数系的扩充课件
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4.3数系的扩充 教学目标
1．知识目标：在问题情境中了解数系 的扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩 充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系．
2．能力目标：发展学生独立获取数学 知识的能力和创新意识．
3．情感、态度、价值观目标：提高学生 学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精 神，使学生对数学有较为全面的认识．初 步认识数学的应用价值、科学价值和人文 价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态 度，树立辩证唯物主义世界观．
重点难点分析 本节内容的教学重点是了解数系扩充
的过程以及引入复数的必要性．难点是正 确理解各种数集及它们之间的关系． 课前准备 老师：在上本节课前收集数的发展史上一 些重要的、典型的事件，做成幻灯片． 学生：在上课前了解一些数的发展史料．
教学设计 一、寻入新课 (教师活动)复习提问，并点评． (学生活动)回答问题． [问题]1．已学数集主要有哪些? 2．根据自己查阅的数学史料，说出一
[字幕]自然数充满奥秘 人类竞相寻规律
Fra Baidu bibliotek
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
18世纪，英国数学家华林发现了自然数又 一个重要的内在联系：每一个自然数都是4 个平方数之和，9个立方数之和，19个四方 数之和，百年之后，数学大师希尔伯特证明 了华林的发现是正确的．1965年，陈景润证 明了每一个自然数都是37个五方数之和， 而且37不能再小了．
引进了分数之后，分份和度量问题以及两个 自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了， 并且产生了小数．小数与分数既有相同之处， 也有区别，它们之间的差异甚至是
两千多年前，人们发现某些自然很怪 异：6=1+2+3，28=1十2+4+7+14，496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248，6、28、
z满足xn+yn=zn，n≥3．这就是著名的费马大 定理，数学家为证明这个定理奋斗了二百多 年．直到二十世纪末，才被普林斯顿大学教 授怀尔斯所证明．这是二十世纪最伟大的数 学成就之一．
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
之比叫做“比数”，那么2 一类数称为 “非比数”不仅顺理成章，而且名副其实． [字幕]实数开方遇问题 虚数产生则不虚
在16世纪，人们在研究求解一元二次方 程、一元三次方程时遇到求负数的平方根的 问题，为了解决这一问题，1545年，意大利 数学家卡丹诺在《大术》一书中，首先研究 了虚数，并进行了一些计算．大约经过了一 个多世纪，1832年，德国数学家高斯第一次 引人复数概念，一个复数可以用a+bi来表示， 其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把 虚数与实数统一起来了．虚数集与实数
我们习惯地称两个整数之比m/n(n≠0)为 有理数，意思大概是说，这类数的存在是合 理合法的．在人类早期文明史中，有理数是 衡量事物大小多少的惟一数量．当两千多年 前，古希腊数学家发现了 2 一类与有理数根 本不同的数时，人们难以接受这个事实．自 然认为这个怪物的出现是非理非法的。于
是，给它扣上一顶“无理”的帽子．其实， 并不是这么回事，原来是翻译出了问 题．rationalnumber是有理数的英文名称， 而，ational是多意词，含有“比的”、 “有理的”意思，而词根ratio来自希腊文， 完全是“比”的意思，对rational number 的正确翻译应是“比较”．在东方，最早把 rational number翻译过来的是东洋人，可 能是那东洋人英文不太好，数学又不太懂， 把它译成“有理数”，而东洋文字又和汉字 形似，于是，中国人把这三个字照搬过来， 沿用至今，形成习惯．如果正确地把两个整
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过程中的作用．
[字幕]有理数并非有理 无理数非整数比 公元前几百年，富于理性思维的希腊人
发现边长为1的正方形和正五边形对角线之 长都不是分数，这个发现，震撼了世界科学
界科学界．从此，人类知道了世间还存在着 另一类数，那就是无理数．有理数集与无理 数集合并在一起，构成实数集R．实数解决 了开方开不尽的矛盾，在实数集中，满足加 法与乘法的运算律．
多年，可见负数概念难以理解． 负数的引进，是中国古代数学家对数学
的又一巨大贡献．负数概念引进后，整数集 Z和有理数集Q就完整地形成了．在整数集 中，解决了自然数不够减的矛盾，有理数集 中，解决了整数集中不能整除的矛盾，但它
NQ
们同样都满足加法、乘法的运算律．这样就 把数集扩充到有理数集Q，显然，NZQ
很本质的．分数可以由自然数的除法得到， 而有的小数则不能，分数都是小数，小数不
一定是分数．小数的严格定义如同实数，是 非常艰难的，直到19世纪与20世纪之交， 几 位数学大师从有理数出发，严格定ZT实数， 小数才有了严谨的说法．
[字幕]负数出在初世纪 千年之后才普及
为了表示各种具有相反意义的量以及满 足记数法的需要，人类引进了负数．负数概 念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术” 中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注 解“九章算术”时，明确定义了正负数： “两算得失相反，要令正负以名之”，大意 是说：意义相反的两个数，应分别称为正数 与负数．不仅如此，刘徽还给出了正负数的 加减法运算法则．千年之后，负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲，那时，欧洲的数学相当 进步，但普遍认可负数还经历了百年之久， 据考证，分数产生于四千多年前，而负数则
1．知识目标：在问题情境中了解数系 的扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩 充过程中的作用，感受人类理性思维的作 用以及数与现实世界的联系．
2．能力目标：发展学生独立获取数学 知识的能力和创新意识．
3．情感、态度、价值观目标：提高学生 学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精 神，使学生对数学有较为全面的认识．初 步认识数学的应用价值、科学价值和人文 价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态 度，树立辩证唯物主义世界观．
重点难点分析 本节内容的教学重点是了解数系扩充
的过程以及引入复数的必要性．难点是正 确理解各种数集及它们之间的关系． 课前准备 老师：在上本节课前收集数的发展史上一 些重要的、典型的事件，做成幻灯片． 学生：在上课前了解一些数的发展史料．
教学设计 一、寻入新课 (教师活动)复习提问，并点评． (学生活动)回答问题． [问题]1．已学数集主要有哪些? 2．根据自己查阅的数学史料，说出一
[字幕]自然数充满奥秘 人类竞相寻规律
Fra Baidu bibliotek
远古的人类，为了统计捕获的野兽和
采集的野果，用手指或石子数个数，历经 漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、 5、…现在人们把0归入自然数，那不过是 为了方便．其实0并不自然，它是自然数减 法的产品。自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．自然数的全体 构成自然数集N．自然数的加法与乘法满足 交换律、结合律以及分配律．
18世纪，英国数学家华林发现了自然数又 一个重要的内在联系：每一个自然数都是4 个平方数之和，9个立方数之和，19个四方 数之和，百年之后，数学大师希尔伯特证明 了华林的发现是正确的．1965年，陈景润证 明了每一个自然数都是37个五方数之和， 而且37不能再小了．
引进了分数之后，分份和度量问题以及两个 自然数相除(除数不为0)的问题也就解决了， 并且产生了小数．小数与分数既有相同之处， 也有区别，它们之间的差异甚至是
两千多年前，人们发现某些自然很怪 异：6=1+2+3，28=1十2+4+7+14，496= 1+2+4+8+16+31+62+124+248，6、28、
z满足xn+yn=zn，n≥3．这就是著名的费马大 定理，数学家为证明这个定理奋斗了二百多 年．直到二十世纪末，才被普林斯顿大学教 授怀尔斯所证明．这是二十世纪最伟大的数 学成就之一．
以上教学目标的确定，主要基于以下 几个方面：
(1)依据教学大纲和教材内容的特点， 由此确定第一个教学目标；
(2)数系扩充的过程体现了数学的发现 和创造过程，有利于发展学生独立获取 数学知识的能力和创新意识，由此确定 第二个教学目标；
(3)数系扩充的过程体现了数学发生发 展的客观需求和背景，学生将在问题情 境中
之比叫做“比数”，那么2 一类数称为 “非比数”不仅顺理成章，而且名副其实． [字幕]实数开方遇问题 虚数产生则不虚
在16世纪，人们在研究求解一元二次方 程、一元三次方程时遇到求负数的平方根的 问题，为了解决这一问题，1545年，意大利 数学家卡丹诺在《大术》一书中，首先研究 了虚数，并进行了一些计算．大约经过了一 个多世纪，1832年，德国数学家高斯第一次 引人复数概念，一个复数可以用a+bi来表示， 其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把 虚数与实数统一起来了．虚数集与实数
我们习惯地称两个整数之比m/n(n≠0)为 有理数，意思大概是说，这类数的存在是合 理合法的．在人类早期文明史中，有理数是 衡量事物大小多少的惟一数量．当两千多年 前，古希腊数学家发现了 2 一类与有理数根 本不同的数时，人们难以接受这个事实．自 然认为这个怪物的出现是非理非法的。于
是，给它扣上一顶“无理”的帽子．其实， 并不是这么回事，原来是翻译出了问 题．rationalnumber是有理数的英文名称， 而，ational是多意词，含有“比的”、 “有理的”意思，而词根ratio来自希腊文， 完全是“比”的意思，对rational number 的正确翻译应是“比较”．在东方，最早把 rational number翻译过来的是东洋人，可 能是那东洋人英文不太好，数学又不太懂， 把它译成“有理数”，而东洋文字又和汉字 形似，于是，中国人把这三个字照搬过来， 沿用至今，形成习惯．如果正确地把两个整
些对数的发展起作重大作用的历史事件和 人物．
设计意图：激发学生学习兴趣，引入新 课．
二、新课讲授
【了解过程，体会作用】
(教师活动)指导学生阅读教材，打出字 幕(介绍一些对数的发展起重大作用的历史 事件和人物)，讲解数系扩充过程．
(学生活动)阅读教材，体会实际需求与 数学内部的矛盾(数的运算规则、方程的理 论)在数系扩充过程中的作用．
[字幕]有理数并非有理 无理数非整数比 公元前几百年，富于理性思维的希腊人
发现边长为1的正方形和正五边形对角线之 长都不是分数，这个发现，震撼了世界科学
界科学界．从此，人类知道了世间还存在着 另一类数，那就是无理数．有理数集与无理 数集合并在一起，构成实数集R．实数解决 了开方开不尽的矛盾，在实数集中，满足加 法与乘法的运算律．
多年，可见负数概念难以理解． 负数的引进，是中国古代数学家对数学
的又一巨大贡献．负数概念引进后，整数集 Z和有理数集Q就完整地形成了．在整数集 中，解决了自然数不够减的矛盾，有理数集 中，解决了整数集中不能整除的矛盾，但它
NQ
们同样都满足加法、乘法的运算律．这样就 把数集扩充到有理数集Q，显然，NZQ
很本质的．分数可以由自然数的除法得到， 而有的小数则不能，分数都是小数，小数不
一定是分数．小数的严格定义如同实数，是 非常艰难的，直到19世纪与20世纪之交， 几 位数学大师从有理数出发，严格定ZT实数， 小数才有了严谨的说法．
[字幕]负数出在初世纪 千年之后才普及
为了表示各种具有相反意义的量以及满 足记数法的需要，人类引进了负数．负数概 念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术” 中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注 解“九章算术”时，明确定义了正负数： “两算得失相反，要令正负以名之”，大意 是说：意义相反的两个数，应分别称为正数 与负数．不仅如此，刘徽还给出了正负数的 加减法运算法则．千年之后，负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲，那时，欧洲的数学相当 进步，但普遍认可负数还经历了百年之久， 据考证，分数产生于四千多年前，而负数则