的统计学基础，对统计方法有一定的了解，但可能缺乏实际应用经验。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调实际案例分析和操作练习，提高学生的实际应用能力。
同时，注重培养学生的团队协作、批判性思维和独立判断能力。
通过本课程的学习，使学生能够在实际工作中运用多元统计学知识解决复杂问题。
二、教学内容1. 多元数据的描述性统计分析：包括多元数据的收集、整理、图示方法，如散点图矩阵、相关系数等；多元分布特征，如均值、协方差、协方差矩阵等。
教材章节：第一章 多元数据的描述性分析2. 多元推断性统计分析：多元正态分布、多元回归分析、多元方差分析、判别分析等。
教材章节：第二章 多元推断性分析3. 多元统计方法的应用：主成分分析、因子分析、聚类分析、时间序列分析等。
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第三章部分习题解答).ppt
(记
1
2
1 2
1 )
10
第三章 多元正态总体参数的检验
由“1.结论6”知ξ与η相互独立
1 11 1
CD O 2 A2 2 B2 O AB O
11
第三章 多元正态总体参数的检验
3-4 试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).
性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α
X～Np(μ,Σ)(Σ＞0),X(α) (α＝1,…,n)(n＞p)为 来自p维正态总体X的样本，记μ＝(μ1,…,μp)′.C 为k×p常数(k<p),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出 检验H0:Cμ＝r的检验统计量及分布.
解：令 Y( ) CX ( ) ( 1,2, , n)
则Y(α)(α＝1,…,n) 为来自k维正态总体Y 的样本，且
令
r
由AB＝O可得DrH11＝O ， DrH12＝O . 因Dr为满秩阵,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r) .
由于H为对称阵，所以H21＝O(n-r)×r .于是
8
第三章 多元正态总体参数的检验
H ΓBΓ
令Y＝Γ′X，则Y～ Nn(Γ′μ,σ2In), 且 r
X AX (ΓY )AΓΓ Y Γ AΓΓ iYi2
所以 Tx2 Ty2
16
第三章 多元正态总体参数的检验
3-5 对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题， 试用似然比原理导出检验H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比
统解计:总量体及X分～布Np.(μ,Σ0)(ΣP06＞6当0)Σ,设=ΣX0(已α)(知α=μ1的,…检,验n)
第3章 多元数据图表示法讲解
图3-2 沿海6省海水产品产量矩阵散点图
3.2.3 矩阵散点图解读
• （1）根据图3-2，从变量来看，鱼类与虾蟹类 （第1列第2行小图）、贝类与藻类（第3列第4行 小图）、贝类与其它（第3列第5行小图）正的线 性相关明显。也就是说，鱼类产量高的省份虾蟹 产量也高，如浙江、山东、广东、福建；鱼类产 量低的省份虾蟹产量也低，如江苏、辽宁。贝类 产量高的藻类和其它也高，贝类产量低的藻类和 其它也低。如，山东贝类产量最大，它的藻类第 二和其它第一；江苏和浙江贝类倒数第一第二， 它们的藻类和其它也是倒数第一第二；福建、辽 宁、广东贝类产量中游分列第二、三、四位，它 们的藻类分列第一、三、四位，其它分列第五、 二、三位。
藻类 24.7 51.1 2.6 3.5 51.3 6.0
其他 29.8 32.5 5.7 11.9 11.8 13.4
3.2 散点图
• 3.2.1 散点图
• 散点图（scatter diagram）又称散布图或相关图， 将所选样品的某两个或三个变量的值对应到二维 坐标平面或三维坐标空间上的点，根据图中点的 分布走向和密集程度，直观地判断这些变量之间 相关情况的统计图形。在使用三维散点图表示时， 通常先经人工旋转到某个角度，以突出样品间的 规律或差异。相对而言，二维散点图使用频率远 高于三维散点图。
• 对于至少3个变量的多元数据，一般要使用 重叠散点图或矩阵散点图。
• 重叠散点图（overlay scatter diagram）是 将若干组二维散点图放置在同一张图中。 目的是比较这些组点分布规律的异同性， 显然数据不能太多，否则不利于比较。
• 矩阵散点图（matrix scatter diagram）是将 选取的多个变量两两之间的二维散点图排 列在一张大图中。便于同时观察这些变量 的两两之间的分布规律。
多元统计分析及R语言建模(第五版)——第3章多元数据的直观表示课后习题
多元统计分析及R语⾔建模（第五版）——第3章多元数据的直观表⽰课后习题第3章多元数据的直观表⽰本⽂⽤到的数据可以去这个⽹址下下载练习题2）表3-2是2004年⼴东省各市⾼新技术产品情况。
试对资料按照本章介绍的多元图⽰⽅法做直观分析library(openxlsx)d3.2= read.xlsx('mvexer5.xlsx',sheet ='E3.2',rowNames =TRUE)#设定参数rowNames=TRUE，即可将第⼀列字符变量变成数据框的⾏名，供后期使⽤d3.2#在Excel⽂件中mvexer5.xlsx的表单d3.2中选择A1：E22，并复制到剪切板dat = read.table("clipboard",header = T)#将剪切板数据读⼊数据框dat中dat#数据框标记转换函数msa.X <-function(df){#将数据框第⼀列设置为数据框⾏名 X = df[,-1]#删除数据框df的第⼀列并赋给Xrownames(X)= df[,1]#将df的第⼀列值赋给X的⾏名X #返回新的数值数据框=return（X）}d3.2= msa.X(dat)d3.2barplot(apply(d3.2,2,mean))#按⾏作均值条形图barplot(apply(d3.2,1,mean),las =3)#修改横坐标标记barplot(apply(d3.2,2,mean))#按列作均值条图barplot(apply(d3.2,2,median))#按列作中位数条图barplot(apply(d3.2,2,median),col =1:8)#按列取⾊boxplot(d3.2)#按列作箱尾图boxplot(d3.2,horizontal = T)#箱尾图中图形按⽔平放置install.packages('aplpack',repos="https:///CRAN/") library(aplpack)faces(d3.2,ncol.plot =7)#按每⾏7个作脸谱图install.packages('TeachingDemos',repos="https:///CRAN/") library(TeachingDemos)faces2(d3.2,ncols =7)#作⿊⽩脸谱图install.packages('andrews',repos="https:///CRAN/") library(andrews)andrews(d3.2,clr =2,ymax =5)#⼀般调和曲线source('msaR.R')msa.andrews(d3.2)#改进调和曲线msa.andrews(d3.2[c(1,3,5,7,9,11,13,15,17),])#作第1，3，5，7，9，11，13，15，17个观测的调和曲线图。
第三章-多元回归模型
由最小二乘
15
OLS估计式
由正规方程 X Xβˆ = X Y
多元回归中 参数的最小二乘估计量为:
无多重共线性( X X )kk 是满秩矩阵, 其逆存在
βˆ = (X X)-1 X Y
例如只有两个解释变量时： Yi 1 2 X 2i 3i X 3i ui
βˆ 的代数式可用离差简化地表示为：
ˆ1 Y ˆ2 X 2 ˆ3 X 3
这也是多元线性回归模型，只是这时变量为lnY、 lnL、lnK
7
多元总体回归函数
条件期望表现形式：
将Y的总体条件期望表示为多个解释变量的函数，如:
E(Yi X 2i , X 3i ,X ki ) 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki
(i 1, 2, n) 注意：这时Y总体条件期望的轨迹是K维空间的一条线 个别值表现形式： 引入随机扰动项 ui Yi E(Yi X2i , X3i Xki )
2 未知时 βˆ 的标准化变换
因 2 是未知的， 可用 ˆ 2 代替 2 去估计参数的标
准误差:
● 当为大样本时，用估计的参数标准误差对 βˆ 作标
准化变换，所得 Z 统计量仍可视为服从正态分布
●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 βˆ 作标准
化变换，所得的 t 统计量服从 t 分布：
t*
个别值形式: Yi ˆ1 ˆ 2 X 2i ˆ 3 X 3i ˆ k X ki ei
其中 i 1, 2, n , 由于有n组样本观测值，而且都满足这样
的关系, 象这样的方程事实上有n个.
9
二、多元线性回归模型的矩阵表示
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui
^
SE
多元统计分析及R语言建模-全书课件完整版ppt全套教学教程最全电子教案教学设计(最新)
#矩阵的行数 nrow(A)
#矩阵的行数 ncol(A)
2 多元数据的数学表达及R使用 2.3 数据矩阵
#矩阵按行求和 rroowwSSuummss((AA))
#矩阵按行求均值 ccoollSSuummss((AA))
#矩阵按列求和 colSums(A)
#矩阵按列求均值 colSums(A)
apply()函数
#赋予数据框新的列标签 X=data.frame('身高'=x1,'体重'=x2)
2 多元数据的数学表达及R使用 2.5 多元数据的R语言调用
从
选择需要进行计算的数据块 （比如上例中名为UG的数据），
剪
拷贝之。
切
在R中使用dat <-
板
read.table("clipboard",header=T)
给数据下，求样本均值、样本离差阵、样本协差阵等。
2 多元数据的数学表达及R使用 2.1 如何收集和整理多元分析资料
2 多元数据的数学表达及R使用 2.1 如何收集和整理多元分析资料
【例2.1】为了了解股民的投资状况，研 究股民的股票投资特征，我们在2002年组 织统计系本科生进行小范围的“股民投资 状况抽样调查”。本次调查的抽样框主要 涉及广东省的6个城市（广州、深圳、珠 海、中山、佛山和东莞，其中，广州、深 圳各100份，其他城市各80份），共发放 问卷520份，回收有效问卷514份。问卷中 设计了18个问题。为了简化分析，本例只 考虑：年龄、性别、风险意识、是否专兼 职、职业状况、教育程度和投资结果共7 个变量进行分析。
在R中可以用函数c()来创建向量： 在R中结果输出如下：
2 多元数据的数学表达及R使用 2.3 数据矩阵
第三章 多元回归模型
r0i,12i1i1k
r r r 0i,12i1i1k 1 0k ,12k 1 ik ,12i1i1k 1
1 r02k,12k1
1
r2
ik ,12i1i1k
1
问题：在多元回归中 r12(i1)(i1)k ,0 是越大越好，
还是越小越好？
17
模型显著性检验（F检验）: F统计量
核心思想：残差平方和最小准则
min ei2 min yi yˆi 2
min yi ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki 2
求解原理
ei2
ˆ j
0
结论
j 0,1,2,, k
ˆ X ' X 1 X 'Y
8
例子
经过研究，发现家庭书刊消费水平受家庭 收入及户主教育年数的影响。现对某地区 的家庭进行抽样调查，得到的样本数据如 表所示，其中 y 表示家庭书刊消费水平
其中，n k 1为 ei2 的自由度，n 1 为 yi y2
的自由度
引入修正的样本决定系数R 2的作用：
用自由度调整后，可以消除拟合优度评价中解释变量多 少对决定系数计算的影响
对于包含的解释变量个数不同的模型，可以用调整后的 决定系数直接比较它们的拟合优度的高低，但不能用原 来未调整的决定系数来比较
零阶偏相关系数、一阶偏相关系数、k 1 阶偏相关系数
r01 为零阶偏相关系数、 r02,1 称为一阶偏相关系数、 r01,23 称
为二阶偏相关系数、r01,234 称为三阶偏相关系数，依此类推
16
偏相关系数：一般公式
一般地，在研究多个变量的偏相关系数时，因变量 y
与解释变量 xi i 1,2,, k 的k 1 阶偏相关系数时，
多元统计分析1-3章
第一章绪论§1.1 什么是多元统计分析在工业、农业、医学、气象、环境以及经济、管理等诸多领域中，常常需要同时观测多个指标。
例如，要衡量一个地区的经济发展，需要观测的指标有：总产值、利润、效益、劳动生产率、万元生产值能耗、固定资产、流动资金周转率、物价、信贷、税收等等；要了解一种岩石，需观测或化验的指标也很多，如：颜色、硬度、含碳量、含硫量等等；要了解一个国家经济发展的类型也需观测很多指标，如：人均国民收入，人均工农业产值、人均消费水平等等。
在医学诊断中，要判断某人是有病还是无病，也需要做多项指标的体检，如：血压、心脏脉搏跳动的次数、白血球、体温等等。
总之，在科研、生产和日常生活中，受多种指标共同作用和影响的现象是大量存在的，举不胜举。
上述指标，在数学上通常称为变量，由于每次观测的指标值是不能预先确定的，因此每个指标可用随机变量来表示。
如何同时对多个随机变量的观测数据进行有效的统计分析和研究呢？一种做法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个去分析研究；另一种做法是同时进行分析研究。
显然前者做法有时是有效的，但一般来说，由于变量多，避免不了变量之间有相关性，如果分开处理不仅会丢失很多信息，往往也不容易取得好的研究结果。
而后一种做法通常可以用多元统计分析方法来解决，通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及揭示这些变量内在的变化规律，如果说一元统计分析是研究一个随机变量统计规律的学科，那么多元统计分析则是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的一门统计学科，同时，利用多元分析中不同的方法还可以对研究对象进行分类（如指标分类或样品分类）和简化（如把相互依赖的变量变成独立的或降低复杂集合的维数等等）。
在当前科技和经济迅速发展的今天，在国民经济许多领域中特别对社会经济现象的分析，只停留在定性分析上往往是不够的。
为提高科学性、可靠性，通常需要定性与定量分析相结合。
实践证明，多元分析是实现做定量分析的有效工具。
厦门大学《应用多元统计分析》习题第03章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验
1
4
4
1
2
14
2
1
2
5
2
3
2
15
4
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6
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4
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2
假定三组都服从多元正态分布，检验这三组的总体均值是否有显著性差异
（α = 0.05 ）。
3.7 某医生观察了 16 名正常人的 24 小时动态心电图，分析出早晨 3 个小
2 LF HF 4.29 3.03 4.69 4.77 5.28 4.41 5.05 3.28 4.94 3.56 4.54 3.28 4.26 3.11 5.56 5.36
3 LF HF 4.77 3.57 4.58 3.04 5.37 4.79 4.65 2.86 4.68 3.97 4.61 4.40 5.27 3.88 5.55 5.00
3 LF HF 4.16 2.70 3.30 3.10 4.64 3.87 5.54 4.89 5.21 3.88 5.26 3.84 5.43 4.50 4.57 2.32
3.8 根据习题 3.5 中的数据，检验男性婴幼儿与女性婴幼儿的协差阵是否
相等（α = 0.05 ）。
3.9 根 据 习 题 3.6 中 的 数 据 ， 检 验 三 位 候 选 人 的 协 差 阵 是 否 相 等
多元数据图表示法
第四章 多元数据图表示法图形有助于对所研究数据的直观了解，如果能把一些多元数据直接显示在平面图上，便可从图形一目了然地看出多元数据之间的关系，当只有一、二维数据时，可以使用通常的直角坐标系在平面上点图。
当有三维数据时，虽然可以在三维坐标系里点图，但已很不方便，而当维数大于3时，用通常的方法已不能点图。
但在许多实际问题中，多元数据的维数都大于3。
自20世纪70年代以来多元数据的图表示法一直是人们所关注的问题，人们想了不少办法，这些方法大体上分为两类：一类是使高维空间的点与平面上的某种图形对应，这种图形能反映高维数据的某些特点或数据间的某些关系；另一类是在尽可能多地保留原数据信息的原则下进行降维，若能使数据维数降至2或1，则可在平面上点图。
后者可用后面介绍的主成分法、因子分析法等去解决。
本章仅对前者介绍四种图表示法，更多的这类方法可在有关专著中找到。
设变量数为p ，观测次数为n ，第α次观测值记为n n x x x X ap a a a ,,,1,),,,(21 ='=α次观测数据组成的矩阵为p n ij x X ⨯=)(。
例 考察北京、上海、陕西、甘肃四个省市人均生活消费支出情况，选取以下五项指标，具体数据如下表（摘自1996年中国统计年鉴）：此例变量个数5=p ，观测次数4=n 。
§4.1 轮廓图作图步骤为：（1）作平面坐标系，横坐标取p 个点表示p 个变量。
（2）对给定的一次观测值，在p 个点上的纵坐标（即高度）和它对应的变量取值成正比。
（3）连接p 个高度的顶点得一折线，则一次观测值的轮廓为一条多角折线形。
n 次观测值可画出n 条折线，构成轮廓图。
下面画出四条折线为北京、上海、陕西、甘肃五项指标的数据即四个省市五项指标的轮廓。
由轮廓图可以看出：北京、上海的居民生活消费较高且相似。
陕西、甘肃生活消费较低且相似。
如果考察的样品较多，画折线时图形中可能出现重复点多，不便于区分哪个样品对应哪条折线，这时最好多用几种颜色或长短虚实等标志来画出折线。
第四章_多元数据图表示法
（1）系统聚类法
基本思想：开始将每个对象各自成一小类， 然后每次将最接近或最相似的两类开始合 并，合并后，重新计算新类与其他类的距 离或相似程度，这一过程一直继续下去， 直到所有的对象都归为一类为止。 逐渐合并类的过程可用一张谱系聚类图来 展示。
27
（2）有序样品聚类法
基本思想：事先给定分类数目k，然后开始 将所有样品看成一大类，然后根据某种最优 准则将它们分割为二个类、三个类，一直分 割到所需要的K个类为止。 由于这种方法采用了某种最优准则进行分类， 因此也叫最优分割法。适用于有序样品的分 类问题。
1
自20世纪70年代以来多元数据的表示法一直是人们所 关注的问题，人们想了不少办法，这些方法大体上分 为两类： 一类是使高维空间的点与平面上的某种图形对应，这 种图形能反映高维数据的某些特点或数据间的某些关 系。这种方法就是本章将介绍的数据图表示法。 另一类是在尽可能多地保留原始数据信息的原则下进 行降维，若能使数据维数降至2或1，则可在平面上点 图。这种方法可用后面几章介绍的主成分法、因子分 析法等去解决。
21
与多元分析的其他方法相比，聚类分 析方法较为粗糙，理论上还不够完善， 正处于发展阶段。 但是，由于该方法应用方便，分类效果 较好，因此越来越为人们所重视。近些 年来聚类分析的方法发展较快，内容越 来越丰富。
22
社会经济领域中存在着大量分类问题
在实际问题中，经常遇到分类问题。例如，对 某城市按大气污染轻重程度划分为几类区域。 对大学生的许多学习科目按照培养运算能力、 推理能力、记忆能力、创新能力、书面表达能 力等目标划分为几类不同的科目。在经济学中， 根据人均国民收入、人均工农业总产值、人均 消费水平等多哥指标对世界上的国家经济发展 状况进行分类，等等。
数据统计模型
数据统计模型多变量统计分析主要用于数据分类和综合评价。
综合评价是区划和规划的基础。
从人类认识的角度来看有精确的和模糊的两种类型，因为绝大多数地理现象难以用精确的定量关系划分和表示，因此模糊的模型更为实用，结果也往往更接近实际，模糊评价一般经过四个过程：(1)评价因子的选择与简化；(2)多因子重要性指标(权重)的确定；(3)因子内各类别对评价目标的隶属度确定；(4)选用某种方法进行多因子综合。
1.主成分分析地理问题往往涉及大量相互关联的自然和社会要素，众多的要素常常给模型的构造带来很大困难，为使用户易于理解和解决现有存储容量不足的问题，有必要减少某些数据而保留最必要的信息。
主成分分析是通过数理统计分析，求得各要素间线性关系的实质上有意义的表达式，将众多要素的信息压缩表达为若干具有代表性的合成变量，这就克服了变量选择时的冗余和相关，然后选择信息最丰富的少数因子进行各种聚类分析，构造应用模型。
设有n个样本，p个变量。
将原始数据转换成一组新的特征值——主成分，主成分是原变量的线性组合且具有正交特征。
即将x1，x2，…，xp综合成m(m＜p)个指标zl ，z2，…，zm，即z1=l11*x1+l12*x2+...+l1p*xpz2=l21*x1+l22*x2+...+l2p*xp..................zm=lm1*x1+lm2*x2+...+lmp*xp这样决定的综合指标z1，z2，…，zm分别称做原指标的第一，第二，…，第m主成分，且z1，z2，…，zm在总方差中占的比例依次递减。
而实际工作中常挑选前几个方差比例最大的主成分，从而简化指标间的关系，抓住了主要矛盾。
从几何上看，找主成分的问题，就是找多维空间中椭球体的主轴问题，从数学上容易得到它们是x1，x2，…，xp的相关矩阵中m个较大特征值所对应的特征向量，通常用雅可比(Jaobi)法计算特征值和特征向量。
主成分分析这一数据分析技术是把数据减少到易于管理的程度，也是将复杂数据变成简单类别便于存储和管理的有力工具。
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3.5.2 雷达图Excel操作
23.3 46.6 16.4 67.2 34.1 50.7
169.6 300.1 60.3 67.8 210.0 166.6
24.7 51.1 2.6 3.5 51.3 6.0
29.8 32.5 5.7 11.9 11.8 13.4
3.2 散点图
• 3.2.1 散点图
• 散点图（scatter diagram）又称散布图或相关图， 将所选样品的某两个或三个变量的值对应到二维 坐标平面或三维坐标空间上的点，根据图中点的 分布走向和密集程度，直观地判断这些变量之间 相关情况的统计图形。在使用三维散点图表示时， 通常先经人工旋转到某个角度，以突出样品间的 规律或差异。相对而言，二维散点图使用频率远 高于三维散点图。
• 对于至少3个变量的多元数据，一般要使用 重叠散点图或矩阵散点图。 • 重叠散点图（overlay scatter diagram）是 将若干组二维散点图放置在同一张图中。 目的是比较这些组点分布规律的异同性， 显然数据不能太多，否则不利于比较。 • 矩阵散点图（matrix scatter diagram）是将 选取的多个变量两两之间的二维散点图排 列在一张大图中。便于同时观察这些变量 的两两之间的分布规律。
3.4.2 条形图SPSS操作
• （1）数据输入格式如线图，要把例3.1中省份当成变量，而 把海产品当成样品观测。 • （2）选择菜单项Graphs→Bar，打开Bar Charts对话框。在 对话框上方的有三个选择条形图单选项：Simple简单条形图、 Clustered多组条形图、Stacked分段条形图。由于这里是多 变量作图，所以选择Clustered。在对话框下面有三个与Line Charts对话框有相同的选项，选择Value of individual cases。 单击Define按钮，打开Define Clustered Bar对话框。 • （3）在Define Clustered Bar对话框中，将代表不同省的6个 变量移入Bars Represent列表框中，将代表支出指标的变量 移入Variable框中。单击OK按钮，即可作出如图3-4所示的条 形图（图中条形形式已经重新编辑过以方便辩认）。
• （3）在打开的Scatter plot Matrix对话框中，将 “鱼类、虾蟹类、贝类、藻类、其他”五个变量 移入Matrix Variables列表框中，将标志变量“省” 移入Label Markers by散点标志列表框中。另外， Label Cases by为标识变量。
• （4）点击OK按钮，得到如图3-2所示的矩阵散点 图。注意，默认下输出的全是圆圈但不同颜色的 散点图，为增加区分度可进行图形编辑，不同省 份改用不同图标。
第三章 多元数据图表示法
• 3.1 引言 • 3.2 散点图 • 3.3 折线图 • 3.4 条形图 • 3.5 雷达图 • 3.6 星座图
3.1 引言
• 面对着一堆数据，我们该如何简捷明了地反映出其 中规律性的东东或所谓的信息？一般首先要对数据 进行描述性统计分析（descriptive Analysis），以 发现其内在的规律，再选择进一步分析的方法。 • 描述性统计分析主要包括数据的频数分析、数据的 集中趋势分析、数据离散程度分析、数据的分布、 以及一些基本的统计图形。 • 由于多元数据分析通常要研究其各分量指标间的相 关性，图形表示就显得尤其重要。将数据按某种形 式显示在一个平面图上，我们可以非常直观地了解、 认识数据，发现其中的可能分布规律。
3.5 雷达图
• 3.5.1 雷达图
• 雷达图（radar chart）又可称为戴布拉图、蛛网 图，是财务分析固表的一种。将公司各项财务分 析所得数字或比率，集中划在一个圆形的固表上， 来表现各项财务比率的情况，使用者能一目了然 地了解公司各项财务指标的变动情形及其好坏趋 向。在雷达图中，每个变量都有它自己的数值轴， 每个数值轴都是从中心向外辐射。由于图形就好 像雷达荧光屏上的图像，故称其为雷达图。
• （2）对给定的样品观测值，在p个点的纵坐标上标出相应 的变量取值。 • （3）将表示p个变量取值的点连接成一条折线，即得到了 表示一个样品观测数据的折线，n次观测可绘出n条折线， 构成多变量折线图。
3.3.2 折线图SPSS操作
• （1）将原始数据输入SPSS中。注意例3.1原始数 据输入时，要把省份当成变量，而把海产品当成观 测；或通过转置图3-1数据。
• 为了配合说明变量之间的相关性，可结合Pearson相 关系数（见表3.2）分析，鱼类与虾蟹类、贝类与藻 类线性相关显著，贝类与其它检验的p值为0.099可 以考虑线性相关。
表3.2 沿海6省海水产品产量Pearson相关系数（括号内为双侧检验的p值）
鱼类
鱼类 虾蟹 1 .832*(0.04)
虾蟹
• （2）选择菜单项Graphs→Line，打开Line Charts 对话框。在对话框上方有三个折线图形的单选项： Simple单线图、Multiple多线图、Drop-line垂线图。 由于这里是多变量作图，所以选择Multiple。在对 话框下面另有三个单选项：Summaries for groups of cases一个样品对应一个图（系统默认）、 Summaries of separate variable一个变量对应一个 图、Values of individual cases以样品作横轴一个 图显示全部。选择Value of individual cases。单击 Define按钮，打开Define Multiple Line对话框。
• 例3.1 表3.1是我国沿海6省2008年海水产品产量 数据，来源于2009年中国统计年鉴，下面分别用5 种可视化方法对数据进行分析。
表3.1 沿海6省海水产品产量（单位：万吨）
地 区
鱼 类 虾蟹类 贝 类
藻 类
其 他
辽 山 江 浙 福 广
宁 东 苏 江 建 东
57.6 169.4 39.0 167.0 154.0 131.7
3.3 折线图
• 3.3.1 折线图
• 折线图（polygonal line）是将多个样品观测数据以折线的 方式表示在平面图中的一种多变量可视化图形。折线图用 线段的升降来表示变量的大小，常用于表示现象在时间上 的变化趋势、现象的分配情况和两个现象之间的依存关系 等。 • 折线图的作图原理如下：
• （1）作平面坐标系，横坐标取p个点，表示p个变量，纵坐 标表示变量取值。
3.3.3 折线图
• 根据图3-3，山东省除虾蟹类外其它海产品 产量都高居沿海各省首位，江苏省则所有 海产品全排名最后，浙江省虾蟹类与鱼类 分列第1与第2外其它都是倒数第2，福建、 辽宁、广东三省多数海产品居中游。
3.4 条形图
• 3.4.1 条形图
• 条形图（bar chart）是由若干平行条状的矩 形所构成，而以每一个矩形的高度来代表 数值的大小。注意，绘画条形图时，不同 组之间是有空隙的；而绘画直方图时，不 同组之间是没有空隙的。
• （3）在Define Multiple Line对话框中，将 代表不同省的6个变量移入Lines Represent 列表框中，将代表支出指标的变量“产品” 移入Variable框中。单击OK按钮，即可作 出如图3-3所示的折线图（图中折线形式已 经重新编辑过以方便辨认）。
图3-3 沿海6省海水产品产量折线图
0.554(0.254) 1
-0.11(0.835) .870*(0.024)
0.136(0.798) 0.009(0.986) 0.731(0.099) 0.554(0.254)
• （2）根据图3-2，从样品来看，鱼类（第1列小图） 高产的有山东、浙江、福建和广东，低产的有辽宁 和江苏；虾蟹类（第2列小图）浙江高产，广东、山 东和福建中产，辽宁、江苏低产；贝类（第3列小图） 山东高产，福建、辽宁和广东中产，浙江、江苏低 产；藻类（第4列小图）福建和山东高产，辽宁中产， 广东、浙江和江苏低产；其它（第5列小图）山东和 辽宁高产，广东、浙江和福建中产，江苏低产。 • 当然可以做其它如三维散点图，但多数情形下多元 数据用矩阵散点图显示效果最好。如果原始数据输 入时，把省份当成变量，而把海产品当成观测，则 显示海产品关于不同省份之间的散点图，就本例而 言这样做实际分析意义不如图3-2，留作习题由读者 完成。
3.2.2 散点图SPSS操作
• （1）在SPSS中按图3-1的形式组织数据，把海 产品当成变量，而把不同地区当成样品观测。选 择菜单项Graphs→Legacy Dialogs，显示统计图 形选择菜单。其中Bar…条形图、3-D Bar…三维 条形图、Line…线图、Area…面积图、Pie…饼图、 High-Low…高低图、Boxplot…箱图、Error Bar… 误差条形图、Population Pyramid…金字塔图、 Scatter/Dot…散点图、Histogram…直方图、 Interactive交互式图形。另外，Chart Builder…图 形构建，用于预先设置图形显示格式之类。
图3-4 沿海6省海水产品产量条形图
• 3.4.3 条形图形解读
• 对比图3-3和图3-4，折线图和条行图的作图过程 几乎相同，作图原理也大同小异，折线图是以折 线的高低来表示变量的大小，条形图是以矩形的 高低来表示变量的大小。因此条形图与折线图完 全同样的结论。山东省除虾蟹类外其它海产品产 量都高居沿海各省首位，江苏省则所有海产品全 排名最后，浙江省虾蟹类与鱼类分列第1与第2外 其它都是倒数第2，福建、辽宁、广东三省多数海 产品居中游。
图3-1 作图时的数据组织形式和菜单
• （2）选择菜单项Graphs→Scatter/Dot，打开 Scatter plot散点图形式对话框，有Simple Scatter、 Matrix Scatter、Simple Dot、Overlay Scater、3D Scatter。选定Matrix，即矩阵散点图，单击 Define按钮，打开Scatter plot Matrix对话框。