渗流物理-驱替理论

S w + Snw = 1
( 2.6)
二、两相驱替理论
把方程（ ） ），有 把方程（2.4）和（2.5）相加，并考虑到方程（2.6），有： ）相加，并考虑到方程（ ），
∂ (qw + qnw ) = 0 ∂x ( 2.7)
这样， 这样，总流速
q = qw + qnw
( 2.8)
沿着此管是不变的。 沿着此管是不变的。 这里，我们定义润湿液体的含水率（分流函数）如下： 这里，我们定义润湿液体的含水率（分流函数）如下：
µw
µnw
这里采用了
∂pc dpc ∂Snw = ∂x dSnw ∂x
( 2.26)
二、两相驱替理论
如果流管是水平的，由达西定律有： 如果流管是水平的，由达西定律有：
K w dpc A q µ w dSnw ∂Snw qw = + K nw µ w K w µnw ∂x 1+ 1+ K w µnw K nw µ w
1 r( S ) = Z
其中：
∫
S
1− Sc
g (η )dη
( 2.35)
Z=∫
S ro
1− Sc
g (η )dη
( 2.36)
二、两相驱替理论
通过r（S），（2.31）变为
∂ 2r ∂r ∂r + a(r) = β (r) 2 ∂ξ ∂ξ ∂λ
其中：
( 2.37)
1 d 1 a(r) = Z dr 1 + K nw µ w K w µnw
( 2.27)
这时，因为 与 无关 当代入对润湿液体的连续方程时， 无关， 这时，因为q与x无关，当代入对润湿液体的连续方程时，此表 达式得出： 达式得出：
K dpc A w ∂ q ∂Snw µ w dSnw ∂Snw + = φA ∂x 1 + K nw µ w 1 + K w µnw ∂x ∂t K nw µ w K w µnw
∂S ∂S dx =− w w ∂t ∂x dt Sw
−1
(2.23)
二、两相驱替理论
如果我们应用方程（ 如果我们应用方程（2.20）从（2.23）中消去 ） ）
q df w ( S w ) dx = dt Sw φA dS w
∂S w ∂t
渗流物理
研究生讲义
石油大学（华东）石油工程学院 石油大学（华东） 苏玉亮
目录
一、渗流物理发展现状 二、两相驱替理论 三、激波理论及其在两相驱替中的应用 四、三次采油中的驱替现象 五、互溶流体的同时层流 六、非等温渗流动态计算
二、两相驱替理论
不互溶驱替； 第一节 不互溶驱替；Buckley－Leverett方程 － 方程
，则得： 则得：
(2.24)
此方程被称为Buckley-Leverett方程。 方程。 此方程被称为 方程 在推导过程中，应用了求解非线性方程的特征线法思想。 在推导过程中，应用了求解非线性方程的特征线法思想。在下 一章，我们将介绍激波理论以及特征线法的求解过程。 一章，我们将介绍激波理论以及特征线法的求解过程。 关于一维两相驱替中的含水饱和度分布的求解， 关于一维两相驱替中的含水饱和度分布的求解，可以利用图解 法进行求解，在渗流力学中已经介绍过。这里不再介绍。 法进行求解，在渗流力学中已经介绍过。这里不再介绍。
( 2.32)
µnw
1 d h( S ) = dS 1 + K nw µ w K w µnw
(2.33)
qLµnw B= dpc AK dS char
( 2.34)
二、两相驱替理论
方程（ － ） 方程（6－58）把非润湿液体的饱和度描述为无量纲变数 ξ 和 λ 以及无量纲参数B的函数 但是，为了数值求解的目的， 的函数。 以及无量纲参数 的函数。但是，为了数值求解的目的，定义另 一个作为S的函数的应变量更为方便 这样， 的函数的应变量更为方便。 一个作为 的函数的应变量更为方便。这样，令Sc表示最小的润 湿液体的饱和度（共生水饱和度）， ），令 湿液体的饱和度（共生水饱和度），令Sro表示可由驱替得到的 最小的非润湿液体的饱和度（残余油饱和度）。然后定义： 最小的非润湿液体的饱和度（残余油饱和度）。然后定义： ）。然后定义
此时连续方程可写为： 此时连续方程可写为：
( 2.19)
q df w ∂S w ∂S w φA dS ∂x = − ∂t w
( 2.20)
二、两相驱替理论
的系数是Sw的函数 此方程是Sw的非线性方程 的函数， 的非线性方程， 因为 的系数是 的函数，此方程是 的非线性方程，因 此不能用古典的分析方法求得其解。可以利用以下方法求得： 此不能用古典的分析方法求得其解。可以利用以下方法求得： Sw（x,t）对时间的全微分是 （ ）
定义为毛细管压力。 定义为毛细管压力。 把液体都考虑成不可压缩的，这样， 把液体都考虑成不可压缩的，这样，把连续方程用于每相将得 出两个方程式。 出两个方程式。
∂qw ∂Sw = −φA ∂x ∂t ∂qnw ∂Snw = −φA ∂x ∂t
其中饱和度有关系式： 其中饱和度有关系式：
( 2.4) (2.5)
( 2.39)
1 dS β (r) = Z dr
(2.40)
二、两相驱替理论
在此问题能进行求解之前， 在此问题能进行求解之Fra Baidu bibliotek，我们必须以适当的边界和初始条件 补充微分方程。 ＝ 时 补充微分方程。在t＝0时，令 S(x,0)=1-Sc 或，通过
r (ξ ,0) = 0
(2.41) (2.42)
是流入边界， 令x＝0是流入边界，因为只有润湿液体被注入，我们有 ＝ 是流入边界 因为只有润湿液体被注入， qnw(0,t)=0 这意味着在x＝ 处有 这意味着在 ＝0处有
二、两相驱替理论
通过这些量此微分方程取如下的形式： 通过这些量此微分方程取如下的形式：
∂ ∂ξ
∂S ∂S ∂S g ( S ) ∂ξ + h( S ) ∂ξ = ∂λ
1 g(S ) = B K + K µw w nw K w K nw dpc dS
(2.31)
其中：S＝Snw 其中： ＝
K nw µ w qw ∂pc qnw = − A − + − ∆ρg sin α µnw K w A ∂x
其中： 其中：
( 2.13)
∆ρ = ρ w − ρ nw
( 2.14)
二、两相驱替理论
将（2.13）代入 ）
qw = f w q qnw = (1 − f w ) q
∂pnw =0 ∂x
(2.43) (2.44) (2.45)
和（或）
q=qw
二、两相驱替理论
在流出面上，边界效应必须加以考虑。 在流出面上，边界效应必须加以考虑。直至在流出面上的润湿流 体的饱和度上升到它的最大值1－ 之前没有润湿流体产出 之前没有润湿流体产出。 体的饱和度上升到它的最大值 －Sro之前没有润湿流体产出。从 那时以后润湿流体的饱和度保持在这一最大值。这样，如果t＝ 那时以后润湿流体的饱和度保持在这一最大值。这样，如果 ＝t* 最初达到此最大值的时刻， 是Sw最初达到此最大值的时刻，则在 最初达到此最大值的时刻 则在x=L处 处 qw(L,t)=0 S(L,t)=Sro t<t* t>t* (2.46) (2.47)
∂S w ∂x
dS w ∂S w dx ∂S w = + dt ∂x dt ∂t
( 2.21)
如果选择x=x(t)使与固定的 的面相重合，则 使与固定的Sw的面相重合 如果选择 使与固定的 的面相重合，
dS w =0 dt ( 2.22)
而饱和度Sw的推进速度是： 而饱和度 的推进速度是： 的推进速度是
qw fw = q
对非润湿相有： 对非润湿相有：
( 2.9) ( 2.10)
f nw
qnw = = 1 − fw q
二、两相驱替理论
于是， 于是，连续方程可写为
q ∂f w ∂S w =− φA ∂x ∂t q ∂f nw ∂Snw =− φA ∂x ∂t
(2.11) ( 2.12)
现在，如果我们联合方程（ 以消去p 现在，如果我们联合方程（2.1)、(2.2)和(2.3)以消去 w和pnw，得： 、 和 以消去
qw = − K w A ∂pw + ρ w g sin α µ w ∂x ( 2.1)
K nw A ∂pnw qnw = − + ρ nw g sin α µ ∂x
nw
( 2 .2 )
二、两相驱替理论
其中： 其中：
pnw − pw = pc
( 2.3)
可得出含水率为： 可得出含水率为：
( 2.15) ( 2.16)
K nw A ∂pc 1+ ∂x − ∆ρg sin α µnw q fw = K nw µ w 1+ K w µnw
( 2.17)
二、两相驱替理论
如果总流速q很大而界面张力和密度差很小， 如果总流速 很大而界面张力和密度差很小，则可忽略毛管力和 很大而界面张力和密度差很小 重力的影响， 重力的影响，则：
用水从多孔介质中驱替石油在石油开采中起着重要的作用。 用水从多孔介质中驱替石油在石油开采中起着重要的作用。 在天然水驱和二次注水开采过程中，此驱替过程都是基本的。 在天然水驱和二次注水开采过程中，此驱替过程都是基本的。 首先我们考虑在一与水平线成 角的倾斜的多孔介质细管 中的线性驱替的情形。沿着此管度量的距离x以向上的方向为正 以向上的方向为正。 中的线性驱替的情形。沿着此管度量的距离 以向上的方向为正。 此管的横截面积A小到足可把任一截面上的压力和饱和度看作是 此管的横截面积 小到足可把任一截面上的压力和饱和度看作是 均匀一致的。 均匀一致的。 由达西定律，对润湿的和非润湿的两个相有： 由达西定律，对润湿的和非润湿的两个相有：
K nw µ w µw f w ≈ 1 + K µ = f w Sw , µ w nw nw
−1
( 2.18)
此仅为饱和度的函数，而粘度比只是一个参数。当近似式有效时： 此仅为饱和度的函数，而粘度比只是一个参数。当近似式有效时：
∂f w df w ∂S w = ∂x dS w ∂x
( 2.28)
二、两相驱替理论
的偏微分方程。 （2.28）式为对应变量 ）式为对应变量Snw的偏微分方程。此方程是非线性的， 的偏微分方程 此方程是非线性的， 因此不用用一般的解析方法求解。在考虑数值解法以前， 因此不用用一般的解析方法求解。在考虑数值解法以前，我们 将此方程写成更简明的但更一般的形式如下： 将此方程写成更简明的但更一般的形式如下： 定义无量纲变量： 定义无量纲变量：
二、两相驱替理论
第二节 包含毛细管压力作用的直线不互溶驱替
B－L方程给出的对直线不互溶驱替的描述只当流速很高时才是 － 方程给出的对直线不互溶驱替的描述只当流速很高时才是 对真实的物理情况的良好的近似。 对真实的物理情况的良好的近似。在低流速时毛细管压力的作 用不能加以忽略。 用不能加以忽略。
qw = − K w A ∂pw + ρ w g sin α µ w ∂x ( 2.1)
x qt ξ = ,λ = L φAL
pc ( Snw ) pc = dpc dS nw char
(2.29)
此处L是此系统的长度。 此处 是此系统的长度。也定义一无量纲毛细管压力 是此系统的长度
( 2.30)
这里char是指一特征值。注意，Snw本身就是一个无量纲量。 是指一特征值。注意， 本身就是一个无量纲量。 这里 是指一特征值 本身就是一个无量纲量
K nw A ∂pnw qnw = − + ρ nw g sin α µ ∂x
nw
( 2 .2 )
pnw − pw = pc
( 2.3)
由以上的两相连续性方程和辅助方程联立，得出： 由以上的两相连续性方程和辅助方程联立，得出：
二、两相驱替理论
dpc ∂pw q ∂S w dS w =− − + K w µnw ∂x ∂x K w K nw 1 + A µ + µ K nw µ w w nw K w ρ w K nw ρ nw + µnw µw g sin α (2.25) K w K nw +