第四章 声子--晶格振动

在周期性边界条件下，格波的波矢只能取一系
列分立值。
k=0， 2 ， 4 k 2 n（n为整数）
LL
L
us u（0）ei（skat）
usN u（0）ei（skat） eiNka
k= 2
n，则eiNka

iN 2 na
eL

ei 2n
1
L
22
对玻恩－卡门周期性边界条件（虚设边界条件）的理解
这个边界条件的意思是相当于将晶体 的首位相接构成一个圆环,第0个原子与第N 个原子重合。 （由于N很大，所以每个原 子的运动仍然可以看成是直线的）
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us usN
即 u0 uN ， u1 uN1
因此此边界条件又称为循环边界条件，经过这
样处理，边界上原子与晶体内部原子的状态一
样，即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，
平移一个
G
后用第一布里渊区中的k来
等价描述，第一布里渊区以外k只不过
是第一布里渊区中的ｋ的重复和再现
而已。
29
在第一布里渊区中有多少k值呢？
2
a
2
L Na N aa
L
第一布里渊区中的k值数目实际上就是 晶体中初基晶胞的数目，长为L的一维原子 链中的独立的简正模式数等于晶体中的原子 数。
p0
p0
=- C（p eipka eipka 2）
利用欧拉合成化p简0 可得：
2

2 M
c（p 1 cos
p0
pka）
这就是一维单原子晶体考虑了所有原子的作用 后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。
10
通常只考虑最近邻原子的作用（最近邻近
似）：
C P 1 cP 0 P 1
25
4．第一布里渊区
简正模式的色散关系有一个重 要的性质：
（k） （G K）
一维时 则
G 2 n（n为整数） 2
a
（k）
（k

2
n）
c sin( ak ) m2
a
当把k换成-k时对应的频率完全一样，不仅频率
相等，而且与这两个波矢相应的原子的位移情况
也一样，也就是说这两个简正模式是同一个简正
由于原子间存在相互作用，它们的振动又相互关联，在 晶体中形成了格波。
2
§4.1 一维单原子晶 体的晶格振动
3
格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
尽管晶体中原子的平衡位置具有周期性，但由于原子数目 极大，原子与原子间存在相互作用，任一原子的位移至少 与相邻原子，次近邻原子的位移有关。严格求解晶格振动 是一个极其困难的事。
连续介质弹性波：Aei（txa）
19
3. 周期性边界条件
我们前面研究的对象是理想晶体,边界 上与内部的原子是一样的,既理想晶体不考 虑晶体边界,没有边界效应。长为L的一维原 子链,要作为理想晶体来对待,就要用到周期 性边界条件(即循环边界条件或玻恩－卡曼 边界条件)。
20
所谓周期性边界条件是把实际晶体看 作是无限的,要求运动方程的解以晶体的长 度L=Na为周期,既要求:
group velocity
dω
d sin( ka / 2)
vg d k 4C/M
dk

Ca 2
ka
cos( )
M
2
vg vs cos(ka/2)
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在布里渊区边界上时，
k .
a
vg 0
Direct lattice
r
naxˆ
Reciprocal lattice
G

） xO
x

1（ 2u 2 x2
） xO
x2

c
（
2u x 2
） x0
5
2. 一维单原子晶格的运动方程和色散关系
一维单原子晶格在每个阵点上只有一个
原子，第s个原子相对于它平衡时的位移是 Us, 第ｓ个原子所受到的来自第s+p个原子
的作用力与它的相对位移 us us p 成正比
F

c（p us

us
）
p
6
第s个原子所受到的力等于所有原子作用力 的总和
Fs
c（p us

us

）
p
p
运动方程：
m us c（p us p us） （s 1.2.3.......N )
p
当s取不同值时，上述方程为一方程组, 代表各个原子的位移和运动。
7
原子在平衡位置附近的小振动可看作是 耦合的简谐振子的运动。这种耦合谐振子可 以通过正则变换化成一组独立的无相互耦合 的简谐振动的线性叠加。经过这样变换的每 一个独立的谐振子代表简正模式。点阵振动 的简正模式是指有一定频率、一定波矢的平 面波，第s个原子的位移按简正模式解可写成：
则色散关系变为：
２＝ 2c（1 cos ka）
或
M
＝ 4c sin 1 ka
M2
11
此函数关系在第一布里渊区的图如下：
12
色散关系
2 c sin( aq ) —— k空间的周期
m2
2
a
频率极小值: min 0
频率极大值 max 2
c m
只有频率在 极大和极小 之间的格波才能在晶体中传播，其它 频率的格波被强烈衰减。
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For a small k (ka<<1) 相当于λ>>a
长波极限
ω
4C M
ka 2


C M
a k

vk 连续弹性波极限
Dispersion : vk
What is the wave velocity?
Ca k Ca k
M/a

{ 相速（phase velocity） 群速（group velocity）
M 2ueiska C p[ei（s p）ka eiska ] u
p
约去两边相同的因子得：
2M c（p eipka 1）
p
eipka代表第s与s+p个原子的位移的位相差。
9
由于点阵有平移对称性（+p原子与-p原子的
力常数相等）：Cp=C-p
则 2M [ C（p eipka 1） C（p eipka 1）]
第四章 声子I：晶格振动 Phonons I：Crystal vibrations
引言
前面两章中所说的格点，实际上是指原子的平衡位置。 原子无时无刻不在其平衡位置作微小振动——晶格振动
晶格振动——晶体的热学性质、电学性质、光学性质、 超导电性、磁性、结构相变有密切关系
晶格振动的研究——固体宏观性质和微观过程的重要 基础
k(n 1)a kna ka 0
短波极限下
2 2a
k
17
色散关系的物理意义：
＝ 4c sin 1 ka
M2
所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅在振动，但 不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是ka。
该结果还表示：只要ω和k 满足上述关系，试解就是联立 运动方程的解。
模式，是代表同一个格波。
26
如上图. 5a
k 2
5a
5a ，
6
k 12 ，
5a
k k 2
a
相邻两个原子之间的相位差为：？？？？
∴以上两个格波是同一列格波,是同一个简正 模式
27
ak1


2
ak2

2


2
—— 两种波矢的格波中， 原子的振动完全相同
相邻原子的位相差
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格波
us u(0)ei（tska）
原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。
2的
k
该解表明：晶体中所有原子共同 参与的振动，以波的形式在整个 晶体中传播，称为格波。
从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质 弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 sa 格点位 置这样的孤立值。
23
2 n一定不要与倒易点阵矢量G 2 n混淆
L
a
24
4c | sin 1 ka |
M2
k 2 n.
L
n 0. 1. 2
由此可从k求出ω，由于k值是无 限的，相应的应有无穷多简正模式， 但实际上在这些简正模式中只有一部 分是独立的。即k取边界条件允许的值 时，有些格波将对应相同的频率和位 移，因此它们是同一个简正模式。
发生了Bragg反射。 a
36
§4.2 一维双原子晶 体的晶格振动
37
考虑一个初级晶胞有两个原子的情况 1.运动方程和色散关系
一个初基晶胞中两个原子的质量不同，但为 了处理问题方便起见，认为原子间的力常数是一 样的，在简谐近似下，用最近邻近似，认为各原 子之间是用同样的弹簧联系起来的。
us u(0)ei（tska）
这也就是频率为ω,波矢为k的平面波对 第s个原子位移的贡献。这个平面波称之为格 波，把寻求到的运动方程的解带入运动方程 就能找出ω与k的关系即所谓色散关系。
8源自文库
将 us u(0)ei(tska) ueiska 带入运动方程得： （其中u =u（0）ei）t
格波的波速为常数
14
由于长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格 就像一个连续介质。 在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，它是 与波矢无关的常数，因此单原子链中传播的长波格波称 为声学格波。
极限情况：波长趋于无穷大，此时波不存在，晶体做整 体运动。
长波极限下 k→0 ，相邻两个原子之间的位相差
在实际的原子链两端接上了全同的原子链后，由于原子 间的相互作用主要取决于近邻，所以除两端极少数原子的受 力与实际情况不符外，其他绝大多数的原子的运动并不受假 想原子链的影响。（从这个意义上讲，选取什么样的边界条 件并不是很重要）
玻恩－卡门周期性边界条件是固体物理学中极其 重要的条件，因为许多重要理论结果的前提条件是晶格 的周期性边界条件。
m
2π
xˆ
BZ boundary
1
G

aπ
xˆ
2
a
Bragg condition
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长波极限： ＝ vk
它表明当格波的波长比点阵常数大的 多时,可以把格波当作连续介质中的弹性波 处理。也就是说可以把晶体看作连续介质， 当λ》a时，点阵的分立性就显示不出来， 传播时感觉不到分立性，若波长缩短，分 立结构的特性对格波的影响就逐渐显露出 来，色散关系的线性关系就要改变，当 λ=2a时，k= ，正处在布里渊区边界，
4
1. 简谐近似
这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振
动。这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的， 所谓简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小， 这种振动的位移与力之间是满足线性关系的。
F=-cx
从能量的角度来看，认为原子间有了相对位
移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能 展开成级数：
u

u0
（ u x
k(n 1)a kna ka 0
—— 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质
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格波 —— 短波极限情况 (k )
a
2 c sin( ak )
m2
2 c
m
弹性波
弹性波
短波极限下
2 2a
k
—— 相邻两个原子振动的位相相反
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长波极限下 相邻两个原子振动位相差
—— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
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格波 —— 长波极限情况 (k 0, a)
2 c sin( ak )
m2
当 k 0
弹性波波
弹性波
sin( ka) ka 22
ak c
m
2 c sin( ak ) m2
vk —— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
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每一个简正模式代表一个一定频率与 波矢的平面波，那么运动方程就有N个独立 的简正模式解，但这些解都不代表原子的真 实位移。
在点阵振动中，我们不研究原子的真实 位移，因为这是毫无实际意义的。
31
5. 群速
若晶体中有一个扰动，有一个原 子偏离了平衡位置。由于原子间有相 互作用，则这个扰动可以看作是基本 格波组成的波包的运动，波包的运动 速度是格波的群速， vg d dk 。它是 有一系列格波叠加起来的波包的运动， 波包中心所对应的速度为群速度，它 是介质中能量传输的速度。
vp vg
a
phase velocity
vp

ω k
恒定相位点的移动速度
group velocity
vg

dω dk

kω (k)
能量传播速度
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phase velocity
vp

ω k


4C/M sin( ka / 2) k
Ca2 sin( ka / 2) M ka / 2
sin(ka / 2) vp vs ka/2
ak
波矢的取值 k
a
a
—— 第一布里渊区
—— 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
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在满足周期性边界条件下，凡是 波矢相差一个倒易点阵矢量 G的简正
模式是同一个简正模式，这样我们就
可把格波的波矢ｋ限制在第一布里渊
区之中，第一布里渊区以外的k总可以