线性代数—3.2 向量组的秩

• 齐次线性方程组的基础解系线性无关.
❖ 线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数
k1, , km , 使 k1a1 L kmam = 0
那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 L xmam = 0 只有零解. ❖ 定理1
§3.2 向量组的秩
一、向量组的秩和最大无关组 二、向量组间的线性关系
❖ 齐次通解结构定理
设 x1, , xn-r (r = R(A))为 n 元方程组 Ax = 0 的解, 且 满足条件 R(x1, , xn-r) = n- r, 则 Ax = 0 的通解为
x = k1x1 L kn-rxn-r , (k1, , kn-r 为任意数) • 称 x1, , xn-r 为方程组 Ax = 0 的一个基础解系.
则向量 b 可由 a1, , ar 线性表示.
❖ 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线性
无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组.
❖ 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大
无关组的充分必要条件是 (1) a1, , ar 线性无关; (2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示. 充分性: 设 b1, , bs 为 A 中向量, s > r. 存在数 kij , 使得
一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为 n 维向量组( A {0}), 则 A 的任一线性无关部 分组所含向量个数不多于 n 个.
A 的线性无关部分组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中 任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
❖ 向量组的秩 向量组 A 的线性无关部分组所含向量个数的最大值 r
证明 因 a1, , ar, b 线性相关, 故存在一组不全为 0 的数
k1, , kr , 使
k1a1 L krar kb = 0
假设 k = 0, 则 k1, , kr 不全为0, 且有
L krar = 0
这与 a1, , ar 线性无关矛盾. 因此 k 0, 于是
❖ 定理2*
称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0.
提示: 当 s > n 时, n 维向量组 a1, , as 线性相关.
这是因为
R(a1,L ,as ) n s
❖ 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线性
无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组.
设矩阵 A = (a1, , am), 则向量组 a1, , am 线性无关 的充分必要条件是 R(A) = m.
• m 元方程组 Ax = 0 只有零解的充要条件是 R(A) = m.
❖ 定理2
设向量组 a1, , ar 线性无关, 若 a1, , ar, b 线性相关,
则向量 b 可由 a1, , ar 线性表示.
例7 设向量组 a1, a2, a3 线性相关, 向量组 a2, a3, a4 线性无 关, 证明 (1) a1 能由 a2, a3 线性表示; (2) a4 不能由 a1, a2, a3 线性表示.
证明 (1) 因 a2, a3, a4 线性无关, 故部分组 a2, a3 线性无关, 而 a1, a2, a3 线性相关, 因此 a1 能由 a2, a3 线性表示. (2) 用反证法. 假设 a4 能由 a1, a2, a3 线性表示, 由(1) 知 a1 能由 a2, a3 线性表示, 从而 a4 也能由 a2, a3 线性表示, 所以 a2, a3, a4 线性相关, 这与 a2, a3, a4 线性无关矛盾.
❖ 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大
无关组的充分必要条件是 (1) a1, , ar 线性无关; (2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示. 必要性: 从略.
提示: 设向量组 a1, , ar 线性无关, 若 a1, , ar, b 线性相关,
基础解系, S 为 Ax = 0 的解集, 则
S = { x = k1x1 L kn-rxn-r | k1,L , kn-r R}
因为基础解系线性无关, 且 S 中的任一向量可由基础解系 线性表示, 所以基础解系是 S 的一个最大无关组. • n 元方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩等于 n - R(A). • Ax = 0 的解集 S 的一个最大无关组也即基础解系.
其中 n 为未知元的个数.
bj = k1 ja1 k2 ja2 L krjar , (i = 1,L , r; j = 1,L , s)
于是 R(b1,L ,bs ) = R[(a1,L ,ar )K ] R(K ) r s
故 b1, , bs 线性相关. 因此 r 为秩, a1, , ar 为最大无关组.
例1 设 x1, , xn-r (r = R(A))为 n 元方程组 Ax = 0 的一个
例2 证明 R( AT A) = R( A). 证明 若 x 满足 Ax = 0, 则 ATAx = 0.
若 x 满足 ATAx = 0, 则 xTATAx = 0, 即 (Ax)T(Ax) = 0, 从而 Ax = 0.
综上可知 Ax = 0 与 ATAx = 0 同解. 设其解集为 S, 则 R( AT A) = R( A) = n - R(S)
b = -k-1(k1a1 L krar )
设向量组 a1, , ar 线性无关, 若向量 b 不可由向量组 a1, , ar 线性表示, 则 a1, , ar, b 线性无关.
❖ 定理2 设向量组 a1, , ar 线性无关, 若 a1, , ar, b 线性相关,
则向量 b 可由 a1, , ar 线性表示.