D2-4群的同态
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于是， 于是， x + y → b = ab
a a a b b c c
b b c a
c c a b
这样， 这样， x → a , y → b
( iii ) x ≡ 0 ( 3 ) , y ≡ 2 ( 3 ) 这样， 这样， x → a , y → c 于是， 于是， x + y → c = ac
那么， 那么， x + y ≡ 2 ( 3 )
的全部单位根， 方程 x 2 = 1的全部单位根，又设 W = { 偶，奇 }， 数运算表分别为： 其中这三个集合上的代 数运算表分别为：
+ [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0]
• 1
1 1
-1 -1
1
o 偶 奇 偶 偶 奇
奇 奇 偶
-1 -1
作映射： 其中： [0 作映射： ϕ ： Z 2 → U 2，其中： ] a 1, [1] a − 1， 其中： 1 ψ ： U 2 → W ，其中： a 偶， 1 a 奇 − 不仅是双射， 保持运算。 很容易知道 ϕ ， ψ 不仅是双射，而且都能 保持运算。
事实上， 事实上，注意到 ϕ −1ϕ = I G , 且 ∀ a , b ∈ G ,
则必存在 a , b ∈ G 使 ϕ ( a ) = a， ϕ ( b ) = b , 且 ϕ −1 ( a ) = a， ϕ −1 ( b ) = b , 于是 ,
= ϕ −1 (ϕ ( a o b )) ϕ ( a o b ) = ϕ (ϕ ( a ) o ϕ ( b ))
( iv ) x ≡ 1 ( 3) , y ≡ 1 ( 3 )
这样， x → b , y → b 这样，
那么， 那么， x + y ≡ 2 ( 3 )
于是， 于是， x + y → c = bb
( v ) x ≡ 1 ( 3) , y ≡ 2 ( 3)
这样， 这样， x → b , y → c 于是， 于是， x + y → a = bc
通常的乘法， 通常的乘法，它们都是 群 .
设 φ : G → G , 其中 1 → 1, i → − 1, − 1 → − 1， − i → − 1
易验证， 易验证， φ是群同态满射 .
例4 设 G = R , G = R ∗ , 而 φ : {G ;+ } → {G ;⋅}其中 r → 2 r .
由于 φ ( r + s ) = 2 r + s = 2 r o 2 s = φ ( r ) o φ ( s )
可以验证 φ是群同态满射 .
三、代数性质的传递 群的满同态所具有的重要特征是——具有代数性 具有代数性 群的满同态所具有的重要特征是 质的“传递”作用. 质的“传递”作用. 定理1 定理1
−1 −1
= I G ( a o b ) = a o b = ϕ −1 ( a ) o ϕ −1 ( b ) = (ϕ ϕ )( a o b )
−1
⇒ ϕ −1 保运算 ∴ ϕ (a o b ) = ϕ (a ) o ϕ (b) 即 ϕ −1 是同构映射 .
−1 −1 −1
结论2 结论2： 都是群同构映射， 设 ϕ 1 : G 1 → G 2 和 ϕ 2 : G 2 → G 3 都是群同构映射，
二、群同态 o} o}的映射， 定义 2 设 ϕ 是群 {G ； 到{G； 的映射，如果 ϕ 满足
∀ a , b ∈ G , 都有 ϕ (a o b ) = ϕ (a )oϕ (b ), 则称 ϕ 是群同态映射 . 同态， 如果 ϕ 是满射 , 则叫 ϕ 为群同态满射 ;同时也称 G 与G同态， 并记为 G ~ G .习惯上称 G为 G 的同态象 . 例3 设 G = U 4 = {1, i ,− 1,− i }, G = U 2 = {1,− 1}关于
但， a − 1 a = e → e ,
这就是说， a 的左逆元， 这就是说， −1 是 a的左逆元，也就是 a的逆元 .
所以 G也是一个群 . 也是一个群
例5
A 包含 a 、 b 、 c 三个元 . A 的乘法表如下： 的乘法表如下：
证明： 作成一个群 证明： A作成一个群 . 问题： o}可否成群？ {A 问题： ，可否成群？通过运算表 也许
即Z 2 ≅ U 2且U 2 ≅ W （注：由传递性 ⇒ Z 2 ≅ W ）
这说明，上述三个群彼此都是相互同构的。 这说明，上述三个群彼此都是相互同构的。 明示： 按近代的数学观点：上述三个群只是表达元素的 明示： 按近代的数学观点： 符号与运算方法的符号及名称有区别。而这些区别对 符号与运算方法的符号及名称有区别。 于我们讨论研究问题的宗旨——群的代数性质来说是 于我们讨论研究问题的宗旨 群的代数性质来说是 无关紧要的。 无关紧要的。因为三者不外都是如下以一般形式出现 的二阶群的一种具体实现而已。 的二阶群的一种具体实现而已。 e o a e e a G = { e , a }, 运算表为： 运算表为： a a e 因而，只要我们掌握了这个二阶群的一般模式{G {G， 因而，只要我们掌握了这个二阶群的一般模式{G，°}， 前面的三个二阶群中， 前面的三个二阶群中，任何一个不外都是把这个模式用某 种具体的符号和名称实现出来的一种具体形式。这似乎有 种具体的符号和名称实现出来的一种具体形式。 点举一反三，触类旁通的意味吧。 点举一反三，触类旁通的意味吧。
显然， 是双射。 显然， ϕ 是双射。
ϕ ( n + m ) = 10
n+ m
= 10 n ⋅ 10 m = ϕ ( n ) ⋅ ϕ ( m )
∴ ϕ 保持运算 , 于是知： Z ≅ Z。 于是知：
明示： 明示： 差异， 我们应该记住{ Z ,+ }, { Z ,⋅}这两个群没有实质性的 差异，
的结果。 其中一个是另一个以不 同符号和名称实现出来 的结果。于 任何一个， 是，只要掌握了当中的 任何一个，那么另一个 也就完全能 把握住了， 认识， 把握住了，基于这样的 认识，群论的基本课题 就是把群按 同构关系分类； 代数结构。 同构关系分类；对每一 个同构的群类确定它的 代数结构。
( i ) x ≡ 0 ( 3) , y ≡ 0 ( 3)
这样， 这样， x → a , y → a 于是， 于是， x + y → a = aa
那么， x + y ≡ 0 ( 3 ) 那么，
( ii ) x ≡ 0 ( 3 ) , y ≡ 1 ( 3)
那么， 那么， x + y ≡ 1 ( 3 )
重点和难点： 重点和难点：
与第一章代数系统的同态、同构不同的是， 与第一章代数系统的同态、同构不同的是，群是一个更具体 的对象，故具有其自身的特殊性质。熟悉并领会群同态中代数 的对象，故具有其自身的特殊性质。 性质的传递特点，这是本节的重点； 性质的传递特点，这是本节的重点；而掌握教学活动中有关定 理的证明方法是其难点。 理的证明方法是其难点。
那么， 那么， x + y ≡ 0 ( 3 )
a a a b b c c
b b c a
c c a b
( vi ) x ≡ 2 ( 3 ) , y ≡ 2 ( 3 ) 这样， 这样， x → c , y → c 于是， 于是， x + y → b = cc
那么， 那么， x + y ≡ 1 ( 3 )
x → b , 假如 x → c, 假如
x ≡ 0 ( 3) x ≡ 1 ( 3) x ≡ 2 ( 3)
显然， 是一个满射； 显然， φ 是一个满射； 下面证明， 下面证明， φ是一个同态满射 .
需验证： 首先， 都适合交换律， 首先，因为 G和 A都适合交换律，于是只 需验证： xy → x y ,
⇒ ϕ 2ϕ 1 保运算 ,即 ϕ 2ϕ 1 是同构映射 . 结论3 结论3：
在群之间的同构“ , 必是一个等价关系。 在群之间的同构“ ≅ ”作为关系时 “ ≅ ”必是一个等价关系。
例 1： 的剩余类加群， 设 Z 2 = {[ 0], [1]}是模 2的剩余类加群， U 2 = {1， 1}是 −
例 2：
其中： 设两个群 { Z ,+ }{ Z ,⋅}，其中：
n −3 −2 −1 0 1 2 3
Z = {L , − 3,− 2, − 1, ,0,1,2, 3, L} Z = {10 | n ∈ Z } = {L ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 , L}
作映射： 其中： 作映射： ϕ ： Z → Z，其中： ϕ ( n ) a 10 n
(IV) G有单位元 e, 有单位元 在所给的同态满射之下 ， e有象 e : e → e;
下面证 e就是 G的一个左单位元 . 的任意元， 假设 a是 G的任意元，
的一个逆象： 而 a是 a的一个逆象： a → a , 那么 ea → e a ,
但， ea = a ,
所以， 所以， e a = a .
那么 ϕ 2ϕ 1也是群的同构映射 .
证明： 证明： Q ϕ 1 , ϕ 2 都是双射， 都是双射， 也是双射， 自然 ϕ 2ϕ 1也是双射，
都能保持运算， 也保持运算。 而 ϕ 1 , ϕ 2 都能保持运算，须证 ϕ 2ϕ 1也保持运算。
事实上， 事实上， 且 ∀ a , b ∈ G1 ,
ϕ 2ϕ 1 ( a b ) = ϕ 2 (ϕ 1 ( a ) ϕ 1 ( b ))= ϕ 2 (ϕ 1 ( a ))ϕ 2 (ϕ 1 ( b ))
是群， 假定 G 与G对于它们的乘法来说同 态，如果 G 是群， 那么G也是一个群 .
(I) 证明： 显然， 证明： 显然， 适合群定义的条件 I； G (II)
由于 G 的乘法适合结合律， 而 G 与 G 同态， 的乘法适合结合律， 同态，
8， 由 I， 定理 1， G的乘法也适合结合律 ; 的乘法也适合结合律
(V)百度文库
假定 a是 G的任意元， 的任意元，
的一个逆象： 而 a是 a的一个逆象： a → a , 的元， a是群 G 的元， a有逆元 a − 1 .
我们把 a −1的象叫做 a −1 :
a −1 → a −1 ,
那么， 那么， a −1a → a −1 a , 所以， 所以， a −1 a = e,
题 { o} 能解决单位元和逆元问 ，但 A，的 结合律的检验， 费事的，怎么办？ 结合律的检验，是相当 费事的，怎么办？
1， 证明： 由 II， 例 2， 证明：
全体整数对于普通加法 来说作成一个群 G .
a a a b b c c
b b c a
c c a b
之间做一个映射： 在 G与 A之间做一个映射： φ： x → a, 假如
一、群同构 o} o}的双射， 定义 1 设 ϕ 是群 {G ； 到{G； 的双射，如果 ϕ 满足
) 保运算） , ∀ a , b ∈ G , 都有 ϕ (a o b ) = ϕ (a )oϕ (b（即 ϕ 保运算） 同构， 则称 ϕ 是群同构映射 .同时称 G 与G同构， 并记为 G ≅ G .习惯上称 G为 G 的同构象 .
明示： 明示： 对于同构的群 G 与G，我们认为 G 与G是代数相同
的，因为这是对于近世 代数所研究的问题来说 ，除了符 号和名称上的区别之外 ，二者没有实质的差异 。
结论1 结论1： 设 ϕ : G → G的群同构映射 , 那么 ϕ 的逆映射
ϕ − 1 : G → G 也是群的同构映射 . 证明：由第一章已知， 证明：由第一章已知， ϕ −1 : G → G 必是双射 保持运算即可。 现须证 ϕ −1 保持运算即可。
第四节
教学目的和要求： 教学目的和要求：
群的同态
第二章
对群进行比较，采用的主要工具是群同态和群同构，从而 对群进行比较，采用的主要工具是群同态和群同构， 可揭示出两个貌视不同的群之间某些共同性质。 可揭示出两个貌视不同的群之间某些共同性质。这无疑是在群 的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法， 的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时也是实践 性很强的一种基本要求。所以应该掌握： 性很强的一种基本要求。所以应该掌握： （1）对群同态和同构这种代数现象有更透彻的了解； ）对群同态和同构这种代数现象有更透彻的了解； （2）了解群同态在传递代数性质方面的特点； ）了解群同态在传递代数性质方面的特点； （3）能熟悉一批常用的彼此同态、同构的群例。 ）能熟悉一批常用的彼此同态、同构的群例。
a a a b b c c
b b c a
c c a b
这样， 这样， x → a , y → b
( iii ) x ≡ 0 ( 3 ) , y ≡ 2 ( 3 ) 这样， 这样， x → a , y → c 于是， 于是， x + y → c = ac
那么， 那么， x + y ≡ 2 ( 3 )
的全部单位根， 方程 x 2 = 1的全部单位根，又设 W = { 偶，奇 }， 数运算表分别为： 其中这三个集合上的代 数运算表分别为：
+ [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0]
• 1
1 1
-1 -1
1
o 偶 奇 偶 偶 奇
奇 奇 偶
-1 -1
作映射： 其中： [0 作映射： ϕ ： Z 2 → U 2，其中： ] a 1, [1] a − 1， 其中： 1 ψ ： U 2 → W ，其中： a 偶， 1 a 奇 − 不仅是双射， 保持运算。 很容易知道 ϕ ， ψ 不仅是双射，而且都能 保持运算。
事实上， 事实上，注意到 ϕ −1ϕ = I G , 且 ∀ a , b ∈ G ,
则必存在 a , b ∈ G 使 ϕ ( a ) = a， ϕ ( b ) = b , 且 ϕ −1 ( a ) = a， ϕ −1 ( b ) = b , 于是 ,
= ϕ −1 (ϕ ( a o b )) ϕ ( a o b ) = ϕ (ϕ ( a ) o ϕ ( b ))
( iv ) x ≡ 1 ( 3) , y ≡ 1 ( 3 )
这样， x → b , y → b 这样，
那么， 那么， x + y ≡ 2 ( 3 )
于是， 于是， x + y → c = bb
( v ) x ≡ 1 ( 3) , y ≡ 2 ( 3)
这样， 这样， x → b , y → c 于是， 于是， x + y → a = bc
通常的乘法， 通常的乘法，它们都是 群 .
设 φ : G → G , 其中 1 → 1, i → − 1, − 1 → − 1， − i → − 1
易验证， 易验证， φ是群同态满射 .
例4 设 G = R , G = R ∗ , 而 φ : {G ;+ } → {G ;⋅}其中 r → 2 r .
由于 φ ( r + s ) = 2 r + s = 2 r o 2 s = φ ( r ) o φ ( s )
可以验证 φ是群同态满射 .
三、代数性质的传递 群的满同态所具有的重要特征是——具有代数性 具有代数性 群的满同态所具有的重要特征是 质的“传递”作用. 质的“传递”作用. 定理1 定理1
−1 −1
= I G ( a o b ) = a o b = ϕ −1 ( a ) o ϕ −1 ( b ) = (ϕ ϕ )( a o b )
−1
⇒ ϕ −1 保运算 ∴ ϕ (a o b ) = ϕ (a ) o ϕ (b) 即 ϕ −1 是同构映射 .
−1 −1 −1
结论2 结论2： 都是群同构映射， 设 ϕ 1 : G 1 → G 2 和 ϕ 2 : G 2 → G 3 都是群同构映射，
二、群同态 o} o}的映射， 定义 2 设 ϕ 是群 {G ； 到{G； 的映射，如果 ϕ 满足
∀ a , b ∈ G , 都有 ϕ (a o b ) = ϕ (a )oϕ (b ), 则称 ϕ 是群同态映射 . 同态， 如果 ϕ 是满射 , 则叫 ϕ 为群同态满射 ;同时也称 G 与G同态， 并记为 G ~ G .习惯上称 G为 G 的同态象 . 例3 设 G = U 4 = {1, i ,− 1,− i }, G = U 2 = {1,− 1}关于
但， a − 1 a = e → e ,
这就是说， a 的左逆元， 这就是说， −1 是 a的左逆元，也就是 a的逆元 .
所以 G也是一个群 . 也是一个群
例5
A 包含 a 、 b 、 c 三个元 . A 的乘法表如下： 的乘法表如下：
证明： 作成一个群 证明： A作成一个群 . 问题： o}可否成群？ {A 问题： ，可否成群？通过运算表 也许
即Z 2 ≅ U 2且U 2 ≅ W （注：由传递性 ⇒ Z 2 ≅ W ）
这说明，上述三个群彼此都是相互同构的。 这说明，上述三个群彼此都是相互同构的。 明示： 按近代的数学观点：上述三个群只是表达元素的 明示： 按近代的数学观点： 符号与运算方法的符号及名称有区别。而这些区别对 符号与运算方法的符号及名称有区别。 于我们讨论研究问题的宗旨——群的代数性质来说是 于我们讨论研究问题的宗旨 群的代数性质来说是 无关紧要的。 无关紧要的。因为三者不外都是如下以一般形式出现 的二阶群的一种具体实现而已。 的二阶群的一种具体实现而已。 e o a e e a G = { e , a }, 运算表为： 运算表为： a a e 因而，只要我们掌握了这个二阶群的一般模式{G {G， 因而，只要我们掌握了这个二阶群的一般模式{G，°}， 前面的三个二阶群中， 前面的三个二阶群中，任何一个不外都是把这个模式用某 种具体的符号和名称实现出来的一种具体形式。这似乎有 种具体的符号和名称实现出来的一种具体形式。 点举一反三，触类旁通的意味吧。 点举一反三，触类旁通的意味吧。
显然， 是双射。 显然， ϕ 是双射。
ϕ ( n + m ) = 10
n+ m
= 10 n ⋅ 10 m = ϕ ( n ) ⋅ ϕ ( m )
∴ ϕ 保持运算 , 于是知： Z ≅ Z。 于是知：
明示： 明示： 差异， 我们应该记住{ Z ,+ }, { Z ,⋅}这两个群没有实质性的 差异，
的结果。 其中一个是另一个以不 同符号和名称实现出来 的结果。于 任何一个， 是，只要掌握了当中的 任何一个，那么另一个 也就完全能 把握住了， 认识， 把握住了，基于这样的 认识，群论的基本课题 就是把群按 同构关系分类； 代数结构。 同构关系分类；对每一 个同构的群类确定它的 代数结构。
( i ) x ≡ 0 ( 3) , y ≡ 0 ( 3)
这样， 这样， x → a , y → a 于是， 于是， x + y → a = aa
那么， x + y ≡ 0 ( 3 ) 那么，
( ii ) x ≡ 0 ( 3 ) , y ≡ 1 ( 3)
那么， 那么， x + y ≡ 1 ( 3 )
重点和难点： 重点和难点：
与第一章代数系统的同态、同构不同的是， 与第一章代数系统的同态、同构不同的是，群是一个更具体 的对象，故具有其自身的特殊性质。熟悉并领会群同态中代数 的对象，故具有其自身的特殊性质。 性质的传递特点，这是本节的重点； 性质的传递特点，这是本节的重点；而掌握教学活动中有关定 理的证明方法是其难点。 理的证明方法是其难点。
那么， 那么， x + y ≡ 0 ( 3 )
a a a b b c c
b b c a
c c a b
( vi ) x ≡ 2 ( 3 ) , y ≡ 2 ( 3 ) 这样， 这样， x → c , y → c 于是， 于是， x + y → b = cc
那么， 那么， x + y ≡ 1 ( 3 )
x → b , 假如 x → c, 假如
x ≡ 0 ( 3) x ≡ 1 ( 3) x ≡ 2 ( 3)
显然， 是一个满射； 显然， φ 是一个满射； 下面证明， 下面证明， φ是一个同态满射 .
需验证： 首先， 都适合交换律， 首先，因为 G和 A都适合交换律，于是只 需验证： xy → x y ,
⇒ ϕ 2ϕ 1 保运算 ,即 ϕ 2ϕ 1 是同构映射 . 结论3 结论3：
在群之间的同构“ , 必是一个等价关系。 在群之间的同构“ ≅ ”作为关系时 “ ≅ ”必是一个等价关系。
例 1： 的剩余类加群， 设 Z 2 = {[ 0], [1]}是模 2的剩余类加群， U 2 = {1， 1}是 −
例 2：
其中： 设两个群 { Z ,+ }{ Z ,⋅}，其中：
n −3 −2 −1 0 1 2 3
Z = {L , − 3,− 2, − 1, ,0,1,2, 3, L} Z = {10 | n ∈ Z } = {L ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 , L}
作映射： 其中： 作映射： ϕ ： Z → Z，其中： ϕ ( n ) a 10 n
(IV) G有单位元 e, 有单位元 在所给的同态满射之下 ， e有象 e : e → e;
下面证 e就是 G的一个左单位元 . 的任意元， 假设 a是 G的任意元，
的一个逆象： 而 a是 a的一个逆象： a → a , 那么 ea → e a ,
但， ea = a ,
所以， 所以， e a = a .
那么 ϕ 2ϕ 1也是群的同构映射 .
证明： 证明： Q ϕ 1 , ϕ 2 都是双射， 都是双射， 也是双射， 自然 ϕ 2ϕ 1也是双射，
都能保持运算， 也保持运算。 而 ϕ 1 , ϕ 2 都能保持运算，须证 ϕ 2ϕ 1也保持运算。
事实上， 事实上， 且 ∀ a , b ∈ G1 ,
ϕ 2ϕ 1 ( a b ) = ϕ 2 (ϕ 1 ( a ) ϕ 1 ( b ))= ϕ 2 (ϕ 1 ( a ))ϕ 2 (ϕ 1 ( b ))
是群， 假定 G 与G对于它们的乘法来说同 态，如果 G 是群， 那么G也是一个群 .
(I) 证明： 显然， 证明： 显然， 适合群定义的条件 I； G (II)
由于 G 的乘法适合结合律， 而 G 与 G 同态， 的乘法适合结合律， 同态，
8， 由 I， 定理 1， G的乘法也适合结合律 ; 的乘法也适合结合律
(V)百度文库
假定 a是 G的任意元， 的任意元，
的一个逆象： 而 a是 a的一个逆象： a → a , 的元， a是群 G 的元， a有逆元 a − 1 .
我们把 a −1的象叫做 a −1 :
a −1 → a −1 ,
那么， 那么， a −1a → a −1 a , 所以， 所以， a −1 a = e,
题 { o} 能解决单位元和逆元问 ，但 A，的 结合律的检验， 费事的，怎么办？ 结合律的检验，是相当 费事的，怎么办？
1， 证明： 由 II， 例 2， 证明：
全体整数对于普通加法 来说作成一个群 G .
a a a b b c c
b b c a
c c a b
之间做一个映射： 在 G与 A之间做一个映射： φ： x → a, 假如
一、群同构 o} o}的双射， 定义 1 设 ϕ 是群 {G ； 到{G； 的双射，如果 ϕ 满足
) 保运算） , ∀ a , b ∈ G , 都有 ϕ (a o b ) = ϕ (a )oϕ (b（即 ϕ 保运算） 同构， 则称 ϕ 是群同构映射 .同时称 G 与G同构， 并记为 G ≅ G .习惯上称 G为 G 的同构象 .
明示： 明示： 对于同构的群 G 与G，我们认为 G 与G是代数相同
的，因为这是对于近世 代数所研究的问题来说 ，除了符 号和名称上的区别之外 ，二者没有实质的差异 。
结论1 结论1： 设 ϕ : G → G的群同构映射 , 那么 ϕ 的逆映射
ϕ − 1 : G → G 也是群的同构映射 . 证明：由第一章已知， 证明：由第一章已知， ϕ −1 : G → G 必是双射 保持运算即可。 现须证 ϕ −1 保持运算即可。
第四节
教学目的和要求： 教学目的和要求：
群的同态
第二章
对群进行比较，采用的主要工具是群同态和群同构，从而 对群进行比较，采用的主要工具是群同态和群同构， 可揭示出两个貌视不同的群之间某些共同性质。 可揭示出两个貌视不同的群之间某些共同性质。这无疑是在群 的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法， 的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时也是实践 性很强的一种基本要求。所以应该掌握： 性很强的一种基本要求。所以应该掌握： （1）对群同态和同构这种代数现象有更透彻的了解； ）对群同态和同构这种代数现象有更透彻的了解； （2）了解群同态在传递代数性质方面的特点； ）了解群同态在传递代数性质方面的特点； （3）能熟悉一批常用的彼此同态、同构的群例。 ）能熟悉一批常用的彼此同态、同构的群例。