复变函数在解决电磁场问题中的应用

卢颖学号：11021004 班级：110221

复变函数在工程中的应用

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。

比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

复变函数在解决电磁场问题中的应用

利用复变函数中的一些解析函数性质可以直接表示某些具有导体边界的二维场。

利用复变函数中解析函数的保角变换性质，可以将复杂的场域边界变换成比较简单的边界，这给具有复杂场域边界的二维电磁场的求解提供了一种比较简便的方法。

复变函数和积分变换在电子信息工程中的应用

在信号与系统的理论研究中，复变函数与积分变换是一种重要数学工具，利用拉普拉斯变换和 z 变换可把信号与系统中的数学模型转化成简单的代数方程而使其求解过程简化，本文主要从分析连续信号、离散信号，从其零输入响应、零状态响应、完全响应方面着手，并通过专业中常用的经典方法进行比较，时域分析，频域分析，复频域分析方法比经典的常规方法更明了，简洁，规范。得出在本专业学习中，复变函数与积分变换是一个不可缺少的有力教学工具。关键词：关键词：拉普拉斯变换 z 变换信号与系统正文：正文： 1．拉氏变换在电子信息工程专业的应用．经典解题方法和拉斯变换方法都能解决连续信号中的问题，经典解题方法和拉斯变换方法都能解决连续信号中的问题，两者信号中的问题有什么不同，哪种方法要好一点呢我们通过对以下题目用不同的方我们通过对以下有什么不同，哪种方法要好一点呢?我们通过对以下题目用不同的方法求解来进行比较 1. 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 y" (t ) + 6 y ' (t ) + 8 y (t ) = x(t ), t > 0 初始条件 y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号 x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应 y(t)。解: 经典方法 (1) 求齐次方程 y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0 的齐次解 yh(t) 特征方程为特征根为齐次解 s 2 + 6s + 8 = 0 s1 = ?2，s2 = ?4 t>0 yh (t ) = K1e ?2t + K 2 e ?3t (2) 求非齐次方程 y''(t)+6y'(t)+8y(t) = x(t)的特解 yp(t) 由输入 x(t)的形式，设方程的特解为 yp(t) = Ce-t t>0 将特解带入原微分方程即可求得常数 C=1/3。

(3) 求方程的全解 1 y (t ) = y h (t ) + yp (t ) = Ae ? 2t + Be ? 4 t + e ?t 3 y ( 0) = A + B + 1 =1 3 1 =2 3 解得 A=5/2，B= -11/6 y ' (0) = ?2 A ? 4 B ?y (t ) = 5 ? 2t 11 ? 4t 1 ?t e ? e + e , t≥0 2 6 3 拉氏变换方法 s 2Y ( S ) ? Sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) + 6[ sY ( s ) ? y (0 ? )] + 8Y ( s ) = X ( s ) sy (0 ? ) + y ' (0 ? ) + 6 y (0 ? ) 1 Y (S ) = + 2 X ( s) 2 s + 6s + 8 s + 6s + 8 sy (0 ? ) + y ' (0 ? ) + 6 y(0 ? ) s+8 3 ?2 y zi ( s ) = = = + ( s + 2)(s + 4) ( s + 2)(s + 4) s + 2 s + 2 Yzi (t ) = (3e ?2t ? 2e ?4t )u (t ) 1 1 1 ? 1 Yzs( s ? ) = = 3 + 2 + 6 ( s + 2)( s + 4)( s + 1) s + 1 s + 2 s + 4 1 1 1 y zs (t ) = e ?t ? e ? 2t + e ? 4t 3 2 6 1 5 11 y (t )

= e ?t + e ? 2t ?e ? 4t ; t ≥ 0 3 2 6 2.已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+5y ' (t) +6y (t) =4x(t), t>0 系统的初始状态为 y(0-) = 1，y' (0-) = 3，求系统的零输入响应 yzi(t)。解: 经典方法系统的特征方程为 s 2 + 5s + 6 = 0 系统的特征根为 yzi (t ) = K1e ?2t + K 2e ?3t s1 = ?2，s2 = ?3 y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y' (0-)= y'zi(0-)= - 2K1-3K2 =3 解得 K1= 6，K2= -5 yzi (t ) = 6e ?2t ? 5e ?3t , t ≥ 0 拉氏变换方法s 2Y ( s ) ? sy (0 ? ) + 5[ sY ( s ) ? y (0 ? )] + 6Y ( s ) = 4 X ( s ) sy (0 ? ) + y ' (0 ? ) + 5 y (0 ? ) x( s) Y ( s) = + 2 s 2 + 5s + 6 s + 5s + 6 sy (0 ? ) + y ' (0 ? ) + 5 y (0 ? ) s+8 6 ?5 y zi ( s) = = = + ( s + 2)( s + 3) s + 2 s + 3 s 2 + 5s + 6 y zi (t ) = (6e ?2t ? 5e ?3t )u (t ) 3.已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2x' (t )+3x(t), t>0 系统的初始状态为 y(0-) = 2，y'(0-) = -1，求系统的零输入响应 yzi(t)。解: 经典方法系统的特征方程为 s 2 + 4s + 4 = 0 系统的特征根为 s1 = s2 = ?2 yzi (t ) = K1e ?2t + K 2te ?2t （两相等实根

y(0-)=yzi(0-)=K1=1; y'(0-)= y' zi(0-)= -2K1+K2 =3 解得 K1 = 2, K2= 3 yzi (t ) = 2e ?2t + 3te ?2t , t ≥ 0 拉氏变换方法 s 2Y ( s ) ? sy (0 ? ) ? y ' (0) + 4[ sY ( s ) ? y (0 ? )] + 4Y ( s) = (2 s + 3) X ( s) sy (0 ? ) + y ' (0 ? ) + 4 y (0 ? ) 2 s + 3 Y (s) = ? X ( s) ( s + 2) 2 ( s + 2) 2 Yzi ( s ) = 2s + 7 3 2 = + ( s + 2) 2 ( s + 2) 2 s + 2 y zi (t ) = 3te ?2t + 2e ?2t , t ≥ 0 4.已知某线性时不变系统的动态方程式为： y" (t)+2y ' (t) +5y (t) = 4x' (t )+3x(t), t>0 系统的初始状态为 y(0-) = 1，y'(0-) = 3，求系统的零输入响应 yzi(t)。解: 经典方法系统的特征方程为系统的特征根为 s 2 + 2s + 5 = 0 s1 = ?1 + 2 j，s2 = ?1 ? 2 j yzi (t ) = e ? t K1 cos 2t + K 2 sin 2t ) （ y(0-)=yzi(0-)=K1=1 y' (0-)= y' zi(0-)= -K1+2K2 =3 解得 K1= 1，K2= 2 yzi (t ) = e ?t (cos 2t + 2 sin 2t ), t ≥ 0 拉氏变换方法 s 2Y ( s) ? sy (0 ? ) ? y ' (0 ? ) + 2[ sy ( s) ? y (0 ? )] + 5Y ( s ) = (4 s + 3) X ( s) Y（s） = Yzi ( s ) = sy (0?) + y ' (0?) + 2 y (0?) 4s + 3 + 2 X (s) s 2 + 2s + 5 s + 2s + 5 s+5 s +1 2 = +2 2 2 2 2 ( s + 1) + 2 ( s + 1) + 2 ( s + 1) 2 + 2 2 y zi (t ) = e ? tcos 2t + 2e ? t sin 2t = e ?t (cos 2t + 2 sin 2t )t ≥ 0 5.已知某 LTI 系统的动态方程式为： y'(t) + 3y(t) = 2x(t) 系统的冲激响应 h(t) = 2e-3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应 yzs(t)。解：yzs (t ) = x(t ) ? h(t ) = ∫ x(τ) ? h(t ? τ)dτ?∞ +∞ = ∫ 3u (τ ) ? 2e ?3( t ?τ )u (t ? τ )dτ ?∞ +∞ ? t 3 ? 2e ?3(t ?τ ) dτ ? = ?∫0 ?0 ? t >0 t<0 ? 2(1 ? e ?3t ) =? ?0 = 2(1 ? e ?3t )u (t ) t>0 t<0 拉氏变换解法 sy ( s ) + 3 y ( s ) = 2 x( s ) y zs ( s ) = 2 6 2 ?2 X (s) = = + s+3 s ( s + 3) 3 s + 3 y zs (t ) = ( 2 ? 2e ?3t )u (t ) 6.已知某线性时不变系统的动态方程式为 dy (t ) + 3 y (t ) = 2 x(t ), t > 0 dt 试求系统的冲激响应。解：经典方法当 x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即 dh(t ) + 3h(t ) = 2δ(t ) dt 动态方程式的特征根 s = -3, 且 n>m, 故 h(t)的形式为 h(t ) = Ae ?3 t u (t ) d [ Ae ?3t u (t )] + 3 Ae ?3t u (t ) = 2δ (t ) dt 解得 A=2 h(t ) = 2e ?3 t u (t ) 拉氏变换解法 sy ( s ) + 3 y ( s ) = 2 X ( s ) (s + 3) y (s) = 2 x( s) H ( s) = y ( s) 2 = x( s ) s + 3 h(t) = 2e -3t u (t ), t ≥ 0 7.已知某线性时不变系统的动态方程式为 dy (t ) + 6 y (t ) = 2 x(t ) + 3 x' (t ), t > 0 dt 试求系统的冲激响应。解：经典解法当 x(t) = d (t)时，y(t) = h(t)，即 dh(t ) + 6h(t ) = 2δ (t ) + 3δ ' (t ) dt 动态方程式的特征根 s = -6, 且n=m, 故 h(t)的形式为 h(t ) = Ae ?6 t u (t ) + Bδ(t ) d [ Ae ? 6t u (t ) + Bδ(t )] + 6[ Ae ?6t u (t ) + Bδ (t )] = 2δ (t ) + 3δ ' (t ) dt 解得 A= -16, B =3 h(t ) = 3δ (t ) ? 16e ?6 t u (t ) 拉氏变换解法 sy ( s ) + 6 y = 2 X ( s ) + 3sX ( s ) ( s + 6)Y ( s ) = (3s + 2) X ( s ) H (s) = 16 Y ( S ) 3s + 2 = 3? = X ( s) s + 6