数系的扩充课件
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数系的扩充与复数的概念 课件
复数的分类 m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－
15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？ [分析] 在本题是复数的标准形式下，即 z＝a＋bi(a，b∈
R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合 即可．
[解析] (1)由条件得mm＋2－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠5－或3m. ＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm＋2－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，满足i2＝___－__1___.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 __复__数_集___与__虚_部_____．全体复数构成的集合叫做 实部
复数的相等与复数的分类
4．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ di⇔a_＝__c且__b_＝_d_______.
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充与复数的概念
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有 理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但 在实数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＝ b2－4ac<0时无实数解，我们能否设想一种方法使得Δ<0时方程也有 解呢？
1．数系扩充的原因、脉络、原则
脉 络 ： 自 然 数 系 → 整 数 系 → 有 理 数 系 → 实 数 系 → _ _ _ _复_ _数_系_
原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与 数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
( 人教A版)数系的扩充和复数的概念课件 (共29张PPT)
(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
人教A版7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(22张)
自然数是现实世界最基 本的数量，是全部数学 的发源地.
以史增智，数系扩充
1 3 2
相反量的需要
负数
“欠”出负数
负数的引入，解决了在 数集中不够减的矛盾.
以史增智，数系扩充
“分”出分数
分数的引入,解决了在 整数中不能整除的矛盾.
4x 1 x 1
4
等额公平分配的需要
分数
以史增智，数系扩充
“开”出无理数 1
应用巩固
B
3,3
学后反思，学有所获
1.复数的概念
2.数系扩充
负整数
分数
无理数
虚数
自然数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
3. 复数相等的条件
两个复数可以比较大小吗？
课后作业
课本P73复习巩固1、2、3题
2 i,
2 , 3i, i, 0.
2
辨析探究，理解概念
实数 虚数
纯虚数 非纯虚数
辨析探究，理解概念
：
讨论？
复数集 虚数集
实数集 纯虚数集
实数： 虚数：
纯虚数： 非纯虚数：
复数集C和实数集R之间有什么关系？
辨析探究，理解概念
辨析探究，理解概念
4.复数相等
辨析探究，理解概念
辨析探究，理解概念
imaginary
欧拉（公元1707-1783年）是18世 纪最优秀的数学家，也是人类历史 上最伟大的数学家之一
以史增智，数系扩充
思考3
实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成 呢？
以史增智，数系扩充
辨析探究，理解概念
实部
虚部
i2= -1
辨析探究，理解概念
例1：说出下列复数的实部与虚部
以史增智，数系扩充
1 3 2
相反量的需要
负数
“欠”出负数
负数的引入，解决了在 数集中不够减的矛盾.
以史增智，数系扩充
“分”出分数
分数的引入,解决了在 整数中不能整除的矛盾.
4x 1 x 1
4
等额公平分配的需要
分数
以史增智，数系扩充
“开”出无理数 1
应用巩固
B
3,3
学后反思，学有所获
1.复数的概念
2.数系扩充
负整数
分数
无理数
虚数
自然数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
3. 复数相等的条件
两个复数可以比较大小吗？
课后作业
课本P73复习巩固1、2、3题
2 i,
2 , 3i, i, 0.
2
辨析探究，理解概念
实数 虚数
纯虚数 非纯虚数
辨析探究，理解概念
：
讨论？
复数集 虚数集
实数集 纯虚数集
实数： 虚数：
纯虚数： 非纯虚数：
复数集C和实数集R之间有什么关系？
辨析探究，理解概念
辨析探究，理解概念
4.复数相等
辨析探究，理解概念
辨析探究，理解概念
imaginary
欧拉（公元1707-1783年）是18世 纪最优秀的数学家，也是人类历史 上最伟大的数学家之一
以史增智，数系扩充
思考3
实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成 呢？
以史增智，数系扩充
辨析探究，理解概念
实部
虚部
i2= -1
辨析探究，理解概念
例1：说出下列复数的实部与虚部
数系的扩充ppt课件
2实数可以与实数可以与i进行四则运算在进行四则运进行四则运算在进行四则运算时原有的加法与乘法的运算率算时原有的加法与乘法的运算率包括交换率结包括交换率结合率和分配率合率和分配率仍然成立
复数的概念
精选编辑ppt
1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
精选编辑ppt
23
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
精选编辑ppt
24
运算法则.
精选编辑ppt
4
数集扩充到整数集
精选编辑ppt
5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
精选编辑ppt
6
数集扩充到有理数集
精选编辑ppt
7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
精选编辑ppt
18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精选编辑ppt
14
数系的扩充 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
复数的概念
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1
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
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23
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24
运算法则.
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4
数集扩充到整数集
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5
分数（有理数）
❖ 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
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6
数集扩充到有理数集
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7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
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18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 . 精选编辑ppt
14
数系的扩充 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
第四节 数系的扩充与复数的引入课件
A．eπi＋1＝0 B．|eix|＝1 C．cos x＝eix－2e－ix D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限
①实数；②虚数；③纯虚数． (2)实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点 ①位于第四象限；②位于第一、三象限；③位于直线y＝x上．
解：(1)①当m2－3m＝0，即m＝0或m＝3时，所给复数是实数． ②当m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，所给复数是虚数．
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
( C) A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi. ∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
的点的坐标为( A )
A．(－1，－1)
B．(－1,1)
C．(1,2)
D．(1，－2)
[解析]
z＝－
1 i
－1＝－1＋i，
－ z
＝－1－i，则在复平面内，
－ z
对应点的坐标为
(－1，－1)．故选A.
①实数；②虚数；③纯虚数． (2)实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点 ①位于第四象限；②位于第一、三象限；③位于直线y＝x上．
解：(1)①当m2－3m＝0，即m＝0或m＝3时，所给复数是实数． ②当m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，所给复数是虚数．
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
( C) A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi. ∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
的点的坐标为( A )
A．(－1，－1)
B．(－1,1)
C．(1,2)
D．(1，－2)
[解析]
z＝－
1 i
－1＝－1＋i，
－ z
＝－1－i，则在复平面内，
－ z
对应点的坐标为
(－1，－1)．故选A.
数系的扩充ppt课件
• 康托尔的超限数
超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思青想是将“无限小”和“无限大” 作为R 以外的超实
数衣。
完整版PPT课件
16
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
12
实数系R 复数系C
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我
们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b
意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
系是具备这样的性质的。
青 衣
完整版PPT课件
6
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
青
衣
完整版PPT课件
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数
系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减
法封闭的特性。
青 衣
完整版PPT课件
5
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些
新数符合扩张的要求，或者具有新
数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数
7
自然数系N 整数系Z
青
衣
完整版PPT课件
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
第七章
人教202XA版必修 第二册
复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、引入新课
Hale Waihona Puke 回顾数系的扩充过程①分
自
分数 数
然 数
②整
负数 数
有理数
③ 实数 无理数
①10÷3=？ ②3–5 = ？ ③正方形的面积是2，求该正方形的边长a。 ④求方程x2+1=0的解。
现在我们就引入这样一个新数 i ，并且规定：
4．实数 m 分别取什么数值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是 0？
【解析】由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3. (1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数， ∴m＝5 或－3.
2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数
a，b的值分别是( C )
A. 2，1
B. 2，5
C．± 2，5
D．± 2，1
a2＝2， 【解析】令－2＋b＝3， 得 a＝± 2，b＝5.
3．已知
x2－y2＋2xyi＝2i，则实数
x，y
的值分别为
x
y
11或
x y
1 1
．
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11，.
（1）i 2 1；
x=i是方程 x2+1=0的解
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行 四则运算时，原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
我们把 i 叫做虚数单位。
人教202XA版必修 第二册
复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、引入新课
Hale Waihona Puke 回顾数系的扩充过程①分
自
分数 数
然 数
②整
负数 数
有理数
③ 实数 无理数
①10÷3=？ ②3–5 = ？ ③正方形的面积是2，求该正方形的边长a。 ④求方程x2+1=0的解。
现在我们就引入这样一个新数 i ，并且规定：
4．实数 m 分别取什么数值时，复数 z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是 0？
【解析】由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3. (1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数， ∴m＝5 或－3.
2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数
a，b的值分别是( C )
A. 2，1
B. 2，5
C．± 2，5
D．± 2，1
a2＝2， 【解析】令－2＋b＝3， 得 a＝± 2，b＝5.
3．已知
x2－y2＋2xyi＝2i，则实数
x，y
的值分别为
x
y
11或
x y
1 1
．
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11，.
（1）i 2 1；
x=i是方程 x2+1=0的解
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行 四则运算时，原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
我们把 i 叫做虚数单位。
数系的扩充与复数的引入公开课课件
控制工程
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
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微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
数系的扩充课件
思考：复数集与实数集有什么关系？ R C
总结：中学阶段数系扩充过程
自然数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
添加虚数
四、数学应用
例1、写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些 是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
5,2 3i,0, 1 4 i,5 2i,6i,2i2,i sin
23
四、数学应用
例2.当 m 为何实数时，复数
（3）在整数集中方程3x 2 0 有解吗?
（4）在有理数集中方程 3x 2 0 有解吗? （5）在有理数集中方程x2 2 0 有解吗? （6）在实数集中方程 x2 2 0 有解吗?
问题2：数系经历了哪几次扩充？每一次扩充分别 解决了哪些问题？
数系扩充回顾
（1）数学学科角度
引入
引入
自然数集 整数集
10 5 15 5 15 40 5 15 5 15
卡尔丹(Cardano,1501 ～ 1576)
我们的困惑： （1） 15 有意义吗？
（2）实数集的扩充需要加入哪些元素？
二、学生活动
解下列方程:
（1）在自然数集中方程x 4 0有解吗?
（2）在整数集中方程x 4 0 有解吗?
一、问题情境
问题1：能否将10分成两部分，且使两者乘积为40？
解：设其中一个数是 x , 则另一个数为10-x. x (10-x) =40
化简得: x2-10x+40=0 (x-5)2=-15
该方程无实数解
1545年，卡尔丹在《大衍术》 中写道：“要把10分成两部分， 使二者乘积为40，这是不可能的， 不过我却用下列方式解决了．”
z = m2 + m - 2 + (m2 -1)i 是：
总结：中学阶段数系扩充过程
自然数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
添加虚数
四、数学应用
例1、写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些 是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
5,2 3i,0, 1 4 i,5 2i,6i,2i2,i sin
23
四、数学应用
例2.当 m 为何实数时，复数
（3）在整数集中方程3x 2 0 有解吗?
（4）在有理数集中方程 3x 2 0 有解吗? （5）在有理数集中方程x2 2 0 有解吗? （6）在实数集中方程 x2 2 0 有解吗?
问题2：数系经历了哪几次扩充？每一次扩充分别 解决了哪些问题？
数系扩充回顾
（1）数学学科角度
引入
引入
自然数集 整数集
10 5 15 5 15 40 5 15 5 15
卡尔丹(Cardano,1501 ～ 1576)
我们的困惑： （1） 15 有意义吗？
（2）实数集的扩充需要加入哪些元素？
二、学生活动
解下列方程:
（1）在自然数集中方程x 4 0有解吗?
（2）在整数集中方程x 4 0 有解吗?
一、问题情境
问题1：能否将10分成两部分，且使两者乘积为40？
解：设其中一个数是 x , 则另一个数为10-x. x (10-x) =40
化简得: x2-10x+40=0 (x-5)2=-15
该方程无实数解
1545年，卡尔丹在《大衍术》 中写道：“要把10分成两部分， 使二者乘积为40，这是不可能的， 不过我却用下列方式解决了．”
z = m2 + m - 2 + (m2 -1)i 是：
3.1《数系的扩充与复数的概念》课件
x
o
x轴------实轴 轴 实轴 y轴------虚轴 轴 虚轴
概念辨析
例题
数系的扩充
复数的概念
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 实数绝对值的几何意义 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 几何意义 (复数的模) 复数的模) 实数a在数轴上所 实数 在数轴上所 z=a+bi在复 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 平面上对应的点 的距离。 的距离。 到原点的距离。 到原点的距离。 a
数系的扩充
复数的概念
2．“a=0”是“复数 ． 是 复数a+bi (a , b∈R)所对 ∈ 所对 应的点在虚轴上” C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 必要不充分条件 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 充要条件 不充分不必要条件
数系的扩充
复数的概念
已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 例3 已知复数 在复平面内所对应的点位于第二象限， 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m允许的取值范围 允许的取值范围。 求实数 允许的取值范围。 变式：证明对一切 ， 变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。 点不可能位于第四象限。 解题思考： 解题思考： 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题 几何问题) (代数问题 代数问题) 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想： 一种重要的数学思想：数形结合思想
i
数系的扩充
复数的概念
B
n∈Z
*
i
o
x轴------实轴 轴 实轴 y轴------虚轴 轴 虚轴
概念辨析
例题
数系的扩充
复数的概念
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 实数绝对值的几何意义 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 几何意义 (复数的模) 复数的模) 实数a在数轴上所 实数 在数轴上所 z=a+bi在复 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 平面上对应的点 的距离。 的距离。 到原点的距离。 到原点的距离。 a
数系的扩充
复数的概念
2．“a=0”是“复数 ． 是 复数a+bi (a , b∈R)所对 ∈ 所对 应的点在虚轴上” C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 必要不充分条件 充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 充要条件 不充分不必要条件
数系的扩充
复数的概念
已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 例3 已知复数 在复平面内所对应的点位于第二象限， 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m允许的取值范围 允许的取值范围。 求实数 允许的取值范围。 变式：证明对一切 ， 变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。 点不可能位于第四象限。 解题思考： 解题思考： 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题 几何问题) (代数问题 代数问题) 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想： 一种重要的数学思想：数形结合思想
i
数系的扩充
复数的概念
B
n∈Z
*
i
数系的扩充和复数的引入 PPT课件
当b= 0 时，z为实数
复 数 的 概 念
3i
2i i
5
5i+4 3 2i
当b ≠0 时，z为虚数
当a=请0把且复b 数≠0时，
z为纯虚数
分分类
非纯虚数的虚数：
a ≠ 0,b ≠ 0
特别的，当a= 0 且b= 0 时，z=0
概 复数集、虚数集、实
念 数集、纯虚数集之间
复数集
的关系
虚数集
R C
纯虚数集
扩 充
负整数 整数Z
自然数N
【问题1】
在自然数集中方程 x 4 0 有解吗?
【问题2】
在整数集中方程 3x 4 0 有解吗?
数 系
【问题3】
的
在有理集中方程 x2 3 0 有解吗?
扩
充 【问题4】
在实数集中方程 x2 1 0 有解吗?
解方程 x2 1？, x
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
| z || z | a2 b2
O
x
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点
入
1637年，法国
数学家笛卡尔把这
i
样的数叫做“虚数”
的
引 入
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)
复 数 的 概 念
3i
2i i
5
5i+4 3 2i
当b ≠0 时，z为虚数
当a=请0把且复b 数≠0时，
z为纯虚数
分分类
非纯虚数的虚数：
a ≠ 0,b ≠ 0
特别的，当a= 0 且b= 0 时，z=0
概 复数集、虚数集、实
念 数集、纯虚数集之间
复数集
的关系
虚数集
R C
纯虚数集
扩 充
负整数 整数Z
自然数N
【问题1】
在自然数集中方程 x 4 0 有解吗?
【问题2】
在整数集中方程 3x 4 0 有解吗?
数 系
【问题3】
的
在有理集中方程 x2 3 0 有解吗?
扩
充 【问题4】
在实数集中方程 x2 1 0 有解吗?
解方程 x2 1？, x
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
| z || z | a2 b2
O
x
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点
入
1637年，法国
数学家笛卡尔把这
i
样的数叫做“虚数”
的
引 入
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)
数系的扩充和复数的概念公开课PPT课件
3
学习目标： 1、理解复数的基本概念 2、理解复数相等的充要条件 3、理解复数的代数表示方法
4、了解数系的扩充过程
学习重点：
复数的概念，复数的代数形式表示.
学习难点：
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
-
4
解方程 x2 1？0,x
-
5
平方等于-1的数用符号i来表示。
i
的
引 （1）i2 1
复数相等问题 转化 求方程组解的问题
-
16
小
结
复数
复
数
的
分
类
-
17
当堂检测
-
18
作业：
习题3.1A组 1、2.
-
19
练一练（口答）:指出下列各数的实部和虚部
1 3i
(1)i
1i
6
7
8 5i
-
9
自主学习反馈
在复数集 C a b|a i,b R 任
复 取两个数 a b与 ic d（ ia ,b ,c ,d R ) 数 abicdi ac,bd 相 等 特别地，abi0 a0,b0
作用 判断两个复数是否相等
-
入 （2）可以和实数一起进行四则
运算,原有的加法乘法运算律仍 成立
-
6
自主学习反馈
复 数
定义：把形如 a 的bi数叫做复数 （a,b 是实数）
的 概
其中i叫做虚数单位
念
复数全体组成的集合叫复数集，
记作：C
-
7
自主学习反馈
复
数
பைடு நூலகம்
的 za b i (aR,bR)
代
实部 虚部 虚数
3.1.1数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题1] 方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的 实数解？
[提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和12. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示2] 没有解．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－ 15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析： (1)要使 z 是实数，必须且只需
x＋3≠0 x2－2x－15＝0
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)由复数相等的充要条件知
x＋32＝y，
①
2y＋1＝4x，
②
2x＋ay＝9，
③
－4x－y＋b＝－8， ④
由①②得x＝52， y＝4，
代入③④得ab＝＝12 .
数学 选修2-2
第三章 数合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
答案： A
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
复数的概念
已知复数 z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求 实数 a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚 数．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
解析： (1)由复数相等的充要条件知
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[字幕]有理数并非有理 无理数非整数比 公元前几百年，富于理性思维的希腊人
发现边长为1的正方形和正五边形对角线之 长都不是分数，这个发现，震撼了世界科学
界科学界．从此，人类知道了世间还存在着 另一类数，那就是无理数．有理数集与无理 数集合并在一起，构成实数集R．实数解决 了开方开不尽的矛盾，在实数集中，满足加 法与乘法的运算律．
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过程中的作用．
[字幕]自然数充满奥秘 人类竞相寻规律
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
我们习惯地称两个整数之比m/n(n≠0)为 有理数，意思大概是说，这类数的存在是合 理合法的．在人类早期文明史中，有理数是 衡量事物大小多少的惟一数量．当两千多年 前，古希腊数学家发现了 2 一类与有理数根 本不同的数时，人们难以接受这个事实．自 然认为这个怪物的出现是非理非法的。于
是，给它扣上一顶“无理”的帽子．其实， 并不是这么回事，原来是翻译出了问 题．rationalnumber是有理数的英文名称， 而，ational是多意词，含有“比的”、 “有理的”意思，而词根ratio来自希腊文， 完全是“比”的意思，对rational number 的正确翻译应是“比较”．在东方，最早把 rational number翻译过来的是东洋人，可 能是那东洋人英文不太好，数学又不太懂， 把它译成“有理数”，而东洋文字又和汉字 形似，于是，中国人把这三个字照搬过来， 沿用至今，形成习惯．如果正确地把两个整
重点难点分析 本节内容的教学重点是了解数系扩充
的过程以及引入复数的必要性．难点是正 确理解各种数集及它们之间的关系． 课前准备 老师：在上本节课前收集数的发展史上一 些重要的、典型的事件，做成幻灯片． 学生：在上课前了解一些数的发展史料．
教学设生活动)回答问题． [问题]1．已学数集主要有哪些? 2．根据自己查阅的数学史料，说出一
之比叫做“比数”，那么2 一类数称为 “非比数”不仅顺理成章，而且名副其实． [字幕]实数开方遇问题 虚数产生则不虚
在16世纪，人们在研究求解一元二次方 程、一元三次方程时遇到求负数的平方根的 问题，为了解决这一问题，1545年，意大利 数学家卡丹诺在《大术》一书中，首先研究 了虚数，并进行了一些计算．大约经过了一 个多世纪，1832年，德国数学家高斯第一次 引人复数概念，一个复数可以用a+bi来表示， 其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把 虚数与实数统一起来了．虚数集与实数
很本质的．分数可以由自然数的除法得到， 而有的小数则不能，分数都是小数，小数不
一定是分数．小数的严格定义如同实数，是 非常艰难的，直到19世纪与20世纪之交， 几 位数学大师从有理数出发，严格定ZT实数， 小数才有了严谨的说法．
[字幕]负数出在初世纪 千年之后才普及
为了表示各种具有相反意义的量以及满 足记数法的需要，人类引进了负数．负数概 念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术” 中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注 解“九章算术”时，明确定义了正负数： “两算得失相反，要令正负以名之”，大意 是说：意义相反的两个数，应分别称为正数 与负数．不仅如此，刘徽还给出了正负数的 加减法运算法则．千年之后，负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲，那时，欧洲的数学相当 进步，但普遍认可负数还经历了百年之久， 据考证，分数产生于四千多年前，而负数则
4.3数系的扩充 教学目标
1．知识目标：在问题情境中了解数系 的扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩 充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系．
2．能力目标：发展学生独立获取数学 知识的能力和创新意识．
3．情感、态度、价值观目标：提高学生 学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精 神，使学生对数学有较为全面的认识．初 步认识数学的应用价值、科学价值和人文 价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态 度，树立辩证唯物主义世界观．
两千多年前，人们发现某些自然很怪 异：6=1+2+3，28=1十2+4+7+14，496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248，6、28、
z满足xn+yn=zn，n≥3．这就是著名的费马大 定理，数学家为证明这个定理奋斗了二百多 年．直到二十世纪末，才被普林斯顿大学教 授怀尔斯所证明．这是二十世纪最伟大的数 学成就之一．
18世纪，英国数学家华林发现了自然数又 一个重要的内在联系：每一个自然数都是4 个平方数之和，9个立方数之和，19个四方 数之和，百年之后，数学大师希尔伯特证明 了华林的发现是正确的．1965年，陈景润证 明了每一个自然数都是37个五方数之和， 而且37不能再小了．
引进了分数之后，分份和度量问题以及两个 自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了， 并且产生了小数．小数与分数既有相同之处， 也有区别，它们之间的差异甚至是
多年，可见负数概念难以理解． 负数的引进，是中国古代数学家对数学
的又一巨大贡献．负数概念引进后，整数集 Z和有理数集Q就完整地形成了．在整数集 中，解决了自然数不够减的矛盾，有理数集 中，解决了整数集中不能整除的矛盾，但它
NQ
们同样都满足加法、乘法的运算律．这样就 把数集扩充到有理数集Q，显然，NZQ
发现边长为1的正方形和正五边形对角线之 长都不是分数，这个发现，震撼了世界科学
界科学界．从此，人类知道了世间还存在着 另一类数，那就是无理数．有理数集与无理 数集合并在一起，构成实数集R．实数解决 了开方开不尽的矛盾，在实数集中，满足加 法与乘法的运算律．
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过程中的作用．
[字幕]自然数充满奥秘 人类竞相寻规律
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
我们习惯地称两个整数之比m/n(n≠0)为 有理数，意思大概是说，这类数的存在是合 理合法的．在人类早期文明史中，有理数是 衡量事物大小多少的惟一数量．当两千多年 前，古希腊数学家发现了 2 一类与有理数根 本不同的数时，人们难以接受这个事实．自 然认为这个怪物的出现是非理非法的。于
是，给它扣上一顶“无理”的帽子．其实， 并不是这么回事，原来是翻译出了问 题．rationalnumber是有理数的英文名称， 而，ational是多意词，含有“比的”、 “有理的”意思，而词根ratio来自希腊文， 完全是“比”的意思，对rational number 的正确翻译应是“比较”．在东方，最早把 rational number翻译过来的是东洋人，可 能是那东洋人英文不太好，数学又不太懂， 把它译成“有理数”，而东洋文字又和汉字 形似，于是，中国人把这三个字照搬过来， 沿用至今，形成习惯．如果正确地把两个整
重点难点分析 本节内容的教学重点是了解数系扩充
的过程以及引入复数的必要性．难点是正 确理解各种数集及它们之间的关系． 课前准备 老师：在上本节课前收集数的发展史上一 些重要的、典型的事件，做成幻灯片． 学生：在上课前了解一些数的发展史料．
教学设生活动)回答问题． [问题]1．已学数集主要有哪些? 2．根据自己查阅的数学史料，说出一
之比叫做“比数”，那么2 一类数称为 “非比数”不仅顺理成章，而且名副其实． [字幕]实数开方遇问题 虚数产生则不虚
在16世纪，人们在研究求解一元二次方 程、一元三次方程时遇到求负数的平方根的 问题，为了解决这一问题，1545年，意大利 数学家卡丹诺在《大术》一书中，首先研究 了虚数，并进行了一些计算．大约经过了一 个多世纪，1832年，德国数学家高斯第一次 引人复数概念，一个复数可以用a+bi来表示， 其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把 虚数与实数统一起来了．虚数集与实数
很本质的．分数可以由自然数的除法得到， 而有的小数则不能，分数都是小数，小数不
一定是分数．小数的严格定义如同实数，是 非常艰难的，直到19世纪与20世纪之交， 几 位数学大师从有理数出发，严格定ZT实数， 小数才有了严谨的说法．
[字幕]负数出在初世纪 千年之后才普及
为了表示各种具有相反意义的量以及满 足记数法的需要，人类引进了负数．负数概 念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术” 中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注 解“九章算术”时，明确定义了正负数： “两算得失相反，要令正负以名之”，大意 是说：意义相反的两个数，应分别称为正数 与负数．不仅如此，刘徽还给出了正负数的 加减法运算法则．千年之后，负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲，那时，欧洲的数学相当 进步，但普遍认可负数还经历了百年之久， 据考证，分数产生于四千多年前，而负数则
4.3数系的扩充 教学目标
1．知识目标：在问题情境中了解数系 的扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩 充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系．
2．能力目标：发展学生独立获取数学 知识的能力和创新意识．
3．情感、态度、价值观目标：提高学生 学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精 神，使学生对数学有较为全面的认识．初 步认识数学的应用价值、科学价值和人文 价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态 度，树立辩证唯物主义世界观．
两千多年前，人们发现某些自然很怪 异：6=1+2+3，28=1十2+4+7+14，496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248，6、28、
z满足xn+yn=zn，n≥3．这就是著名的费马大 定理，数学家为证明这个定理奋斗了二百多 年．直到二十世纪末，才被普林斯顿大学教 授怀尔斯所证明．这是二十世纪最伟大的数 学成就之一．
18世纪，英国数学家华林发现了自然数又 一个重要的内在联系：每一个自然数都是4 个平方数之和，9个立方数之和，19个四方 数之和，百年之后，数学大师希尔伯特证明 了华林的发现是正确的．1965年，陈景润证 明了每一个自然数都是37个五方数之和， 而且37不能再小了．
引进了分数之后，分份和度量问题以及两个 自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了， 并且产生了小数．小数与分数既有相同之处， 也有区别，它们之间的差异甚至是
多年，可见负数概念难以理解． 负数的引进，是中国古代数学家对数学
的又一巨大贡献．负数概念引进后，整数集 Z和有理数集Q就完整地形成了．在整数集 中，解决了自然数不够减的矛盾，有理数集 中，解决了整数集中不能整除的矛盾，但它
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们同样都满足加法、乘法的运算律．这样就 把数集扩充到有理数集Q，显然，NZQ